ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 55 Α. Αν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ν δείξετε ότι εφ( + β) = εφ + εφβ 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε ως Σ(σωστό) ή ως Λ(Λάθς) τις πρκάτω πρτάσεις:. Ισχύει: συν( + β) = ημ ημβ συν συνβ Μνάδες 13 β. Αν >1 τότε η συνάρτηση f() = είνι γνησίως ύξυσ γ. Αν >0 με 1, τότε γι πιυσδήπτε θ 1, θ >0 ισχύει: θ1 log θ = log θ 1 log θ δ. Ο ριθμός είνι ρίζ της εξίσωσης: 3 3 + 4 = 0 Μνάδες 1 Θέμ Α. Ν δείξετε ότι: συν ημ = ημ Μνάδες 1 1 + συν Β. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ = συν 1 Μνάδες 13 3 Α. Δίνετι τ πλυώνυμ P() = + β 1 Αν έχει πράγντ τ 1κι τ υπόλιπ της διίρεσης Ρ(): ( +1)είνι, ν δείξετε ότι = 1 κι β = Β. Γι = 1 κι β =. Ν λυθεί η νίσωση Ρ() 0 β. Ν βρεθύν τ σημεί στ πί η γρφική πράστση τυ Ρ() τέμνει τν Δίνετι η συνάρτηση f() = + ln( e 1 ) Μνάδες 5 A. Ν βρεθεί τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης Μνάδες 5 Β. Ν λυθεί η εξίσωση: f() = ln Γ. Ν λυθεί η νίσωση: f() <
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 56 Α. Ν πδείξετε ότι έν πλυώνυμ Ρ() έχει πράγντ τ ρ ν κι μόν ν τ ρ είνι ρίζ τυ Ρ(), δηλδή ν κι μόν ν Ρ(ρ) = 0. Μνάδες 15 Β. Ν χρκτηρίσετε τυς πρκάτω τύπυς ως Σωστό ή Λάθς. ημ = ημ συν β. συν = ημ 1 γ. συν = 1 + συν δ. ημ ( β) = ημβ συν ημ συνβ σφ σφβ 1 ε. σφ( + β) = Μνάδες 5 σφβ + σφ Γ. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες. (Οι δσμένι λγάριθμι θεωρείτι ότι έχυν νόημ). log10 = β. e lnθ = γ. log(θ 1 θ ) = δ. θ 1 log = θ ε. Αν 9 = 3 τότε = Μνάδες 5 Θέμ Γι τη γωνί με π < < π ισχύει: 5συν 18συν + 1 = 0. Ν βρείτε τ συν 1 β. Αν συν = ν υπλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς ριθμύς ημ, συν κι εφ. 5 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = 4 + + β Α. Αν Ρ ( 1) = 0 κι Ρ() = 0, ν βρείτε τις τιμές των, β. Β. Αν = 5 κι β = 4, τότε: Μνάδες 15. Ν λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 Μνάδες 8 β. Ν βρείτε τ διστήμτ στ πί η γρφική πράστση της Ρ() βρίσκετι κάτω πό τν άξν. Μνάδες 7 Δίνετι η συνάρτηση f() = log(11 7 + 10) log 1. Ν βρείτε τ γι τ πί ρίζετι η f Μνάδες 7 β. Ν βρείτε τ σημεί τμής της γρφικής πράστσης της f με τν άξν Μνάδες 18
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 57 Α. Ν πδειχτεί ότι εφ( + β) = Β. Δίνετι η γρφική πράστση εφ + εφβ 1 εφ εφβ της συνάρτησης g() = log με >1. Πι είνι τ σύνλ τιμών της; β. Τι είδυς μντνί έχει; γ. Έχει κρόττ; δ. Πι είνι τ σημεί τμής της με τν άξν ; ε. Γράψτε τν τύπ h() της συνάρτησης h της πίς η γρφική πράστση είνι συμμετρική με τη γρφική πράστση της g με άξν συμμετρίς την ευθεί πυ διχτμεί τις γωνίες Oy κι Οy δηλδή την ευθεί y = Μνάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθς (Λ) κάθε μί πό τις πρκάτω πρτάσεις: 010 009. Τ πλυώνυμ Ρ() = ( ) + έχει ρίζ τ 1 β. Στην Α.Π 3, β, 13, ριθμητικός μέσς τυ 1 υ κι τυ 3 υ όρυ είνι β = 9 γ. Η ριθμητική πρόδς, 1, 4,.. έχει άθρισμ των 10 πρώτων όρων της S 10 = 5 δ. Ισχύει τύπς συν( + β) = συν συνβ ημ ημβ ε. Η τριγωνμετρική εξίσωση εφ = εφ έχει λύσεις τις = κπ + με κ Ζ. Θέμ Α. Δίνετι ότι ισχύει: ημ + 3 συν = (1) π. Ν δείξετε πως η (1) είνι ισδύνμη με την ημ + 3 = 1 β. Ν λυθεί η εξίσωση (1) στ [0, π). Β. Δίνετι ότι ισχύει: 3 συν + συν = 3 ημ (). Ν δείξετε πως η () είνι ισδύνμη με την συν + 3 συν + 1 = 0 β. Ν λυθεί η εξίσωση () γ. Πιες μρφές λύσεων π υτές πυ βρήκτε ντιστιχύν σε γωνίες των πίων η τελική πλευρά τυς βρίσκετι πάνω στν άξν των συνημιτόνων τυ τριγωνμετρικύ κύκλυ κι με πι μρφή θ μπρύστε ν τις εκφράσετε με ένν τύπ Μνάδες 15 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = 3 5 + + β. Επίσης δίνετι ότι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωνύμυ με τ είνι ίσ με κι τ πλυώνυμ έχει πράγντ τ 1 1 Α. Ν υπλγιστύν τ, β 1 Β. Αν = κι β = τότε:. Ν βρεθύν ι ρίζες τυ πλυωνύμυ Ρ() κι ν γρφεί τ Ρ() σε πργντπιημένη μρφή με πράγντες πλυώνυμ 1 υ βθμύ β. Ν λυθεί η νισότητ Ρ() 3 1 Μνάδες 5 1 1 f( )lne + ln + ln Δίνετι η συνάρτηση f γι την πί ισχύει: e = e 1 Α. Ν πδειχτεί ότι τύπς της f είνι f() = ln (e 1) κι ν βρεθεί τ πεδί ρισμύ της Β. Ν βρεθεί γι πι τιμή τυ η γρφική πράστση της συνάρτησης f τέμνει τν Γ. Ν λυθεί η νίσωση f()
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 58 Α. Ν πδείξετε ότι τ υπόλιπ της διίρεσης ενός πλυωνύμυ P() με τ ρ είνι ίσ με την τιμή τυ πλυωνύμυ γι = ρ. Είνι δηλδή υ = P(ρ). B. Στις πρκάτω πρτάσεις ν σημειώσετε στην κόλλ σς τ γράμμ Σ ν είνι σωστές κι τ γράμμ Λ ν είνι λνθσμένες :. Η συνάρτηση f() = ln έχει σύνλ τιμών τ. β. Η συνάρτηση f() = e είνι γνησίως φθίνυσ στ. γ. Ισχύει συν = 1 ημ, γι κάθε. δ. Αν, β, γ διδχικί όρι ριθμητικής πρόδυ, τότε β = + γ. ε. Αν + β + γ = 0, τότε τ πλυώνυμ P() = 3 + β + γ έχει ρίζ τ 1. Θέμ Δίνετι τ πλυώνυμ P() = 3 β + Α. Αν τ P() έχει πράγντ τ κι τ υπόλιπ της διίρεσής τυ με τ 1είνι, ν βρείτε τις τιμές των κι β. Μνάδες 13 B. Γι = 3 κι β = 3 ν λύσετε την εξίσωση P() = 0 Μνάδες 1 Δίνετι η πράστση A = ημ 1 συν 1 συν. συν Α. Ν βρείτε τις τιμές τυ γι τις πίες έχει νόημ η πράστση B. Ν δείξετε ότι Α = Γ. Ν λύσετε την εξίσωση Μνάδες 5 εφ, γι κάθε γι τ πί έχει νόημ η πράστση 4A συν + 1 = συν +1 Δίνντι ι συνρτήσεις f() = log( +1 ) +l og( 1) κι g() = lo g( +7). Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ τυς. Μνάδες 4 β. Ν λυθεί η εξίσωση f() = g(). Μνάδες 7 γ. Βρείτε γι πι ισχύει g() > 0. Μνάδες 4 y f() = log( +) δ. Ν λύσετε τ σύστημ g(y) = log( 1 3 )
