Δύο σωµατίδια αλληλοεπιδρούν µε δυνάµεις, οι οποίες απορρέουν από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας του συστήµα τος των δύο σωµατιδίων, η οποία έχει την µορφή: U = -U e -/ όπου η απόσταση των σωµατιδίων και U, θετικές και σταθερές ποσότητες. Εάν το ένα εκ των δύο σωµατιδίων είναι ακίνητο, να δείξε τε ότι το άλλο σωµατίδιο µπορεί να ισορροπήσει σε ορισµένη θέση και να βρεθεί το είδος της ισορροπίας του. ΛΥΣΗ: Επειδή η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας του συστήµατος των δύο σωµατιδίων εξαρτάται µόνο από την απόστασή τους και επειδή το ένα από τα δύο σωµατίδια είναι ακίνητο, η δύναµη F που δέχεται το άλλο είναι κεντρική µε κέντρο την θέση Ο του ακινήτου σωµατιδίου. Για την αλγεβρική τιµή της F ισχύει η σχέση: F = - du d = - d d -U e-/ ) = -U e -/ - e -/ " % F = -U e -/ 1-1) " % Από την 1) παρατηρούµε τα εξής: Σχήµα 1 i) Για > είναι F<, δηλαδη η F είναι ελκτική δύναµη, ii) Για < είναι F>, δηλαδη η F είναι απωστική δύναµη και iii) Για = είναι F=, δηλαδή το ελεύθερο σωµατίδιο στην θέση αυτή ισορροπεί. Eάν το σωµατίδιο αποµακρυνθεί λίγο από την θέση αυτή η F γίνεται διάφορη
του µηδενός, αλλά κατευθύνεται πάντοτε πρός την θέση ισορροπίας Μ του σωµατιδίου, δηλαδή αποτελεί δύναµη επαναφοράς αυτού στην θέση Μ. Το γεγονός αυτό εγγυάται ότι η ισορροπία του σωµατιδίου είναι ευσταθής. Παρατήρηση: Το ότι η ισορροπία του ελεύθερου σωµατιδίου είναι ευσταθής αποδεικνύεται και ως εξής. Προφανώς για = ισχύει: du d = δηλαδή η U) για = παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. Εξάλλου προηγουµένως αποδείχθηκε ότι: du d = -U e-/ 1 - " % d U d = U e -/ 1 - + U e -/ " % d U d = U e -/ 1 - + 1 = U e -/ - " % " % Γιά = είναι: d U d = U e -1-1) = U > e που σηµαίνει ότι το τοπικό ακρότατο είναι ελάχιστο, δηλαδή η ισορροπία του ελεύθερου σωµατιδίου είναι ευσταθής. P.M. fysikos Ένα µικρό σώµα κινείται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ µε τον ορίζοντα, διαγράφωντας καµπύλη τροχιά. Στην διάρκεια της κίνησής του το σώµα δέχεται δύναµη τριβής αντίρ ροπη της ταχύτητάς του, ο δε συντελεστής τριβής ολίσθησής του n µε το κεκλιµένο επίπεδο ικανοποιεί την σχέση n=εφφ. Εάν ο φορέας της ταχύτητας v του σώµατος την στιγµή της εκτόξευσής του πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο είναι κάθετος στην γραµµή x µεγίστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου, να δείξετε την σχέση: v = v 1 + " όπου v η ταχύτητα του σώµατος την στιγµή που το διάνυσµά της σχη µατίζει γωνία θ µε την γραµµή µεγίστης κλίσεως x. ΛΥΣΗ: Το σώµα στην διάρκεια της κίνησής του δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην κάθετη επί το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w και στην
