Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Εισαγωγή Ένα σημαντικό θέμα σε αρκετές εφαρμογές είναι η ανάλυση της συνολικής ακρίβειας προσδιορισμού ενός σετ παραμέτρων () σε επιμέρους συνιστώσες : (1) (2) C C C... Δεν υπάρχει ένας μονοσήμαντος τρόπος υλοποίησης της παραπάνω ανάλυσης. Συνήθως μας ενδιαφέρουν συνιστώσες του πίνακα C μέσω των οποίων μπορεί να μελετηθεί η ακρίβεια διαφόρων φυσικών χαρακτηριστικών που είναι κρυμμένα μέσα στο διαθέσιμο γκρουπ παραμέτρων.
Γενική περιγραφή του προβλήματος Φυσικό σύστημα χαρακτηριστικό Α χαρακτηριστικό Β άλλα χαρακτηριστικά Ένα σετ παραμέτρων περιέχει πληροφορία για διάφορα χαρακτηριστικά ενός φυσικού συστήματος Σετ παραμέτρων (, C ) Μοντέλο περιγραφής
Γενική περιγραφή του προβλήματος Φυσικό σύστημα χαρακτηριστικό Α χαρακτηριστικό Β άλλα χαρακτηριστικά Σε αρκετές περιπτώσεις θέλουμε να μελετήσουμε κάποιο συγκεκριμένο χαρακτηριστικό μέσω ενός σετ παραμέτρων? Σετ παραμέτρων (, C ) Μοντέλο περιγραφής
Γενική περιγραφή του προβλήματος Φυσικό σύστημα χαρακτηριστικό Α χαρακτηριστικό Β άλλα χαρακτηριστικά Άλλες φορές θέλουμε να αφαιρέσουμε την επίδραση κάποιων χαρακτηριστικών από ένα σετ παραμέτρων Σετ παραμέτρων (, C ) (', C ' ) Μοντέλο περιγραφής
Γενική περιγραφή του προβλήματος Φυσικό σύστημα χαρακτηριστικό Α χαρακτηριστικό Β άλλα χαρακτηριστικά Ιδιαίτερα χρήσιμο είναι να προσδιορίζουμε πόσο καλή πληροφορία υπάρχει σε ένα σετ παραμέτρων για ορισμένα χαρακτηριστικά Σετ παραμέτρων (, C ) C Α Μοντέλο περιγραφής
Αναλυτική μεθοδολογία λύσης Βασική σχέση (A) : : : διαθέσιμο σετ παραμέτρων γνωστής ακρίβειας τμήμα των παραμέτρων που εξαρτάται από κάποιο χαρακτηριστικό A τμήμα των παραμέτρων που δεν εξαρτάται από το χαρακτηριστικό A Τι ψάχνουμε: C C C (A)?? ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017
Αναλυτική μεθοδολογία λύσης Βασική σχέση (A) Παραμετροποίηση του χαρακτηριστικού A : Qθ ή ισοδύναμα true Qθ true d d (*) Αυτό που κάνουμε, κατά βάση, είναι να παραμετροποιήσουμε (ένα μέρος από) τα τυχαία σφάλματα που υπάρχουν στις εκτιμήσεις των παραμέτρων!
Αναλυτική μεθοδολογία λύσης true Qθ true d, C d Τα στοιχεία του διανύσματος θ είναι τυχαίες μεταβλητές με μηδενική προσδοκία (ομοίως για το d). Ο όρος Q θ αποτελεί το παραμετροποιημένο μέρος των τυχαίων σφαλμάτων που σχετίζεται με την πληροφορία του φυσικού χαρακτηριστικού που μας ενδιαφέρει. Στόχος μας δεν είναι η εκτίμηση του διανύσματος θ αλλά ο προσδιορισμός της στατιστικής συμπεριφοράς του, με βάση την γνωστή ακρίβεια των εκτιμήσεων των παραμέτρων.