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 59 Α. Ν πδείξετε ότι τ υπόλιπ της διίρεσης ενός πλυωνύμυ Ρ() δι ρ είνι Ρ(ρ) Μνάδες 15 B. Ν χρκτηρίσετε τις πρτάσεις πυ κλυθύν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθς. συν = ημ συν β. Η πράστση 5 + + 1 είνι πλυώνυμ γ. 3 = 3 με >0 δ. Η συνάρτηση f() = log είνι γνησίως ύξυσ γι κάθε >0 ε. Αν ρ πράγντς τυ πλυωνύμυ Ρ() τότε τ ρ είνι ρίζ τυ Ρ() Θέμ Δίνετι η εξίσωση ημ + συν = 1 (1) A. Ν δείξετε ότι η (1) είνι ισδύνμη με την εξίσωση: συν συν 1 = 0 Β. Ν λύσετε την εξίσωση (1) Μνάδες 15 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = 4 ( 3) 3 + β Α. Ν βρεθύν τ κι β ν + 1 πράγντς τυ Ρ() κι τ υπόλιπ της διίρεσης Ρ(): ( 1) είνι 4 Μνάδες 8 Β. Αν = 4 κι β = 1, ν λύσετε:. την εξίσωση Ρ() = 0 Μνάδες 8 β. την νίσωση Ρ() 0 Μνάδες 9 Δίνντι ι συνρτήσεις: f() = ln (e 1) κι g() = ln (e + ). Ν βρεθύν τ πεδί ρισμύ των πρπάνω συνρτήσεων Μνάδες 5 β. Ν λυθεί η εξίσωση: f() + g() = ln 4 γ. Ν λυθεί η νίσωση: f() < g() + ln 4
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 60 Α. Ν πδείξετε ότι, έν πλυώνυμ P() έχει πράγντ τ ρ ν κι μόνν ν τ ρ είνι ρίζ τυ P(), δηλδή ν κι μόνν ν P(ρ) = 0 Β. Ν χρκτηρίσετε στην κόλλ σς, κθεμιά πό τις πρκάτω πρτάσεις με Σ ν είνι σωστή ή με Λ ν είνι λάθς.. ( 3) < ( 3) 9 1 5 4 3 β. Aν η εξίσωση + β + γ + δ + + 6 = 0, (, β, γ, δ, R), με 0 έχει 5 ρίζες στ R, τότε υτές θ νήκυν στ σύνλ A = { ± 1, ±, ± 3, ± 6} ( ) γ. Η συνάρτηση με τύπ f = ln γράφετι πάντ δ. Κάθε μηδενικό πλυώνυμ είνι μηδενικύ βθμύ. 4 f ( ) = 4ln. εφ ε. εφ = Μνάδες 15 1 εφ Θέμ Έστω η γωνί με 90º < < 180º, γι την πί ισχύει : 6 3 συν ( + 30 ) + ημ ( + 30 ) =. 5. Ν πδείξετε ότι : συν = 3. Μνάδες 9 5 β. Ν βρείτε : i. τ ημ ii. την εφ. Μνάδες 8+8 Έστω τ πλυώνυμ ( ) 4 3 P = κ + 5 λ +. ( ) ( ). N βρείτε τ κ, λ ώστε τo ν είνι ρίζ τυ P() κι τ 1 ν είνι πράγντς τυ P(). Γι κ = 6 κι λ = 3 ν λυθεί: β. η εξίσωση : P() = 0 κι γ. η νίσωση : P() 0 +7 +8 Δίνετι η συνάρτηση ( ) ln 3 11 f =. ln 5. N βρεθεί τ πεδί ρισμύ της. Μνάδες 9 β. Ν λυθεί η εξίσωση f() =. Μνάδες 8 Aν > 6, ν λύσετε την νίσωση f() > 1. Μνάδες 8.
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 61 Α. Ν πδείξετε ότι log θ + log θ = log (θ1 θ ), όπυ 0< 1 κι θ, θ > 0. 1 1 Μνάδες 1 Β. Πότε μι κλυθί λέγετι ριθμητική πρόδς; Μνάδες 3 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις πρτάσεις πυ κλυθύν, γράφντς στην κόλλ σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθς δίπλ στ γράμμ πυ ντιστιχεί σε κάθε πρότση. εφ. εφ =. 1 εφ γ. β. Οι ριθμί, β κι γ, με τη σειρά πυ δίνντι, είνι διδχικί όρι γεωμετρικής πρόδυ τότε κι μόν τότε ότν 1 συν ημ =. + γ β =. δ. Ο βθμός τυ γινμένυ δύ μη μηδενικών πλυωνύμων είνι ίσς με τ άθρισμ των βθμών των πλυωνύμων υτών. ε. Τ άθρισμ Sν των πρώτων ν όρων μις γεωμετρικής πρόδυ ( ), πυ έχει πρώτ λ 1 όρ 1 κι λόγ λ 1, είνι: S = ν 1. Μνάδες 5 λ 1 Θέμ Α. Ν πδείξετε ότι γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει: π π συν + + συν 3 3 Β. Ν λύσετε την εξίσωση: ν = συν. π π συν + +συν = + συν 3 3 3 Δίνετι τ πλυώνυμ P() = (4 β) β + 11, IR,, β IR. ν Μνάδες 15 Α. Αν τ P() έχει πράγντ τ κι διιρύμεν με τ 1 δίνει υπόλιπ 4, ν πδείξετε ότι = κι β= 7. Μνάδες 13 Β. Γι = κι β = 7, ν λύσετε την εξίσωση: P( ) = 0 Μνάδες 1 Δίνντι ι ριθμί log178, log 81 ( + 3 ), log3. Ν υπλγίσετε τν πργμτικό ριθμό, ώστε ι πρπάνω ριθμί, με τη σειρά πυ δίνντι ν είνι διδχικί όρι - ριθμητικής πρόδυ. Μνάδες 5
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 6 εφ A. Ν πδείξετε ότι εφ = 1 εφ με κπ ± π 4 κι κπ ± π, κ g B. Αν f() = lo συνάρτηση με 0 < <1 ν γράψετε τ πρόσημ της f γι τις διάφρες τιμές τυ Μνάδες 5 Γ. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες ή πρτάσεις ώστε ν είνι ληθείς:. logθ 1 + logθ =.με θ 1, θ >0 β. Η γρφική πράστση της συνάρτησης f με f() = e τέμνει τν άξν y y στ σημεί. γ. εφ = εφ = δ. Αν είνι ρίζ τυ πλυωνύμυ Ρ() τότε Ρ() =.. ν μ ε. =.. με >0, μ, ν θετικός κέρις Θέμ Αν συν π 6 + = 3 6 συν + 1 1 ημ 3 3. Ν πδείξετε ότι συν = Μνάδες 8 3 β. Ν υπλγίσετε τ ημ ότν 0 < < π Μνάδες 7 γ. Ν λυθεί η εξίσωση 4(ημ 3 συν + συν 3 ημ) = 3συν Τ πλυώνυμ Ρ() διιρείτι με τ + κι δίνει πηλίκ (λ ) + 1 κι υπόλιπ ( λ 1) + 1, λ. Ν πδείξετε ότι Ρ() = (λ ) 3 + 5 + 3 Μνάδες 9 β. Ν βρείτε τ βθμό τυ Ρ() Μνάδες 6 γ. Γι λ = 3 ν βρείτε τ ώστε τ Ρ() ν έχει πράγντ τ Δίνετι η συνάρτηση φ με φ() = ln ( +1). Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της φ Μνάδες 5 β. Ν λύσετε την εξίσωση: φ() = γ. Ν λύσετε την νίσωση: 1 φ( ( 3) ) 4 ln 1 ln 7 ln3 e < 0
