Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία

Γενική Ανταγωνιστική Ισορροπία - Υποθέτουμε μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές 1,. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τις συναρτήσεις χρησιμότητας: U ( X, A) 1 1 1 U ( X, A ) : Συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή 1 : Συνάρτηση χρησιμότητας του καταναλωτή όπου Χ i (A i ) είναι η ποσότητα του αγαθού Χ (Α) που καταναλώνει το άτομο i=1,. - Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα περιουσιών: 1

e1 = ( ex1, ea 1) = ( T1,0) : Διάνυσμα περιουσίας του καταναλωτή 1 e = ( e, e ) = ( T,0) : Διάνυσμα περιουσίας του καταναλωτή X A όπου e Χi (e Ai ) είναι η περιουσία που διαθέτει ο καταναλωτής i από το αγαθό Χ (Α). - Κάθε καταναλωτής i κατέχει μερίδιο θ της επιχείρησης i [0,1] (δηλαδή εισπράττει ποσοστό θ i από τα κέρδη της επιχείρησης). -Hσυνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: A = f( L), όπου L είναι η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας και A είναι η παραγόμενη ποσότητα προϊόντος εκ μέρους της επιχείρησης. - Η συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού Χ στην οικονομία είναι: S = e + e = T + T X X1 X 1 - Η συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού Α στην οικονομία είναι: S = e + e + A= A A A1 A

( ) - Ορισμός. Μια κατανομή (allocation) ( X1, A1),(( X, A),( L, A) δείχνει τις ποσότητες των αγαθών που καταναλώνονται από κάθε άτομο, τις χρησιμοποιούμενες ποσότητες εισροών και την ποσότητα του αγαθού που παράγεται από κάθε επιχείρηση στην οικονομία. - Δηλαδή: Μια κατανομή περιγράφει τη χρήση των διαθέσιμων πόρων στην οικονομία. ( ) - Ορισμός. Μια κατανομή ( X1, A1),(( X, A),( L, A) ονομάζεται εφικτή (feasible) για την οικονομία αν: X + X + L T + T A + A A 1 1 1 - Δηλαδή: Μια κατανομή ονομάζεται εφικτή αν η συνολική ποσότητα που καταναλώνεται από κάθε αγαθό δεν υπερβαίνει τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα αυτού του αγαθού στην οικονομία. 3

- Ορισμός. Μια ανταγωνιστική οικονομία που διέπεται από το θεσμό της ατομικής ιδιοκτησίας είναι μια οικονομία όπου: (i) Κάθε αγαθό αποτελεί αντικείμενο συναλλαγής σε μία αγορά (δηλαδή οι αγορές είναι πλήρεις). (ii) Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις έχουν τέλεια πληροφόρηση για τις τιμές όλων των αγαθών. (iii) Οι καταναλωτές και οι επιχειρήσεις λαμβάνουν τις αποφάσεις τους θεωρώντας δεδομένες τις τιμές όλων των αγαθών (δηλαδή όλες οι αγορές είναι πλήρως ανταγωνιστικές). (iv) Οι καταναλωτές επιλέγουν την ποσότητα που θα καταναλώσουν από κάθε αγαθό κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιούν τη χρησιμότητά τους υπό τον εισοδηματικό τους περιορισμό. 4

(v) Οι επιχειρήσεις επιλέγουν τις χρησιμοποιούμενες ποσότητες εισροών (εργασίας) και τις παραγόμενες ποσότητες των αγαθών κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιούν τα κέρδη τους υπό τον τεχνολογικό περιορισμό (δηλαδή υπό τη συνάρτηση παραγωγής). (vi) To εισόδημα κάθε καταναλωτή είναι η αγοραία αξία της περιουσίας του και το μερίδιό του στα κέρδη των επιχειρήσεων. Ανταγωνιστική Ισορροπία - Έστω ότι η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p. - Για κάθε διάνυσμα τιμών (w, p), το εισόδημα (M i ) του καταναλωτή i είναι η αγοραία αξία της περιουσίας του και τo μερίδιο των κερδών που εισπράττει ως ιδιοκτήτης της επιχείρησης: M = w e + p e + θ π = wt + θπ, i= 1,. i Xi Ai i i i 5

