Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή (αν υπάρχουν) τον ανάγουν, και είναι κάθετοι μεταξύ τους. Απόδειξη. (α) Eπειδή ο A είναι φυσιολογικός, ο A λi είναι φυσιολογικός για κάθε λ C. Έχουμε λοιπόν (A λi)x = (A λi) x = (A λi)x για κάθε λ C. Άρα Ax = λx αν αι μόνον αν A x = λx. (β) Aν Ax = λx και Ay = µy, τότε A y = µy άρα λ x, y = λx, y = Ax, y = x, A y = x, µy = µ x, y. Συνεπώς, αν λ µ, τότε x y για κάθε x M λ και y M µ. (γ) Έχουμε ήδη παρατηρήσει ότι κάθε ιδιόχωρος M λ είναι αναλλοίωτος από τον A και από κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A, όπως ο A. Άλλωστε, το συμπέρασμα είναι άμεσο από τις σχέσεις Ax = λx και A x = λx, που ισχύουν για x M λ. Ορισμός 1.1 Το φάσμα ενός φραγμένου τελεστή A σ' έναν χώρο Baach είναι το σύνολο σ(a) = {λ C : ο A λi δεν έχει (φραγμ.) αντίστροφο }. Παρατήρηση. Αποδεικνύεται ότι το φάσμα σ(a) είναι συμπαγές και μη κενό υποσύνολο του C. Εδώ, θα το δείξουμε για αυτοσυζυγείς τελεστές (Πρόταση 1.4). Δεν είναι όμως αλήθεια το σημειακό φάσμα σ p (A) (δηλ. το σύνολο των ιδιοτιμών) είναι πάντα μη κενό. Δεν ισχύει δηλαδή ότι κάθε τελεστής, έστω και αυτοσυζυγής, έχει ιδιοτιμές. Παράδειγμα ο A B(L ([0, 1], λ)) με (Af)(s) = sf(s) για f L ([0, 1], λ). Επίσης δεν είναι αλήθεια ότι κάθε συμπαγής τελεστής έχει ιδιοτιμές. Παράδειγμα ο T B(l ) με T e = 1 e +1 για κάθε N. Θα δείξουμε όμως ότι κάθε συμπαγής και αυτοσυζυγής τελεστής έχει ιδιοτιμές (Πρόταση 1.5). Πρόταση 1. To σ(a) φράσσεται από A : Αν λ > A, o λi A είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι το -όριο της σειράς (λi A) 1 = 1 ( ) A. λ λ Απόδειξη. Aν θέσουμε T = A λ και τότε παρατηρούμε ότι S m = m =0 =0 T (I T )S m = S m (I T ) = I T m+1 επομένως, επειδή T m+1 T m+1 0 (αφού T < 1), lim m (I T )S m I = lim m S m (I T ) I = lim m T m+1 = 0. ( )

Από την άλλη μεριά, αν m > S m S = m k=+1 T k m k=+1 T k T +1 1 T. Eπειδή T < 1, έπεται ότι η ακολουθία {S m } είναι βασική στην τοπολογία της νόρμας του B(X), επομένως (πληρότητα!) συγκλίνει σε έναν S B(X). Από την ( ) έχουμε ότι (I T )S = S(I T ) = I, άρα S = (I T ) 1. Τελικά έχουμε (λi A) 1 = 1 λ (I T ) 1 = 1 λ S = 1 λ =0 ( ) A. λ Υπενθυμίζουμε ότι ένα λ C είναι ιδιοτιμή ενός τελεστήa (συμβ. λ σ p (A)) αν και μόνον αν υπάρχει x H \ {0} ώστε (A λi)x = 0. Ορισμός 1. Το λ είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A (συμβ. λ σ a (A)) αν και μόνον αν υπάρχει ακολουθία (x ) X με x = 1 ώστε (A λi)x 0. Ισοδύναμα, αν υπάρχει δ > 0 ώστε (A λi)x δ x για κάθε x X. Πρόταση 1.3 