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 63 Α. Ν πδείξετε ότι τ υπόλιπ της διίρεσης ενός πλυωνύμυ P() με τ ( p) είνι ίσ με την τιμή τυ πλυωνύμυ γι = p. Είνι δηλδή υ = P(ρ). Β. Ν πντήσετε ν είνι σωστή (Σ) ή λνθσμένη (Λ) κθεμιά πό τις πρτάσεις:. Αν ν ν + ν 1 ν 1 +... + 1 + 0 = 0, τότε ένς κέρις ριθμός ρ 0 ν δεν διιρεί τ 0, τότε δεν είνι ρίζ της εξίσωσης (ι συντελεστές κέριι). β. Η εξίσωση 009 + ( + ) 008 + + 5 = 0 έχει βθμό 009 γι κάθε τιμή τυ. γ. Τ άθρισμ ή η διφρά δύ πλυωνύμων ίδιυ βθμύ είνι πλυώνυμ ίδιυ βθμύ. δ. Έν πλυώνυμ Ρ() έχει πράγντ τ ρ ν κι μόν ν τ ρ είνι ρίζ τυ Ρ(). Θέμ Δίδετι τ πλυώνυμ: Ρ() = 6 4 3 7 + + β. Αν τ πλυώνυμ Ρ() έχει ρίζ τ 1κι πράγντ τ 1 ν πδείξετε ότι = β = 1. Στη συνέχει ν λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0, γι = β= 1. Δίδντι ι πρστάσεις: Α = ημ( + ) + ημ( ) συν( + ) + συν( ) κι Β = συν + ημ συν συν ημ συν ημ + ημ Ν πδείξετε ότι:. Η πράστση Α είνι νεξάρτητη τυ β. Η πράστση Β = εφ = Α Δίδετι η συνάρτηση: f() = log ( 4) log ( ) 1. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης f. β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = 0. γ. Ν βρείτε γι πιες τιμές τυ η γρφική πράστση της συνάρτησης f είνι κάτω πό τν άξν
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 64 A. Ν πδείξετε ότι: Αν τρεις μη μηδενικί ριθμί, β, γ είνι διδχικί όρι γεωμετρικής πρόδυ, τότε ισχύει β = γ B. Ν συμπληρωθύν τ κενά στις πρκάτω πρτάσεις: log θ. Ο είνι (όπυ θ >0, 0 < 1) β. Ο ν ς όρς μις ριθμητικής πρόδυ με πρώτ όρ 1 κι διφρά ω δίνετι πό τν τύπ: ν =. γ. εφ =...συν... δ. ημ = ημθ =.. ή =. ε. Ο βθμός τυ γινόμενυ δύ μη μηδενικών πλυωνύμων είνι Θέμ. Ν πδείξετε: ημ 1+ συν = εφ, κπ + π π β. Ν λυθεί η εξίσωση: συν + 4 + συν π =, ( π, 3π) 4 Μνάδες 15 Μνάδες 15 Τ πλυώνυμ Ρ() = 3 + + β + 6 ικνπιεί τις συνθήκες: έχει πράγντ τ κι η διίρεση με τ + 1 δίνει υπόλιπ 18.. Ν πδειχθεί ότι: = 1 κι β = 13 Μνάδες 15 β. Ν λύσετε την εξίσωση: Ρ() = 0 Μνάδες 10 Δίνετι η κλυθί: (0< 1) 1 = log, = log 4, 3 = log 8,.. Ν εξετάσετε ν είνι ριθμητική ή γεωμετρική πρόδς Μνάδες β. Ν βρείτε τν 50 Μνάδες 5 γ. Ν βρείτε τ S 50 Μνάδες 5 δ. Ν εξετάσετε τ πρόσημ τυ S 50, με 0 < 1 Μνάδες 5 10
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 65 A. Ν πδείξετε ότι τ εμβδόν τρπεζίυ ισύτι με τ γινόμεν τυ ημιθρίσμτς των βάσεών τυ επί τ ύψς τυ, δηλδή: Ε = ( Β + β) υ B. Ν υπλγιστύν: A 15cm Μνάδες 1. η περίμετρς 13cm 1cm β. τ εμβδόν τυ τρπεζί υ Μνάδες 13 Θέμ B K Γ Σε τρίγων ΑΒΓ είνι ΑΒ= 6cm, ΑΓ = 9cm, ΒΓ = 7cm. Ν βρεθεί τ είδς τυ τριγώνυ Μνάδες 7 β. Ν βρεθεί η διάμεσς πό τη γωνί Α Μνάδες 8 γ. Ν βρεθεί τ εμβδόν τυ τριγώνυ ΑΒΓ. Ν συμπληρωθεί πίνκς ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΞΑΓΩΝΟ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ (ω) ΓΩΝΙΑ ΠΛΕΥΡΑ ΠΟΛ ΥΓΩΝΟΥ (φ) ΠΟΛ ΥΓΩΝΟΥ (λ ν ) Μνάδες 15 β. Ν βρεθεί τ εμβδόν τετργώνυ πυ είνι εγγεγρμμέν σε κύκλ κτίνς R = 6cm Σε κύκλ (Ο, R) είνι εγγεγρμμέν ισόπλευρ τρίγων ΑΒΓ με πλευρά ΑΒ = 1. Ν υπλγίσετε:. την κτίν R τυ κύκλυ Μνάδες 6 β. τ εμβδόν τυ κυκλικύ δίσκυ (Ο, R) Μνάδες 6 γ. τ εμβδόν τυ ισόπλευρυ τριγώνυ ΑΒΓ Μνάδες 6 δ. τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τν κύκλ κι τ ισόπλευρ τρίγων Μνάδες 7
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 66 Α.. Απδείξτε τν τύπ ημ = ημ συν Μνάδες 4 β. Ν συμπληρώσετε τ κενά στις πρκάτω πρτάσεις: σφβ... σφ(β ) =, ημ = 0 τότε =. κ. Μνάδες 4... γ. Τι λέγετι ριθμητική πρόδς; Μνάδες Γράψτε τν τύπ πυ μς δίνει τ νιστό όρ της γεωμετρικής πρόδυ Μνάδ 1 Β.. Α ν >0, 1 κι θ 1, θ >0 δείξτε ότι: log (θ 1 θ ) = log θ 1 + log θ. Μνάδες 5 β. Τι λέγετι λγάριθμς τυ θ ως πρς βάση τ ; Μνάδες Πιι περιρισμί ισχύυν γι τ κι τ θ; Μνάδ 1 γ. Ν συμπληρώσετε τ κενά στις πρκάτω πρτάσεις: log 3 =, e ln3 =, log(y) = ότν y >0 Θέμ Α. Ν πδείξετε ότι:. β. Μνάδες 6 ημ4 = εφ Μνάδες 8 1+ συν4 ημ( + β) ημ( β) = εφβ Μνάδες 8 συν( + β) + συν( β) Β. Ν βρείτε τ (0, π) ώστε ι ριθμί συν, ημ συν, 3 ν είνι διδχικί όρι ριθμητικής πρόδυ. Μνάδες 9 4 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = + 3 7 (κ + 11) + λ κ A. Ν βρείτε τ λ, ότν τ + 1 διιρεί τ Ρ(). Μνάδες 6 Β. Αν λ = 4 τότε:. Ν βρείτε τ πηλίκ της διίρεσης Ρ() : ( +1) Μνάδες 6 β. Ν δείξετε ότι κ =, ότν τ ( +1) είνι πράγντς τυ P(). Μνάδες 6 γ. Γι κ =, ν λύσετε την νίσωση Ρ () <0. Μνάδες Θέμ 4 Δίνετι η συνάρτηση f() = log(e κe + λ), με f(0) = log, f(ln6) = log 1. Α. Ν δείξετε ότι κ = 5 κι λ = 6 Β. Αν κ = 5 κι λ = 6 Μνάδες 6. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης f Μνάδες 6 β. Ν λυθεί η εξίσωση f() = 1 log(e + 1) Μνάδες 7 γ. Ν δείξετε ότι ι ριθμί f(ln5) f(0), f(ln5), f(ln6) είνι διδχικί όρι ριθμητικής πρόδυ. Μνάδες 6
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 67 A. Ν π δείξετε ότι: συν = συν 1 Μνάδες 15 B. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω πρτάσεις ως Σωστές ή Λνθσμένες:. ημ συν = συν β. log 1 log = log( 1 + ) γ. ημ = ημ συν δ. ( ) = 1τότ ε = 0 ε. ν τ π λυώνυμ Ρ() έχει π ράγντ τ ( 1), τότε Ρ(1) = 1 Θέμ Ν πδείξετε ότι:. συν( β) συν( + β) = εφ εφβ συν( β) + συν ( + β) β. εφ = 1 Μνάδες 15 εφ εφ Θέμ 3 Ν λυθεί η εξίσωση: log( 3 + ) + log81 = log3 + log178 Δίνντι τ πλυώνυμ Ρ() = 3 + ( + β) + 4β (4 + 1) κι Q() = 3 + (κ +3λ +10) + (κ + λ 7) + (3κ +6λ 8). Μνάδες 5 A. Αν ισχύυν ότι: + β = κι η δι ίρεση τυ Ρ() με τ δίνει υπόλιπ 1, ν βρείτε τις τιμές των κι β B. Γι τις τιμές = 4 κι β =. Ν πρσδιρίσετε τ κ, λ ώστε τ πλυώνυμ Ρ() κι Q() ν είνι ίσ. Μνάδες 8 β. Ν λυθεί η εξίσωση Ρ() = 1 Μνάδες 7
