ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 6-7 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ. Καθηγητής ΕΜΠ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπάρχει και την ιτοελίδα : http://www.civil.nta.gr/~kavvadas/..6 Εξάμηνο 5 6 7 8 9 ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ τη Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ Είδος Υ Υ Υ Υ Υ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ ΚΕΥ Μάθημα Γεωλογία Μηχανικού Εδαφομηχανική Ι Εδαφομηχανική ΙΙ Τεχνική Γεωλογία Θεμελιώεις Πειραματική Εδαφομηχανική Ειδικά Θέματα Θεμελιώεων Αλληλεπίδραη εδάφους-θεμελίων Βραχομηχανική Ειδικά Γεωτεχνικά Έργα Περιβαλλοντική Γεωτεχνική Εδαφοδυναμική Υπολογιτική Γεωτεχνική Υ Υποχρεωτικό, ΚΕΥ Κατ Εκλογήν Υποχρεωτικό

Αναλυτικές και αριθμητικές λύεις των προβλημάτων γεωτεχνικής Η λύη ενός προβλήματος γεωτεχνικής περιλαμβάνει τον προδιοριμό ενός πεδίου μετακινήεων (, παραμορφώεων (ε, ενεργών τάεων ( και πιέεων πόρων ( οι οποίες ικανοποιούν (ταυτοχρόνως τις εξής υνθήκες :. Εξιώεις ιορροπίας τάεων. Συνοριακές υνθήκες (φόρτιη το ύνορο και αρχικές υνθήκες (δηλ. Κατάταη για t. Κατατατικές χέεις του υλικού (χέεις ενεργών τάεων παραμορφώεων 4. Σχέεις παραμορφώεων μετακινήεων (υνήθως για μικρές παραμορφώεις 5. Σχέεις οριμού της ενεργού τάης ( Σε οριμένα (απλά προβλήματα υπάρχει αναλυτική λύη (δηλ. αναλυτικές υναρτήεις των ζητούμενων πεδίων Στα περιότερα (υνήθη προβλήματα απαιτείται η χρήη αριθμητικών μεθόδων για τον υπολογιμό των ζητούμενων πεδίων z P π z R 5 z Πρόβλημα Bossinesq «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 Θεματολογία Μέρος (Γ. Μπουκοβάλας : Αρχές των αριθμητικών μεθόδων Μέρος (Μ. Καββαδάς : Μηχανική του υνεχούς μέου (ύνοψη Κατατατικά προομοιώματα εδαφικών υλικών Μέρος (Μ. Πανταζίδου : Υπόγεια ροή το έδαφος Αριθμητική επίλυη Μέρος 4 (Γ. Γκαζέτας : Ανάλυη εντατικών κατατάεων τατικής αλληλεπίδραης με το έδαφος

«ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» Διδάκων : Μ. Καββαδάς Θεματολογία. Επανάληψη της Μηχανικής του Συνεχούς Μέου Τάεις το εωτερικό του εδάφους ενεργές τάεις - παραμορφώεις Σχέεις τάεων παραμορφώεων, Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα Διαδρομές τάεων Διατμητική αντοχή του εδάφους, Κριτήρια ατοχίας. Θεωρία Κρίιμης Κατάταης Αργιλικών Εδαφών Ιότροπη και μονοδιάτατη υμπίεη Τριαξονική θλίψη Διαδρομές ολικών και ενεργών τάεων Παρουίαη των διαδρομών τάεων ε χώρο p q v Επιφάνεια Roscoe για κανονικά τερεοποιημένες αργίλους Επιφάνεια Hvorslev για υπερ-τεροποιημένες αργίλους. Το Κατατατικό Προομοίωμα Εδαφών : Cam-Clay ΔΙΑΛΕΞΗ Επανάληψη της Μηχανικής του Συνεχούς Μέου Θεματολογία. Τάεις το εωτερικό του εδάφους ενεργές τάεις. Παραμορφώεις. Η αρχή των ενεργών τάεων 4. Σχέεις τάεων παραμορφώεων, Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα 5. Διαδρομές τάεων 6. Τάεις και παραμορφώεις του εδάφους λόγω επιβολής φορτίων 7. Διατμητική αντοχή του εδάφους, Κριτήρια ατοχίας

ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ. Τάεις ε υνεχή υλικά II (κάθετος r r ΔF ΔS Ανηγμένη δύναμη : f lim, ΔS Η ανηγμένη δύναμη έχει διατάεις «τάης» ( F/L ή kpa Η ανηγμένη δύναμη ( f εξαρτάται από τη θέη (ημείο Μ και τη διεύθυνη (n της επιφάνειας ΔS Σε κάθε ημείο Μ ορίζονται άπειρες ανηγμένες δυνάμεις ( f, μία για κάθε επίπεδο που διέρχεται από το Μ. Τάεις ε υνεχή υλικά (υνέχεια f r r f Ανηγμένη δύναμη : r ΔF lim, ΔS ΔS Η εντατική κατάταη το ημείο Μ μπορεί να θεωρηθεί γνωτή, εάν είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις ε κάθε επιπέδο δια του Μ Θεώρημα : Εάν είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις (f, f, f ε τρία επίπεδα (n, n, n δια του Μ, τότε μπορεί να υπολογιθεί η ανηγμένη δύναμη (f ε κάθε άλλο επιπέδο (n δια του Μ. Πόριμα : Η εντατική κατάταη το ημείο Μ μπορεί να θεωρηθεί γνωτή, εάν είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις ε τρία επίπεδα δια του Μ

Ειδική περίπτωη : Ετω ότι τα τρία επίπεδα δια του Μ τα οποία είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις είναι ορθογώνια και κάθετα τους άξονες (x, y, z. Εάν είναι γνωτές οι ανηγμένες δυνάμεις τα τρία ορθογώνια επίπεδα δια του Μ : f r x (,, f r y ( yx,, f r (,, z zx zy Τότε. f r x (,, f r y ( yx,, f r (,, z zx zy M ηανηγμένηδύναμηεένα τυχαίο επίπεδο δια του Μ, με διεύθυνη : n r ( n, n, n x υπολογίζεται από τη χέη : y z f r yx zx zy n n n x y z

Οριμός της τάης το ημείο Μ : Το μέγεθος : yx zx που δίνει την ανηγμένη δύναμη ε οποιοδήποτε επίπεδο (n δια του r Μ μέω της χέης : r f zy n ονομάζεται τάη το ημείο Μ, και έχει χαρακτηριτικά τανυτή β τάξεως. Η τάη το ημείο Μ εξαρτάται μόνον από τη θέη του ημείου Μ και το ύτημα των υντεταγμένων (x, y, z. Αποδεικνύεται ότι η τάη είναι υμμετρικός τανυτής : ji Οι (έξι υνιτώες της τάης έχουν διατάεις ( F/L -> kpa M Κύριες τάεις : Προδιοριμός των επιπέδων δια του Μ, τα οποία η ανηγμένη δύναμη είναι ορθή, δηλαδή: r f r n λ yx zx r λ n λ zy ( λ I n n n λ n x y z r r Η ανωτέρω εξίωη έχει τρείς λύεις λ, λ, λ καιυνεπώςδίνειτρία επίπεδα n, n, n. Τα επίπεδα αυτά είναι ορθογώνια μεταξύ τους και ονομάζονται κύρια επίπεδα. Η ορθή ανηγμένη δύναμη ε καθένα από τα επίπεδα αυτά ονομάζεται ορθή τάη και υμβολίζεται με :,, Ουιατικά, προδιορίθηκαν οι ιδιο-τιμές και τα ιδιο-διανύματα του τανυτή της τάης M

Αναλλοίωτοι των τάεων ( p, q, J : Συνδυαμοί των υνιτωών της τάης που δεν εξαρτώνται από την επιλογή του υτήματος υντεταγμένων (x, y, z p q ή : J ( + + ( + + [( + ( + ( + 6( τ + τ + τ ] q jk [( + ( + ( ] ki ή, ιοδύναμα, η γωνίαlode (θ : Παρατήρηη : Συχνά χρηιμοποιείται η ιοδύναμη αναλλοίωτος : J ( s s q όπου : s pδ zy ( ( tanθ Αναλλοίωτοι των τάεων ( p, q, J : Συνδυαμοί των υνιτωών της τάης που δεν εξαρτώνται από την επιλογή του υτήματος υντεταγμένων (x, y, z Οι κύριες τάεις μπορούν να γραφούν υναρτήει των τριών αναλλοιώτων : p + q sin θ + p + q p + sin qsin θ ( θ π π