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Τότε σ(a) = σ a (A). Δηλαδή, αν το λ δεν είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή, τότε ο A λi έχει (φραγμ.) αντίστροφο. Απόδειξη. Έστω λ / σ a (A). Θα δείξω ότι ο τελεστής T := A λi έχει φραγμένο αντίστροφο. Ο T είναι 1-1, άρα ορίζεται η αντίστροφη απεικόνιση: S : T (H) H που είναι γραμμική. Είναι όμως και φραγμένη. Πράγματι: Αφού λ / σ a (A), ο T = A λi είναι ``κάτω φραγμένος'', δηλ. υπάρχει δ > 0 ώστε T x δ x για κάθε x H. Επομένως, για κάθε y = T x T (H) έχουμε Sy = S(T x) = x 1 δ T x = 1 δ y δηλαδή S 1 δ. Επομένως ο S επεκτείνεται σε φραγμένο τελεστή S : T (H) H που ικανοποιεί ST x = ST x = x για κάθε x H και T Sy = y για κάθε y T (H). Όμως, T (H) = H. Πράγματι, αν x T (H), τότε για κάθε z H έχουμε T x, z = x, T z = 0, άρα T x = 0. Επειδή ο T είναι φυσιολογικός, έχουμε T x = T x δ x, και συνεπώς x = 0. Τελικά λοιπόν ορίζεται φραγμένος τελεστής S : H H που ικανοποιεί ST x = ST x = x και T Sy = y για κάθε x, y H, δηλαδή S = T 1. Πρόταση 1.4 Έστω A = A B(H). Τότε (α) σ(a) R. (β) A = sup{ Ax, x : x = 1}. (γ) A = sup{ λ : λ σ(a)}. Ειδικότερα, το φάσμα ενός αυτοσυζυγούς τελεστή δεν είναι κενό. Απόδειξη. (α) Αν λ C\R, τότε, για κάθε x H\{0}, 0 < λ λ. x = (A λi)x, x (A λi)x, x = (A λi)x, x x, (A λi)x (A λi)x x οπότε λ λ (A λi)x x. Επομένως λ / σ a (A). Αλλά σ a (A) = σ(a) διότι ο A είναι φυσιολογικός, άρα λ / σ(a).

(β) Αν ϕ(x, y) = Ax, y και ˆϕ(x) = Ax, x, αρκεί να δείξουμε ότι ϕ(x, y) ˆϕ για κάθε x, y H με x 1 και y 1 (όπου ˆϕ = sup{ ˆϕx : x = 1}). Παρατηρούμε ότι από την υπόθεση έπεται ότι ˆϕ(x) R για κάθε x H. Eπομένως, επειδή έχουμε άρα 4ϕ(x, y) = ˆϕ(x + y) ˆϕ(x y) + i ˆϕ(x + iy) i ˆϕ(x iy), 4 Re ϕ(x, y) = ˆϕ(x + y) ˆϕ(x y) 4 Re ϕ(x, y) ˆϕ.( x + y + x y ) = ˆϕ.( x + y ) (*) από τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Αν τώρα γράψουμε ϕ(x, y) = λ ϕ(x, y) όπου λ C (οπότε λ = 1), έχουμε ϕ(x, y) = λϕ(x, y) = ϕ(x, λy) άρα ϕ(x, λy) R, οπότε από την (*) έχουμε αφού x 1 και λy 1. ϕ(x, y) = ϕ(x, λy) ˆϕ x + λy ˆϕ, (γ) Από το (β), υπάρχει μια ακολουθία {x } με x = 1 για κάθε N ώστε Ax, x A. H ακολουθία πραγματικών (γιατί A = A ) αριθμών { Ax, x } είναι φραγμένη, επομένως έχει μια υπακολουθία { Ay, y } που συγκλίνει, έστω στο λ R, και προφανώς λ = A. Θα δείξουμε ότι το λ είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A. Έχουμε 0 Ay λy = Ay, Ay Ay, λy λy, Ay + λy, λy = Ay λ Ay, y + λ y (γιατί A = A και λ = λ) A λ Ay, y + λ = λ(λ Ay, y ) 0 επομένως lim (A λi)y = 0. Παρατήρηση