- Ορισμός. Μια ανταγωνιστική (ή Βαλρασιανή) ισορροπία στην υπό εξέταση οικονομία αποτελείται από ένα διάνυσμα τιμών ( w*, p*) και * * * * μια εφικτή κατανομή (( X τέτοια ώστε: 1, A1),( X, A),( L*, A*)) (i) Κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό: * * * * * U ( X, A ) U ( X, A ), ( X, A ) R : w X + p A wt + θ π 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 U ( X, A ) U ( X, A ), ( X, A ) R : w X + p A wt + θ π * * * * * + (ii) Κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της υπό τον τεχνολογικό περιορισμό: π( L*, A*) π ( L, A ), ( L, A ) R+ : A f ( L ) (iii) Όλες οι αγορές εκκαθαρίζονται, δηλαδήησυνολικήζήτηση(d) είναι ίση με τη συνολική προσφορά (S) για όλα τα αγαθά: i i D = S X ( w, p) + X ( w, p) + L( w, p) = T + T X X 1 1 D = S A( w, p) + A ( w, p) = A( w, p) A A 1 (Συνθήκη Ισορροπίας στην αγορά του αγαθού Χ) (Συνθήκη Ισορροπίας 6 στην Αγορά του Αγαθού Α)

- Παράδειγμα 1 (Υπολογισμός Ανταγωνιστικής Ισορροπίας). Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές: 1 και. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τις συναρτήσεις χρησιμότητας: U1( X1, A1) = X1+ 3ln A1 U( X, A) = A - Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα: e1 = ( ex1, ea 1) = (4,0) (Ο καταναλωτής 1 διαθέτει 4 μονάδες του αγαθού Χ) e = ( ex, ea) = (0,0) - Ο καταναλωτής είναι ο μοναδικός ιδιοκτήτης της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: A= f( L) = L (Σταθερές Αποδόσεις Κλίμακας) 7

Μεθοδολογία Υπολογισμού Ανταγωνιστικής Ισορροπίας 1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το εισόδημα κάθε καταναλωτή. - Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p. Θέτουμε w=1 (δηλαδή χρησιμοποιούμε το αγαθό Χ ως αποτιμητή) και αναζητούμε την τιμή ισορροπίας ( p*) του αγαθού Α. - To εισόδημα κάθε καταναλωτή είναι η αγοραία αξία της περιουσίας του και το μερίδιο των κερδών που εισπράττει ως ιδιοκτήτης της επιχείρησης: M = w e + p e = (Εισόδημα Καταναλωτή 1) 1 X1 A1 4 M = w e + p e + π = π (Εισόδημα Καταναλωτή ) X A 8

. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (Utility Maximization Problem UMP) για κάθε καταναλωτή. (Δηλαδή, υπολογίζουμε τις συναρτήσεις ζήτησης των αγαθών Χ και Α για κάθε καταναλωτή). - Κάθε καταναλωτής επιλέγει την ποσότητα που θα καταναλώσει από κάθε αγαθό Χ,Α κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό. max U ( X, A) = X + 3ln A { Χ, A } 1 1 1 1 1 1 1 st.. X + pa M = 4 1 1 1 0 X 4, A 0 1 1 - ΗλύσητουUMP 1 είναι: 3 ( X1( p), A1( p) ) = 1, p Καταναλωτής 1 (1) (UMP 1 ) (Συναρτήσεις Ζήτησης των αγαθών Χ, Α για τον καταναλωτή 1) 9

max U ( A ) = A { A } st.. pa M = π A 0 Καταναλωτής (UMP ) - ΗλύσητουUMP είναι: A ( p) π / p = () (Συνάρτηση Ζήτησης του αγαθού Α για τον καταναλωτή ) 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών (Profit Maximization Problem PMP)για κάθε επιχείρηση. (Δηλαδή, υπολογίζουμε τις συναρτήσεις ζήτησης εισροών, τη συνάρτηση προσφοράς και τη συνάρτηση κερδών για κάθε επιχείρηση). 10