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 68 Α. Ν πδείξετε ότι ημ( + β) = ημ συνβ + συν ημβ Μνάδες 8 Β. Ν πδείξετε ότι: συν = συν 1 Μνάδες 8 Γ. Ν πντήσετε ν είνι σωστό ή λάθς κάθε έν πό τ πρκάτω. log = 0, 0< 1 β. log θ κ = κlog θ, 0 < 1, θ >0, κ γ. συν = ημ + συν Μνάδες 9 Θέμ Α. Ν πδείξετε ότι : ημ( + β) ημ( β) = συν β συν Μνάδες 7 Β. Ν δειχθεί ότι: εφ π 4 = συν 1+ ημ Μνάδες 8 Γ. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ + ημ = συν Α. Ν λυθεί η εξίσωση: 4 3 4 1 = 0 Μνάδες 13 Β. Ν λυθεί η εξίσωση: A. Ν λυθεί η εξίσωση: + + 6 = 3 Μνάδες 1 9 + = 0 Μνάδες 1 Β. Ν λυθεί η νίσωση: log( + ) > log + log3 Μνάδες 13
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 69 Α. Αν >0 με 1, θ> 0 κι κ ν πδείξετε ότι: log κ θ = κ log θ. Μνάδες 1 Β. Τι λέγετι βθμός ενός πλυωνύμυ; Μνάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις πρτάσεις πυ κλυθύν γράφντς στ γρπτό σς δίπλ στ γράμμ πυ ντιστιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό ή Λάθς. εφ - εφβ εφ β = συν β 0, συν 0, συνβ 0 ) 1 +. ( ) εφ εφβ ( ( ) β. Τ μηδενικό πλυώνυμ έχει βθμό μηδέν. γ. Η εκθετική συνάρτηση με τύπ f () = με 0 < 1 έχει πεδί ρισμύ τ διάστημ ( 0, + ). log θ δ. Αν 0 < 1 κι θ > 0 ισχύει = θ. Μνάδες 8 Θέμ Δίνντι κι ι ριθμί 1 γ = εφθ εφ θ ημθ π π π = ημ θ συν +θ +ημ π +θ συν θ 4 4 4 4, ημθ β = συνθ ( συνθ 0, ημθ 0, ημθ 0).. Ν πδείξετε ότι i) = 1, ii) β = ημθ, iii) γ = συνθ Μνάδες 15 β. Ν πδείξετε ότι ι ριθμί, β, 1 γ είνι διδχικί όρι γεωμετρικής πρόδυ. Δίνετι τ πλυώνυμ P() = 3 +κ +. Α. Ν βρεθεί κ ώστε τ πλυώνυμ P() ν έχει πράγντ τ 1. Β. Γι κ= 3 Μνάδες 8. Ν πργντπιήσετε τ P(). Μνάδες 8 β. Ν λυθεί η νίσωση P( ) 0. Μνάδες 9 Δίνετι η συνάρτηση ( ) =ln( e 1) f.. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης f. Μνάδες 5 β. Ν λύσετε την εξίσωση f ( ) +f ( ) =ln ( 3e 3) τις τιμές ι ριθμί ( ) γ. Ν βρείτε τυ ώστε. Μνάδες 7 = f, β =, γ= ln ν είνι διδχικί όρι ριθμητικής πρόδυ. Μνάδες 7 δ. Ν βρείτε τις τιμές τυ θ ( 0,π) ώστε f( ημθ ) = ln ( e 1). Μνάδες 6
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 70 Α. Έν πλυώνυμ Ρ() έχει πράγντ τ ρ ν κι μόν ν τ ρ είνι ρίζ τυ Ρ(), δηλδή ν κι μόν ν Ρ(ρ) = 0. Μνάδες 13 Β. Ν γράψετε συμπληρωμένες τις πρκάτω πρτάσεις. Αν > 0 με 1, τότε γι πιυσδήπτε θ 1, θ, θ >0 κι kεr ισχύυν :. log (θ 1 θ ) = β. log θ 1 θ =. γ. logθ k =. Μνάδες 4 + 4 + 4 Θέμ Σε μί ριθμητική πρόδ τ άθρισμ των 10 πρώτων όρων της ισύτι με 10 κι τ άθ- ρισμ των 0 πρώτων όρων της ισύτι με 440. Ν βρεθύν :. Η διφρά ω κι πρώτς όρς 1 της πρόδυ. Α. Δίνετι η νίσωση 3 >1 τότε ισχύει :. >, β. = 0, γ. <, δ. =, ε. Μνάδες 11 β. Ο 15 ς όρς της πρόδυ Μνάδες 7 γ. Τ άθρισμ των 30 πρώτων όρων της πρόδυ. Μνάδες 7 Β. Η πράστση 1 log 5 + 1 log 8 είνι ίση με : 3 Μνάδες 5 1. 6, β. 1 5 log 00, γ. log34, δ. 1, ε. log00 Μνάδες 5 6 6 Γ. Η συνάρτηση f() = log ( 6) + log(7 ) ρίζετι ν :. = 6, β. < 6, γ. > 7, δ. = 7, ε. 6< < 7 Μνάδες 5 Δ. Η συνάρτηση f()= είνι στθερή μόν ότν :. = 1, β. = 0, γ. Ε. Η εξίσωση 3 = 5 έχει λύση την: { 0, 1 } Μνάδες 5. = log 5 3 5 3, β. = log 3 5, γ. = Μνάδες 5 Δίνετι η πλυωνυμική συνάρτηση f() = 3 3 +. Α. Ν λυθεί η εξίσωση f(χ) = 0 Β. Ν βρείτε τ διστήμτ, στ πί η γρφική πράστση της πλυωνυμικής συνάρτησης βρίσκετι πάνω πό τν άξν. Μνάδες 15
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 71 Α. Ν πδείξετε ότι:. συν = 1 ημ 1 + συν β. συν = Β. Τι νμάζυμε λγάριθμ ενός θετικύ ριθμύ θ με βάση θετικό ριθμό κι διάφρ τυ 1 Γ. Ν μετφέρετε στην κόλλ τις πρκάτω πρτάσεις κι ν τις συμπληρώσετε ώστε ν είνι ληθείς:. Η συνάρτηση f() = με κι. έχει σύνλ τιμών.. β. Τ υπόλιπ τ ης διίρεσης ενός πλυωνύμυ Ρ() με τ πλυώνυμ ρ είνι ίσ με. γ. εφ( + β) =.. δ. e ln =.. ε. log1 =. Θέμ Αν 5συν 3π 8συν + 3 = 0 κι (, π) τότε:. Ν πδείξετε ότι συν = 3 5 β. Γι συν = 3 ν υπλγίσετε 5 τις τιμές ημ, εφ, συν 3 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = + 5 + β. Ν πρσδιρίσετε τις τιμές των, β έτσι ώστε τ Ρ() ν έχει πράγντ τ 1κι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ Ρ() με τ + ν είνι 1 β. Γι = 3 κι β = 6 ν βρείτε τις τιμές τυ ώστε Ρ() 0 Θέμ 4 Δίνντι ι συνρτήσεις f, g με τύπυς f() = ln( e 1) κι g() = ln(e + ). Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ των συνρτήσεων f κι g β. Ν συγκρίνετε τις τιμές f(ln) κι g( 1) γ. Ν λύσετε την εξίσωση + f() = ln + g()
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 7 Θέμ 1 Α. Ν πδείξετε ότι: εφ( + β) = εφ + εφβ 1 εφ εφβ Μνάδες 1 Β. Ν νφέρετε με τι ισύτι βθμός τυ γινμένυ δύ μη μηδενικών πλυωνύμων Γ. Ν συμπληρώσετε τις ισότητες:. log = β. log 1 = γ. log θ 1 + log θ = κ δ. log θ = Μνάδες 5 Δίνετι θ, θ 1, θ >0, 0< 1, κ Μνάδες 8 Θέμ Α. Ν δείξετε ότι: ημ 3 συν + συν 3 ημ = 1 ημ Μνάδες 15 Β. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ συν + συν 3 ημ = 1 4 3 3 Δίνετι τ πλυώνυμ : Ρ() = (κ +1) + (κ 1) + κ Α. Αν τ Ρ() έχει ρίζες τ ν βρεθεί κ Β. Αν κ = ν λυθεί η εξίσωση Ρ() = Μνάδες 15 Θέμ 4 Δίνετι η συνάρτηση: f() = log(4 8) log log7 A. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της f() Μνάδες 6 4 8 Β. Ν δείξετε ότι: f() = log Μνάδες 9 7 Γ. Ν λύσετε την εξίσωση f() = 0