παράλληλη προς αυτό συνιστώσα w x κατά την διεύθυνση x, καθώς και την δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδ ραση N και στην τριβή ολίσθησης T, της οποίας το διάνυσµα είναι αντίρροπο της ταχύτητάς του v. Εξετάζοντας το σώµα σε µια τυχαία θέση της τροχιάς του, όπου το διάνυσµα της ταχύτητάς του σχηµατίζει γωνία θ µε την γραµµή Σχήµα µεγίστης κλίσεως x του κεκλιµένου επίπέδου σχ. ), παρατηρούµε ότι οι δυνά µεις N και w αλληλοαναιρούνται, διότι το σώµα δεν έχει κίνηση κατά την κάθετη προς το κεκλίµενο επίπεδο διεύθυνση, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση: N = w = mg"% 1) όπου m η µάζα του σώµατος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διευθύν ση της εφαπτοµένης της τροχιάς του και κατά την διεύθυνση x παίρνουµε τις σχέσεις: ma ma x = w x "% - T = w x - T"% ma = mg"µ% - nn ) ma x = mg"µ - nn% * 1) a a x = g"µ% - ng% = g"µ - ng%% ) * όπου a η επιτρόχιος επιτάχυνση του σώµατος και a x η επιτάχυνσή του κατά την διεύθυνση x την στιγµή t που το εξετάζουµε. Όµως δίνεται ότι n=εφφ, οπότε οι σχέσεις ) γράφονται: ) a a x = g"µ% - g% = g"µ - g%% ) * + a = g"µ% - "µ) ) a x = g"µ - "µ%)* a = -a x dv = -dv x dv = -dv x 3) όπου dv η στοιχειώδης µεταβολή του µέτρου της ταχύτητάς του v στον στοιχειώδη χρόνο που θεωρείται µετά την χρονική στιγµή t και dv x η
αντίστοιχη µεταβολή του µέτρου της συνιστώσας v x της v κατά την διεύθυνση x. Oλοκληρώνοντας την 3) παίρνουµε: v dv) = - dv x ) v - v = -v x v v x v - v = -v" v + v" = v v = v 1 + " 4) Παρατήρηση: Eάν το κεκλιµένο επίπεδο είναι λείο n=), τότε η επιτάχυνση a x θα είναι στα θερή και η κίνηση του σώµατος κατά την διεύθυνση x της µέγιστης κλίσεως Σχήµα 3 του κέκλιµένου επιπέδου θα είναι οµαλά επιταχυνόµενη µε µηδενική αρχική ταχύτητα, οπότε η µετατόπισή του x σε χρόνο t κατά την διεύθυνση αυτή θα δίνεται από την σχέση: x = a x t / = gt µ"/ 5) Eξάλλου κατά την κάθετη προς την γραµµή µεγίστης κλίσεως διεύθυνση y το σώµα δεν δέχεται καµιά δύναµη που σηµαίνει ότι η κίνησή του κατά την διεύθυνση αυτή είναι οµαλή και η µετατόπισή του y σε χρόνο t θα είναι: y = v t 6) Απαλοίφωντας τον χρόνο t µεταξύ των 5) και 6) παίρνουµε: x = gµ" v y δηλαδή η τροχιά που διαγράφει το σώµα επί του κεκλιµένου επιπέδου είναι παραβολική σχ. 3). P.M. fysikos
To ένα άκρο ελατηρίου αµελητέας µάζας σταθεράς k και φυσικού µήκους είναι ακλόνητο σε σηµείο µιας οροφής στο δε άλλο του άκρο είναι στερεωµένο µικρό σφαιρίδιο µάζας m. Eκτρέ πουµε το σφαιρίδιο από την θέση ισορροπίας του, ώστε ο άξονας του ελατηρίου να σχηµατίσει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση και το αφήνουµε ελευθερο. Να µελετηθεί η κίνηση του σφαιριδίου. Να εξετάσετε ειδικώς την περίπτωση που η αρχική εκτροπή φ του σφαιριδίου είναι µικρή. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σφαιρίδιο κατά µια τυχαία στιγµή t που ο άξονας του ελατηρίου σχηµατίζει µε την κατακόρυφή διεύθυνση γωνία φ, το δε µήκος του ελατηρίου είναι. Oι δυνάµεις που δέχεται το σφαιρίδιο είναι το βάρος του w, που αναλύεται στις συνιστώσες w και w κατα την διευθυνση του µοναδιαίου ακτινικού διανύσµατος e και του µοναδιαίου εφαπτοµενικού διανύσµατος e Σχήµα 4 αντιστοίχως και η τάση T του ελατηρίου µε µέτρο k- ). Eφαρµόζοντας για το σφαίριδιο τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις των µοναδιαίων διανυσµάτων e και e παίρνουµε τις σχέσεις: ma = w - T m d - " d % * ) * + -, - = mg./ - k - ) και d - " d % + k m - ) = g)* 1) " ma = -w m d d + d % = -mgµ d d + d = -g"µ )
