ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης ln( + α) β..να βρεθεί η συνάρτηση από τα σημεία 0,,,. + α β, α, β R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται.να βρεθεί ο ακέραιος λ ώστε η σχέση.να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων + + 8 + f 0 f 0+ 6 f + + 6 + f + + 6 + + log, 6λ να είναι συνάρτηση., λ + log( + ) f ln( ) f [ ] log log( ) f συν π εφ + ηµ ( ) f + 0 + f + + + log ( 0) + ( + ) f 6 7 + + 7 ηµ 6.Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να έχουν πεδίο ορισμού το R α + α α α + f α + α ln( α ) 77
6.Δίνεται η σχέση ( λ ] [ λ λ ),,. Να βρεθεί ο φυσικός αριθμός λ ώστε η σχέση, +, + f να είναι συνάρτηση. Κατόπιν να γίνει η γραφική παράσταση της f και με τη βοήθεια αυτής να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της. 7.Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές τις παρακάτω συναρτήσεις : + + + f ln f + + f e + 6 f + 8.Αν οι παρακάτω σχέσεις ισχύουν για κάθε R (εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά) να βρείτε τους τύπους των συναρτήσεων : f( ), ± f( ) + f, ( ) f + + + f f + f f 0, 9. Αν οι παρακάτω σχέση ισχύει για κάθε ±, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης + f + f + 0.Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f :R R που να ικανοποιεί τη σχέση.να βρεθούν τα σημεία τομής των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες : f + f + + 6, [, 0] + f e f + f. + + f ( ) ( ).Να βρεθούν τα κοινά σημεία (σημεία τομής) των παρακάτω συναρτήσεων : και g + + και g + + και g + + και g + και e και g f g + e ln + +.Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα. i) f + 6 8 ii) f + ln ii) i) ( + ) e e.να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα. i) + + 8 ii).να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις f και g είναι ίσες. Αν είναι f g, να βρείτε το «ευρύτερο» υποσύνολο του R για το οποίο ισχύει g. ln και g ln ln και g ln + και g + ( ) και f g 78
+ και g f ηµ + συν + + ln( + ) ln( ) και g f και g και + ln. g + και g( ) log ( ) και g ( ) log + 6.Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α,β ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις f, g να είναι ίσες. αα ( + ) ( α ) + α ( α+ ) α+ i) και g ii) και g α + + α +α + β + β iii) ( α+ ) + και g ( +β) iv) ln( α) ln( β + ) και g ln β + β 7.Να βρεθούν οι συναρτήσεις f f + 8. Αν και g e + και g + και g e + e + g, f g, f g, f g στις παρακάτω περιπτώσεις : ( ) f ln και g, < 7 +, 7 και g, να βρεθούν οι συναρτήσεις : i) f g ln + + ii) f gf + 9.Αν και g, να βρεθούν οι συναρτήσεις : i) ( f g) ii) f( f+ g) 0.Αν για τις συναρτήσεις f : A R, g: B R ισχύει f g, να δείξετε ότι f g.να ορίσετε τις συναρτήσεις fo g, go f, fo f, go g αν : + και g 0, 0 και g και g + e και g 7, [ ] + + 6 και g + και g ( ) ln ( + ) ηµ και g.αν.αν, 0 και g i) ( fo g) o f ii) f f o g + και g f o f + g, [ ] ( ] +, 0,, 0, 0, [ ]. και g ( ) f και g, (, ], να ορίσετε τις συναρτήσεις :, ( 0, ], να ορίσετε τις συναρτήσεις : ( f+ g) o( f g) και g,, +, >,.Να βρείτε τις τιμές των α,β R ώστε για τις συναρτήσεις α+ β και g ισχύει fo g go f. α β να 79
.Αν + α β, να βρείτε τα α,β R ώστε να ισχύει ( f f) f( ) o + 0 6.Να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ των α,β R ώστε για τις συναρτήσεις g α β να ισχύει fo g go f. + 7. Δίνονται οι συναρτήσεις τα α,β,γ,δ R ώστε να ισχύει fo g go f. α+ β και g 8.Να βρείτε τις τιμές των α,β R ώστε να ισχύει : i) g ii) ( go f) με α, g +β 9.Να βρείτε τις τιμές των α,β R ώστε να ισχύει :i) ( o ) g +β ii)( go f) 6+ με α + β, g α β 0.Για τις συναρτήσεις ( fo g) o h fo( go h) α+ β, g και γ+ δ. Να βρείτε τη συνθήκη που ικανοποιούν γ, h f o g + f f με με α+ β, f + α+ β, δ+ ε, α,β,γ,δ,ε R να δείξετε ότι.να βρεθεί η συνάρτηση f :R R αν ισχύει : g και ( fo g) + 6 g και ( fo g) 7+ g και ( fo g) + g + και ( go f) +. Αν f συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [ ),+, να ορίσετε την συνάρτηση g f( ). Αν f συνάρτηση με f :[ 0, ] R, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. ηµ.. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει f( ) + + και για τη συνάρτηση g:r R ισχύει g f o f okof, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ν φορές. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας μονοτονιών: f f f f g g g g fog gof fof f+g f-g f. g f/g 6. Να βρείτε τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων, αν υπάρχουν: f f f ln f 6+9, [,+ f,, f ++ f
f, 0 +, >0 7. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της αντίστροφης μιας συνάρτησης f. Να βρείτε: 0,,,,, 8. Δίνεται συνάρτηση :R R τέτοια ώστε για κάθε, R, να ισχύει. + > +. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 9. Να δείξετε ότι κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα. 0. Δίνονται συναρτήσεις, :R R, τέτοιες ώστε + +7 για κάθε R. Αν η ευθεία τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα τουλάχιστον σημείο, να δείξετε ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο.. Αν η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,), τότε: α) να λύσετε την εξίσωση + + β) να λύσετε την ανίσωση + + <.. Έστω οι συναρτήσεις, :R R, τέτοιες ώστε για κάθε R να ισχύει + + +0,, 0. Αν η είναι -, τότε να δείξετε ότι και η είναι -.. Αν η συνάρτηση :R R είναι γνησίως αύξουσα στο R και για κάθε R ισχύει, να δείξετε ότι για κάθε R.. Έστω η συνάρτηση +.
i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. ii) Να βρείτε την αντίστροφή της. iii) Να λύσετε την εξίσωση ++.. Δείξτε ότι η συνάρτηση για την οποία ισχύει, R, δεν είναι αντιστρέψιμη. 6. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση +, R είναι γνησίως αύξουσα. i) Να λύσετε την εξίσωση. ii) Να λύσετε την ανίσωση + <9. iii) Να λύσετε την ανίσωση > + +0. 7. Έστω :R R γνησίως φθίνουσα συνάρτηση τέτοια ώστε. Να δείξετε ότι, για κάθε R. 8. Δίνεται η συνάρτηση + + i) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης. ii) Να λύσετε την ανίσωση +. 9. Δίνεται η συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει 0 +, για κάθε R. i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη ii) Να βρείτε την τιμή 0. iii) Αν το σημείο (,) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης, να λυθεί η εξίσωση +0. 0. Έστω η συνάρτηση :R R τέτοια ώστε για κάθε R ισχύει [ + + 0. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης.. Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύει 0 + για κάθε R. Να δείξετε ότι i) Η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη. ii) R R. iii). iv) 0 + 0 +. Δίνεται η συνάρτηση,, R. Να βρεθούν οι τιμές των, ώστε η συνάρτηση να έχει σύνολο τιμών το διάστημα [-,].