MEHANIKA Osnoni pojmi, principi in metode mehanike togega in trdnega telesa
Mehanika je naraoslona eda, ki se ukarja s preučeanjem gibanj in gibalnih stanj teles, nastalih zaradi deloanja zunanjih zroko sil. Glede na gibalno stanje delimo mehaniko na: STATIKO in KINETIKO. STATIKA raziskuje pogoje miroanja in ranotežja teles pod pliom sil. KINETIKA raziskuje in opisuje pogoje gibanja teles. 2
Glede na razsežnosti in agregatna stanja teles delimo mehaniko na: mehaniko točkastega telesa mehaniko sistema točkastih teles mehaniko togega telesa mehaniko trdnega telesa mehaniko tekočin. 3
Točkasto telo Točkasto telo je model telesa, s katerim proučujemo gibanje sega telesa s predpostako, da je njem združena sa sno, ne glede na obliko telesa. Zaradi razsežnosti ( dimenzij ) točkastega telesa lahko predpostaimo, da nanj delujejo samo zunanje sile. 4
Sistem točkastih teles Sistem točkastih teles Sistem točkastih teles je množica eč točkastih teles, med katerimi poleg zunanjih delujejo tudi notranje sile. 5
Togo telo Togo telo Togo telo je model telesa, ki pod pliom sil ne spremeni soje oblike ( se ne deformira ). 6
Definicija sil in njihoa delite V mehaniki definiramo s silo sak zrok, ki skuša spremeniti gibalno stanje nekega telesa. Silo definiramo tudi kot pli nekega telesa na drugo, opazoano telo. Zelo pogosta delite sil mehaniki je naslednja: aktine in pasine sile zunanje in notranje sile 7 olumske in poršinske sile.
Aktine in pasine sile Aktine sile so sile, ki skušajo telo spraiti gibanje. Mednje urščamo silo teže, različne lečne sile, pritisk etra... Pasine sile so sile, ki nasprotujejo gibanju telesa. Mednje urščamo različne upore ( upor zraka, upor trenja, upor podpor...). 8
Zunanje in notranje sile Zunanje sile so sile, ki delujejo na neko telo od zunaj. Notranje sile so sile, s katerimi se neko telo upira deloanju zunanjih sil. 9
Volumske in poršinske sile Sile, porazdeljene po sej prostornini telesa, imenujemo olumske ali prostorninske sile. Sile, porazdeljene po poršini telesa, imenujemo poršinske sile. 10
Geometrijska podoba sile Sila je ektorska količina, zato je enolično določena z naslednjimi parametri: elikostjo ( jakostjo ) smerjo usmerjenostjo 11 prijemališčem.
Osnoni principi in zakoni mehanike Mehanika je zgrajena na sojih principih (aksiomih) in zakonih, ki jih narai ugotoimo s prailnim in temeljitim opazoanjem ter s prailnimi zaključki. Statika togega telesa je zgrajena na treh osnonih aksiomih: aksiom o prenosnosti sile, aksiom o ranotežnem paru sil in aksiom o paralelogramu sil. 12
Aksiom o prenosnosti sile Statičen pli sile na togo telo ostane nespremenjen, če njeno prijemališče P prenesemo katerokoli točko P 1, P 2,... premice smernice p ektorja. 13
Aksiom o ranotežnem paru sil Na togem telesu se statično stanje ne spremeni, če nanj dodamo ali odzamemo poljubni ranotežni par sil. 14
Aksiom o paralelogramu sil Statičen pli deh sil s skupnim prijemališčem na togo telo je isti, kot če ju nadomestimo z eno samo silo, njuno rezultanto. 15
Newtonoi zakoni 1. Newtono zakon 16 Telo miruje ali se giblje premo enakomerno, če nanj ne deluje nobena sila oziroma če je rezultanta naj delujočih sil nična. n 0 oz. const. i 0 i 1
2. Newtono zakon Pospešek je sorazmeren s silo in ima smer sile. m a 17
3. Newtono zakon Če deluje pro telo na drugo telo s silo, deluje drugo telo na pro z nasprotno enako silo. 21 12 18
Interpretacija Newtonoih zakono 19
Statika togega telesa 1. Sile in momenti ranini in prostoru 2. Statično določeni podprti nosilci
1.1 Predstaite sile z ektorjem ranini in prostoru Za nazorno predstaite sil nekem prostoru uporabimo praokotni koordinatni sistem, katerem lahko sako silo enolično razstaimo na praokotne komponente. 21
