Άσκηση: Η προβολή στην τομή δύο υποχώρων Αν P, Q είναι δύο ορθές προβολές σε έναν χώρο Hilbert H και R = P Q είναι η προβολή στην τομή im P im Q, δείξτε ότι, για κάθε x H, Rx = lim (P QP ) x = lim (P Q) x = lim (QP ) x. Εξετάστε πότε οι ακολουθίες τελεστών {(P QP ) }, {(P Q) }, {(QP ) } συγκλίνουν ως προς τη νόρμα του B(H). 1. Σημειακή σύγκλιση. Ο τελεστής T = P QP είναι θετική συστολή (0 T I). Επεται ότι η ακολουθία ((P QP ) ) είναι φθίνουσα. Πράγματι, 1 για κάθε x H, (T T +1 )x, x = T (I T )T x, x = (I T )T x, T x 0 αφού I T 0 και (T +1 T + )x, x = (T T )T x, T x 0 γιατί P Q(I P )QP = P (Q QP Q)P = P QP P QP QP = T T άρα (T T )y, y = P Q(I P )QP y, y = (I P )QP y, QP y 0. Κατά συνέπεια υπάρχει μοναδικός φραγμένος τελεστής E ώστε για κάθε x H, επομένως 0 E I. Για κάθε m N και x H, Ex, x = lim (P QP ) x, x οπότε (P QP ) m Ex = (P QP ) m lim (P QP ) x = lim (P QP )m+ x = Ex E(Ex) = lim m (P QP ) m Ex = Ex, δηλαδή E = E, άρα η E είναι προβολή (αφού είναι και θετικός τελεστής). Ομως (P QP ) m P = (P QP ) m για κάθε m, άρα EP x = lim m (P QP ) m P x = Ex, για κάθε x H, που σημαίνει ότι EP = E, δηλαδή P E. Επίσης, αφού (P QP ) m = (P QP ) m P και (P QP ) = P (P QP ), (P QP ) m QEx = (P QP ) m Q lim (P QP ) x = lim (P QP )m (P QP )(P QP ) x = lim (P QP )m++1 x = Ex 1 Αν θεωρηθεί γνωστό ότι ο T έχει θετική τετραγωνική ρίζα, αρκεί να εξετάσει κανείς τη διαφορά T k T k+1, χωρίς να εξετάσει χωριστά άρτιους και περιττούς όρους. Για κάθε x H η ακολουθία ((P QP ) x, x ) συγκλίνει, οπότε για κάθε x, y H η ακολουθία ((P QP ) x, y ) συγκλίνει και ορίζει μια sesquiliear μορφή φ(x, y) = lim (P QP ) x, y που είναι και φραγμένη εφόσον (P QP ) x, y x y για κάθε x, y H και κάθε N.
άρα EQEx = lim m (P QP ) m QEx = Ex, οπότε EQE = E. Κατά συνέπεια 0 = E EQE = E(I Q)E = EQ E = EQ Q E = (Q E) (Q E) άρα Q E = 0, οπότε E Q. Δείξαμε ότι E R = P Q. Ομως, αν F είναι προβολή τέτοια ώστε F P και F Q, τότε F P = F και F Q = F άρα F (P QP ) = F για κάθε, οπότε F E = F δηλαδή F E. Επεται λοιπόν ότι E = P Q. Τέλος, για κάθε N, επαγωγικά δείχνουμε ότι (P Q) +1 = (P QP ) Q = P (QP Q) (QP ) +1 = (QP Q) P = Q(P QP ) (P QP ) = (P Q) P = P (QP ). Επομένως η σύγκλιση κάθε μιας από τις ακολουθίες αυτές είναι ισοδύναμη με τη σύγκλιση κάθε άλλης. Μάλιστα όλες συγκλίνουν το ίδιο όριο, καθώς για κάθε x H έχουμε lim (P Q) +1 x = lim(p QP ) Qx = RQx = Rx και lim (QP ) +1 x = lim Q(P QP ) x = QRx = Rx.. Σύγκλιση ως προς τη νόρμα του B(H). Αν P 1 = P R και Q 1 = Q R, τότε P 1 Q 1 P 1 = (P R)(Q R)(P R) = P QP R διότι P R = RP = R και QR = RQ = R. Εύκολα δείχνουμε ότι (P 1 Q 1 P 1 ) = (P QP ) R (επαγωγή). Ξέρουμε ότι η ακολουθία {(P QP ) } συγκλίνει κατά σημείο στον R. Άρα συγκλίνει ως προς τη νόρμα του B(H) αν και μόνον αν (P 1 Q 1 P 1 ) 0. Ισχυρισμός 1 (P QP ) R 0 αν και μόνον αν P 1 Q 1 P 1 < 1, δηλαδή αν και μόνον αν P QP R < 1. Απόδειξη: Θέτω A = P 1 Q 1 P 1. Αν (P QP ) R 0, δηλαδή A 0, υπάρχει m N ώστε A m < 1. Εστω N ώστε m = k 0. Τότε A = A k A m A k A m < 1 (αφού A P Q P 1 άρα A k 1). Ομως ο A είναι αυτοσυζυγής, άρα A = A A = A και συνεπώς επαγωγικά A = A < 1 οπότε A < 1. Για το αντίστροφο, αν P QP R < 1, δηλαδή A < 1, τότε A m A m 0. 3. Η συνθήκη P QP R < 1 μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα QP R < 1 ή P Q R < 1
