LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA 006 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis Pagrindinë sesija 006 m. geguþës 17 d. Trukmë 3 val. Nacionalinis egzaminu centras, 006
006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 061MAVU1 Valstybinio brandos egzamino formules abc Trikampis. S = p( p a)( p b)( p c) = rp= ; cia a, b, c trikampio kraštines, p pusperimetris, 4R r ir R ibrežtinio ir apibrežtinio apskritimu spinduliai, S trikampio plotas. o Iškilojo daugiakampio kampu suma. S n = 180 ( n ). π R πr Skritulio išpjova. S = α, l = α; cia α centrinio kampo didumas laipsniais, o o 360 360 S išpjovos plotas, l išpjovos lanko ilgis, R apskritimo spindulys. Nupjautinis kugis. S= π ( R+ r) l, V= 1 π H ( R + Rr + r ); cia R ir r kugio pagrindu spinduliai, 3 S šoninio paviršiaus plotas, V turis, H aukštine, l sudaromoji. 1 Nupjautines piramides turis. V = H( S1 + S1S + S ); cia S 1, S pagrindu plotai, H aukštine. 3 Rutulys. S = 4πR, 4 V = π R 3 ; cia S rutulio paviršiaus plotas, V turis, R spindulys. 3 Rutulio nuopjovos turis. V = 1 πh (3R H) ; cia R spindulys, H nuopjovos aukštine. 3 r r r r Vektoriu skaliarine sandauga. a b = x1x + y1 y + z1z = a b cos α; cia α kampas tarp vektoriu a r { x1, y1, z1} ir b r { x, y, z}. b (1 q n ) n 1 1 Geometrine progresija. b n = b q, S =. 1 n 1 q b Begaline nykstamoji geometrine progresija. S = 1. 1 q 1 1 Trigonometrines funkcijos. 1 + tg α =, 1 + ctg α =, sin α = 1 cosα, cos α sin α cos α = 1+ cosα, sin( α ± β) = sin α cosβ ± cosα sinβ, cos( α ± β) = cos α cosβ m sin α sinβ, α ± β α m β α + β α β sin α ± sinβ = sin cos, cosα + cosβ = cos cos, α + β α β tgα ± tgβ cos α cosβ = sin sin, tg ( α ± β) =. 1m tgα tgβ n 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n n Niutono binomo formule. ( a + b) = C a + C a b +... + C a b +... + C b. n! C k C n k n = k n =, + k+ 1 = k+ 1 C n Cn C k!( n k)! n+1. Tikimybiu teorija. Atsitiktinio dydžio X matematine viltis yra 1 1 n ) dispersija DX= ( x EX ) p + ( x EX ) p +... + ( x EX p. n EX = x 1 p 1 + x p +... + x n p n, Išvestiniu skaiciavimo taisykles. ( Cu ) = Cu ; ( u ± v) = u ± v ; ( uv ) = u v + uv ; cia u ir v taške diferencijuojamos funkcijos, C konstanta. (a x ) =a x lna, ( log x) Sudetines funkcijos h(x)=g(f(x)) išvestine h (x) = g (f (x)) f (x). Funkcijos grafiko liestines taške x ; f ( )) lygtis. y = f x ) + f ( x )( x ). ( 0 x0 log b Logaritmo pagrindo keitimo formule. log b c a =. log a c ( 0 0 x0 a u u v uv = v v 1 =. x ln a ;
061MAVU1 006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS Kiekvienas teisingai išsprestas uždavinys (1 6) vertinamas 1 tašku. 1. Kuriam intervalui priklauso skaicius 1 log 3 10? A ( 3; ) B (0; 1) C (1; ) D (3; 4) E (; 3). Knygas dedant i kruveles po 3, lieka knygos, taip pat knygos lieka ir dedant jas i kruveles po 10. Knygu buvo: A 1 B 8 C 3 D 16 E 4 3. Kuri pora lygciu yra ekvivalencios lygtys? x 4 A = 4 ir x + = 4 B x 1= 3 ir ( x 1) = 9 x 1 1 1 1 C x = 3 ir x + = 3 + D x +1 = 1 ir x + 1 + = 1 + x 3 x 3 x 1 x 1 E x = 1 ir x = 1 4. ( 5 3) ( 5 ) = A 1 B 5 5 C 5 5 D 1 E 5 5. Kurios paraboles viršune yra II ketvirtyje? A y = ( x 1) 1 B y = ( x + ) + 1 C y = ( x + ) 3 D y = ( x 4) E y = x 1 6. Kiek sprendiniu intervale ; π 5π turi lygtis 1 cos x =? A 3 B 4 C 7 D 5 E 6 1 skaicius????? liczba lygtis????????? równanie NEPAMIRŠKITE pasirinktus atsakymus žymincias raides irašyti lenteleje, esancioje paskutiniame šio sasiuvinio puslapyje. 3
006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 061MAVU1 4
061MAVU1 006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 7. Palyginkite a log ir 1 a 1 log a, kai a > 1. a ( taškai) 8. Priekinio dviracio rato apskritimo 1 ilgis 10 cm, galinio rato 1 cm. Koki atstuma (metrais) nuvažiavus dviraciu, jo priekinis ratas apsisuks vienu apsisukimu daugiau negu galinis? ( taškai) a reikšmemis 3 funkciju y = ax + 6x + 3 ir y = x a grafikai neturi bendru tašku? 9. Su kuriomis a ( 0) (3 taškai) 1 apskritimas?????????? okrag atstumas?????????? odleglosc 3 reikšme???????? wartosc 5