- Η ανταγωνιστική επιχείρηση επιλέγει τη χρησιμοποιούμενη ποσότητα εισροών (L) και την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος (Α) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της υπό τον τεχνολογικό περιορισμό (δηλαδή υπό τη συνάρτηση παραγωγής), θεωρώντας δεδομένη την τιμή (p) του αγαθού Α. max Π { LA, } = pa st.. A= L LA, 0 L max Π = (p 1) L { L} st.. L 0 (PMP) - ΗλύσητουPMP είναι: 0, αν p < 1/ L( p ) = 0, αν p = 1/ (3) (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας), αν p > 1/ 11

- Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση ζήτησης εργασίας (3) στη συνάρτηση παραγωγής και παίρνουμε τη συνάρτηση προσφοράς της επιχείρησης: 0, αν p < 1/ A( p) = L( p) = 0, αν p = 1/ (4) (Συνάρτηση Προσφοράς), αν p > 1/ - Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση ζήτησης εργασίας (3) και τη συνάρτηση προσφοράς (4) στην αντικειμενική συνάρτηση του PMP και παίρνουμε τη συνάρτηση κερδών της επιχείρησης: 0, αν p 1/ π ( p) = (p 1) L( p) = (5) (Συνάρτηση Κερδών), αν p > 1/ 1

4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και λύνουμε ως προς την τιμή ισορροπίας. i D = S X ( p) + L( p ) = 4 X X 1 D = S A( p) + A ( p) = A( p) i (Ισορροπία στην Αγορά του Αγαθού Α) A A 1 (Ισορροπία στην Αγορά του αγαθού Χ) - Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά του αγαθού Χ και λύνουμε ως προς την τιμή ισορροπίας ( p*). Για p < 1/, είναι: (1) X ( p) + L( p) = 4 1+ 0= 4 : Αδύνατο 1 Για p > 1/, είναι: 1 (3) (1) X ( p) + L( p) = 4 1+ = 4 : Αδύνατο (3) Για p = 1/, είναι: 1 (1) X ( p) + L( p) = 4 1+ L= 4 L= 3 (3) 13

- Χρησιμοποιούμε την τιμή ισορροπίας (p*=1/) γιαναυπολογίσουμε τα κέρδη, τις ποσότητες και τις χρησιμότητες ισορροπίας: π * = 0, L = 3, A = 6, A = 6, A = 0, X =1 U = 1+ 3ln 6, U = 0 * * * * * * * 1 1 1 - Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι: ( w*, p*) = (1, 1/) ( * * * * * * ( X ) 1, A1),( X, A),( L, A ) = ((1,6), (0,0), (3,6)) ( * * U ) 1 U * π, = (1+ 3ln6, 0) = 0 (Τιμές Ισορροπίας) (Χρησιμότητες Ισορροπίας) (Κέρδη Ισορροπίας) (Κατανομή Ισορροπίας) 14

- Παράδειγμα. Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές: 1 και. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τις συναρτήσεις χρησιμότητας: U1( X1, A1) = X1+ 3ln A1 U( X, A) = A - Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα: e1 = ( ex1, ea 1) = (,0) e = ( ex, ea) = (0,0) - Οι καταναλωτές 1, μοιράζονται εξίσου τα κέρδη της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: A = 4 L (Φθίνουσες Αποδόσεις Κλίμακας) 15

- Υπολογίζουμε την ανταγωνιστική ισορροπία για τη συγκεκριμένη οικονομία, ακολουθώντας τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω. 1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το εισόδημα κάθε καταναλωτή. - Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p. Θέτουμε w=1 και αναζητούμε την τιμή ισορροπίας ( p*) του αγαθού Α. - To εισόδημα κάθε καταναλωτή είναι η αγοραία αξία της περιουσίας του και το μερίδιο των κερδών που εισπράττει ως ιδιοκτήτης της επιχείρησης: π π M1 = w ex1+ p ea 1+ = + (Εισόδημα Καταναλωτή 1) π π M = w ex + p ea + = (Εισόδημα Καταναλωτή ) 16

. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για κάθε καταναλωτή. Καταναλωτής 1 max U ( X, A) = X + 3ln A { Χ, A } 1 1 1 1 1 1 1 st.. X + pa M = + π / 1 1 1 0 X, A 0 1 1 - ΗλύσητουUMP 1 είναι: (UMP 1 ) 4 + π 0,, αν π p ( ( ), ( )) X p A p = 1 1 π 3 1,, αν π 6 p π,, αν π 6 p (1) (Συναρτήσεις Ζήτησης τωναγαθώνχ, Α για τον καταναλωτή 1) 17

max U ( A ) = A { A } st.. pa M = π / A 0 Καταναλωτής (UMP ) - ΗλύσητουUMP είναι: A ( p) π /p = (Συνάρτηση Ζήτησης του αγαθού Α () για τον καταναλωτή ) 3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε επιχείρηση. max Π = pa L { LA, } st.. A= 4 L LA, 0 max Π = 4 p L L { L} st.. L 0 (PMP) 18

- ΗλύσητουPMP είναι: L( p) 4 = p (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας) A( p) 8p (3) (4) = (Συνάρτηση Προσφοράς) (5) π ( p) = 4p (Συνάρτηση Κερδών) 4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και λύνουμε ως προς την τιμή ισορροπίας. i i D = S X ( p) + L( p ) = X X 1 D = S A( p) + A ( p) = A( p) A A 1 - Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά του αγαθού Χ και λύνουμε ως προς p. (5) Για π p 1/, είναι: (1) 1( ) + ( ) = 0+ 4 = = 1/ (3) X p L p p p (Ισορροπία στην Αγορά του αγαθού Χ) (Ισορροπία στην Αγορά του Αγαθού Α) 19

(5) Για π 6 1/ p 3/, είναι: π X p L p p p (1) 1( ) + ( ) = 1+ 4 = = 1/ (3) (5) Για π 6 p 3/, είναι: (1) 1( ) + ( ) = + 4 = = 0 : Απορρίπτεται (3) X p L p p p - Χρησιμοποιούμε την τιμή ισορροπίας (p*=1/ ) για να υπολογίσουμε τα κέρδη, τις ποσότητες και τις χρησιμότητες ισορροπίας: π * =, L =, A = 4, A = 3, A =, X = 0 U = 3ln(3 ), U = * * * * * * * 1 1 1 - Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι: ( w*, p*) = (1, 1/ ) ( * * * * * * ( X ) ( ) 1, A1),( X, A),( L, A ) = (0,3 ), (0, ), (, 4 ) ( * * U ) 1 U * π, = (3ln(3 ), ) = (Τιμές Ισορροπίας) (Χρησιμότητες Ισορροπίας) (Κέρδη Ισορροπίας) (Κατανομή Ισορροπίας) 0

- Παράδειγμα 3. Έστω μια οικονομία που αποτελείται από: Δύο καταναλωτές: 1 και. Μία επιχείρηση. Δύο αγαθά: τον ελεύθερο χρόνο Χ και το καταναλωτικό αγαθό Α. - Οι προτιμήσεις των καταναλωτών παριστάνονται από τις συναρτήσεις χρησιμότητας: U ( X, A) = X + A 1 1 1 1 1 U( X, A) = X + A - Οι περιουσίες των καταναλωτών παριστάνονται από τα διανύσματα: e1 = ( ex1, ea 1) = (,0) e = ( ex, ea) = (,0) - Οι καταναλωτές 1, μοιράζονται εξίσου τα κέρδη της επιχείρησης. - Η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: A = L (Σταθερές Αποδόσεις Κλίμακας) 1