Μια διαφορετική απόδειξη του (γ), που αποφεύγει το (β), μπορεί κανείς να βρει στην "Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών", Πρόταση 6.1.17. Πρόταση 1.5 Aν A K(H) είναι φυσιολογικός, τότε κάθε λ σ(a) \ {0} είναι ιδιοτιμή. (Ισχύει για κάθε συμπαγή: δες αργότερα.) Απόδειξη. To λ είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A. Συνεπώς υπάρχει ακολουθία {y } στην μοναδιαία σφαίρα του H ώστε Ay λy 0. Αλλά ο A είναι συμπαγής, επομένως η {y } έχει μια υπακολουθία {z } ώστε η {Az } να συγκλίνει, έστω στο z. Θα δείξουμε ότι Az = λz. Πράγματι, επειδή lim (Az λz ) = 0 και lim (Az z) = 0, έχουμε lim λz = z, άρα, αφού ο A είναι συνεχής, lim λaz = Az. Αλλά lim λaz = λ lim Az = λz, επομένως Az = λz. Τέλος, επειδή z = lim λz όπου λ 0 και z = 1 για κάθε, έπεται ότι z 0, άρα το z είναι ιδιοδιάνυσμα του A. Πόρισμα 1.6 Αν A K(H) και A = A, τότε υπάρχει λ σ p (A) με λ = A. Απόδειξη. Αφού ο A είναι αυτοσυζυγής, έχει μια προσεγγιστική ιδιοτιμή λ με λ = A. Αφού είναι συμπαγής, το λ είναι ιδιοτιμή. 3

Παράδειγμα 1.7 Αν A K(H), το 0 δεν είναι πάντα ιδιοτιμή: παράδειγμα ο D a e = 1 e στον l. (Παρατήρηση. Αν A K(H) και ο χώρος H είναι απειροδιάστατος, τότε 0 σ(a).) Πρόταση 1.8 Έστω A K(H). (i) Kάθε ιδιόχωρος του A που αντιστοιχεί σε μη μηδενική ιδιοτιμή έχει πεπερασμένη διάσταση. (ii) Aν {x } είναι άπειρη ορθοκανονική ακολουθία και υπάρχουν λ C ώστε Ax = λ x για κάθε N, τότε η {λ } είναι μηδενική ακολουθία. (iii) Aν ο A είναι φυσιολογικός, το σύνολο σ p (A) των ιδιοτιμών του ή είναι πεπερασμένο, ή αποτελεί μηδενική ακολουθία. Απόδειξη. (i) Aν λ σ p (A), τότε A(M λ ) M λ και A Mλ = λi Mλ. Eπομένως, αν λ 0, ο ταυτοτικός τελεστής στον χώρο Hilbert M λ είναι συμπαγής, άρα ο M λ έχει πεπερασμένη διάσταση. (ii) Eπειδή ο A είναι συμπαγής, έχουμε λ = Ax, x 0. (iii) Aν υποθέσουμε ότι το σ p (A) είναι άπειρο και δεν αποτελεί μηδενική ακολουθία, θα υπάρχει ένας θετικός αριθμός δ ώστε το σύνολο {λ σ p (A) : λ δ} να είναι άπειρο. Θα υπάρχει λοιπόν μια άπειρη ακολουθία {λ } διακεκριμένων ιδιοτιμών ώστε λ δ για κάθε. Aν x είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα ώστε Ax = λ x, η ακολουθία {x } είναι ορθοκανονική, γιατί οι ιδιόχωροι του A είναι ανά δυο κάθετοι (Λήμμα 1.1). Τότε όμως Ax, x δ για κάθε, πράγμα που αντιφάσκει με το (ii). Παρατήρηση Ο μηδενοχώρος ker A (δηλαδή ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0) μπορεί να έχει οποιαδήποτε διάσταση: Aς θεωρήσουμε, για παράδειγμα, τον τελεστή D a στον l με D a e = a()e όπου η a = {a()} είναι μηδενική ακολουθία. Ο D a είναι συμπαγής φυσιολογικός και σ p (D a ) = {a() : N}. Aν λοιπόν a() 0 για κάθε N, τότε ker D a = {0}. Aν a() = 0 για πεπερασμένο πλήθος δεικτών, τότε ο ker D a έχει πεπερασμένη διάσταση, και αν a() = 0 για άπειρο πλήθος δεικτών, τότε ο ker D a είναι απειροδιάστατος. Το φασματικό Θεώρημα Θεώρημα.1 Αν H είναι χώρος Hilbert, κάθε συμπαγής φυσιολογικός τελεστής A B(H) διαγωνοποιείται στον υπόχωρο (ker A). Υπάρχουν δηλαδή a() C και ορθοκανονική βάση {x : N} του (ker A) ώστε Ax = a()x για κάθε N. Ισοδύναμα, αν U : (ker A) l είναι ο uitary τελεστής που ικανοποιεί U(x ) = e για κάθε N, τότε UAU 1 = D a (ο διαγώνιος τελεστής με διαγώνιο την ακολουθία a = (a )). Το Θεώρημα έπεται άμεσα από το ακόλουθο: Θεώρημα. Αν A είναι συμπαγής τελεστής σ' έναν χώρο Hilbert H, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Οι ιδιόχωροι {M λ : λ σ p (A)} είναι κάθετοι ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και παράγουν τον H. (ii) Οι αντίστοιχες προβολές P λ είναι κάθετες ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και για κάθε αρίθμηση {λ : N} του σ p (A), αν P = P λ ισχύει P x = x για κάθε x H και A = 4 λ P

όπου η δεύτερη σειρά συγκλίνει ως προς την νόρμα του B(H). (iii) Ο A είναι φυσιολογικός. Υπενθύμιση: Έστω {M : N} κάθετοι ανά δύο υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και M := M το ευθύ τους άθροισμα, δηλ. ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος που περιέχει κάθε M. Αν P = P (M ), η προβολή P = P (M) στον M ικανοποιεί P x = P x και P x = P x για κάθε x H. Επομένως αν κάθε M έχει μια ορθοκανονική βάση {e i, : i I}, η ένωση {e i, : i I} είναι ορθοκανονική βάση του M. Απόδειξη του Θεωρήματος (i) (ii) Από την υπενθύμιση είναι φανερό ότι οι ιδιόχωροι είναι κάθετοι ανά δύο και παράγουν τον H (δηλ. το ευθύ τους άθροισμα είναι ο H) αν και μόνον αν οι προβολές είναι κάθετες ανά δύο και το άθροισμά τους συγκλίνει κατά σημείο στον ταυτοτικό τελεστή. Μένει να δείξουμε ότι η σειρά A = λ P συγκλίνει ως προς την νόρμα του B(H). Έστω x H. Από τη σχέση x = lim Ax = Ax = lim P x συμπεραίνουμε (αφού ο A είναι γραμμικός και συνεχής) ότι AP x. Όμως το P x ανήκει στον ιδιόχωρο M λ και άρα AP x = λ P x, οπότε έχουμε λ P x (σύγκλιση κατά σημείο). Όμως, επειδή ο A είναι συμπαγής, η σειρά συγκλίνει ως προς τη νόρμα τελεστή: Πράγματι, έστω ϵ > 0. Αφού η ακολουθία (λ ) είναι μηδενική (Πρόταση 1.8) υπάρχει 0 ώστε λ < ϵ για κάθε 0. Συνεπώς, αν 0, έχουμε Ax λ k P k x = = k=+1 k=+1 ϵ k=+1 ϵ x λ k P k x λ k P k x γιατί τα P k x είναι κάθετα ανά δύο P k x γιατί λ k < ϵ όταν k 0 αφού Επομένως δείξαμε ότι A λ k P k ϵ αν 0. P k x x. (ii) (iii) Η σχέση A = λ P δίνει A = λ P και επομένως, αφού P P k = 0 όταν k έχουμε άρα AA = A A. και A A = lim AA = lim λ k P k λ k P k λ P = lim λ P = lim λ k λ k P k λ k λk P k 5

