HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Σήματα διακριτού χρόνου

Transcript

1 HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 1: Εισαγωγή Διάλεξη 1: Εισαγωγή Σήματα διακριτού χρόνου

2 Γενικές πληροφορίες Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης Γραφείο: 41 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας) Ηλ. Ταχ.: Πρόγραμμα Διδασκαλίας: Τρίτη και Παρασκευή, 1:3 12:, Αίθουσα: ΧΩΔ2 117 Ιστοσελίδα Μαθήματος: Βιβλιογραφία Μαθήματος A.V. Oppenheim and R.W. Schafer "Discrete time Signal Processing", 3rd ed., Pearson Education, 27. J.G. Proakis, and D.K. Manolakis, "Digital Signal Processing", 4th Ed., Pearson Education, 26. Γ. Β. Μουστακίδης, "Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Επεξεργασίας Σημάτων", Εκδόσεις Τζιόλα 24. Α. Αντωνίου, Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος: Σήματα, Συστήματα και Φίλτρα», Εκδόσεις Τζιόλα 29. S.K. Mitra, "Digital Signal Processing: A computer based approach", 2nd Ed., McGraw Hill. J. H. McClellan, R. W. Schafer, M. A. Yoder, "DSP First Approach", Matlab Curriculum series, Prentice Hall. V.K. Ingle and J.G. Proakis. Digital Signal Processing Using MATLAB. Thomson Engineering.

3 Περιγραφή Μαθήματος Επισκόπηση σημάτων και συστημάτων διακριτού χρόνου Τυχαία/ Στοχαστικά σήματα και ΓΧΑ συστήματα Μετασχηματισμός Ζ Δειγματοληψία και ανακατασκευή ψηφιακών σημάτων Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων διακριτού χρόνου Ψηφιακά φίλτρα IIR και FIR Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) Αλγόριθμοι υπολογισμού DFT, γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (FFT) Εφαρμογές επεξεργασίας ψηφιακών σημάτων Προχωρημένες ρημ τεχνικές επεξεργασίας ψηφιακών σημάτων (φασματογράφημα, Μετασχηματισμός Fourier μικρής διάρκειας, προσαρμοζόμενα φίλτρα, κυμάτια (wavelets))

4 Αξιολόγηση και Βαθμολόγηση Τελική Εξέταση 5 % Ενδιάμεση Εξέταση 35 % (προκαταρκτική ημερομηνία Σειρές Ασκήσεων και προγραμματιστικές ασκήσεις (Matlab) 15 %

5 Εισαγωγή Σήμα: Το σύνολο των τιμών που μπορεί να λάβει μια φυσική ποσότητα Μαθηματικά: Συνάρτηση ή ακολουθία μιας (μονοδιάστατο σήμα) η περισσότερων (δισδιάστατο κλπ) ανεξάρτητων μεταβλητών (χρόνος ή χώρος) ) x(t): Σήμα συνεχούς χρόνου x[n]: Σήμα διακριτού χρόνου x[m,n]: Δισδιάστατο σήμα Τα σήματα είναι συναρτήσεις (ακολουθίες) ανεξάρτητων μεταβλητών που μεταφέρουν πληροφορία

6 Εισαγωγή γή Μονοδιάστατα σήματα: Μια ανεξάρτητη μεταβλητή (συνήθως χρόνος x(t), x[n]) Ηλεκτρικά σήματα (τάση, ρεύμα σε κύκλωμα RC) Ακουστικά/Ηχητικά σήματα (φωνή) Δισδιάστατα/ Πολυδιάστατα σήματα Εικόνες/Video (ανεξάρτητες μεταβλητές χώρος, χώρος και χρόνος) Ασπρόμαυρη εικόνα [2d, i(x,y)] Έγχρωμο Video [3x3d, i{r(x,y,t), g(x,y,t), b(x,y,t)}]

7 Εισαγωγή Οικονομετρικά σήματα (Χρηματιστηριακός ό δείκτης) ) Βιολογικά σήματα (Εγκεφαλογράφημα, Καρδιογράφημα, μικροσυστοιχίες)

8 Εισαγωγή γή Σήματα συνεχούς χρόνου (Continuous Time signals) x(t), t: συνεχής μεταβλητή Συνεχούς πλάτους (Αναλογικά) Διακριτού πλάτους Σήματα διακριτού χρόνου Discrete Time signals x[n] ή x[nt], n: ακέραιος αριθμός Συνεχούς πλάτους Διακριτού πλάτους (Ψηφιακά) Τα περισσότερα φυσικά σήματα είναι αναλογικά Η αναπαράσταση ενός σήματος στον υπολογιστή γίνεται ψηφιακά Η ανάλυση ψηφιακών σημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου ακολουθεί τις ίδιες γραμμές

