ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ y t x Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 ΤΥΠΟΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Analog: Continuous Time & Continuous Amplitude Sampled: Discrete Time & Continuous Amplitude Digital: Discrete Time & Discrete Amplitude Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 2

Δειγµατοληψία è Ακολουθίες (Sequences) Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 3 BASIC SEQUENCES 4Unit sample of Unit impulse sequence δ ( n) 1, = 0, n = 0 n 0 4Unit step sequence u ( n) 1, = 0, n 0 n < 0 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 4

4Constant sequence x ( n) = A 4Linear sequence x ( n) = An Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 5 Exponential 0<a<1 n ( n) a x = a>1 1<a<0 a<-1 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 6

n ( n) a x = jω a = re r<1 r>1 r=1 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 7 TRANSFORMATION OF THE INDEPENDENT VARIABLE (TIME) SHIFTED SEQUENCES 4Shifted sample sequence: δ Examples: ( n n ) 0 1, = 0, n = n 0 n n 0 i.e. where the argument of δ( ) is zero. ( n ) 3 δ + 4 ( n ) 3δ 4 3-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 n -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 n Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 8

TRANSFORMATION OF THE INDEPENDENT VARIABLE (TIME) 4Shifted Unit Step sequence: u ( n n ) 0 1, = 0, n n 0 n < n 0 i.e. where the argument of u( ) is zero or positive. Examples: Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 9 4Pulse: p( n) = u( n) u( n N ) p( n) u( n) u ( n N )...................................................... 0 N-1 n............ 0 n............... 0 N n 4Unit sample (impulse): δ ( n) = u( n) u( n 1) i.e. δ(n) is referred to as the first-order difference of u(n). Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 10

Άσκηση Να εκφράσετε τον παλµό διακριτού χρόνου p(n) ως συνδυασµό βηµατικών ακολουθιών Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 11 Λύση 1 Η ακολουθία p(n) µπορεί να εκφραστεί ως διαφορά δύο βηµατικών ακολουθιών, από τις οποίες η µία είναι ολισθηµένη ως προς την άλλη κατά 4 µονάδες (δείγµατα). Έχουµε, δηλαδή, p(n) = u(n) u(n 4) Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 12

Λύση 2 p(n) = δ(n) + δ(n 1) + δ(n 2) + δ(n 3) δ(n) = u(n) u(n 1) δ(n 1) = u(n 1) u(n 2) δ(n 2) = u(n 2) u(n 3) δ(n 3) = u(n 3) u(n 4) Προσθέτοντας κατά µέλη καταλήγουµε και πάλι στο ίδιο αποτέλεσµα p(n) = u(n) u(n 4). Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 13 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 14

Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 15 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 16

x(n) 3 2 2-2 -1 0 1 2 n x -2 ( n) = 2δ ( n + 2) 2δ ( n + 1) + 3δ ( n) δ ( n 1) + 2δ ( n 2) -1 Δεδοµένου ότι x(n) δ(n) = x(0) δ(n) και γενικά x(n) δ(n-n0) = x(n0) δ(n-n0) Η σχέση αυτή γίνεται: x(n) = x(-2) δ(n+2) + x(-1) δ(n+1) + x(0) δ(n) + x(1) δ(n-1) + x(2) δ(n-2) Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 17 Κάθε ακολουθία μπορεί να εκφραστεί ως σταθμισμένο άθροισμα ολισθημένων μοναδιαίων κρουστικών. ( ) = x( m) δ( n m) x n m = Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 18

TRANSFORMATION OF THE INDEPENDENT VARIABLE (TIME) SHIFTED SEQUENCES DELAYED ADVANCED Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 19 TRANSFORMATION OF THE INDEPENDENT VARIABLE (TIME) SHIFTING & FOLDING STEP 1: SHIFT (DELAY or ADVANCE) STEP 2: FOLD (or REFLECT) Important: The operations of folding and shifting are NOT commutative! Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 20

TRANSFORMATION OF THE INDEPENDENT VARIABLE (TIME) TMESCALING or DOWN-SAMPLING Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 21 TRANSFORMATION OF THE INDEPENDENT VARIABLE (TIME) TMESCALING or DOWN-SAMPLING (Matlab demo) Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 22

ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 23 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 24

Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 29 ΕΝΕΡΓΕΙΑ & ΙΣΧΥΣ ΣΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 30

Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 37 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑ ΣΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 38

Περιοδικές ακολουθίες ( n N ) x( n) x + = n x( n) Period N=6-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (a) Sequence of period 6 n Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 39 x( n) Period N=8-2 -1 0 1 2 3 4 5 (b) Sequence of period 8 x( n) 6 7 8 9 n -1 0 1 2 3 4 5 6 n Period N=3 (c) Sequence of period 3 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 40

https://www.youtube.com/watch?v=ahoeyb6qq2c Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 41 ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗ Σ.Δ.Χ. & ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 42

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ Ν ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΥ Σ.Δ.Χ. Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 43 Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 44

ΕΠΙΔΕΙΞΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 51