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 73 Α. Ν πδείξετε ότι: Τ υπόλιπ τη ς διίρεσης ενός πλυωνύμυ Ρ() με τ p είνι ίσ με την τιμή τυ πλυωνύμυ γι = p. Είνι δηλδή υ = Ρ(p) Μνάδες 15 Β. Ν μετφέρετε στην κόλλ σς συμπληρωμένες τις πρκάτω πρτάσεις πυ νφέρντι στη συνάρτηση f() =, 0 < 1.. Τ πεδί ρισμύ της είνι τ.. β. Τ σύνλ τιμών της είνι τ γ. Είνι γνησίως ύξυσ ότν. δ. Είνι γνησίως φθίνυσ ότν ε. Η γρφική της πράστση τέμνει τν άξν y y στ σημεί Μνάδες 5 Γ. Πότε μι κλυθί ( ν ) ν, λέγετι ριθμητική πρόδς. Μνάδες 5 Θέμ Δίνετι η εξίσωση συν Α. Ν πδείξετε ότι συν = 11συν 1 = 0 με π < < π 1 4 Β. Ν υπλγίσετε τ ημ κι τ συν Μνάδες 15 Δίνντι τ πλυώνυμ Ρ() = 3 4 6 3 + 5 + β +,, β κι Q() = 3 +. A. Ν βρείτε τ πηλίκ π() κι τ υπόλιπ υ() της δι ίρεσης Ρ() : Q() κι ν γράψετε την τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης Β. Ν λύσετε την νίσωση Ρ() > υ() Μνάδες 7 Γ. Ν βρείτε τις τιμές των κι β γι τις πίες τ Q() είνι πράγντς τυ Ρ(). Δίνετι η συνάρτηση f() = e ln3 1, 3 Μνάδες Α. Ν εξετάσετε ν η γρφική πρά στση της f διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. 8 Β. Αν ισχύει f ( 1) =, ν βρείτε την τιμή τυ. 3 Γ. Γι = ln9 Μνάδες. Ν πδείξετε ότι f() = 3 Μνάδες 5 3 1 1 β. Ν λύσετε την νίσωση: f() > 3 009 3 1 8 5 Μνάδες 5
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 74 Θέμ 1 Α. Απδείξτε ότι τ υπόλιπ της διίρεσης ενός πλυωνύμυ Ρ() με τ - ρ είνι ίσ με την τιμή τυ πλυωνύμυ γι = ρ. Είνι δηλδή υ = Ρ(ρ). Μνάδες 13 Β. Συμπληρώστε 1. ν συν = συνθ ττε =. συν( β) =. 3. ημ( β) =.. 4. εφ( β) =. χ 5. log = 0 < 1 6. log = 0 < 1 Μνάδες 6 Θέμ Α.. Λύστε την εξίσωση ημχ = 1. Μνάδες 5 β. Αν σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει ημα συνβ + συνα ημβ =1 δείξτε ότι είνι ρθγώνι. Β. Δείξτε ότι: Θέμ 3 ημ 1 συν Δίνετι τ πλυ ώνυμ Ρ() = 3 + 6. = σφ. Υπλγίστε τ ώστε τ Ρ() ν έχει πράγντ τ χ 1. Μνάδες. 7 β. Βρείτε τις κέριες ρίζες της Ρ() = 0 γι = 5. γ. Βρείτε τ υπόλιπ της διίρεσης Ρ():( - 1) γι = 5. Μνάδες 8 Έστω η συνάρτηση f() = log(4 4) log log3.. Βρείτε τ πεδί ρισμύ της f. Μνάδες 5 4 4 β. Δείξτε ότι f(χ) = log 3 Μνάδες 8 γ. Λύστε την εξίσωση 4 3 4 = 0 δ. Σε πι σημεί η γρφική πρ άστση της f τέμνει τν άξν ; Μνάδες
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 75 Α. Αν συν( + β) 0κι συν 0, συνβ 0 ν πδείξετε ότι εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε στην κόλλ σς με Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθς) τις πρκάτω πρτάσεις: 1. ημ( + β) = ημ + ημβ. Αν log θ = τότε = θ 3. Αν ( + ρ) πράγντς τυ πλυωνύμυ P() τότε P( ρ) = 0 4. 1 συν ημ = 5. Γι κάθε, (0, + ) ισχύει log( ) = (log ) + (log ) Θέμ 1 Ν πδείξετε ότι: ημ = εφ 1+ συν 1 1 Μνάδες. 15 + 10 Ν λυθεί η εξίσωση συν ημ 1 = 0στ 0, π Μνάδες 11 + 14 3 Δίνετι τ πλυώνυμ P() = (5 + β) + 10 β + 1, όπυ, β πργμτικί - ριθμί. Α. Ν βρεθύν ι πργμτικί ριθμί, β ώστε τ πλυώνυμ 1 ν είνι πράγντς τυ πλυωνύμυ P () κι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωνύμυ P() με τ πλυώνυμ ν είνι ίσ με 3. Μνάδες 8 Β. Αν = κι β = 4. Ν κάνετε την λγριθμική διίρεση P() :( + 1) κι ν γράψετε την τυτότη- τά της β. Ν λύσετε την νίσωση P() 0. Μνάδες 8 + 9 Θέμ 4 f() = + ln e Δίνετι η συνάρτηση e + 4. Ν βρεθεί τ πεδί ρισμύ της β. Ν λυθεί η εξίσωση f() = ln 5 ln 3 γ. Ν λυθεί η νίσωση e e ln e + 4 > 0 Μνάδες 8 + 8 + 9
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 76 Α. Ν δείξετε ότι τ υπόλιπ της διίρεσης ενός πλυωνύμυ Ρ() με τ ρ είνι ίσ με την τιμή τυ πλυωνύμυ γι =ρ δηλδή υ=ρ(ρ). B. Επιλέξετε τ γράμμ πυ ντιστιχεί στη σωστή συνέχει της πρότσης: «Τ πλυώνυμ Ρ()=(3 ) 010 009 έχει πράγντ τ..». β. 1 γ. +1 δ. + 3 ε. 3 Μνάδες 3 Γ. Ν συμληρωθύν ι πρκάτω τύπι: ( ). log θ θ = με θ 1, θ > 0 Μνάδες 1 β. συν(+ β) =. Μνάδες γ. εφ( β) =.. με, β, β κπ + π γι κ Ζ Μνάδες Δ. Ν χρκτηρ ίσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθς (Λ) τις πρκάτω πρτάσεις :. β. e= θ lnθ = με θ > 0 Μνάδες ν 1 * logθ = logθ μεθ> 0, ν Ν Μνάδες ν ln γ. e = με > 0 Μνάδες Θέμ Α. Ν πδείξετε ότι: συν + β + συν ημ( + β) ( ) ( β) = εφ + εφβ (με τυς πιτύμεν υς περιρισμύς ν θεωρύντι δεδμένι) Μνάδες 15 Β. Ν λυθ εί η εξίσωση: συν ημ = 0 3 Δίνετι τ πλυώνυμ P() = + Α. Πιες είνι ι πιθνές κέριες ρίζες τυ P() ; Μνάδες 5 Β. Ν δείξ ετε ότι ριθμός 1 είνι ρίζ τυ P( ). Μνάδες 5 Γ. Ν βρείτε τ πηλίκ της διίρεσης τυ πλυωνύμυ Ρ() με τ πλυώνυμ + κι ν γράψετε την τυτότητ της Ευκλείδεις διί ρεσης τυ πλυωνύμυ Ρ() με τ πλυώνυμ +. Δ. Ν λύσετε την νίσωση Ρ() 6. Μνάδες 5 Δίνντι ι συνρτήσεις ( ) ( ) ( ) ( ) f = ln 4 κι g =ln 1 +ln3. Α. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ των πρπάνω συνρτήσεων. Β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = g( ). Γ. Γι πιες τιμές τυ η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι πάνω πό την ευθεί y = ln1 ln. Μνάδες 5
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 77 A. Ν πδείξετε ότι τ υπόλιπ της διίρεσης ενός πλυωνύμυ Ρ() με τ ρ είνι ίσ με την τιμή τυ πλυωνύμυ γι = ρ B. Ν δώσετε τν ρισμό: Πότε δύ πλυώνυμ Ρ() = ν ν + ν 1 ν 1 + + 1 + 0 κι Q() = β κ + β κ 1 κ κ 1 + + β 1 + β 0 με ν κ με πργμτικύς συντελεστές είνι ίσ Μνάδες 5 Γ. Ν πντήσετε στ φύλλ νφράς βάζντς Σ ή Λ δίπλ πό κάθε ριθμό. 3 Αν Ρ() = + β + γ κι, β, γ έχει ρίζ τ ρ, τότε γ είνι πλλπλάσι τυ ρ κ β. log θ = log κ θ 1 συν γ. συν = δ. Η εκθετική συνάρτηση f() = με >1 είνι γνησίως φθίνυσ ε. Αν ημ = ημθ = κπ ± θ, κ Θέμ. Ν λυθεί η εξίσωση συν + 3συν 1 = 0 Μνάδες 15 β. Γι π 0, ν βρεθεί τ συν Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = 3 ( +1) + ( 1) + τ πί έχει πράγντ τ Α. Ν βρείτε την τιμή τυ Μνάδες 7 Β.. Γι = ν γράψετε την τυτ ότητ της Ευκλείδεις Διίρεσης τυ Ρ() δι τυ + 3 Μνάδες 8 β. Ν λύσετε την εξίσωση Ρ() = Α. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης f() = Β. log( 1) 5 1. Ν πδείξετε ότι: lo 100 g 5 = 5 Μνάδες 5 β. Ν λύσετε την εξίσωση: log( 1) log( 1) lo g 5 6 5 +100 5 = 0