Αναλυτική μεθοδολογία λύσης true Qθ true d, C d Στο σημείο αυτό χρειάζεται η αντιστροφή της παραπάνω σχέσης προκειμένου να εκφράσουμε τις παραμέτρους θ ως συνάρτηση των συνολικών τυχαίων σφαλμάτων d. Η αναλυτική μορφή της λύσης βασίζεται στην ορθογώνια προβολή των σφαλμάτων d σε δύο επιμέρους συνιστώσες σύμφωνα με την γενική σχέση: d ( I Κ) d Kd Qθ d Λογική λύσης ΜΕΤ βλέπε επόμενο παράδειγμα..
Διδακτικό παράδειγμα (γεωδαιτικού ενδιαφέροντος)
Το πρόβλημα Σε ένα δίκτυο σημείων δίνεται ένα σετ συντεταγμένων μαζί με τον πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων τους (, C ) Ζητείται να βρεθεί: η ακρίβεια του συστήματος αναφοράς που υλοποιείται μέσω αυτών των συντεταγμένων - ακρίβεια υλοποίησης της αρχής του ΣΑ - ακρίβεια υλοποίησης του προσανατολισμού του ΣΑ - ακρίβεια υλοποίησης της κλίμακας του ΣΑ
Ακρίβεια του υλοποιημένου ΣΑ y y Ένα μέρος της γνωστής ακρίβειας των συντεταγμένων μπορεί να εκφραστεί μέσω μιας ισοδύναμης αβεβαιότητας των θεμελιωδών παραμέτρων που ορίζουν το σύστημα αναφοράς! DN C C f ( C ) θ θ t ty s
C Total coordinate noise DN C Datum noise FN C Figure (or inner) noise +
Covariance mapping problem C Datum noise Figure noise DN C FN C - Το πρόβλημα του παραπάνω διαχωρισμού δεν έχει μία μοναδική λύση! - Στη συνέχεια θα περιγράψουμε μία ορθογωνικού-τύπου ανάλυση του πίνακα C στις δύο παραπάνω συνιστώσες.
Μεθοδολογία λύσης Χρησιμοποιώντας το γνωστό μοντέλο του μετασχ/μού ομοιότητας, τα άγνωστα σφάλματα των συντεταγμένων θα μπορούσαν να περιγραφούν ως εξής: true E θ v v T Εφαρμόζοντας το νόμο μετάδοσης συμ-μεταβλ. στην παραπάνω σχέση, θα έχουμε γενικά: T σφάλματα στο υλοποιημένο ΣΑ Υπόλοιπο μέρος των σφαλμάτων (που δεν σχετίζεται με το ΣΑ) C E C E C C E E C θ v vθ θv T Datum noise Figure noise
Μεθοδολογία λύσης Χρησιμοποιώντας το γνωστό μοντέλο του μετασχ/μού ομοιότητας, τα άγνωστα σφάλματα των συντεταγμένων θα μπορούσαν να περιγραφούν ως εξής: true E θ v v T Εφαρμόζοντας το νόμο μετάδοσης συμ-μεταβλ. στην παραπάνω σχέση, θα έχουμε γενικά: T σφάλματα στο υλοποιημένο ΣΑ C E C E C C E E C θ v vθ θv Datum noise Figure noise Υπόλοιπο μέρος των σφαλμάτων (που δεν σχετίζεται με το ΣΑ) ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017 T Θέλουμε να είναι ασυσχέτιστα μεταξύ τους!
Μεθοδολογία λύσης true E θ v T T v E θ v Θα πρέπει να επιλυθεί με κάποιο τρόπο (π.χ. ΜΕΤ) η παραπάνω σχέση για να προκύψουν οι ζητούμενες ορθογώνιες συνιστώσες των συνολικών τυχαίων σφαλμάτων των συντεταγμένων. Π.χ. 1 θ ( EPE T ) EPv T T 1 ( ) v I E EPE EP v άχρηστες σχέσεις από υπολογιστική σκοπιά! Εφαρμόζοντας ΝΜΣ στις παραπάνω σχέσεις, μπορούν να προσδιοριστούν οι ζητούμενοι πίνακες συμμεταβλητοτήτων που αντιστοιχούν στο datum noise και στο figure noise.
