Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul deplasarii din punctul 1 in punctul, iar α este unghiul dintre forta F si deplasarea r 1. II. Puterea este lucrul fortei intr-o unitate de timp: P = L t. III. Energia este proprietatea corpului de a efectua un lucru. Energia cinetica este Ec = mv. Energia potentiala a punctului material in cimpul gravitational Ep = mgh, unde h este inaltimea la care se afla corpul in raport cu nivelul considerat nul. Energia potentiala in cimpul fortelor de elasticitate: Ep = kx, unde k este coeficientul de elasticitate (al corpului, al firului), x este marimea deformatiei lui in raport cu pozitia nedeformata. IV. Lucrul fortei rezultate este egal cu variatia energiei cinetice: Lucrul fortei de greutate: Lucrul fortei de elasticitate: L rez = mv mv 1 = Ec Ec 1. L g = mgh 1 mgh = (Ep Ep 1 ). L el = kx 1 kx = (E p Ep 1 ). Forte conservative sunt fortele lucrul carora nu depinde de forma traiectoriei, lucrul fortei conservative pe o traiectorie inchisa este egal cu zero. Exemple: forta de greutate, forta de elasticitate. Toate celelalte forte se numesc exterioare. Lucrul fortei exterioare este egal cu variatia energiei mecanice totale. Energia mecanica totala: E = Ec + Ep, L ex = E E 1.
Lucrul si energia mecanica Exemple de rezolvare a problemelor 1. O luntre cu motor se misca contra curgerii unui riu de munte. Forta de tractiune a motorului este de kn. Luntrea ramine in miscare fata de mal. Viteza de curgere a apei riului este de 5 m/s. Efectueaza oare un lucru forta de tractiune a motorului? Daca da, atunci care este lucrul ei timp de 5 s? Care este puterea motorului? In raport cu malul riului deplasarea este zero (conform conditiilor problemei), de aceea lucrul este egal cu zero. In raport cu o pluta care se misca pe apa (in raport cu un punct de pe apa) luntrea se misca cu viteza de 5 m/s (este viteza apei in raport cu malul), prin urmare, deplasarea ei in timpul t este S = vt. L = F S cos α. Unghiul α = ( F, S) = 0, deoarece forta de tractiune si deplasarea coincid ca directie: v este viteza luntrei in raport cu pluta (apa), F este forta de tractiune a motorului. L = F v t = 10 3 5 5 = 50 10 3 (J). Puterea: P = L t = F v = 103 5 = 10 10 3 (W).. Ce lucru se va efectua la comprimarea unui arc al vagonului feroviar cu 5 cm, daca la comprimarea lui cu 1 cm se cere actiunea unei forte de 30 kn? x 1 = 5 cm x = 1 cm F = 30 10 3 N F 1? Este vorba de legea lui Hooke: In primul caz: In al -lea caz: F = kx. F 1 = kx 1. F = kx. Rezulta, F 1 F = kx 1 kx F 1 = F x 1 x. F 1 = 30 10 3 0, 05 0, 01 = 150 103 (N).
Lucrul si energia mecanica 3 3. Asupra unui corp cu masa de 10 kg actioneaza o forta constanta de 5 N. Se cere energia cinetica a corpului peste s de la inceputul miscarii. Rezistenta se neglijeaza. Energia cinetica este egala cu lucrul fortei de tractiune (forta de frecare se neglijeaza). Deci, Ec = L = F S = F at. Din legea a -a alui Newton: F = ma a = F m. Deci, Ec = F F m t = F t m ; Ec = 5 10 = 5 (J). 4. Pe un teleferic (funicular), sub un unghi de 45 o fata de orizont, se ridica un vagonet cu masa de 500 kg. Se cere lucrul fortei de tractiune a motorului, daca vagonetul se ridica la inaltimea de 10 m, iar coeficientul de frecare este de 0, 1. g = 9, 81 m/s α = 45 o m = 500 kg h = 10 m µ = 0, 1 L tr? Lucrul fortelor exterioare este egal cu variatia energiei mecanice totale. Exterioare sunt forta de tractiune si forta de frecare, lucrul careia este negativ: L tr L fr = mgh, unde mgh este variatia energiei mecanice totale (corpul capata doar energie potentiala). Lucrul fortei de frecare este: L fr = F fr S. Forta de frecare se determina din conditia: { N + Ffr + m g + F tr =0 F fr =µn. Proiectam marimile din prima ecuatie pe axa y: N mg cos α = 0 N = mg cos α F fr = µmg cos α.