όπου a, a οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του σφαιριδίου σε πολικές συντε ταγµένες. Οι σχέσεις 1) και ) αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης του σφαιριδίου, είναι δε λόγω των όρων ηµφ και συνφ που περιέχουν µη γραµ µικές διαφορικές εξισώσεις. Για τον λόγο αυτόν το σύστηµα τους δεν λύνεται αναλυτικά, αλλά µόνο µε αριθµητική ολοκλήρωση µέσω κατάλληλου µαθηµα τικού προγράµµατος που τρέχει σ ένα καλό ηλεκτρονικό υπολογιστή. Σε περί πτωση µικρών αποκλίσεων του σφαιριδίου από την θέση ισορροπίας του µπο ρούµε µε καλή προσέγγιση να θέσουµε ηµφ φ, συνφ 1 και dφ/)d/), οπότε οι δύο διαφορικές εξισώσεις απλοποιούνται. Συγκεκριµένα η ) παίρνει την µορφή: d + g = d + g = d + g = διότι 3) H 3) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συν τελεστές και δέχεται λύση της µορφής φ=φ συνωt, µε ω =g/, δηλαδή η γωνία φ θα µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο. Εξάλλου στην περίπτωση αυτή η διαφορική εξίσωση 1) γράφεται: d - " d % + k 3) m - ) = g d - - "µ"t ) + k m - ) = g d - " µ "t+ k m - d - g "µ t+ k m - d + k m - ) = g ) = g ) = g 1 + "µ t) d - ) + k m - ) = g 1 + "µ t) 4) Η 4) είναι µια µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστες και έχει αναλυτική λύση. P.M. fysikos Το σφαιρίδιο µαθηµατικού εκκρεµούς έχει µάζα m και φέρει θετικό ηλεκτρικό φορτίο q, το δε νήµα του εκκρεµούς έχει
µήκος L. To εκκρεµές βρίσκεται µέσα σε οριζόντιο ηλεκτρικό πεδίο E, του οποίου η αλγεβρική τιµή µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο ακολουθώντας την σχέση: E = E "t όπου Ε, ω θετικές και σταθερές ποσότητες. i) Να βρείτε την διαφορική εξίσωση της κίνησης του σφαιριδίου. ii) Εάν την χρονική στιγµή t= το νήµα του εκκρεµούς σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση µηδενική γωνία και το σφαιρίδιο έχει µηδενική ταχύτητα, να λύσετε την διαφορική εξίσωση στην περίπτω ση µικρής εκτροπής του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση. Εξετάστε ειδικώς την περίπτωση που ισχύει ω =g/l, όπου g η επιτά χυνση της βαρύτητας. Η αντίσταση του αέρα να θεωρηθεί ασήµαντη. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σφαιρίδιο του εκκρεµούς κατά µια τυχαία στιγµή t που η γωνιακή εκτροπή του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση είναι φ. Το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του w, την τάση T του νήµατος και την ηλεκ τρική δύναµη F οµόρροπη του ηλεκτρικού πεδίου E. Εφαρµόζοντας για το σφαιρίδιο τον δεύτερο νόµο της κίνησης του Νευτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης ε) της κυκλικής του τροχιάς παίρνουµε την σχέση: m dv = F - w m dl) = Eq"% - mgµ% 1) Σχήµα 5 όπου v η γραµµική ταχύτητα και η γωνιακή ταχύτητα του σφαιριδίου την στιγµή t που το εξετάζουµε. Όµως ισχύει Ω=dφ/ και Ε=Ε συνωt, οπότε η 1) γράφεται: d + " µ = E q ml %"t% µε = g/l )