22 1.1.1 Sila ranini 1.1.1 Sila ranini Silo ranini p.k.s. razstaimo na de praokotni komponenti x in y. x y y x y x y x y x y x tg j i + + + α α α 2 2 sin cos ), (
23 1.1.2 Sila prostoru 1.1.2 Sila prostoru Silo prostoru p.k.s. razstaimo na tri med seboj paroma praokotne komponente x, y in z. 2 2 2 cos cos cos ),, ( z y x z y x z y x z y x z y x k j i + + + + + + γ β α
1.1.3 Osnone ektorske operacije s silami Ker so sile ektorske količine, eljajo zanje praila ektorskega računa. Vektorske operacije lahko izajamo geometrijsko ali pa analitično. Za statiko togega telesa so uporabne naslednje ektorske operacije: sešteanje odšteanje množenje s skalarjem. 24
1.1.4 Sešteanje, odšteanje in množenje s skalarjem Sešteanje in odšteanje sil geometrijsko izajamo po paralelogramskem ali trikotniškem prailu: 25 Analitično izajamo sešteanje, odšteanje in množenje sil s skalarjem po komponentah: ± (, ) ± (, ) ( ±, ± ) 1 2 x1 y1 x 2 y2 x1 x 2 y1 y 2 k k (, ) ( k, k ) x y x y
1.2 Sistem sil ranini Sistem sil imenujemo množico eč sil, ki istočasno delujejo na neko telo. V ranini splošni sistem sil delimo na: komplanarno-centralni sistem sil komplanarno-zporedni sistem sil kolinearni sistem sil. 26
1.3 Sistem sil prostoru V prostoru splošni sistem sil delimo na: prostorski-centralni sistem sil prostorski-zporedni sistem sil. 28
1.4 Centralni sistem sil Je sistem sil, katerem se sile oziroma njihoe smernice sekajo isti točki (C).. Praimo mu tudi sistem sil s skupnim prijemališčem. 30
1.4.1 Praktični primer centralnega sistema sil
1.4.2 Rezultanta centralnega sistema sil Rezultanta je sila, ki popolnoma nadomesti določen sistem sil na togo telo. Rezultanto centralnega sistema sil določamo : geometrijsko ( s pomočjo poligona sil ) analitično ( s pomočjo projekcijskih enačb ). 36 Sliko obremenite togega telesa s silami imenujemo legopis sil. V njem so sile narisane samo po legi in smeri merilu dolžin ( m ). L
1.4.3 Poligon ( mnogokotnik ) sil začetek naslednje in postopek ponaljamo tako dolgo, da Zeznica od začetka pre do konca zadnje sile predstalja Je slika sil, kjer so sile risane po smeri in elikosti določenem merilu sil ( m ). Dobimo ga tako, da h koncu poljubno izbrane pre sile zporedno dodamo začetek naslednje sile, na konec te zopet narišemo se sile. V splošnem dobimo odprt mnogokotnik sil. elikost rezultante sistema sil. 37
Legopis sil Poligon sil s 3 3 2 s 2 R 3 1 C s 1 1 2
1.4.4 Analitično določanje rezultante c.s.s. Analitično je rezultanta c.s.s. določena z ektorsko enačbo R + + +... 1 2 3 + n n i i 1 Dobljeno ektorsko enačbo lahko zapišemo s skalarnimi ( projekcijskimi ) enačbami za prostor in za ranino. 39
40 Rezultanta Rezultanta c.s.s. prostoru c.s.s. prostoru Komponentna Komponentna oblika: oblika: ),, ( z y x z y x z y x R R R k R j R i R R R R R + + + + Posamezne Posamezne komponentne komponentne : + + + + + + + + + + + + n i i i n i iz nz z z z z n i i i n i iy ny y y y y n i i i n i ix nx x x x x R R R 1 1 3 2 1 1 1 3 2 1 1 1 3 2 1 cos... cos... cos... γ β α Velikost Velikost rezultante rezultante : 2 2 2 z y x R R R R R + +
Rezultanta c.s.s. ranini Komponentna oblika: R R + R R i + R j x y x y ( Rx, Ry ) Posamezne komponentne : R R x y 1x 1y + + 2x 2y + + 3x 3y +... + +... + nx ny n i 1 n i 1 ix iy n i 1 n i 1 i i cosαi sinα i Velikost rezultante : R R + 2 2 R x R y 41
Smer rezultante določamo z naklonskimi koti proti koordinatnim osem: 42 prostoru: ranini: cosα cos β cosγ R R R tg α R Rx R R y R Rz R R R y x