9 Εισαγωγή γή Ιστορικά Στοιχεία Πριν από τη δεκαετία του 5 επεξεργασία αναλογικών σημάτων με ηλεκτρονικά κυκλώματα ή μηχανικές συσκευές Δεκαετία 5 προσομοιώσεις πριν την κατασκευή του αναλογικού επεξεργαστή 1965 Fast Fourier Transform (FFT) από τους Cooley and Tukey δίνει τη δυνατότητα επεξεργασίας ξργ πραγματικού χρόνου Δεκαετία του 8 Ολοκληρωμένα κυκλώματα για επεξεργασία σημάτων Μορφομετατροπείς (transducers) Π.χ. μικρόφωνα Αναλογο-Ψηφιακός Μετατροπέας (Analog-to-Digital Converter ADC) Φυσικά Σήματα α Αναλογικά Σήματα Συσκευές Εξόδου (Output Devices) Π.χ. Μεγάφωνα Ψηφιο-Αναλογικός Μετατροπέας (Digital-to-Analog Converter DAC) Ψηφιακά Σήματα

10 Εισαγωγή γή Στο μάθημα θα ασχοληθούμε με μεθοδολογίες ανάλυσης σημάτων διακριτού χρόνου, αλλά θα εξετάσουμε ποιες είναι οι συνέπειες της κβαντοποίησης του πλάτους του σήματος Εφαρμογές Ανάλυση ομιλίας Βελτίωση, αφαίρεση θορύβου Κωδικοποίηση Σύνθεση ομιλίας από κείμενο ( text to speech synthesis) Αναγνώριση Ανάλυση Εικόνας Βελτίωση, λί κωδικοποίηση, αναγνώριση Επεξεργασία πολυμέσων Μετάδοση σημάτων Ψηφιακή τηλεόραση Τηλεδιάσκεψη Τηλεπικοινωνίες Βιοϊατρική Τεχνολογία Ανάλυση ιατρικών εικόνων και σημάτων Αναγνώριση προτύπων (pattern recognition) Πλοήγηση, ραντάρ, GPS Έλεγχος, ρομποτική, συστήματα μηχανικής όρασης (machine vision)

11 Εισαγωγή Σύστημα: Κάθε οντότητα που δρα σε ένα σήμα (είσοδος) και το μετατρέπει σε ένα άλλο σήμα (έξοδος) Μαθηματικά: Ο μετασχηματισμός S που μετατρέπει το σήμα εισόδου x x S y στο σήμα εξόδου y y=s[x] Συστήματα συνεχούς χρόνου: x,y σήματα συνεχούς χρόνου Συστήματα διακριτού χρόνου: x,y σήματα διακριτού χρόνου Ο μετασχηματισμός S μπορεί να λάβει διάφορες μορφές όπως Διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών Κρουστική απόκριση (συνεχής ή διακριτός χρόνος) Μη γραμμικοί τελεστές (συνεχής ή διακριτός χρόνος) Όταν τα S, x είναι γνωστά και ζητούμενο είναι το y: ανάλυση, προσομοίωση συστημάτων (analysis, simulation) Όταν το S είναι άγνωστο και τα x,y γνωστά: αναγνώριση συστημάτων (identification)

12 Εισαγωγή Ηλεκτρικά κυκλώματα (κύκλωμα RLC) Στοιχεία κυκλωμάτων i(t) i(t) i(t) υ(t) ( ) υ(t) ( ) υ(t) υ () t = Ri() t di() t υ () t = L dt 1 t it () = υ( τ) dτ L υ 1 t () t = i( ) d C τ τ dυ() t it () = C dt

13 Εισαγωγή Αλγόριθμοι μετασχηματισμού εικόνων (edge detection) ΗΜΥ478 Τηλεπικοινωνιακά Τηλεπικοινωνιακά συστήματα ΗΜΥ359

14 Εισαγωγή Φυσιολογικά/ Βιολογικά συστήματα, Σύστημα ρύθμισης πίεσης στον ανθρώπινο οργανισμό Πολλά συστήματα που συναντάμε στη φύση μπορούν να αναλυθούν σε απλούστερα υποσυστήματα Ακόμη και εξαιρετικά πολύπλοκα βιολογικά φαινόμενα (π.χ. η λειτουργία του εγκεφάλου) μπορούν να μελετηθούν με βάση τη θεωρία σημάτων και συστημάτων!

15 Εισαγωγή ΗΜΥ324: Τυχαία Σήματα και Συστήματα ΗΜΥ359: Εισαγωγή στα Συστήματα Τηλεπικοινωνίας ΗΜΥ22: Σήματα και Συστήματα Ι ΗΜΥ32: Σήματα και Συστήματα ΙI ΗΜΥ429: Ψηφιακή επεξεργασία σήματος ΗΜΥ478, 476: Επεξεργασία ψηφιακής εικόνας, Βιοϊατρική απεικόνιση ΗΜΥ12: Ανάλυση Hλεκτρικών Κυκλωμάτων & Δικτύων ΗΜΥ34: Συστήματα Ηλεκτρικής Ισχύος ΗΜΥ422, 428: Δυναμικά συστήματα και έλεγχος,, Εργαστήριο αυτομάτου ελέγχου