Lucrul si energia mecanica 4 deoarece S = Deci, h sin α L fr = µmg cos α (din triunghiul dreptunghic). h sin α, L fr = µ mgh ctgα. L tr = mgh + L fr = mgh + µ mgh ctgα L tr = mgh(1 + µ ctgα). L tr = 500 9, 81 10(1 + 0, 1 1) 54000 (J) = 54 (kj). 5. Un arc cu rigiditatea de 100 kn/m si masa de 400 g cade pe o masa de la inaltimea de 5 m. Cu cat se va comprima arcul, daca la lovitura axa arcului ramane verticala? m = 400 g= 0, 4 kg h = 5 m g = 9, 81 m/s k = 1 10 5 N/m x? Consideram ca lungimea arcului este cu mult mai mica decat inaltimea de la care cade. Atunci, conform legii conservarii energiei, mgh = kx x = mgh k = 0, 4 9, 81 5 10 5 = 0, 0 m. 6. De pe o panta acoperita cu gheata cu inaltimea de 1 m si baza de 5 m aluneca o sanie care se opreste pe portiunea orizontala de lungime 95 m. Se cere coeficientul de frecare. h = 1 m a = 5 m b = 95 m g = 9, 81 m/s µ? Asupra corpului actioneaza numai o forta exterioara forta de frecare si lucrul ei este egal cu variatia energiei mecanice totale. Deci: F fr1 S + F fr b = E E 1 = mgh sau, luand in consideratie ca F fr1 S = F fr1 S; F fr b = F fr b
Lucrul si energia mecanica 5 si obtinem: F fr = µn, µn 1 S + µn b = mgh. Proiectand fortele pe axele y 1 si y, respectiv, obtinem: N 1 mg cos α = 0; N mg = 0; cos α = a S = a h + a. Rezulta ca: a N 1 = mg h + a, N = mg. a µmg h + a h + a + µmgb = mgh sau µ = h a + b ; µ = 1 5 + 95 = 0, 01. 7. Un corp cu masa de 500 g se misca pe un plan orizontal cu viteza de 30 m/s si in continuare se ridica pe un plan inclinat, trecerea de la plan orizontal la plan inclinat fiind lenta. Planul inclinat cu masa de 7,5 kg este mobil. Se cere inaltimea la care se ridica corpul pe planul inclinat si viteza cu care cade de pe el. Frecarea se neglijeaza. m = 0, 5 kg v 01 = 3 m/s M = 7, 5 kg v 1, h? Aplicam legea conservarii impulsului si legea conservarii energiei pentru starile I si II: Atunci De unde h = 0, 43 m. mv 01 =(m + M)v 0, mv 01 = m + M v 0 + mgh. 0, 5 3 = (0, 5 + 7, 5)v 0 v 0 = 0, 5 3 0, 5 + 7, 5 0, 5 3 = 0, 5 + 7, 5 0, 19 + 0, 5 9, 81 h. = 0, 19 (m/s).
Lucrul si energia mecanica 6 Pentru pozitiile I si III: mv 01 = mv 1 + Mv, mv01 = mv 1 + Mv, unde v 01 viteza initiala a corpului, v 1 viteza lui la iesire de pe panta, v viteza finala a pantei. Rezulta: v = m M (v 01 + v 1 ), Sau De unde: mv 01 = mv 1 + M m M (v 01 + v 1 ). mv 01 = mv 1 + m M (v 01 + v 1 ), 0, 5 3 = 0, 5v 1 + 0, 5 7, 5 (3 + v 1). v 1 + 0, 37v 1 7, 87 = 0, v 1 = 0, 19 ± 0, 14 + 7, 87. Deci v 1 =, 64 m/s. Solutia v 1 = 3, 0 m/s nu are sens fizic: aceasta ar insemna ca corpul s-ar misca in acelasi sens, practic cu aceesi viteza initiala si nu s-ar respecta legea conservarii impulsului. 8. Un corp mic aluneca pe o panta care trece in bucla Nesterov de raza 0 cm. Se cere inaltimea minima de la care corpul incepe alunecarea pentru ca el sa efectueze o miscare deplina pe bucla. Frecarea se neglijeaza. R = 0, m g = 9, 81 m/s h? Vom aplica legea conservarii energiei pentru starile I si II: mgh = mv + mg R. In pozitia II corpul se misca pe circumferinta, deci cu acceleratie, prin urmare N + m g = m a, unde a este acceleratia centripeta, egala cu v R. Cu cat viteza in pozitia II este mai mica, cu atat forta de reactiune N este mai mica, doar forta m g este constanta. La limita N = 0, prin urmare a = g = v R v = gr.
Lucrul si energia mecanica 7 Substituind in prima ecuatie, obtinem: mgh = m gr + mg R. h = 5 R; h = 0, 5 m. Probleme de control 1. Un automobil cu masa de 1 t incepe miscarea uniform accelerat si parcurge distanta de 50 m in 5 s. Se cere puterea dezvoltata de motorul automobilului. (Raspuns: 80 kw.). O bila metalica cu masa de 100 g se misca uniform pe circumferinta in plan orizontal cu frecventa de 3 s 1. Raza circumferintei este de 50 cm. Se cere lucrul pentru marirea frecventei pana la 5 s 1. (Raspuns: 7,9 J.) 3. Puterea unei centrale hidroelectrice este de 73,5 MW, randamentul de 75 procente. Se cere inaltimea la care barajul ridica apa, daca consumul de apa este de 10 3 m 3 /s. (Raspuns: 10 m.) 4. Un corp aluneca pe suprafata interioara a unei semisfere. O jumatate a ei este absolut neteda, cealalta cu asperitati. Punctul de trecere de pe o parte pe alta este in punctul de jos. Se cere acceleratia corpului in momentul trecerii de pe o parte pe alta, daca coeficientul de frecare dintre corp si suprafata este de 0,15. (Raspuns: a = 9µ + 4 = 0 m/s.) 5. Un corp mic aluneca din varful unei sfere fara viteza initiala. Raza sferei este R. La ce inaltime corpul se va rupe de la sfera? (Raspuns: 5 3 R.)