γιατί QP R = (QP R) (QP R) = (P Q R)(QP R) = P QP RQP P QR + R = P QP R. 4. Αποδεικνύεται ότι P Q R < 1 αν και μόνον αν το άθροισμα im P +im Q είναι κλειστός υπόχωρος. Ας υποθέσουμε πρώτα ότι η τομή των υποχώρων M = P (H) και N = Q(H) είναι τετριμένη. Ορίζουμε τότε το «συνημίτονο της γωνίας των υποχώρων» ως εξής cos θ(m, N) = sup{ ξ, η : ξ M, η N, ξ 1, η 1}. Θα δείξουμε ότι το άθροισμα M +N είναι κλειστό αν και μόνον αν οι υπόχωροι M και N «σχηματίζουν θετική γωνία». Παρατήρηση cos θ(m, N) = P Q. Απόδειξη Για κάθε ξ M, η N με ξ 1 και η 1 έχουμε ξ, η = P ξ, Qη = ξ, P Qη P Q άρα cos θ(m, N) P Q. Για την αντίστροφη ανισότητα, αν ɛ > 0, υπάρχουν μοναδιαία διανύσματα x, y H ώστε P Q ɛ < x, P Qy. Παρατηρούμε ότι P Q ɛ < x, P Qy = P x, Qy cos θ(m, N) αφού τα P x και Qy ανήκουν στους M και N αντίστοιχα και έχουν νόρμα το πολύ 1. Πρόταση 3 Εστω ότι P Q = c < 1. Τότε ο υπόχωρος M + N είναι κλειστός. Απόδειξη Παρατηρώ ότι για κάθε x M και y N έχουμε x, y c x y, οπότε x + y = x + y, x + y = x + y + x, y + x, y x + y x, y x + y c x y x + y c( x + y ) Αν x M, y N και η ακολουθία (x + y ) συγκλίνει στο ξ, θα δείξω ότι υπάρχουν x M, y N ώστε x + y = ξ. Πράγματι, η ακολουθία (x + y ) είναι βασική και, από την προηγούμενη ανισότητα, (x + y ) (x m + y m ) = x x m + y y m (1 c)( x x m + y y m ) πράγμα που σημαίνει ότι οι (x ) και (y ) είναι βασικές ακολουθίες, άρα συγκλίνουν και x := lim x M, αφού ο M είναι κλειστός. Ομοίως y := lim y N, οπότε ξ = lim (x + y ) = x + y. Πρόταση 4 Εστω ότι ο υπόχωρος M + N είναι κλειστός. Τότε P Q < 1. Απόδειξη Εφόσον M N = {0}, κάθε z M + N γράφεται κατά μοναδικό τρόπο z = x + y όπου x M και y N. Ορίζεται λοιπόν η «λοξή» προβολή T : M + N M + N από τη σχέση T (z) = x και έχει σύνολο τιμών M και πυρήνα N. Ισχυρισμός: Ο τελεστής T είναι φραγμένος. 3
Απόδειξη Αφού το M + N είναι κλειστό, είναι χώρος Baach. Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι το γράφημα του T είναι κλειστό (Θεώρημα κλειστού γραφήματος). Θεωρούμε μια ακολουθία (ξ, T ξ ) που συγκλίνει στο (0, η) και πρέπει να δείξουμε ότι η = 0. 3 Εχουμε η = lim T ξ M, αφού κάθε T ξ ανήκει στον κλειστό υπόχωρο M. Ομως, αν z = T ξ ξ, τότε T z = T ξ T ξ = 0, άρα z ker T = N για κάθε. Από την άλλη μεριά, z η 0 = η, άρα η N (ο N είναι κλειστός). Συνεπώς, η M N, δηλαδή η = 0. Ισχυρισμός: P Q 1 1, άρα P Q < 1. T Απόδειξη Αν x M και y N είναι μοναδιαία διανύσματα, τότε 1 = x = T (x y) T x y άρα x y 1 T. 1 Συνεπώς T x y = x + y Re x, y άρα Re x, y 1 1 T. Αν γράψουμε τον μιγαδικό αριθμό x, y σε πολική μορφή x, y = e it x, y τότε x, y = x, e it y 1 1 T. Αφού η τελευταία ανισότητα ισχύει για όλα τα μοναδιαία διανύσματα x M και y N, ο Ισχυρισμός αποδείχθηκε. 