16 Σήματα διακριτού χρόνου Σήμα διακριτού χρόνου: Ακολουθία αριθμών x= { x [ n ]} - < n<+ xn [ ] n: ακέραιος Περιοδική δειγματοληψία (sampling) αναλογικού σήματος xn [ ] = x(nt) - < n<+ a Amplitude (m mv) Discrete-Time Signal Sample Number Sampling of Analog Signals T: περίοδος δειγματοληψίας (sampling period) -.5 f=1/t: συχνότητα δειγματοληψίας -1 (sampling frequency) tude (mv) Amplit 1.5 Sample Number 16

17 Σήματα διακριτού χρόνου Παράδειγμα: Σήμα ομιλίας 17

18 Βασικές πράξεις Σήματα διακριτού χρόνου Πρόσθεση, πολλαπλασιασμός σημάτων δείγμα με δείγμα yn [ ] = x [ n ] + x [ n ] 1 2 y[] = x[] + x [], y[1] = x[1] + x [1]... etc yn [ ] = x [ nx ] [ n ] 1 2 y[] = x[] x [], y[1] = x[1] x [1]... etc Καθυστέρηση (delay) ή μετατόπιση (shift) ενός σήματος y[ n] = x[ n n ] όπου n ακέραιος 18

19 Σήματα διακριτού χρόνου 19 Βασικά σήματα διακριτού χρόνου Κρουστική συνάρτηση διακριτού χρόνου Unit Impulse (discrete time impulse).2 1 n = δ[ n] = Sample Number n Κάθε ακολουθία/σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια σειρά από κλιμακωμένες και μετατοπισμένες κρουστικές συναρτήσεις xn [ ] =... + x [ 1] δ [ n + 1] + x [] δ [ n ] + x [1] δ [ n 1] +... xn [ ] = xk [ ] δ [ n k ] Βηματική συνάρτηση διακριτού χρόνου (step sequence) 1 n un [ ] = n < un [ ] = δ[ n] + δ[ n 1] + δ[ n 2] + δ[ n 3] +... u[ n] = u[ k] δ[ n k] = δ[ n k] k= k= δ[ n] = u[ n] u[ n 1] k = Unit Step Sequnce Sample Number

20 Σήματα διακριτού χρόνου Βασικά σήματα διακριτού χρόνου Πραγματικό εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου (real discrete time exponential) n x [ n ] = Aa, A, a a >1 1< a < 1 < a n < 1 a < 1 un [ ] = n < 2

21 Εκθετικά σήματα (exponential signals) Μιγαδικό εκθετικό σήμα με φανταστικό εκθέτη: x n e n j n jωn [ ] = = cos( ω ) + sin( ω ) Ημιτονοειδές (i (sinusoidal) idl) σήμα σε διακριτό χρόνο: xn [ ] = Acos( ω n+ ϕ) ω : rad ή rad/sample n Γενικά: xn [ ] = Ca, Ca, C = a C e jϕ jω = a e ω, ϕ n n x[ n] = Ca = C a cos( ω n+ ϕ)+ j C a sin( ω n+ ϕ) (exponentially weighted sinusoidal signal) n a > 1 a < 1

22 Εκθετικά σήματα (exponential signals) j t Το εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου με φανταστικό εκθέτη x() t = e ω είναι περιοδικό για κάθε τιμή του ω και η συχνότητά του αυξάνεται όσο αυξάνεται το ω j n Αντίθετα, για το αντίστοιχο σήμα διακριτού χρόνου x[ n] = e ω ισχύουν τα εξής: η τιμή του σήματος στο ω +2π (ή γενικά στο ω ±2rπ) είναι ακριβώς η ίδια με την τιμή στο ω. j( ω+ 2 πr) n jωn 2π rn jωn x[ n] = Ae = Ae e = Ae ως συνέπεια του παραπάνω, αρκεί να θεωρήσουμε συχνότητες στο διάστημα π<ω π (ή ισοδύναμα<ω 2π) και η μέγιστη συχνότητα ταλάντωσης προκύπτει για ω =π είναι περιοδικό με περίοδο Ν μόνο για τιμές του ω για τις οποίες ωn = 2π k καθώς πρέπει: jω ( n+ N ) jωn jωn xn [ + N] = xn ( ) e = e e = 1 ω N= 2 πkk, Με άλλα λόγια πρέπει το ω να είναι τέτοιο ώστε ο λόγος ω /2π να είναι ρητός αριθμός

23 Εκθετικά σήματα (exponential signals) Τα ίδια ακριβώς ισχύουν και για ημιτονοειδή σήματα διακριτού χρόνου. Acos( ωn+ φ) ω k Θα πρέπει: Acos( ωn + φ ) = A cos( ωn + ωn + φ ) ωn = 2 πk ή = 2 π N Πως βρίσκουμε την (ελάχιστη) περίοδο? Παράδειγμα: π 2πk x1 [ n ] = cos n N = = 8,k=1 4 π /4 3π 2πk x 2[ n] = cos n N = = 16,k=3 8 3 π /8 3π 2πk x3[ n] = cos n N = = 8,k=3 4 3 π /4 2π k x[ 4 n] = cos2 ( n) N =, δεν υπάρχει k 2

24 Εκθετικά σήματα (exponential signals) 1 π/ π/8 π 15π/ π/