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 78 Α. Ν πδείξετε ότι ν >0 με 1, τότε γι πιδήπτε θ 1, θ >0 ισχύει: log ( θ 1 θ ) = log θ 1 + log θ Μνάδες 15 Β. Ν χρκτηρίσετε ως Σ(Σωστό) ή ως Λ(Λάθς) τις πρκάτω πρτάσεις: εφ. Ισχύει: εφ = 1+ εφ 1+ συν β. Ισχύει: συν = 1 συν γ. Σε μι ριθμητική πρό δ ισχύει: ν + 1 = ν ω. δ. Ισχύει: log = ε. Η συνάρτηση f( ) = με 0 < <1 είνι γνησίως φθίνυσ στ R. Θέμ Α. Ν πδείξετε ότι: ημ + ημ = εφ 1+ συν + συν Β. Ν λύσετε τη εξίσωση: ημ συν = 0 Μνάδες 15 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = 4 3 + 4 3 + + 6, Α. Ν βρείτε γι πι τιμή τυ, τ υπ όλιπ της διίρεσης τυ Ρ() δι τυ +1 είνι ίσ με τν ριθμό 6. Μνάδες 1 Β. Γι την τιμή τυ πυ βρήκτε στ ερώτημ (Α) ν λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0. Μνάδες 13 Σε ριθμητική πρόδ δίνντι ι όρι: = 1, 3 = log( +10), 4 = log4 Α. Ν βρείτε τ B. Γι = 10, τότε:. Ν πδείξετε ότι: 1 = log5 β. Ν πδείξετε ότι: + 4 +.. + 0 = 10 + 90log Μνάδες 8 Μνάδες 7
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 79 Α. Ν δείξετε ότι: ημ( + β) = ημ συνβ + ημβ συν Β. Τ ημ3 είνι ίσ με:. ημ συν ημ συν β. 1 συν3 γ. συν π + 3 δ. ημ6 συν3 ε. κνέν πό τ πρπάνω Μνάδες 5 Ν βρείτε τη σωστή πάντηση κι ν την ιτιλγήσετε. Γ. Τ πλυώνυμ Ρ() = 4 β + 5 κι g() = 4 + β + 5 β με β είνι ίσ γι κάθε ν β = Ν συμπληρώσετε τη σωστή πάντηση κι ν την ιτιλγήσετε. Δ. Οι ριθμί 3, + 4, 1είνι διδχικί όρι ριθμητικής πρόδυ τότε τ =. Ν συμπληρώσετε τη σωστή πάντηση κι ν την ιτιλγήσετε Μνάδες 5 Θέμ Α. Ν λύσετε την εξίσωση = ημ + συν Μνάδες 15 Β. Ν λύσετε την εξίσωση 1 + συν = (συν 1) Θέμ 3 g() = Έστω πλυ ώνυμ Ρ() βθμύ ν > κι, 0. Α. Ν γράψετε γι τ πλυώνυμ υτά την τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης Ρ() : g() Β. Ν πδείξετε ότι τ υπόλιπ της διίρεσης Ρ() : g() είνι: Θέμ 4 υ() = Ρ() Ρ( ) Ρ() + Ρ( ) + Έστω η συνάρτηση f() = 3. 3 Μνάδες 3 Μνάδες 17 Γ. Στη συνέχει ν βρείτε τ υπόλιπ της διίρεσης τυ Ρ() = + + + 1 δι τυ g() = 1 χωρίς ν γίνει η διίρεση, Μνάδες 5 A. Ν λυθεί η εξίσωση 3f() 6f() 9 = 0 Μνάδες 8 Β. Ν λυθεί η νίσωση f( + 1) f(3) >f(0) Μνάδες 4 Γ. Αν >0 κι f() =. Ν βρείτε τ Μνάδες 4 β. Ν δείξετε ότι: f(5) = 3 Μνάδες 3 γ. Ν δείξετε ότι: 5 < < 4 5 Μνάδες 7
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 80 Θέμ 1 Α. Ν πδειχτεί ότι έν πλυώνυμ Ρ() έχει πράγντ τ pν κι μόν ν τ p είνι ρίζ τυ Ρ (), δηλδή ν κι μόν ν Ρ(p) = 0 Μνάδες 9 Β. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω πρτάσεις πυ κλυθύν γράφντς στ τετράδιό σς, σν Σωστό ή Λάθς.. Ο βθμός κάθε μη μηδενικύ πλυωνύμυ είνι φυσικός ριθμός β. Κάθε πλυώνυμ νιωστύ βθμύ έχει τυλάχιστν ν ρίζες πργμτικές γ. Τ άθρισμ ή η διφρά δύ μη μηδενικών πλυωνύμων τυ ίδιυ βθμύ είνι ίδιυ βθμύ πλυώνυμ πάντ δ. 10 = θ = lnθ ε. lnθ = 1 θ = e στ. ln θ = lnθ, γι κάθε θ >0 Μνάδες 1 Γ. Ν συμπληρώσετε τ κενά e lnθ log5 =. κι 10 =.. Μνάδες Δ. Από τ πρκάτω ν πντήσετε στ τετράδιό σς πι είνι τ Σωστό:. συν = ημ 1 β. συν = ημ συν γ. συν = 4ημ 1 δ. συν = συν 1 Μνάδες Θέμ Αν 3συν + 5συν = 0 κι ημ >0, ν υπλγιστύν τ πρκάτω:. συν Μνάδες 7 β. ημ Μνάδες 4 γ. ημ Μνάδες 7 δ. συν Μνάδες 7 Δίνετι τ πλυώνυμ: Ρ() = 3 λ μ λ, μ R Α. Ν βρεθύν τ λ, μ ώστε τ Ρ() διιρύμεν με τ ( 1) ν δίνει υπόλιπ, ενώ διιρύμεν με δίνει υπόλιπ 4 Μνάδες 13 Β. Γι μ = 0 κι λ = 1 ν λυθεί η νίσωση Ρ() 4 Μνάδες 1 Α. Γι πιες τιμές τυ ρίζντι ι συνρτήσεις: f() = e κι g() = ln( e ) Μνάδες 13 Β. Ν λυθεί η νίσωση g() Μνάδες 1
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 81 Α. Αν >0 με 1, τότε γι πιυσδήπτε θ 1, θ > 0 ισχύει: log (θ θ ) = logθ 1 1 + logθ Μνάδες 15 Β. Ν χρκτηρίσετε τις πρτάσεις πυ κλυθύν, γράφντς στ φύλλ σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθς δίπλ στν ριθμό πυ ντιστιχεί σε κάθε πρότση:. συν = συν 1 β. Αν δύ πλυώνυμ έχυν ίσες τιμές γι όλες τις τιμές τυ, τότε τ πλυώνυμ υτά είνι ίσ. γ. Οι μη μηδενικί ριθμί, β, γ είνι διδχικί όρι ριθμητικής πρόδυ ν κι μόν ν ισχύει: β = γ δ. >0, μ κέρις κι ν θετικός κέρις τότε: μ ν = ν μ ε. Αν >0 με 1 κι γι κάθε θ >0 τότε: = θ = log θ Θέμ 3 Δίνετι τ πλυώνυμ: f() = + β 4, β Α. Αν τ f() έχει πράγντ τ ( 1) κι τ υπόλιπ της διίρεσης τυ f() με τ ( + 1) είνι 10 ν υπλγίσετε τυς, β. Μνάδες 15 Β. Γι = 1 κι β = ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης g() = f() Θέμ 3 Α. Ν λυθεί η εξίσωση: ημ 3 + 3 συν 11ημ + 9 = 0 (1) στ διάστημ [0, π] Μ νάδες 10 Β. Αν είνι η μικρότερη ρίζ της (1) ν βρείτε γι πιες τιμές τυ ν ισχύει: συν + συν + + νσυν 5 3. Μνάδες 15 1 + ά Δίνετι η συν ρτηση: f() = 4 ln με. ln Α. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της κι ν πδείξετε ότι: ν f(e ) = 15 τότε = 1 Μνάδες 13 1 Β. Ν δείξετε ότι: f() + f = 0 Μνάδες 5 1 Γ. Γι = 1 ν λυθεί η νίσωση: f() + f 6 Μνάδες 7