5. Η γενική περίπτωση. Αν η τομή L = M N δεν είναι τετριμένη, θεωρούμε τους υποχώρους M 1 = M L και N 1 = N L που έχουν τετριμένη τομή. Παρατηρούμε ότι το άθροισμα M +N είναι κλειστό αν και μόνον αν το αθροισμα M 1 +N 1 είναι κλειστό. Πράγματι: Εστω ότι το M + N είναι κλειστό. Αν ξ M 1 + N 1, τότε ξ = lim ξ όπου ξ = x + y με x M 1 και y N 1. Επομένως ξ L άρα και ξ L, οπότε Rξ = 0. Επίσης ξ M + N = M + N άρα υπάρχουν x M, y N ώστε ξ = x + y. Τότε ξ = ξ Rξ = (I R)x + (I R)y M 1 + N 1. Εστω αντίστροφα ότι το M 1 + N 1 είναι κλειστό. Αν η M + N, τότε η = lim η όπου η = u + v με u M και v N, οπότε (I R)η = (I R)u + (I R)v M 1 + N 1 άρα (I R)η = lim (I R)η M 1 + N 1. Επίσης Rη M N M + N, άρα τελικά η = Rη + (I R)η M + N. Απο τα προηγούμενα γνωρίζουμε ότι το M 1 + N 1 είναι κλειστό αν και μόνον αν P 1 Q 1 < 1. Ομως P 1 Q 1 = P Q R. Καταλήγουμε λοιπόν ότι το άθροισμα M + N είναι κλειστό αν και μόνον αν P Q R < 1. 5. Παράδειγμα. Αν {e } είναι μια ορθοκανονική ακολουθία, θέτουμε x = e 1 και y = cos 1 e 1 + si 1 e. Αν M είναι η κλειστή γραμμική θήκη της {x } και N η κλειστή γραμμική θήκη της {y }, τότε εύκολα βλέπουμε ότι M N = {0} και ότι cos θ(m, N) = sup{ x, y : x M, y N, x 1, y 1} sup{ x, y } = 1 3 Αυτό αρκεί: γιατί αν (u, T u ) (u, v) τότε (u u, T (u u)) (0, v T u) οπότε v T u = 0 δηλαδή το (u, v) ανήκει στο γράφημα του T. 4
άρα ο χώρος M + N δεν είναι κλειστός. Μάλιστα μπορεί να επιβεβαιώσει κανείς απευθείας ότι το z = si 1 e ανήκει στον M + N αλλά όχι στον M + N. 4 6. Παρατηρήσεις. (α) Η συνθήκη P Q R < 1 ισχύει κατά τετριμένο τρόπο όταν οι P και Q μετατίθενται: τότε P Q = R. (β) Η συνθήκη P Q R < 1 ισχύει αυτομάτως όταν ο P QP R είναι συμπαγής (αυτό συμβαίνει για παράδειγμα όταν μια από τις προβολές P R ή Q R είναι πεπερασμένης τάξης). Πράγματι, ο τελεστής P QP R είναι θετικός. Αν είναι συμπαγής, έχει, όπως έχουμε δείξει, μία ιδιοτιμή ίση με τη νόρμα του. Αν λοιπόν P Q R = 1, οπότε και P QP R = 1, υπάρχει μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα x με ιδιοτιμή 1, δηλαδή (P QP R)x = x. Τότε όμως Rx = R(P QP R)x = Rx Rx = 0, άρα x = P QP x, οπότε x = (P QP ) x για κάθε N. Αλλά ξέρουμε ότι lim (P QP ) x = Rx = 0, άτοπο! (γ) Ομως η συμπάγεια του P QP R δεν είναι αναγκαία συνθήκη για να είναι το άθροισμα M + N κλειστό. Παράδειγμα: Αν {e } είναι ορθοκανονική βάση ενός χώρου Hilbert, ονομάζουμε M τον κλειστό υπόχωρο που παράγεται από τα {e 1 : N} και N τον κλειστό υπόχωρο που παράγεται από τα {y : N} όπου y = 1 (e 1 + e ) (θετική γωνία: π/4). Εδώ η προβολή P ορίζεται από τις σχέσεις P e 1 = e 1 και P e = 0 και η Q από τις σχέσεις Qe 1 = 1 (e 1 + e ) και Qe = 1 (e 1 + e ). Η προβολή R στην τομή M N είναι 0, και ο τελεστής P QP ορίζεται από τις σχέσεις P QP e 1 = P Qe 1 = 1 e 1 και P QP e = 0. Δηλαδή P QP R = P QP = 1 P : έχουμε P QP R < 1 αλλά ο P QP R δεν είναι συμπαγής. 4 Δες στο http://eclass.uoa.gr/courses/math1 Εγγραφα 006, 4 askagl.pdf 5