Αναλλοίωτοι των τάεων ( p, q, J : Συνδυαμοί των υνιτωών της τάης που δεν εξαρτώνται από την επιλογή του υτήματος υντεταγμένων (x, y, z Ειδικώς, την κυλινδρική τριαξονική δοκιμή ( : p ( + q θ - ο κατά τη αξονική υμπίεη ( θ ο κατά τον αξονικό εφελκυμό ( Γωνία Lode (θ : ( ( tanθ. Τάεις ε εδαφικά υλικά.. Τάεις ε εδαφικά υλικά χωρίς νερό τους πόρους Στο έδαφος, οι τάεις μεταδίδονται με την μηχανική επαφή μεταξύ των κόκκων. Συνεπώς ο οριμός της τάης μέω της έννοιας του ορίου της επιφάνειας ΔS-> δεν είναι μονοήμαντος (δεν υπάρχει το όριο. Παρά ταύτα χρηιμοποιείται ο ίδιος οριμός της τάης θεωρώντας ότι η τοιχειώδης επιφάνεια ΔSα είναι αρκετά μεγάλη ώτε να περιλαμβάνει αρκετούς εδαφικούς κόκκους. Ν υνιταμένη ορθή δύναμη την επιφάνεια α Τ υνιταμένη διατμητική δύναμη την επιφάνεια α lim a N τ lim a T a

.. Τάεις ε εδαφικά υλικά με νερό τους πόρους F i δύναμη που ακείται την επαφή μεταξύ δύο κόκκων Αναλύεται ε ορθή δύναμη (N i και διατμητική δύναμη (T i N a + N lim lim + lim a a N + a i i Ορθή τάη : δηλαδή : + ενεργός ορθή τάη πίεη πόρων ολικήορθήτάη Η ενεργός τάη ΔΕΝ είναι η τάη την επαφή μεταξύ των κόκκων.. Τάεις ε εδαφικά υλικά με νερό τους πόρους F i δύναμη που ακείται την επαφή μεταξύ δύο κόκκων Αναλύεται ε ορθή δύναμη (N i και διατμητική δύναμη (T i T T τ lim lim a a i Διατμητική τάη : τ δηλαδή : τ τ τ ενεργός διατμητική τάη τ ολική διατμητική τάη Διατμητικές τάεις μεταφέρονται μόνον τις επαφές μεταξύ των κόκκων. Το νερό δεν αναλαμβάνει διατμητικές τάεις

.. Τάεις ε εδαφικά υλικά με νερό τους πόρους (ύνοψη F i δύναμη που ακείται την επαφή μεταξύ δύο κόκκων Αναλύεται ε ορθή δύναμη (N i και διατμητική δύναμη (T i lim Ενεργός ορθή τάη : Ενεργός διατμητική τάη : N i a T τ lim i a Δράεις μεταξύ των κόκκων.. Τάεις ε εδαφικά υλικά με νερό τους πόρους (ύνοψη + τ τ ενεργός ορθή τάη πίεη πόρων ολικήορθήτάη τ ενεργός διατμητική τάη τ ολική διατμητική τάη Οο αυξάνει η πίεη πόρων (, μειώνεται η ενεργός τάη ( Εάν η πίεη πόρων αυξηθεί τόο ώτε, οι ορθές δυνάμεις μεταξύτωνκόκκωνείναιμηδέν. Τότε η τριβή είναι μηδέν, δηλαδή η αντοχή του υλικού μηδενίζεται (το έδαφος υμπεριφέρεται αν υγρό Γενικότερα, όομειώνεταιη, τόο μειώνεται η αντοχή του υλικού

Αναλλοίωτοι των ενεργών τάεων ( p, q, J : Συνδυαμοί των υνιτωών της ενεργού τάης που δεν εξαρτώνται από την επιλογή του υτήματος υντεταγμένων (x, y, z p ( + + ( + + q [( + ( + ( + 6( + + ] [( + ( + ( ] Σημείωη : q q Ειδικώς, την κυλινδρική τριαξονική δοκιμή ( : ( + p q zy Η ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Η παραμόρφωη των υνεχών μέων περιγράφεται μέω του τανυτή της παραμόρφωης που δίνει τα χαρακτηριτικά της παραμόρφωης το ημείο Μ : r Μ ( x, y, z αρχική θέη Μ ( x+ x, y+ y, z+ z τελική θέη τανυτής της παραμόρφωης : διάνυμα της μετακίνηης : r ε ε ε ε (,, x yx zx y ε ε ε zy z ε ε ε όπου : ε i x j + x i j