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 8 Α. Ν πδείξετε ότι: συν = συν 1. Β. Πότε ένς ριθμός ρ είνι ρίζ ενός πλυωνύμυ P(). Μνάδες 5 Γ. Ν χρκτηρίσετε ως σωστό ή λάθς τις πρκάτω πρτάσεις.. e ln =, β. εφ = 1+εφ, εφ γ. log δ. Γι τη συνάρτηση f() = 1, > 1 ισχύει: 1 < τότε >. ε. log (θ 1 θ ) = log θ log θ 1 Θέμ π εφ + 1 Α. Ν πδείξετε ότι: εφ( ) + σφ = Μνάδες 15 4 εφ +εφ π Β. Ν λυθεί η εξ ίσωση: εφ( ) + σφ = 1 4 Α. Αν τ πλυώνυμ P() = 4 + 3 ( 3 +1 ) + 4 έχει πράγντ τ ( +1) ν βρεθεί R. Β. Γι = ν λυθεί η νίσωση P() 0 Μνάδες 15 Α. Δίνετι η συνάρτηση f(), 0 με lnf() = + β,, β R Β. Ν λυθεί η εξίσωση: f() = 3 16 θεί η νίσωση f() Α. Ν λυ 1 3 Μνάδες 5 Μνάδες 15
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 83 Α. N πδειχθεί ότι εφ( + β ) = συν( + β ) 0. B. Ν συμπληρωθύν ι ισότητες :. συν( + β ) = εφ + εφ β 1 - εφ εφ β, όπυ συν 0, συν β 0 κι Μνάδες 13 β. ημ = γ. log ( θ 1 Θέμ θ ) =..., όπυ, > 0, 1 κι θ > 0, θ > 0 1 log θ δ. =..., όπυ > 0, με 1 κι θ > 0 Μνάδες 1 ( ) ( ). Ν πδειχθεί ότι : συν χ + π + συν χ - π = συν χ 3 3 β. Ν λυθεί η εξίσωση : συν ( χ + π π ) + συν( χ ) = 3 3 γ. Από τις λύσεις πυ βρήκτε στ ερώτημ β., ν βρείτε εκείνες πυ νήκυν ( 0, π ) Μνάδες 9 + 8 + 8. Ν λυθεί η εξίσωση : χ χ 9 8 3-9 = 0 ( ) χ χ 1 β. Ν λυθεί η νίσωση : 1 > 1 γ. Ν λυθεί η εξίσωση : log( χ + 1) log χ = log Μνάδες 9 + 8 + 8 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ( χ ) = χ 3 + χ + β χ + 6.. Aν τ Ρ( χ ) έχει πράγντ τ χ 1 κι Ρ( 1 ) = 8, ν πδείξετε ότι = κι β = 5. β. Γι τις τιμές των κι β πυ βρήκτε στ ( ) ερώτημ ν λύσετε την νίσωση Ρ( χ ) 0. Μνάδες 1 + 13
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 84 Θέμ 1. Ν πδείξετε ότι εφ( + β) = εφ + εφβ 1 εφ εφβ β. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω ισότητες: ημ = ημ( + β) = συν 1 =.. συν συνβ + ημ ημβ =. Μνάδες 6 γ. Ν συμπληρώσετε τις πρκάτω σχέσεις (όλες ι σχέσεις είνι σωστά ρισμένες): log (θ 1 θ ) = ln e =. ln 1 =. log >0... log 10 = log log θ 1 =. θ =. ln 3 =.. ln <0... Μνάδες 9 Θέμ Ν λύσετε την εξίσωση: συν + 3συν = 0 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = 3 3 (λ λ) (λ λ ) (λ 1) +1 λ Μνάδες 5. Ν βρείτε τ βθμό τυ γι τις διάφρες τιμές τυ πργμτικύ ριθμύ λ. Μνάδες 9 β. Αν τ Ρ() είνι τρίτυ βθμύ κι τ 1διιρεί τ Ρ(), ν βρείτε τν πργμτικό ριθμό λ. Μνάδες 8 γ. Αν λ =, ν βρείτε γι πιες τιμές τυ πργμτικύ ριθμύ η γρφική πράστση τυ Ρ() βρίσκετι πάνω πό τν άξν. Μνάδες 8 +1 Δίνετι η εκθετική συνάρτηση f() =, 1. Ν βρείτε τις τιμές τυ ώστε η f ν είνι γνησίως φθίνυσ Μνάδες 9 β. Αν η f είνι γνησίως φθίνυσ ν βρείτε την τιμή τυ πργμτικύ ριθμύ, έτσι ώστε: f(1) f() = f(3) Μνάδες 8 γ. Γι = 1ν λύσετε την νίσωση f() > e Μνάδες 8
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 85 Θέμ 1 ΘΕΜΑ ΤΑ Α. Αν θ 1, θ θετικί ριθμί κι 0 < 1 ν πδείξετε ότι log ( θ θ ) = log θ + 1 1 logθ Β. Ν συμπληρώσετε στην κόλ σς τυς πρκάτω τύπυς:. ημ =.. β. ημ( β) =.. Μνάδες 13 γ. εφ( + β) =.. δ. log10 =.. ε. e lnθ = θ >0 στ. lne κ =.. κ Μνάδες 1 Θέμ Α. Ν πδείξετε ότι: συν( β) συν( + β) συν( β) + συν( + β) = εφ εφβ Μνάδες 1 Β. Ν λυθεί η εξίσωση: συν + 3συν = 0 Μνάδες 13 Θέμ 3 Δίνετι η συνάρτηση f() = ln(3 11) ln( 5) A. Ν βρεθεί τ πεδί ρισμύ της Β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = Μνάδες 15 Α. Ν βρε θύν ι ριθμί, β ώστε τ πλυώνυμ Ρ() = 5 3 + + β 6 ν έχει πράγντ τ 1κι ρίζ τ. Μνάδες 13 Β. Αν = 5 κι β = 5 ν λύσετε την νίσωση Ρ() >0 Μνάδες 1 4
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 86 Α. N πδείξετε ότι έν πλυώνυμ P() έχει πράγντ τ ρ ν κι μόν ν τ ρ είνι ρίζ τυ P(), δηλδή ν κι μόν ν P(ρ) = 0. Μνάδες 8 Β. Ν γράψετε στ τετράδιό σς τ γράμμ πυ ντιστιχεί στη σωστή πάντηση. ( ). Η πράστση ημ + συν ισύτι με: Α: 1 + ημ Β: 1 + συν Γ: 1 ημ Δ: συν Ε : Τίπτε πό τ πρηγύμεν β. Έστω P() έν πλυώνυμ τυ κι ρ ένς πργμτικός ριθμός. Αν π() είνι τ πηλίκ κι υ() τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωνύμυ P() με τ πλυώνυμ (-ρ), τότε, τ υπόλιπ υ() είνι : Α: Πάνττε πλυώνυμ ίδιυ βθμύ με τ P(). Β: Πλυώνυμ πρώτυ βθμύ. Γ: Στθερό πλυώνυμ. Δ: Πάνττε τ μηδενικό πλυώνυμ. Μνάδες 4 Γ. Ν χρκτηρίσετε τις πρτάσεις πυ κλυθύν, γράφντς στ τετράδιό σς την ένδε- ιξη Σωστό ή Λάθς δίπλ στ γράμμ πυ ντιστιχεί σε κάθε πρότση.. Αν ι ριθμί, β, γ είνι διδχικί όρι γεωμετρικής πρόδυ τότε β = + γ. β. Αν τ πλυώνυμ P() = 000 + λ, όπυ λ πργμτικός ριθμός, έχει πράγντ τ 1, τότε τ λ = 1.. Ι log logβ = log β γι κάθε, β > 0. γ σχύει ότι ( ) 4 δ. Η συνάρτηση f() = είνι γνησίως ύξυσ π ε. Κάθε στθερό πλυώνυμ είνι πρώτυ βθμύ. Δ. Ν δώσετε τν ρισμό της γεωμετρικής πρόδυ. Μνάδες 3 Θέμ Δίνντι ι ριθμί = συν, = συν 1, 3 = 1, όπυ η γωνί ικνπιεί τη σχέση π 0 < <.. Ν πδείξετε ότι υτί ι ριθμί, με τη σειρά πυ δίνντι, πτελύν διδχικύς όρυς ριθμητικής πρόδυ. Μνάδες 7 β. Ν βρείτε τη διφρά ω υτής της πρόδυ. Μνάδες 8 γ. Ν βρείτε τ άθρισμ των πέντε πρώτων όρων της πρόδυ. Δίνετι τ πλυώνυμ P() = 3 4 + 4.. Ν πδείξετε ότι ριθμός ρ = 1 είνι ρίζ τυ πλυωνύμυ Ρ(). β. Ν βρείτε τ πηλίκ της διίρεσης τυ πλυωνύμυ Ρ() με τ (-1). γ. Ν λύσετε την εξίσωση: 3 + 4 = + 4 δ. Ν λύσετε την νίσωση : Ρ () 0 Μνάδες 5 + 7 +8 +5 e -1 Δίνετι η συνάρτηση f() = ln e + 5.. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της f(). Μνάδες 5 β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = ln. γ. Ν λύσετε την νίσωση f() > 0.