- Υπολογίζουμε την ανταγωνιστική ισορροπία για τη συγκεκριμένη οικονομία, ακολουθώντας τη μεθοδολογία που περιγράφτηκε παραπάνω. 1. Ορίζουμε μία τιμή για κάθε αγαθό και υπολογίζουμε το εισόδημα κάθε καταναλωτή. - Η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Α είναι p. Θέτουμε w=1 και αναζητούμε την τιμή ισορροπίας ( p*) του αγαθού Α. - To εισόδημα κάθε καταναλωτή είναι η αγοραία αξία της περιουσίας του και το μερίδιο των κερδών που εισπράττει ως ιδιοκτήτης της επιχείρησης: π π M1 = w ex1+ p ea 1+ = + (Εισόδημα Καταναλωτή 1) π π M = w ex + p ea + = + (Εισόδημα Καταναλωτή )

. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας για κάθε καταναλωτή. max U ( X, A) = X + A { Χ, A } 1 1 1 1 1 1 1 st.. X + pa M = + π / 1 1 1 0 X, A 0 1 1 - ΗλύσητουUMP 1 είναι: ( ( ), ( )) X p A p = 1 1 Καταναλωτής 1 (UMP 1 ) 4 + π 0,, αν p p 4+ π π 1 1 +,, αν p p p 4+ π π π,, αν p p π (1) (Συναρτήσεις Ζήτησης τωναγαθώνχ, Α για τον καταναλωτή 1) 3

Καταναλωτής max U ( X, A ) = X + A { X, A } st.. X + pa M = + π / 0 X, A 0 - ΗλύσητουUMP είναι: ( ( ), ( )) X p A p = (UMP 1 ) 4 + π 0,, αν p p 4+ π π 1 1 +,, αν p p p 4+ π π π,, αν p p π () (Συναρτήσεις Ζήτησης τωναγαθώνχ, Α για τον καταναλωτή ) 4

3. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών για κάθε επιχείρηση. max Π { LA, } st.. A= L LA, 0 = pa L max Π = ( p 1) L { L} st.. L 0 (PMP) - ΗλύσητουPMP είναι: L( p ) = 0, αν p < 1 0, αν p = 1, αν p > 1 (3) (Συνάρτηση Ζήτησης Εργασίας) 0, αν p < 1 A( p) = L( p) = 0, αν p = 1 (4), αν p > 1 (Συνάρτηση Προσφοράς) 5

0, αν p 1 π ( p) = ( p 1) L( p) = (5) (Συνάρτηση Κερδών), αν p > 1 4. Γράφουμε τις συνθήκες ισορροπίας για όλες τις αγορές και λύνουμε ως προς την τιμή ισορροπίας. i i D = S X ( p) + X ( p) + L( p) = 4 X X 1 D = S A( p) + A ( p) = A( p) A A 1 (Ισορροπία στην Αγορά του αγαθού Χ) (Ισορροπία στην Αγορά του Αγαθού Α) - Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη ισορροπίας στην αγορά του αγαθού Χ και λύνουμε ως προς p. Για p<1, είναι: 1 (1),() X ( p) + X ( p) + L( p) = 4 (3),(5) 0+ 0+ 0= 4 : Αδύνατο, αν p 1/ 1 1 0 4 : Αδύνατο, αν 1/ p 1 p + p + =

Για p>1, είναι: - Χρησιμοποιούμε την τιμή ισορροπίας (p*=1) για να υπολογίσουμε τα κέρδη, τις ποσότητες και τις χρησιμότητες ισορροπίας: π * = 0, L = A =, A = A = 1, X = X =1 U = U = 3 * * * * * * * * 1 1 1 - Άρα, η ανταγωνιστική ισορροπία στην οικονομία είναι: ( w*, p*) = (1, 1) ( * * * * * * ( X ) 1, A1),( X, A),( L, A ) = ((1,1), (1,1), (, ) ) ( * * U ) 1, U = (3,3) * π 1 = 0 (1),() X ( p) + X ( p) + L( p) = 4 + + = 4 : Αδύνατο (3),(5) Για p=1, είναι: (1),() 1 1 X1( p) + X( p) + L( p) = 4 L 4 L (3),(5) p + p + = = (Τιμές Ισορροπίας) (Χρησιμότητες Ισορροπίας) (Κέρδη Ισορροπίας) (Κατανομή Ισορροπίας) 7