Η ) αποτελεί την διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση του σφαιριδίου του εκκρεµούς. ii) Αν περιοριστούµε σε µικρές εκτροπές του νήµατος από την κατακόρυφη δι εύθυνση, τότε µπορούµε µε καλή προσέγγιση να δεχθούµε ηµφ φ και συνφ 1, οπότε η ) παίρνει την µορφή: d + " = E q %"t 3) ml H 3) είναι µια µη οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές για την λύση της οποίας ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Δοκι µάζουµε ως µερική λύση της 3) την συνάρτηση: 1 t) = A"µt + B%t 4) οπότε µε διπλή παραγώγιση της συνάρτησης αυτής θα έχουµε: d 1 t) = A"%"t - B"µ"t d 1 t) = -A" µ"t - B" %"t 5) Αντικαθιστώντας στην 3) την τιµή της δεύτερης παραγώγου εκ της 5) παίρ νουµε την σχέση: -A "µt - B %t + A"µt + B%t) = E q%t / ml A - A)"µt + B - B - E q/ml)%t = 6) Επειδή η 6) πρέπει να ισχύει για κάθε t>, θα ισχύουν οι σχέσεις: A - A = " B - B - E q/ml = A - ) = " B - ) = E q/ml A = " B=E q/ml - ) 7) Συνδυάζοντας τις 4) και 7) παίρνουµε: 1 t) = E q"%t ml% -% ) 8) Η λύση της αντίστοιχης οµογενούς της 3) έχει την µορφή: t) = C 1 "µ t + C % t 9) όπου C 1, C σταθεροί συντελεστές, που θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συν θήκες κίνησης του σφαιριδίου. Η γενική λύση φt) της 3) θα προκύψει ως άθροισµα των λύσεων φ 1 t) και φ t), δηλάδη:
8),9) t) = 1 t) + t) t) = E q"%t ml% -% ) + C 1 µ% t + C "% t 1) Παραγωγίζοντας την 1) ως προς τον χρόνο έχουµε: dt) = - E q"µ"t m" - " ) + C 1 " %" t - C " µ" t 11) Για t= οι σχέσεις 1) και 11) δίνουν: =E q/ml - )+C " =C 1 C =- E q/ml - ) C 1 = " Η τελική εποµένως µορφή της 1) είναι: t) = E q"%t ml% - % ) - E q "% t ml% - % ) t) = E q"%t - "% t) ml% - % ) 1) Όταν ω ω το δευτερο µέλος της 1) καθίσταται απροσδιόριστο και για να αρθεί η απροσδιοριστία του εφαρµόζουµε τον κανόνα de L Ηοspital, οπότε θα έχουµε: %t - % lim t) lim d%t - % t)/d " " - + = * lim d - )/ d " = = lim -tµt) " lim -) " = tµ t Άρα η οριακή µορφή της φt) όταν ω ω, δηλαδή στην κατάσταση συντονι σµού του σφαιριδίου µε το ηλεκτρικό πεδίο, είναι: t) = E q tµ " ml" t ) 14) Η σχέση 14) δεν εκφράζει ηµιτονική µεταβολή µε τον χρόνο της γωνίας φ, αλλα µια πολύπλοκη χρονική εξέλιξη αυτής κατά την οποία παίρνει τιµές που αυξάνονται χρονικά προς το άπειρο και αυτό οφείλεται στον όρο tηµω t). Για να γίνει αυτό αντιληπτό χρησιµοποιούµε την γνωστή σχέση: " ) - 1 "µ t) +1-1 ml" E qt t) +1
E - qt " t) " + E qt 15) ml ml Από την 15) παρατηρούµε ότι οι ευθείες φ t)= ±Ε qt/mlω αποτελούν την περιβάλουσα της συνάρτησης 14), η οποία οριοθετεί τις τιµές της γωνίας φ και Σχήµα 6 τις κατευθύνει προς το άπειρο σχήµα 6 ). Είναι προφανές ότι η περίπτωση αυτή από κάποια χρονική στιγµή και µετά αντιβαίνει µε την αρχική παραδοχή των µικρών αποκλίσεων του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση. P.M. fysikos Ένα σωµατίδιο µάζας m κινείται υπό την επίδραση δύναµης F, που έχει την µορφή: F = k v / 3 ) α) όπου k θετική σταθερά, το διάνυσµα θέσεως του σωµατιδίου ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστήµατος και v η ταχύτητα του σωµατιδίου στο σύστηµα αυτό. i) Να δείξετε ότι η κινητική ενέργεια του σωµατιδίου παραµένει αναλ λοίωτη. ii) Να δείξετε ότι, αν θεωρήσουµε το συνδεδεµένο µε την κίνηση του σωµατιδίου διανυσµα L * µε: L * = m v ) - k / β) το διάνυσµα αυτό είναι χρονικά αναλλοίωτο.