(iii) (i) (Αυτό είναι το ουσιαστικό περιεχόμενο του Θεωρήματος.) Απόδειξη. (α) Υποθέτουμε πρώτα ότι ο A είναι αυτοσυζυγής. Aπό την Πρόταση 1.4, το σύνολο {M λ : λ σ p (A)} είναι μη κενό. Από το Λήμμα 1.1, οι ιδιόχωροι του A είναι ανά δύο κάθετοι και αναλλοίωτοι από τον A. Πρέπει να δείξουμε ότι παράγουν τον H. Ονομάζουμε M τον ελάχιστο κλειστό υπόχωρο που περιέχει όλους τους M λ (δηλαδή M = λ M λ ). Tο μόνο που έχουμε να δείξουμε είναι ότι M = H, δηλαδή ότι M = {0}. Έστω ότι M {0}. Eπειδή κάθε M λ είναι αναλλοίωτος από τον A, το ίδιο ισχύει 1 και για τον M. Αλλά ο A είναι αυτοσυζυγής, άρα αφήνει αναλλοίωτο και τον M. Eπομένως ο περιορισμός B A M ορίζει έναν τελεστή B : M M. Παρατηρούμε ότι ο B B(M ) είναι συμπαγής και αυτοσυζυγής (γιατί?). Επομένως, σύμφωνα με την Πρόταση 1.4, ο B θα έπρεπε να έχει ιδιοτιμές. Όμως, αν Bx = λx όπου x M \ {0} και λ C, τότε Ax = Bx = λx, άρα το x είναι ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ (του A), επομένως x M λ M. Δηλαδή x M M, άρα x = 0, άτοπο. (β) Γενική περίπτωση. Έστω A K(H) φυσιολογικός. Θεωρούμε τον αυτοσυζυγή συμπαγή τελεστή T := A A. Από την περίπτωση (α) οι ιδιόχωροι {M µ (T ), µ σ p (T )} του T είναι ανά δύο κάθετοι και παράγουν τον H. Παρατηρούμε ότι κάθε ιδιόχωρος M µ (T ) είναι αναλλοίωτος από τον A και από τον A. Πράγματι, επειδή A A = AA, έχουμε A(A A) = (AA )A = (A A)A και A (A A) = A (AA ) = (A A)A. Δηλαδή οι A και A μετατίθενται με τον A A, άρα αφήνουν τον M µ (T ) αναλλοίωτο. Επομένως ο τελεστής C µ := A Mµ (T ) απεικονίζει τον M µ (T ) στον εαυτό του και έχουμε C µ = A Mµ (T ) (δες το Λήμμα.3 αμέσως μετά). Άρα o C µ είναι φυσιολογικός, C µc µ = C µ C µ, γιατί A A = AA. Αν µ = 0, ο ιδιόχωρος M 0 (T ) = ker T είναι ο πυρήνας ker A = M 0 (A) του A: αν x ker T τότε Ax = Ax, Ax = A Ax, x = 0 άρα x ker A και το αντίστροφο είναι προφανές. Αν µ 0, ο αντίστοιχος ιδιόχωρος M µ (T ) έχει πεπερασμένη διάσταση (Πρόταση 1.8). Ο C µ είναι λοιπόν φυσιολογικός τελεστής σε έναν χώρο πεπερασμένης διάστασης. Επομένως υπάρχει μια ορθοκανονική βάση του M µ (T ) από ιδιοδιανύσματα του A (από το Φασματικό Θεώρημα σε χώρους πεπερασμένης διάστασης). Δηλαδή για κάθε µ σ p (T ) \ {0}, ο