Η ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ r Μ ( x, y, z αρχική θέη Μ ( x+ x, y+ y, z+ z τελική θέη διάνυμα της μετακίνηης : r (,, x y z Ο τανυτής της παραμόρφωης (ε έχει την εξής ιδιότητα : n r d r n Μ ( x, y, z Oταν πολλαπλαιαθεί με ένα μοναδιαίο διάνυμα (n, δίνει τα χαρακτηριτικά της παραμόρφωης (επιμήκυνη και τροφές τοημείομκατάτη διεύθυνη (n : r d n r ε n n r d r n Μ ( x, y, z Η ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Κύριες διευθύνεις της παραμόρφωης : Υπάρχουν τρείς διευθύνεις ( n, n, n δια του ημείου Μ, κατά τις οποίες δεν υπάρχει τροφή, δηλαδή η παραμόρφωη περιλαμβάνει μόνον επιμήκυνη της ευθείας (n : r d n r r ε n λ n n r ( ε λ I r (ιδιο-διανύματα του τανυτή της παραμόρφωης d r n r n r d r Μ ( x, y, z Οι διευθύνεις ( n, n, n είναι ορθογώνιες και ονομάζονται κύριες διευθύνεις της παραμόρφωης. Οι κύριες διευθύνεις παραμορφώνονται χωρίς τρέβλωη των μεταξύ τους ορθών γωνιών.

Η ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Οποιεδήποτε άλλες διευθύνεις (n εκτός των κυρίων διευθύνεων, παραμορφώνονται με τρέβλωη των ορθών γωνιών (και με επιμήκυνη. Οι επιμηκύνεις των τριών αξόνων των υντεταγμένων (x, y, z ονομάζονται ορθές παραμορφώεις και δίνονται από τις χέεις : x y z ε ε ε x y z Οι τρεβλώεις των ορθών γωνιών μεταξύ των τριών αξόνων (x, y, z ονομάζονται διατμητικές παραμορφώεις καιδίνονταιαπότιςχέεις: ε d r Μ y γ ε + ε y n r y n r ε yx x x yx d r x γ γ γ zx ε ε ε + ε + ε + ε yx zy zx x + y x y z + z y z x + x z y Συνιτώες της παραμόρφωης το επίπεδο ε x ε x z z γ zx ε ε + ε x zx x z + x z x z x + z x

Ογκομετρική παραμόρφωη Η ανηγμένη μεταβολή (ΔV ενός τοιχειώδους όγκου (V το ημείο Μ ονομάζεται ογκομετρική παραμόρφωη και δίνεται από τη χέη : ε vol ΔV V ε + ε + ε x x + y y + z z Παρατηρήεις : Οι ανωτέρω οριμοί αφορούν υνεχή υλικά επειδή προϋποθέτουν υνέχεια του υλικού ώτε να ορίζονται οι παράγωγοι. Τα εδαφικά υλικά δεν είναι υνεχή και υνεπώς οι ανωτέρω οριμοί δεν έχουν ακριβή έννοια. Παρά ταύτα, όπως και κατά τον οριμό της τάης, χρηιμοποιούνται οι ίδιοι οριμοί των παραμορφώεων, θεωρώντας ότι τα «όρια» δεν τείνουν το μηδέν αλλά ε κάποιο μικρό μέγεθος το οποίο όμως περιλαμβάνει αρκετούς κόκκους ώτε να εξαφαλίζεται η τατιτική ομοιογένεια Ενεργειακή αντιτοιχία ενεργών τάεων παραμορφώεων : Στα αναλλοίωτα μεγέθη των τάεων (p, q αντιτοιχούν τα εξής αναλλοίωτα μεγέθη παραμορφώεων ( vol, q : q vol + + [( ( ( ] + + με την έννοια της ενεργειακής αντιτοιχίας : i, j : p vol + q Στην κυλινδρική τριαξονική δοκιμή ( : p ( + q vol q q + (

