Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega. Heli levimiseks jaamaülemani kulub sel juhul aeg τ A = L/c. Vile lõppedes on veduri kaugus jaamaülemast L vt 0, kus v on rongi liikmise kiirus. Heli levimiseks sellelt kauguselt kulub aeg τ B = (L vt 0 )/c. Alustagu vedurijuht vile laskmisega hetkel τ 0 ning lõpetagu hetkel τ 0 + t 0. Jaamaülem kuuleb vile algust hetkel τ 0 + τ A ning vile lõppu hetkel τ 0 + t 0 + τ B. Nende ajahetkede vahe t on mõistagi jaamaülema mõõdetud vile kestus. Seega saame võrrandi t = t 0 + τ B τ A = t 0 vt c 0, millest v = t 0 t t 0 c = 34 m/s.. (TAKISTID) Teades, et ühesuguse potentsiaaliga punkte võib ahelas vabalt lahti ja kokku ühendada, saame ülesandes esitatud elektriskeemi viia allolevale kujule. A B R AB = (R + (R + (R + (R + (3R ) ) ) ) ) = 5 4 R 3. (BALLOON) Kuna baloon on silindrikujuline, on pinged selle telje sihis ning sellega ristuvas sihis erinevad. Mõlemal juhul peab ballooni seinas olev jõud tasakaalustama balloonisisese gaasi rõhu põhjustatud jõu. Teljesihilise pinge jaoks saame võrrandi πr p = πrtσ ehk p = tσ r.
Pinge ballooni teljega ristuvas sihis leiame silindrit poolitavat mõttelist ristkülikukujulist lõiget vaadeldes. Jõudude tasakaalust saame rhp = htσ, kus h r on ballooni kõrgus, ehk p = tσ. Ballooni poolt r talutav rõhk on neist kahest väiksem ehk p = tσ = 6,7 bar r 4. (VEEKEEDUKANN) Suurima kiiruse saavutab veeaur siis, kui vesi on kuumutatud keemistemperatuurini T = 00 C = 373 K. Veekeedukannu tehtud töö A = γnt läheb siis vee aurustamiseks ehk A = Q = Lm. Seega aja t jooksul aurustunud vee mass on m = γnt ning ruumala L V = γntrt. Kuna veeaur pääseb välja avast pindalaga S, siis peab aja t Lpµ jooksul eraldnud veeaur läbima vahemaa s = V ning veeauru väljumise S kiiruseks saame v = s = γntrt. t LpµS 5. (LÄÄTS) Paneme esmalt tähele, et läätse keskpunkti läbivad kiired AA ja BB ei murdu. Seega paikneb läätse keskpunkt O lõikude AA ja BB lõikepunktis. Teisalt märkame, et valguskiir AB murdub valguskiireks A B. Niisiis, pikendades lõike AB ja A B, leiame nende lõikepunkti X. Sellega oleme konstrueerinud läätse tasandi OX. Läätse optilise peatelje leiame, kui tõmbame läätse tasandiga ristuva sirge s läbi läätse keskpunkti O. Fookuse F leidmiseks konstrueerime näiteks peateljega paralleelse kiire AC, mis murdub läbi fookuse.
6. (VESINIKU IONISEERIMINE) Käsitleme prootoni ja elektroni interaktsiooni elastse kokkupõrkena. Olgu prootoni algkiirus u, lõppkiirus v ning elektroni kiirus vahetult pärast põrget w. Esialgu võime eirata elektroni kuulumist vesiniku aatomisse. Energia jäävusest m pu = m pv + m ew ning impulsi jäävusest m p u = m p v + m e w. Viimase võrrandi mõlema poole skalaarkorrutisest iseendaga saame m pu = m pv + m ew + m p m e v w. Asendame u energia jäävusest. m p (m p v + m e w ) = m pv + m ew + m p m e v w, järelikult (m p m e )w = m p v w = m p vw cos θ,, kus θ on vektorite v ja w vaheline nurk. Elektroni eemaldamine vesiniku aatomist on võimalik, kui elektroni koguenergia E > 0. Seega üritame maksimeerida elektroni kineetilist energiat ning ühtlasi ka kiirust w kokkupõrke tagajärjel. W = max ( m pv m p m e cos θ ) = K 0 = m pu = m ( ) (mp m e)w p m p + m ew = (mp+me) W. Ioniseerimiseks K e = m ew > E 0 ehk K 0 > E 0(m p+m e) 4m pm e mpv m p m e. Energia võrrandist saame 8m p = 6,5 kev. 7. (VEEJOAD) Vaatleme veejuga, mis väljub anumast asukohast y = h. Selle kohal oleva veesamba kõrgus on h ning energia jäävusest saame avaldada väljuva joa algkiiruse v = gh. Vabalt langev veejuga on parabool, kusjuures ühe osakese ajalist liikumist saame kirjeldada võrranditega x = vt ja y = h + gt /. Pärast esimesest võrrandist aja avaldamist saame teisest parabooli võrrandi y = h + gx = h + x. v 4h Mõtiskleme nüüd, kuidas määrata kindlaks ruumipiirkonda, millesse saavad langevad veejoad jõuda. Võiksime valida ruumipunkti (x, y) ning küsida, milliselt algkõrguselt h alustades on võimalik sinna jõuda. Sobiva algkõrguse h leidmiseks tuleks lahendada ruutvõrrand h yh+x /4 = 0. Kui selle võrrandi diskriminant on positiivne, leidub h jaoks kaks erinevat lahendit ning punkti (x, y) on võimalik jõuda kahelt algkõrguselt. Kui diskriminant on negatiivne, puuduvad reaalarvulised lahendid ning punkti (x, y) pole võimalik jõuda. Neid kahte juhtu eraldab piirjoon, kus diskriminant on null ehk y x = 0, millest saame avaldada piirjoone ehk veejugade mähispinna võrrandi y = x.