περιορισμός του A στον M µ (T ) διαγωνοποιείται ως προς κάποια ορθοκανονική βάση B µ = {e µ, = 1,..., µ }. Άρα, η (αριθμήσιμη ) ένωση των B µ, µ σ p (T ) \ {0} είναι ορθοκανονική βάση του A-αναλλοίωτου υποχώρου N [M µ (T ) : µ σ p (T ) \ {0}] η οποία αποτελείται από μη μηδενικά ιδιοδιανύσματα του A. Οι αντίστοιχοι ιδιόχωροι του A παράγουν τον χώρο N, άρα, μαζί με τον ker A = M 0 (A), παράγουν τον χώρο H. Λήμμα.3 Έστω A B(H) και M H κλειστός A-αναλλοίωτος υπόχωρος. Έστω B B(M) ο περιορισμός B := A M. Τότε, B = A M αν και μόνον αν ο M είναι και A -αναλλοίωτος. Απόδειξη. Εφόσον εξ ορισμού ο B απεικονίζει τον M στον M, αν B = A M τότε βέβαια ο A απεικονίζει τον M στον M. Aντίστροφα, έστω A (M) M. Έστω x M. Θα δείξω ότι A x = B x. Για κάθε y M έχουμε By = Ay, άρα B x, y = x, By (ορισμός του B ) = x, Ay = A x, y. 1 Πράγματι, κάθε x M γράφεται x = λ P λx άρα Ax = λ AP λx. Όμως, κάθε AP λ x ανήκει στον M λ, άρα στον M, οπότε Ax M. 6

Επομένως B x A x, y = 0 για κάθε y M, οπότε το διάνυσμα B x A x είναι κάθετο στον M. Από την άλλη μεριά όμως έχουμε A x A (M) M, άρα B x A x M. Επομένως B x A x = 0. Παράδειγμα.4 Αν U : l (Z) l (Z) είναι ο τελεστής της αμφίπλευρης μετατόπισης (Ue = e +1 για κάθε Z), ο υπόχωρος M = spa{e : 0} είναι U-αναλλοίωτος, αλλά ο περιορισμός S := U M δεν ικανοποιεί S = U M, καθώς Se 0 = 0 ενώ U e 0 = e 1. Θεώρημα.5 (Φασματικό θεώρημα: Tρίτη μορφή) Ένας τελεστής A σ' έναν χώρο Hilbert H είναι φυσιολογικός και συμπαγής αν και μόνον αν υπάρχει μια (πεπερασμένη ή άπειρη) ορθοκανονική ακολουθία {x } ιδιοδιανυσμάτων του A, με αντίστοιχες ιδιοτιμές {a()} ώστε N lim A a()p [x ] = 0 ( ) (όπου P [x ] η προβολή στον (μονοδιάστατο) υπόχωρο που παράγει το x ). Τότε η ακολουθία {a()}, αν είναι άπειρη, είναι μηδενική. Απόδειξη. Αν ο A ικανοποιεί την ( ) τότε είναι -όριο τελεστών πεπερασμένης τάξης, άρα συμπαγής. Επίσης, οι τελεστές αυτοί είναι φυσιολογικοί, άρα και ο A είναι φυσιολογικός. Αντίστροφα, έστω A συμπαγής και φυσιολογικός. Έχουμε δείξει ότι υπάρχει αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση, έστω {x : N}, του χώρου (ker A) από ιδιοδιανύσματα του A που αντιστοιχούν σε μη μηδενικές ιδιοτιμές του. Δηλαδή υπάρχουν a() C ώστε Ax = a()x. Από την Πρόταση 1.8 η ακολουθία {a()} είναι μηδενική, αν είναι άπειρη. Επειδή επιπλέον οι προβολές P [x ] είναι κάθετες ανά δύο, έπεται (όπως την απόδειξη του Θεωρήματος.) ότι η σειρά a()p [x ] συγκλίνει στην τοπολογία της νόρμας του B(H). Έστω B B(H) το όριό της. Οι (φραγμένοι) τελεστές A και B μηδενίζονται στον ker A και συμπίπτουν σε κάθε x (διότι Ax = a()x = Bx ) άρα συμπίπτουν και στον (ker A). 