iii) Να δείξετε ότι: L /) = k γ) * και στην συνέχεια ότι, το σωµατίδιο κινείται στην επιφάνεια ενός κώ νου που η κορυφή του είναι το Ο. ΛΥΣΗ: i) Από την σχέση α) προκύπτει ότι, η δύναµη F που ρυθµίζει την κίνηση του σωµατιδίου είναι διαρκώς κάθετη στην ταχύτητά του v που σηµαί νει ότι η δύναµη αυτή δεν παράγει έργο και σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητι κής ενέργειας-έργου η κινητική ενέργεια του σωµατιδίου δεν µεταβάλλεται. ii) Για να αποδείξουµε ότι το διάνυσµα L * είναι χρονικά αναλλοίωτο, αρκεί να δείξουµε ότι η χρονική του παράγωγος είναι µηδενική. Θα έχουµε λοιπόν: d L * =d m v ) -k d " % " = d m % " v + m d v % -k d " % d L * = + F ) - k d " % d L * = F ) - k d όπου το µοναδιαίο διάνυσµα του διανύσµατος θέσεως του σωµατιδίου. Πολλαπλασιάζοντας εξωτερικώς τα µέλη της α) µε το διάνυσµα θα έχουµε: ) = * F ) = k v F Όµως έχουµε: και k v = k " k v ) 3 % + - = k " v., % 3 -. k v 3 ) * - k " v ) ) 3 d ) = k " d + d = k % d v ) k = k v ) 3 = k " d ) % = + k d ----------------------------- * Για τον υπολογισµό του δισεξωτερικού γινοµένου που εµφανίζεται στην πιο πάνω σχέση χρησιµοποιήθηκε η διανυσµατική ταυτότητα: [ a b " c " )] = b " a " c " ) - c " b ) a " " 1)
= k * ) διότι d / " d + d % +, - = k d + " d % + * - = k ), ) =. Έτσι η σχέση ) παίρνει την µορφή: d ) = k F d + k d - k d = k d 3) Συνδυάζοντας την 1) µε την 3) παίρνουµε: d L * = k d - k d = 4) iii) Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά τα δύο µέλη της β) µε το διάνυσµα / παίρνουµε την σχέση: " % ) L * = m v + * ),. - + k " % = m " % v + k = k L * ) = k L * " = k " = k/l * 5) όπου φ η γωνία του σταθερού διανύσµατος L * µε το διάνυσµα θέσεως του σω µατιδίου. Παρατηρούµε ότι η γωνία φ είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι το σωµα τίδιο κινείται πάνω στην επιφάνεια ενός κώνου που έχει κορυφή την αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος ως προς το οποίο αναφέρεται η κίνησή του, το δε άνοιγµα του κώνου είναι ίσο µε φ. P.M. fysikos Δύο σωµατίδια µε µάζες, m φέρουν αντίθετα ηλεκτρικά φορτία ±q και βρίσκονται σε πολύ µεγάλη απόσταση µετα ξύ τους. Τα σωµατίδια υπό την επίδραση της αµοιβαίας έλξεως αρχί ζουν να πλησιάζουν εκ της ηρεµίας. Εάν κάποια στιγµή η µεταξύ τους απόσταση είναι, να δείξετε ότι η σχετική ταχύτητα v " του ενός ως προς το άλλο ικανοποιεί την σχέση: v v " " ) = k C q % + m m όπου k C η σταθερά του νόµου του Coulomb. ) 1η ΛYΣH: Επειδή οι ηλεκτροστατικές δυνάµεις αλληλοεπίδρασης µεταξύ των δύο υλικών σηµείων είναι συντηρητικές, η µηχανική ενέργεια του συστήµατος θεωρούµενη στο συστήµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους διατηρείται σταθε ρή στην διάρκεια της σχετικής τους κίνησης. Η µηχανική αυτή ενέργεια είναι µηδενική όταν τα υλικά σηµεία βρίσκονται σε µεγάλη απόσταση και εξακολου