006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 061MAVU1 10. Draudžiant busta metams 80 000 Lt draudimo suma nuo stichines nelaimes, reikia moketi 64 Lt, o draudžiant ta pacia suma nuo vagystes 160 Lt. Draudžiant busta 80 000 Lt suma nuo stichines nelaimes ir nuo vagystes kartu, taikoma 5 procentu nuolaida. Kiek procentu draudimo sumos reikia moketi draudžiant nuo abieju riziku kartu? (3 taškai) 6
061MAVU1 006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 11. Paveiksle pavaizduotos šachmatu lentos viename iš langeliu padeta šachmatu figura bokštas 1 ir parodytos šios figuros galimos judejimo kryptys (bokštas gali judeti nurodytomis kryptimis ir užimti bet kuri langeli kiekviena nurodyta kryptimi). Keliais skirtingais budais šachmatu lentoje galima taip padeti du bokštus, kad jie vienas kita galetu nukirsti (du bokštai kerta vienas kita, kai jie gali užimti vienas kito langeli). (3 taškai) 1 bokštas????? wieza 7
006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 061MAVU1 1. Išspreskite nelygybe 1 x + x 6 0. 4 x (3 taškai) 1 nelygybe??????????? nierównosc 8
061MAVU1 006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 13. Išspreskite lygti 1 1 x + 1 x 3 1 ) = 0, (3) (3 8. (3 taškai) 1 lygtis????????? równanie 9
006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 061MAVU1 14. I žaidimo urna mestas rutuliukas su vienodomis tikimybemis 1 gali ikristi i bet kuria iš dvieju urnos sekciju i pirmaja arba i antraja (žr. pav.). I šia urna imesti trys rutuliukai. Sakykime, X rutuliuku skaicius pirmojoje sekcijoje. Parašykite atsitiktinio dydžio X skirstini. (3 taškai) I II 1 tikimybe??????????? prawdopodobienstwo atsitiktinio dydžio skirstinys?????????????????????????????? rozklad zmiennej losowej 10
061MAVU1 006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 15. I trikampi 1 ABC, kurio pagrindo kraštines AC ilgis 10 cm, o aukštines BD ilgis 8 cm, ibrežtas staciakampis 3 EFGH (žr. pav.). Šio staciakampio dvi viršunes yra trikampio pagrindo kraštineje, o kitos dvi kitose trikampio kraštinese. 1. Sakykime, EF ilgis x cm. Irodykite, kad staciakampio EFGH plotas yra S = 5 (8 x x ). 4 ( taškai). Kokio didžiausio ploto 4 staciakampi galima ibrežti i trikampi ABC? (3 taškai) A F B E D H G C Tašku suma 1 trikampis??????????? trójkat kraštine??????? bok, ramie 3 staciakampis????????????? prostokat 4 plotas??????? pole 11
006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 061MAVU1 16. Du lygus kvadratai ABCD ir AB 1 C 1 D turi bendra kraštine AD, o ju plokštumos 1 sudaro 60 didumo dvisieni kampa. Iš bendros viršunes D kiekviename kvadrate nubrežtos istrižaines 3 DB ir DB 1 (žr. pav.). Raskite kampo tarp šiu istrižainiu kosinusa. A B 1 C 1 B C D (4 taškai) 1 plokštuma????????? plaszczyzna dvisienis kampas?????????????? kat dwuscienny 3 istrižaine????????? przekatna 1
061MAVU1 006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 17. Paveiksle pavaizduoti funkciju y = x + 1 ir y = x + grafikai. 1. Raskite tašku A ir C koordinates. (1 taškas) A y D(0; ) C B(1; 0) O x. Irodykite, kad kreivines figuros ACBOA plotas lygus 3 4. ( taškai) 3. Apskaiciuokite kreivines figuros ADBCA plota. ( taškai) Tašku suma 13
006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 061MAVU1 18. Per trikampio ABC kraštines AC taška M išvesta atkarpa 1 MN, lygiagreti su BC, ir atkarpa MP, lygiagreti su AB. Taškai N ir P sujungti atkarpa NP (žr. pav.). 1. Trikampiai MPC ir ABC yra panašus. Ju panašumo koeficientas k. Irodykite, kad S ABC = k. SMPC. Trikampiu ANM ir MPC plotai yra S 1 ir S. A N B S 1 S M P C ( taškai) a) Irodykite, kad trikampio ABC plotas S gali buti išreikštas plotais S 1 ir S šitaip: S = ( S1 + S ) ( taškai) b) Apskaiciuokite trikampio NBP plota, kai S 1 = 4 cm, S = 9 cm. ( taškai) Tašku suma 1 atkarpa??????? odcinek 14
061MAVU1 006 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIS 19. Ar skaiciai 1, 7 ir 18 gali buti kurios nors didejancios geometrines progresijos 1 nariai (nebutinai gretimi). Atsakyma pagriskite. (4 taškai) 1 geometrine progresija???????????????????????? postep geometryczny 15