8. (LATT) Olgu lati mass m, raskuskiirendus g ning hõõretegur µ. Latile mõjub igas punktis hõõrdejõud, mis on vastupidine selle punkti liikumissuunale. Kogu mingile osale mõjuv hõõrdejõud on seega võrdeline selle osa pikkusega. Lati lükatavast otsast kaugemale osale mõjuv hõõrdejõud mõjub siis samas suunas rakendatavale jõule ning lati lähemas otsas mõjub hõõrdejõud sellele vastu. Hõõrdejõud üritavad takistada nii lati kulgliikumist kui ka selle pöörlemist. Kui latti pidevalt otsast lükatakse, peab tekkima olukord, kus lisaks lükkava jõu ning hõõrdejõudude tasakaalule kehtib ka nende jõudude momentide tasakaal. Need momendid peavad olema tasakaalus suvalise punkti suhtes. Otstarbekas on vaadelda jõumomente lati lükatava otsa suhtes, sest seal on lükkava jõu moment null. Olgu lati pöörlemistelje kaugus lükatavast otsast x. Saame µmg x x L = µmg L x L ( x + L x 9. (MUTRIVÕTI) Kui keermed on liikunud piki regulaatori telge teepikkuse x võrra, on need pöördunud nurga ϕ = πnx võrra ning liikunud teljega risti teepikkuse y = ϕr = πnxr võrra. Olgu α nurk pinnanormaali ja pöörlemistelje ) ning x = L. vahel. Saame tan(α) = x = x =. Mõjugu keermetele regulaatori telje suunaline jõud F. Keermete suunas mõjuv jõu komponent y πnxr πrn on F sin α, mille peab tasakaalustama hõõrdejõud suurima võimaliku väärtusega µf cos α. Saame µ tan α = πrn ehk n πrµ. 0. (LAETUD PENDEL) Kuulikesele mõjuvad raskusjõud F g, niidi pinge T ning Lorentzi jõud F L. Kuulike püsib ringjoone kaare kujulisel trajektooril seni, kuni sellele mõjuvate jõudude projektsioonid niidi sihile rahuldavad võrrandit T + F L F g cos α = F k, kus α on niidi kõrvalekaldenurk tasakaaluasendist ning F k on ringjoone kaarel püsimiseks tarvilik kesktõmbejõud. Kuulikese ringjoone kaare kujulisest trajektoorist kõrvale kaldumisel ei saa niit olla pinges. Järelikult pole kuulikese trajektoor enam ringjoone kaar juhul F L > F g cos α + F k. Olgu v kuulikese kiirus nurga α korral, mille saame leida energia jäävusest mv = mg h, kus h = l cos α l + H on kuulikese kõr- x α y
guse muut. Järelikult v = g (l cos α l + H) = gl ( ) cos α 8 ning lahendamist vajav võrrand on qbv = mg cos α + mv ehk l qb gl ( ) ( ) cos α 8 = mg cos α + mg cos α 8. Mõlemaid pooli ruutu võttes saame q B gl ( ) cos α 8 = m g ( ). 3 cos α 4 Kuna q B l = 3 m g, siis võime selle võrrandi viia kujule 3 cos α 3 = 9 cos α 3 cos α +. Saame ruutvõrrandi 6 6 9 cos α 3 cos α + = 0 ehk 9 ( cos α 4 6) = 0. Kuna selle ruutvõrrandi kaks lahendit on võrdsed, siis kas F L F g cos α + F k või F L F g cos α + F k iga α korral. Vaadeldes juhtu cos α = näeme, et 8 F L F g cos α + F k ning järelikult on kuulikese trajektoor ringjoone kaar raadiusega l, mille otspunktide kõrgus tasakaaluasendist on 7l. 8