Η ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΕΝΕΡΓΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η παραμόρφωη των εδαφών γίνεται κυρίως με αναδιάταξη μεταξύ των κόκκων (ολίθηη και κύλιη, δηλαδή με μεταβολή της γεωμετρίας του εδαφικού κελετού ( της δομής των κόκκων. Η αναδιάταξη μεταξύ των κόκκων προκαλείται από μεταβολές των δυνάμεων που ακούνται μεταξύ των κόκκων, δηλαδή από μεταβολές των ενεργών τάεων. Μεταβολή των υδατικών πιέεων, χωρίς μεταβολή των ενεργών τάεων, δεν προκαλεί παραμόρφωη, αφού ιοδυναμεί με ιότροπη υμπίεη των κόκκων (οι οποίοι θεωρούνται πρακτικώς απαραμόρφωτοι Μεταβολή των ολικών τάεων χωρίς μεταβολή των ενεργών τάεων, δεν προκαλεί παραμόρφωη Δ Δ Δ Αρχή των ενεργών τάεων : Η μεταβολή οποιουδήποτε μηχανικού χαρακτηριτικού των εδαφών (π.χ. παραμόρφωη και αντοχή οφείλεται ε μεταβολή των ενεργών τάεων και αντιτρόφως, Πόριμα : Εάν δεν μεταβληθούν οι ενεργές τάεις*, τα μηχανικά χαρακτηριτικά των εδαφών δεν μεταβάλλονται, π.χ. τα εδάφη δεν παραμορφώνονται και δεν μεταβάλλεται η αντοχή τους. Δ Δ * δηλαδή, όλες οι υνιτώες των ενεργών τάεων να είναι ταθερές Παρατήρηη : Μπορεί να μεταβληθούν οι ολικές τάεις και οι υδατικές πιέεις χωρίς μεταβολή των ενεργών τάεων. Στην περίπτωη αυτή το έδαφος δεν παραμορφώνεται. Εάν : ( Δ, Δ : Δ Δ Δ

Αρχή των ενεργών τάεων - Παραδείγματα εφαρμογής Η βαλβίδα είναι κλειτή. Η πίεη της κυψέλης αυξάνεται. Θα υμπιεθεί το εδαφικό δείγμα ; Ολικές τάεις το εδαφικό δείγμα : Αρχική : Τελική : c c + Δ c Μεταβολή : Δ c V Vs + Vw ΔV ΔVs + ΔVw + Αρατοδείγμαδεναλλάζειόγκο, ούτε τρεβλώνεται (η φόρτιη είναι ιότροπη. Δηλαδή. Αρα οι ενεργές τάεις δεν μεταβάλλονται. Δ Δ Δ Δ Δ Συνεπώς : c Τούνολοτηςαύξηηςτηςολικήςπίεης, αναλαμβάνεται από τις πιέεις πόρων, χωρίς μεταβολή των ενεργών τάεων Φόρτιη των εδαφών υπό ατράγγιτες υνθήκες Ατράγγιτη είναι η φόρτιη κατά την οποία το έδαφος δεν αποβάλλει νερό και υνεπώς παραμορφώνεται υπό ταθερό όγκο : ΔV ΔV ΔV s + ΔV w Ατράγγιτη φόρτιη υμβαίνει υχνά τις αργίλους, όπου λόγω του πολύ μικρού μεγέθους των πόρων, το νερό δεν προλαβαίνει να διαφύγει εάν η φόρτιη είναι αρκετά ταχεία. ΔV ταχεία φόρτιη θεμελίου Προοχή : Ατράγγιτη φόρτιη ημαίνει μηδενική μεταβολή του όγκου, ΟΧΙ πάντοτε μηδενική παραμόρφωη. Συνεπώς μπορεί να υμβούν διατμητικές παραμορφώεις οπότε οι ενεργές τάεις μεταβάλλονται.

Μηχανική αλληλεπίδραη εδαφικών κόκκων - νερού Τα φορτία που επιβάλλονται το έδαφος αναλαμβάνονται εν-μέρει από τον εδαφικό κελετό (κόκκοι και εν-μέρει από το νερό των πόρων + Η μεταξύ τους αλληλεπίδραη μπορεί να περιγραφεί με το εξής μοντέλο : Μηχανική αλληλεπίδραη εδαφικών κόκκων - νερού ελατήριο κόκκοι νερό νερό πόρων Χρόνος από την επιβολή του κατακόρυφου φορτίου το έμβολο δύναμη το ελατήριο δύναμη το νερό