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 87 Α. Ν δείξετε ότι συν = συν 1 Β. Σημειώστε Σ, Λ στις πρκάτω πρτάσεις Μνάδες 15. Ισχύει 1 + συν ημ = β. Ισχύει ημ = ημσυν γ. Η f() = με 0 < < 1 είνι γνησίως φθίνυσ στ δ. Η f() = log έχει πεδί ρισμύ τ (0, + ) ε. Αν > 0 με 1 θ 1, θ > 0 κι, τότε ισχύει Θέμ θ1 logθ1 logθ = log θ π π. Ν δείξετε ότι συν + + συν = 4 4 συν β. Ν λύσετε την εξίσωση π π συν + + συν = 1 4 4 Μνάδες 13 + 1 3 Έστω τ πλυώνυμ P() = + + β 6 με, β Α. Αν τ 1 είνι πράγντς τυ P() κι τ είνι ρίζ τυ P(), ν υπλγίσετε τ, β. Β. Αν = 6 κι β = 11 Μνάδες 9. Ν λύσετε την εξίσωση P() = 0 Μνάδες 8 P() 1 β. Ν λύσετε την νίσωση >1 Μνάδες 8 e Δίνντι ι συνρτήσεις : ( ), g() = ln3 + ln ( e 1) f() = ln e e + 3. Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ των f( ), g() Μνάδες 8 β. Ν λύσετε την εξίσωση f() = g() Μνάδες 8 γ. Ν λύσετε την νίσωση f() > g() Μνάδες 9
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 88 Α.. Έστω η πλυωνυμική εξίσωση: ν ν-1 ν ν 1 1 0 + +...+ + = 0 με κέριυς συντελεστές. Αν κέρις ρ 0 είνι ρίζ της εξίσωσης, ν πδείξετε ότι ρ είνι διιρέτης τυ στθερ ύ όρυ 0. β. Τι νμάζυμε λγάριθμ τυ θ > 0 με βάση όπυ 0< 1 Μνάδες 5 Β. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω πρτάσεις ως σωστές (Σ) ή ως λάθς (Λ). Ισχύει ότι: β. Τ υπόλιπ της διίρεσης τυ πλυωνύμυ P() με τ (χ-ρ) ισύτι με τ P(ρ) Σ Λ γ. Τ μηδενικό πλυώνυ μ έχει βθμό μηδέν. Σ Λ 1 δ. Η συνάρτηση f() = συν = ημ συν, Σ Λ X είνι γνήσ ι ύξυσ στ R Σ Λ ε. Αν > 0 με 1, τότε γι πιυσδήπτε θ 1, θ > 0 ισχύει: ( ) log θ θ = log θ + log θ Σ Λ 1 1 Θέμ ( ) 3 3 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = λ 3 λ + 1 + 11 6. Ν βρείτε τις τιμές τυ λ, ώστε τ 1 ν είνι ρίζ τυ πλυωνύμυ Ρ() Μνάδες 8 β. Γι λ = 1 ν λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 Μνάδες 8 γ. Γι λ = 1 ν λύσετε την νίσωση Ρ() <0 Μνάδες 9 Θέμ 3 π. Ν δείξετε ότι ημ + συν = ημ + 4 Μνάδες 1 β. Ν λύσετε την εξίσωση ημ(πln) + συν(πln) = 1 Μνάδες 13 ln lnλ Δίνετι η συ νάρτηση f( ) = e + lnλ,με λ > 0 κι ( 0, + ). Αν η γρφική πράστση της f διέρχετι π ό τ Α(1,1) ν βρεθεί η τιμή τυ λ β. Γι λ= e ν πδείξετε ότι Μνάδες 6 f() = + 1 Μνάδες 6 γ. Ν πδείξετε ότι f(συνθ) = συν4θ + 4ημ θ + 1 Μνάδες 7 συν4θ δ. Ν λύσετε την εξίσωση f(συνθ) = 1 + Μνάδες 6
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 89 Α. Έστω 1 κι ι ρίζες της εξίσωσης + β + γ = 0 με 0. Ν πδείξετε ότι: β γ. + 1 = β. 1 = Β. Πότε μί συνάρτηση f με πεδί ρισμύ τ Α λέγετι περιττή; Γ. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω πρτάσεις με την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθς (Λ).. Αν η συνάρτηση f με πεδί στ Α τότε γι κάθε, 1 Aισχύει ότι: ν < τότε f( ) > f( ) 1 1 β. Ισχύει ότι μ ν+ρ = όπυ 0 κι ν, μ φυσικί με ν, μ γ. Έστω η συνάρτηση πρόσημ στ R τότε Δ < 0. δ. Ισχύει ότι f() = + βχ + γ με 0 ν ι τιμές της + β = + β γι κάθε, β R. ε. Τ σημεί Α (1, ) κι Β (-1, ) είνι συμμετρικά ως πρς τν. Θέμ Δίνντι ι ευθείες ε 1, ε με 1 εξισώσεις ε : y = λ + 009, λ R ε : y = 3 + μ 5, μ R. Ν β ρεθύν ι τιμές τυ λ ώστε ε 1 // ε. Μνάδε ς 10 + 5 + 10 β. Ν βρεθεί η τιμή τυ μ ν η ευθεί ε διέρχετι πό τ Β (3, 4). f διτηρύν στθερό γ. Ν βρεθεί τ σημεί Γ τ πί είνι συμμετρικό τυ Β ως πρς τ Ο (0,0). δ. Ν βρεθεί τ μήκς τυ τμήμτς ΒΓ. Δίνετι η συνάρτηση Μνάδες 8 + 7 + 5 + 5 γ. Ν μελετήσετε την μντνί της f στ δι άστημ (, 0) δ. Ν λυθεί η νίσωση: 3 f() = + 18, R.. Ν εξετάσετε ν η f είνι άρτι ή περιττή β. Ν πρσδιρίσετε τ κρόττ της f Δίνετι η συνάρτηση f με τύπ: f() ( 4 + 3) > 0 + 1 Μνάδες 6 + 6 + 5 + 8 f() = λ (λ 1) λ +, λ 0 κι R. Ν πρσδιριστύν ι τιμές τυ λ ώστε η f ν διτηρεί πρόσ ημ γι κάθε R β. Ν πρσδιριστύν ι τιμές τυ λ, ώστε η εξίσωση f() = 0 ν έχει ρίζες ετερόσημες. γ. Ν λυθεί η νίσωση S< λ όπυ S τ άθρισμ των ριζών της εξίσωσης + 8 + 7 f() = 0
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 90 Α. Ν πδείξετε ότι ν >0 με 1 τότε γι πιυσδήπτε θ, θ >0 ισχύει: 1 log (θ 1 θ ) = log θ 1 + log θ B. Ν χρκτηρίσετε τις επόμενες πρτάσεις με τη λέξη Σωστό ή Λάθς εφ + εφβ. εφ( + β) = με συν( + β) 0, συν 0, συνβ 0 1 εφ εφβ Μνά δες 10 β. συν( β) = συν συνβ ημ ημβ γ. Τ υπόλιπ της διίρεσης ενός πλυωνύμυ Ρ() με τ + ρ είνι ίσ με Ρ(ρ). δ. Αν 0 < 1 κι θ, κ R με θ >0 τότε log θ κ = κlog θ ε. Αν 0 < 1 < τότε ln 1 < ln Μνάδες 15 Θέμ Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = 3 + β + 6 Α. Ν πρσδιριστύν τ, β ώστε τ πλυώνυμ Ρ() ν έχει πράγντες τ + κι 3 Μνάδες 1 Β. Γι = κι β = 5 ν λυθεί η νίσωση Ρ() >0 Μνάδες 13 Α. Ν λυθεί η εξίσωση ημ συν = 0 B. Ν πδείξετε ότι:. (συν + ημ) = 1 + ημ Μνάδες 7 β. (1+ ημ)(συν ημ) = συν Μνάδες 8 συν + ημ ε f() = log(11 Δίνετι η συνάρτηση f μ 7 + 10) log 1 A. Ν βρεθεί τ πεδί ρισμύ της Β. Ν βρεθύν τ σημεί στ πί η γρφική πράστση της f τέμνει τν άξν Μνάδες 15
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 91 Α. Ν πδείξετε ότι: Τ υπόλιπ της διίρεσης ενός πλυωνύμυ Ρ() με τ ρ είνι ίσ με την τιμή τυ πλυωνύμυ γι = ρ. Είνι δηλδή u = P(ρ) Μνάδες 15 Β. Ν χρκτηρίσετε ως Σωστή ή Λάθ ς κθεμί πό τις πρκάτω πρτάσεις:. Τ μηδενικό πλυώνυμ έχει βθμό ίσ με μηδέν β. Αν τ Ρ(ρ) = 0, τότε τ ρ λέγετι ρίζ τυ πλυωνύμυ Ρ() γ. Αν >0 με 1, τότε γι πιδήπτε θ 1, θ >0 ισχύει: log (θ 1 θ ) = log θ 1 log θ δ. ln1 = ε. log100 = Θέμ Α. Ν ντιστιχίσετε κάθε στιχεί της 1 ης στήλης με έν μόν στιχεί της ης στήλης η 1 ΣΤΗΛΗ η ΣΤΗΛΗ 1. ημ( β). ημ ημβ συν συνβ. ημ β. ημ συν 3. συν γ. ημ συνβ συν ημβ 4. συν( β) δ. συν συνβ + ημ ημβ ε. συν 1 στ. 1 συν Μνάδες 8 Β. Ν λυθεί η εξίσωση: συν 3συν 1 = 0 Μνάδες 8 Γ. Ν λυθεί η εξί 3 + ln 4 5 σωση: ln + ln +. + ln 1 = 150 Μνάδες 9 Δίνετι τ πλυώνυμ Ρ() = 4 3 + + β + 1 A. Ν πρσδιριστύν ι πργμτικί ριθμί κι β ώστε τ πλυώνυμ Ρ() ν έχει Α. Δίνετι η ριθμητική πρόδ ς 39, 3, 5, β. πράγντ τ ( + 1)( ) Μνάδες 13 Β. Γι τις τιμές των κι β πυ βρήκτε, ν λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 0 41 Μνάδες 1. Ν βρείτε τυς όρυς 18 κι 41 Μνάδες 4 Πόσι είνι ι θετικί όρι της ριθμητικής πρόδυ; Μνάδες 5 γ. Ν υπλγίσετε τ άθρισμ S = 19 + +. + Μνάδες 8 Β. Ν λυθεί η εξίσωση: log( 6) + log( 7) = 1 log5 Μνάδες 8
1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 9