θεί να παραµένει µηδενική όταν βρεθούν σε απόσταση µεταξύ τους, δηλαδή ισχύει η σχέση: µv " - k Cq = 1) όπου µ η ανηγµένη µάζα του συστήµατος των δύο υλικών σηµείων και v " η αντίστοιχη σχετική ταχύτητα του ενός ως προς το άλλο. Όµως για την ανηγµέ νη µάζα µ έχουµε την σχέση: 1 µ = 1 + 1 m µ = m + m οπότε η 1) γράφεται: m " + m % v - k C q = v " = k C q % + m m v v " " ) = k C q % + m m ) ) η ΛYΣH: Έστω v 1, v οι ταχυτήτες των δύο φορτισµένων σωµατιδίων, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, κατά την χρονική στιγµή που η απόστασή τους είναι. Eπειδή οι ηλεκτροστατικές έλξεις Coulomb ανάµεσα στα δύο σωµατίδια αποτελούν εσωτερικές δυνάµεις για το σύστηµά τους, η ορµή του συστήµατος διατηρείται σταθερή, δηλαδη ισχύει η σχέση: v 1 + m v = v 1 = -m v v 1 = m v v 1 = m v / 3) Eξάλλου, oι ηλεκτροστατικές δυνάµεις αλληλεπίδρασης ανάµεσα στα δύο υλικά σηµεία είναι συντηρητικές όποτε ισχύει για το σύστηµα η αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, δηλαδή έχουµε την σχέση: + = m v 1 1 + m v - k C q 3) m v + m v = k C q m m + ) v m = k C q 1 v = k C q ) m + m 4) Συνδυάζοντας εξάλλου την 3) µε την 4) παίρνουµε: v 1 = m k C q ) m + m v 1 = k Cq m ) + m 5)
Όµως η σχετική ταχύτητα v " του σωµατιδίου µάζας, ως προς το σωµατίδιο µάζας m, υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: v " = v 1 + - v ) 5) Eπειδή τα διανύσµατα v 1 και - v είναι αντίρροπα, για τα µέτρα των διανυσ µάτων της σχέσεως 5) έχουµε v σχ =v 1 +v, η οποία µε βάση τις σχέσεις 3) και 4) γράφεται: Σχήµα 7 v " = k C q m ) + k q C + m ) m + m v " = k C q m % + m ) 1 m + 1 1 m v " = k C q m % + m ) + m m v " = k C q % + m m v v " " ) = k C q % + m m ) P.M. fysikos Mια λεπτή ράβδος µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί το ακίνητο άκρο της O, ώστε να διαγράφει την παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου, του οποίου ο άξονας είναι κατακόρυφος. Kατά µήκος της ράβδου µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή µια µικρή χάν τρα. Eάν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου είναι και η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος µε την κατακόρυφη διεύθυνση είναι φ, να βρείτε: i) την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση της χάντρας στο σύστηµα αναφοράς της στρεφόµενης ράβδου και ii) την σχετική ταχύτητα µε την οποία πρέπει να εκτοξευθεί η χάντρα ως προς την ράβδο από το πάνω άκρο της κατά µήκος αυτής, ώστε η