3 Πρώτες συνέπειες Πόρισμα 3.1 Έστω A συμπαγής φυσιολογικός τελεστής σ' έναν χώρο Hilbert H. Τότε (i) A = max{ λ : λ σ p (A)} (ii) A = max{ Ax, x : x H, x = 1} Απόδειξη. (i) Έστω {a() : N} μια αρίθμηση του σ p (A) \ {0}. Υπάρχει μια ορθοκανονική βάση {x } του (ker A) που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του A, δηλαδή Ax = a()x, οπότε για κάθε και συνεπώς a() = a()x = Ax A sup{ λ : λ σ p (A)} = sup{ a() : N} A. Από την άλλη μεριά, εφόσον A = a()p [x ], για κάθε x H έχουμε Ax = a() x, x x άρα Ax = a() x, x sup a() 7 x, x sup a() x

άρα A sup a() και έχουμε ισότητα. Επίσης, η ακολουθία ( a() ) είναι μηδενική, άρα παίρνει μέγιστη τιμή: sup a() = max a(). (ii) Για κάθε x H νόρμας 1 έχουμε Ax, x A, άρα sup{ Ax, x : x H, x = 1} A. Από την άλλη μεριά, υπάρχει λ σ p (A) με λ = A. Αν x 0 είναι ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα νόρμας 1, τότε Ax 0 = λx 0 οπότε Ax 0, x 0 = λ = A και άρα max{ Ax, x : x H, x = 1} = A. Θεώρημα 3. (Γενική μορφή συμπαγούς τελεστή σε χώρο Hilbert) Aν A : H K είναι συμπαγής τελεστής μεταξύ χώρων Hilbert H και K, υπάρχουν ορθοκανονικές ακολουθίες {x } στον K και {y } στον H και (πεπερασμένη ή μηδενική) ακολουθία θετικών αριθμών {a } ώστε A = a i x i yi i=1 όπου η σειρά συγκλίνει ως προς τη νόρμα του B(H, K). Υπενθύμιση: Αν x K, y H ο τελεστής x y : H K ορίζεται από τη σχέση (x y )(z) = z, y x, z H. Ειδικότερα αν y = 1 ο τελεστής y y είναι η προβολή στον υπόχωρο [y] του H. Απόδειξη. Ονομάζουμε T τον θετικό συμπαγή τελεστή T = A A. Χρησιμοποιώντας το Φασματικό Θεώρημα γράφουμε T = µ P [u ] = µ u u όπου η {u } είναι ορθοκανονική βάση του υπόχωρου (ker T ) = (ker A) από ιδιοδιανύσματα του T με (μη μηδενικές) ιδιοτιμές {µ } (άρα µ > 0, αφού ο T είναι θετικός). Ορίζουμε v = Au a ( N), όπου a = µ. Η ακολουθία {v } είναι ορθοκανονική: Πράγματι v, v m = 1 a a m Au, Au m = 1 a a m A Au, u m = 1 a a m µ u, u m = µ a a m u, u m = δ m, αφού η {u } είναι ορθοκανονική και µ = a. Eπειδή οι {v }, {u } είναι ορθοκανονικές ακολουθίες και η {a } είναι μηδενική (διότι η µ είναι μηδενική), η σειρά a i v i u i i=1 συγκλίνει ως προς τη νόρμα του B(H) (απόδειξη: Άσκηση) και ορίζει φραγμένο (μάλιστα συμπαγή) τελεστή, έστω B. Παρατηρούμε ότι ο B μηδενίζεται στον υπόχωρο [u : N] = ker A A = ker A, ενώ για κάθε N έχουμε Bu = a v = Au, άρα οι (φραγμένοι) τελεστές A και B συμπίπτουν και στον (ker A), επομένως είναι ίσοι. 8