Zaradi preglednosti in natančnega računanja rezultante nekega c.s.s. je primerno uporabljati tabele, katere našamo podatke po rsti ter na koncu izračunamo željene komponente rezultante. V našem primeru je podana tabela za c.s.s. ranini, ki se jo da izdelati programu Excel. i i α i cosα i 1 α 1 cos α 1 1 sinα i sin α 1 i cosα i i sinα i 1 cos α 1 1 sin α 1 2 2 α 2 cos α 2 sin α 2 2 cos α 2 2 sin α 2 3 3 α 3 cos α 3 sin α 3 3 cos α 3 3 sin α 3.............. 43 n n α n cos α n sin α n n cos α n n sin α n R x n i 1 cos α i i R y n i 1 sinα i i
V primeru, ko poznamo samo de sili in kot med njima (ϕ), lahko njuno rezultanto izračunamo s pomočjo kosinusoega izreka: 44 R 2 2 + + 2 1 2 1 2 cosϕ
1.4.5 Ranotežje centralnega sistema sil Pogoj za ranotežje centralnega sistema sil izhaja iz prega Newtonoega zakona, ki prai, da mora biti za miroanje oz. za premoenakomerno gibanje točkastega telesa rezultanta seh sil na njem nična: R n + + K + 1 2 n i i 1 0 Dobljena ektorska enačba elja za prostor in za ranino in jo imenujemo RAVNOTEŽNI POGOJ. 45
1.4.6 Ranotežne enačbe c.s.s. prostoru Ranotežni pogoj c.s.s. prostoru opišemo s tremi skalarnimi enačbami: R 0 R R R x y z So tri linearne enačbe, s katerimi določimo tri neznanke, ki pogojujejo ranotežje točkastega telesa prostoru. 46 n n ix i 1 i 1 n n iy i 1 i 1 n n iz i 1 i 1 i i i cos α cos β cos γ i i i 0 0 0
1.4.7 Ranotežni enačbi c.s.s. ranini Ranotežni pogoj c.s.s. ranini opišemo z dema skalarnima enačbama: R 0 R R x y n i 1 n i 1 ix iy n i 1 n i 1 i i cos α sin α i i 0 0 Sta de linearni enačbi, s katerima določimo de neznanki, ki pogojujeta ranotežje točkastega telesa ranini. 47
Ranotežna pogoja c.s.s. prostoru oziroma na ranini si lahko tudi geometrijsko predstaimo. Rezultanto c.s.s. geometrijsko iščemo s poligonom sil. Če je poligon sil sklenjen ( zaprt ) lik, je rezultanta sistema nična, saj se stikata začetek pre in konec zadnje sile. s 3 Legopis sil Poligon sil 3 3 2 s 2 1 C 4 R 0 2 s 1 1 4 48 s 4
1.4.8 Posebni primeri ranotežja c.s.s. ranini Ranotežje deh sil 1 Q 1 49 De sili sta ranotežju natanko takrat, kadar sta enako eliki in nasprotno usmerjeni.
Ranotežje treh sil 1 3 1 1 1 2 50 Tri sile so ranotežju natanko takrat, kadar je trikotnik sil sklenjen.
Ranotežje štirih in eč sil Štiri in eč sil je ranotežju, ko je mnogokotnik sil sklenjen. 51
1.4.9 Razstaljanje sile na komponente Silo razstaimo tako, da jo nadomestimo z eč silami, ki jih imenujemo komponente, katerih skupni učinek je enak protni sili. Razstaljanje sile je nasprotna operacija sestaljanju sil (sešteanju sil in iskanju rezultante). V centralnem sistemu sil lahko podano silo enolično prostoru razstaimo na tri komponente smereh treh premic, ki ne leže isti ranini. Na ranini lahko silo enolično razstaimo na de komponenti smereh deh nezporednih premic, ki skupaj z dano silo torita to ranino. 52
Razstaljanje sile na tri komponente prostoru (grafično) 53
Razstaljanje sile na tri komponente prostoru (analitično) Podano: ( x, y, z); s1, s2, s3, ni (cos αi, cos βi, cos γ i), i 1,2, 3 Iščemo: ( K1, K2, K3) Po staljanju in urejanju podatko dobimo sistem treh linearnih enačb oblike: K cos α + K cos α + K cos α 1 1 2 2 3 3 K cos β + K cos β + K cos β 1 1 2 2 3 3 K cos γ + K cos γ + K cos γ 1 1 2 2 3 3 y z x 54
Razstaljanje sile na de komponenti ranini (grafično) 55
Razstaljanje sile na de komponenti ranini (grafično) 2 Na osnoi trikotniškega oziroma paralelogramskega praila lahko podano silo razstaimo na de komponenti, katerih smernici oklepata kot 0 º < α 12 < 180 º. Pri tem so lahko podani naslednji podatki: smernici deloanja obeh komponent elikosti obeh komponent elikost, smernica in usmerjenost ene komponente 56 elikost ene in smernica druge komponente.