ελάχιστη απόστασή της από το Ο να είναι L/. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Για ένα παρατηρητή που µετέχει της περιστροφικής κίνησης της ράβδου µη αδρανειακός παρατηρητής) η χάντρα κινείται υπό την επίδραση του βάρους της w, της αδρανειακής φυγόκεντρης δύναµης η οποία διευθύνεται κάθετα στον άξονα περιστροφής της ράβδου µε φορά προς την χάντρα, της αδρα νειακής δύναµης Coiolis F C =- m " v ) της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο επίπεδο των διανυσµάτων v και, όπου v η σχετική ταχύτητα της χάντ ρας ως προς την ράβδο και τέλος της δύναµης επαφής N από την ράβδο, η οποία διευθύνεται κάθετα στην ράβδο και εξουδετερώνει την F C και τις κάθε Σχήµα 8 τες προς την ράβδο συνιστώσες των δυνάµεων w και σχήµα 8). Εφαρµόζον τας ο στρεφόµενος παρατηρητής για την χάντρα τον δεύτερο νοµο κίνησης του Νεύτωνα κατα την διεύθυνση της επιβατικής ακτίνας της χάντρας ως προς το Ο, παίρνει την σχέση: m d = - w m d = Fµ" - mg%" m d = m "µ)"µ - mg% d - "µ = -g% 1) όπου, w οι συνιστώσες των δυνάµεων και w αντιστοίχως κατά την διεύθυνση της ράβδου. Η 1) αποτελεί µιαγραµµική µη οµογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και περιγράφει την σχε τική κίνηση της χάντρας ως προς την περιστρεφόµενη ράβδο. ii) Η 1) µετασχηµατίζεται ως εξής: d - "µ - g% ) =
d "µ - g% ) - "µ - g% ) "µ = d x - "µ ) x = d x -k x = ) όπου τέθηκε ωηµφ=k και x=k -gσυνφ. Η ) δέχεται λύση της µορφής: x = Ae kt + Be -kt 3) όπου Α, Β σταθερές ποσότητες που πρέπει να προσδιοριστούν. Παραγωγίζοντας την ) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: dx/ = kae kt - kbe -kt 4) H 3) την στιγµή t= που η χάντρα εκτοξεύεται από το ανώτερο σηµείο της ράβδου µε σχετική ταχύτητα v και κατεύθυνση προς το Ο δίνει: x = A + B 5) µε x =k L-gσυνφ. Tην χρονική t= έχουµε: dx/) t= = "µ d/) t= = -v k οπότε η 4) για t= δίνει: -v k = ka - kb -v k = A - B 6) Aπό τις 5) και 6) προκύπτουν για τις σταθερές Α και Β οι τιµές: A = x - v k και B = x + v k 7) Για να φθάσει η χάντρα σε ελάχιστη απόσταση L/ από το άκρο Ο της ράβδου πρέπει να υπάρξει χρονική στιγµή Τ που η αντίστοιχη σχετική της ταχύτητα ως προς την ράβδο να µηδενιστεί. Τότε θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: d " % t=t = 1 "µ dx ) % t=t = dx " % t=t 4) = και kae kt - kbe -kt = e kt = B/A 8) 3) 8) x) t=t = k L/ - g" Ae kt + Be -kt = k L/ - g" A B A + B A 7) B = k L/ - g" AB = k L/ - g"
x - v k) x + v k) = k L/ - g" 4 x - v k ) = k L - g" ) 4k 4 L +4g " -8gLk "-4v k =k 4 L +4g " -4k Lg" 3k 4 L - 4k Lg" = 4v k 3k L /4 - Lg" = v v = 3k L / 4 - gl" = 3% L µ / 4 - gl" 9) Η ταχύτητα v είναι αποδεκτή εφ όσον ισχύει: 3 L "µ 4 > gl% ή 3 L 4g > "% µ % P.M. fysikos