Επίλυση προβλήματος Έχουμε και 1 T 1 1 true θ ( EC E ) EC ( ) 1 T 1 1 T ( ) true v I E ( EC E ) EC ( ) 1 T 1 C ( EC E ) Datum noise θ T 1 T 1 v ( ) C C E EC E E Figure noise T C E C E C θ v
Έτσι τελικά, y C C θ Datum noise DN C T 1 T 1 E ( EC E ) E C Figure noise FN C T 1 T 1 C E ( EC E ) E
Σχόλια Η διαδικασία που περιγράφηκε προηγουμένως βασίζεται στην παραμετροποίηση ενός μέρους των τυχαίων σφαλμάτων που υπάρχουν στις διαθέσιμες συντεταγμένες! Η επίλυση του προβλήματος προσομοιάζει τη διαδικασία συνόρθωσης με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Παρόλα αυτά πρέπει να τονιστεί ότι δεν εκτελούμε συνόρθωση παρατηρήσεων με την κλασσική έννοια! Ο βασικός μας στόχος είναι ο διαχωρισμός των συνολικών τυχαίων σφαλμάτων σε δύο ανεξάρτητες συνιστώσες, η μία εκ των οποίων εξαρτάται από συγκεκριμένες παραμέτρους που σχετίζονται εξ ολοκλήρου με το σύστημα αναφοράς.
Προσοχή Αν ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων των συντ/νων δεν είναι αντιστρέψιμος, τότε θα πρέπει να τον διορθώσουμε ως εξής: C C k I k tracec tracei
2Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γραμμικοποιημένο μοντέλο) T E θ 1 1 1 0 y y1 y1 0 1 y N N 1 0 yn y y 0 1 y N N 1 1 t 1 1 t y N s T E N N θ ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017
3Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γραμμικοποιημένο μοντέλο) T E θ ΤΑΤΜ ΑΠΘ 1 1 1 0 0 0 z y y1 y 1 0 1 0 z 0 y z1 z 1 0 0 1 y 0 z N N 1 0 0 0 z y yn yn 0 1 0 z 0 y z z 0 0 1 y 0 z N N E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N N N N N N N N N T Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017 t t t y z y z s θ
Αριθμητικό παράδειγμα ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017
3 5 y 4 2 1 Σύγκριση της ακρίβειας του υλοποιημένου ΣΑ που προκύπτει από δύο διαφορετικές λύσεις συνόρθωσης του ίδιου δικτύου ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017
Μέτρηση (grad, m) Παρατηρήσεις Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 3.0 δ 4,2 0.0000 2.4 δ 1,2 55.0318 3.0 δ 4,1 68.1594 2.4 δ 1,3 364.6720 3.0 δ 4,5 319.9293 2.4 δ 1,4 375.5954 3.0 δ 5,2 0.0000 2.3 δ 2,1 245.4697 3.2 δ 5,1 48.0936 2.3 δ 2,3 313.2130 3.2 δ 5,3 128.3206 2.3 δ 2,4 297.8753 3.2 δ 5,4 75.4601 2.3 δ 2,5 342.3444 3.2 S 4,1 2943.743 0.7 δ 3,2 0.0000 2.6 S 4,2 3806.704 0.7 δ 3,1 41.8980 2.6 S 4,5 2641.905 0.7 δ 3,5 357.4528 2.6 S 4,3 2193.513 0.6 ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017
3 5 y 4 2 1 Λύση 1: χρήση ελάχιστων δεσμεύσεων ( 1, y 1, 2 σταθερά) Λύση 2: χρήση εσωτερικών δεσμεύσεων ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017
Γενικός αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου N( ) u o H( ) c o Κανονικές εξισώσεις Ελάχιστες δεσμεύσεις T 1 T 1 T ˆ ( N H H) u ( N H H) H c o Λύση συνόρθωσης T 1 T 1 Σ ˆ ( N H H) N( N H H) Ακρίβεια λύσης συνόρθωσης ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017