Razstaljanje sile na de komponenti ranini (analitično) Podano: Iščemo: ( x, y); s, s ( K, K ) 1 2 1 2, n (cos α, sin α ), i 1,2 i i i Po staljanju in urejanju podatko dobimo sistem deh linearnih enačb oblike: K cos α + K cos α 1 1 2 2 K sin α + K sin α 1 1 2 2 x y 58
Razstaljanje sile na de komponenti ranini (analitično) 2 Prej omenjeno analitično prailo razstaljanja sile na de komponenti ranini je prailo projekcij. Poleg tega lahko silo razstaimo s pomočjo sinusoega izreka: o β 180 ( α α ) γα α 2 1 δα α 2 1 59 K1 K2 sin β sin δ sin γ
1.5 Splošni sistem sil Splošni sistem sil opredelimo kot množico sil, katerih smernice se med seboj ne sekajo eni sami točki, ampak delujejo sile na togo telo na smernicah z različnimi prijemališči. 60
1.5.1 Statični moment sile Učinek deloanja sile na togo telo, ki je rtljio peto neki točki, nam ponazarja rtenje ali rotacija tega telesa okrog dane točke. Jakost rotacije merimo s statičnim momentom sile. 61
1.5.2 Elementi statičnega momenta 62
Statični moment sile je ektorska eličina in je definiran z ektorskim produktom krajenega ektorja prijemališča sile r in sile : i j k uur M r x y z y z i x z j + x y k x y z ( z y) ( z x) ( y x) M y z ; M z x ; M x y x z y y x z z y x Njegoa elikost znaša: uur M M M M ( x, y, z) M M r sin ϕ 63 Ker elja : a r sin ϕ dobimo : M a
1.5.3 Statični moment eč sil in njihoe rezultante Za statični moment eč sil in njihoe rezultante VARIGNONOV IZREK, ki prai: elja Moment rezultante glede na neko točko je enak soti momemto posameznih komponent glede na isto točko. 64 n M M M + M + K + M R i 1 2 i 1 M R a ; M a R i i i n
1.5.4 Dojica sil De enako eliki in nasprotno usmerjeni sili, delujoči na zporednih smernicah, imenujemo dojica sil. Dojica sil ima nično rezultanto, na togem telesu pa pozroča učinek rotacije okrog osi, praokotne na ranino dojice. 65
1.5.5 Moment dojice sil M a b + c ( c b) a V i i i 66 Moment dojice sil je enak produktu sile in medsebojne praokotne razdalje a med silama. Ni odisen od lege momentne točke (rtišča V) in je za dano dojico stalen.
1.5.6 Rezultanta in rezultirajoči moment splošnega sistema sil Splošni sistem sil ranini (komplanarni( sistem) Splošni sistem sil ranini torijo sile, ki delujejo tej ranini in mu praimo komplanarni sistem. Komplanarni sistem sil temelji na osnonih aksiomih statike,, zato predpostaimo, da je dana ranina togo ali del togega telesa. Izračun rezultante in momenta sil komplanarnega sistema temelji na že omenjenih prailih. 67
Redukcijsko prailo Silo na togem telesu smemo prenesti poljubno točko, če prenešeni sili dodamo moment dojice, ki je enak momentu protne sile glede na redukcijsko točko. Statični pli sile po redukciji ostane nespremenlji. 68
Po uporabi redukcijskega praila na danem komplanarnem sistemu imajo se sile skupno prijemališče (centralni sistem) in jih lahko nadomestimo z rezultanto: n R, R x ix y iy i 1 i 1 R R + R 2 2 x y n Podobno sestaimo se momente posameznih sil rezultirajoči moment: 69 n Lega in smer rezultante enačbama: n M a ( x y ) V i i i iy i xi i 1 i 1 a je določena z MV, tgα R R R R y x
Splošni sistem sil prostoru Splošni sistem sil prostoru sestaljajo sile, ki ne leže eni sami ranini. Takšen sistem sil nam tudi nazorno prikaže gibanje togega telesa prostoru: translacijo (rezultanta) in rotacijo (statični moment). 70
Vaja 1: Določi sili eznih palicah, kateri nosita breme B tako, da bo sistem ranotežju! Masa bremena je 100 kilogramo. B
Grafična rešite Legopis sil y Poligon sil o 45 j 2 1 i x G B
Vaja 2: Določi silo in naklonski kot ri, pod katerim mora mož na sliki držati gredo, Da bo ta miroala. Masa bremena je 100 kilogramo. G