Προσεγγιστικές συντ/νες ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 2 X 1 26608.425 Y 1-14450.071 X 2 29745.486 26608.425-14450.071 29745.486 26608.433 ± 0.006-14450.084 ± 0.006 29745.494 ± 0.006 Y 2-12847.711-12847.712 ± 0.025-12847.724 ± 0.006 X 3 25020.537 25020.532 ± 0.030 25020.538 ± 0.010 Y 3-9671.343-9671.318 ± 0.014-9671.331 ± 0.005 X 4 26170.822 26170.802 ± 0.014 26170.809 ± 0.005 Y 4-11539.051-11539.039 ± 0.007-11539.051 ± 0.004 X 5 27798.925 27798.914 ± 0.027 27798.921 ± 0.008 Y 5-9458.462-9458.436 ± 0.012-9458.448 ± 0.005 ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων 1 ης λύσης 1 y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 2.476e-14-4.869e-20 3.244e-19-2.476e-14 1.491e-19 2.476e-14 9.696e-14-1.111e-18-9.696e-14 0.000602-1.229e-13 9.257e-19 1.229e-13-0.000593 0.000913-4.908e-14 6.776e-20 4.908e-14-0.000188 0.000336 0.000203-6.521e-14 3.891e-19 6.522e-14-0.000288 0.000338 0.000115 0.000185-1.353e-14 2.168e-19 1.353e-14-1.374e-05 3.304e-05 4.868e-05 2.504e-05 4.327e-05-1.295e-13 1.018e-18 1.295e-13-0.000584 0.000689 0.000247 0.000348 4.953e-05 0.000740 3.679e-14-1.490e-19-3.680e-14 0.000235-0.000236-3.783e-05-0.000118 1.921e-05-0.000249 0.000153
Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων 2 ης λύσης 1 y 1 2 y 2 3 y 3 4 y 4 5 y 5 3.286e-05 5.329e-06 3.099e-05-2.219e-05-3.481e-06 3.193e-05-1.761e-05-1.042e-05-2.470e-06 3.762e-05 9.591e-06-1.425e-05-1.660e-05 2.209e-05 1.007e-04 1.181e-05-1.508e-05-1.345e-06-8.050e-07 2.127e-05 2.557e-05-8.789e-06 4.934e-06 3.980e-06-6.634e-06-3.059e-05-1.104e-05 2.091e-05-5.398e-07 4.153e-06 3.251e-06-1.076e-05-3.053e-05-1.115e-05 1.136e-05 1.933e-05-1.147e-05 7.468e-06 2.870e-06 4.624e-06-6.305e-05-2.069e-05 1.449e-05 1.646e-05 5.716e-05 1.014e-06-9.635e-06 4.044e-06-1.563e-05 1.422e-06 1.800e-06 1.380e-06-1.240e-06-7.860e-06 2.471e-04
Ακρίβεια του υλοποιημένου ΣΑ 1 η λύση 1 T 1 C ( EC E ) θ t t y ε δs 0.003977 0.002728 0.001874 1.419e-07 9.739e-08 5.063e-12-7.242e-08-4.965e-08-2.582e-12 1.319e-12 2 η λύση t t y ε δs 0.000967-0.000414 0.000178 3.720e-14 8.775e-14 3.237e-16-3.571e-08 1.530e-08 1.209e-18 1.319e-12
Ακρίβεια του υλοποιημένου ΣΑ 1 η λύση σ = 0.063 m t σ = 0.043 m t y σ ε = 0.464 arcsec σ δs = 1.15 ppm 2 η λύση 1 T 1 C ( EC E ) θ σ = 0.031 m t σ = 0.013 m t y σ ε = 0.004 arcsec σ δs = 1.15 ppm
Πίνακας συντελεστών συσχέτισης (για τις παραμέτρους του υλοποιημένου ΣΑ) 1 η λύση t t y ε δs 1 0.9994 1 0.9998 0.9999 1-0.9998-0.9985-0.9992 1 2 η λύση t t y ε δs 1-0.9991 1 0.0066 0.0366 1-0.9999 0.9993 0.00006 1
Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλέπε επίσης Ebner H (1975) Analysis of covariance matrices. Proceedings of the ISPRS Commission III Symposium, Stuttgart, September 2-6, 1974, pp. 111-121, Deutsche Geodätische Kommission, Reihe B, Heft Nr. 214. Sillard P, Boucher C (2001) A review of algebraic constraints in terrestrial reference frame datum definition. Journal of Geodesy, 75(2): 63-73. ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 2017