Μηχανική αλληλεπίδραη εδαφικών κόκκων - νερού ελατήριο κόκκοι νερό νερό πόρων Χρόνος από την επιβολή του κατακόρυφου φορτίου το έμβολο Το φορτίο αρχικώς αναλαμβάνεται από το νερό των πόρων χωρίς υμπίεη του εδάφους : Δ Δ, ενώ Δ, (αφού: Δ Δ - Δ. Βαθμιαία, το φορτίο μεταφέρεται τον εδαφικό κελετό (κόκκους και το έδαφος υμπιέζεται : Μείωη του Δ και ιόποη αύξηη του Δ. Η παραμόρφωη του εδάφους είναι χρονικά εξελιόμενη. Το φαινόμενο είναι πιό έντονο τα λεπτόκοκκα εδάφη λόγω δυχέρειας του νερού να διαφύγει διαμέου των λεπτών πόρων. Το φαινόμενο αυτό λέγεται τερεοποίηη του εδάφους. ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Παράδειγμα : Φόρτιη ε μοναξονική θλίψη Στααρχικάτάδιατηςφόρτιης, όλα τα υλικά παρουιάζουν γραμμικώς ελατική υμπεριφορά Σε μεγαλύτερες τάεις η υμπεριφορά γίνεται μή-γραμμική (διαρροή, και τελικώς οριμένοι υνδυαμοί τάεων οδηγούν ε ατοχία

ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Παράδειγμα : Φόρτιη ε μοναξονική θλίψη Οι χέεις μεταξύ των τάεων και των αντίτοιχων παραμορφώεων ονομάζονται κατατατικοί νόμοι Στα εδαφικά υλικά, παραμορφώεις ( προκαλούνται από μεταβολές των ενεργών τάεων (Δ kl Συνεπώς, τα εδαφικά υλικά οι κατατατικοί νόμοι υνδέουν : Παραμορφώεις ( με μεταβολές των ενεργών τάεων (Δ kl ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Παράδειγμα : Φόρτιη ε μοναξονική θλίψη Ο απλούτερος κατατατικός νόμος είναι η γραμμική, ιότροπη ελατικότητα (ΓΙΕ

ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΤΩΝ ΕΔΑΦΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα Στην γραμμική, ιότροπη ελατικότητα οι χέεις μεταξύ των μεταβολών των ενεργών τάεων και των αντίτοιχων παραμορφώεων περιλαμβάνουν δύο ταθερές : όπου : Ε μέτρο ελατικότητας G [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] ( + ν Δτ ν λόγος του Poisson Δ Δγ G Δγ G Δγ G Δτ Δτ Δτ Δγ Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα (ΓΙΕ [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Δγ G Δγ G Δγ G Παρατηρήεις : Οταν το έδαφος είναι ξηρό οι ενεργές τάεις μπορούν να αντικαταταθούν με τις ολικές (αφού οι πιέεις πόρων είναι μηδέν, δηλαδή : Δ Δ Οι ορθές τάεις χετίζονται μόνον με τις ορθές παραμορφώεις Οι διατμητικές τάεις χετίζονται μόνον με τις διατμητικές παραμορφώεις Πόριμα : Εάν το έδαφος φορτιθεί μόνον με διατμητικές τάεις (π.χ. ειμός ο όγκος του δεν μεταβάλλεται και υνεπώς δεν υμβαίνει καθίζηη της επιφάνειας. Τούτο δεν επιβεβαιώνεται την πράξη. Αρα (τουλάχιτον κατά την ειμική φόρτιη το έδαφος δεν ακολουθεί την ΙΓΕ Δτ Δτ Δτ

Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Δγ G Δγ G Δγ G Δτ Δτ Δτ Παράγωγα μεγέθη των ελατικών ταθερών ( Ε, ν : Μέτρο διάτμηης : Μέτρο μονοδιάτατης υμπίεης : Μέτρο ιότροπης υμπίεης : G D K ( + ν ( ν ( + ν( ν ( ν Εκφραη των κατατατικών χέεων της ΓΙΕ ως προς τις αναλλοίωτες Οι κατατατικές χέεις της ΓΙΕ δίνουν : όπου : Δp Δq και : ( Δ + Δ + Δ Δp K Δq G vol + + q ( + ( + ( [( ( ( ] Δ Δ + Δ Δ + Δ Δ [ ] vol q

Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα Κατατατικές χέεις τάεων παραμορφώεων ε μητρωική μορφή : Δγ Δγ Δγ zx ή (με αντιτροφή : Δ Δ Δ Δτ Δτ Δτ zx A όπου : ν ν ν ν ν ν Δ C: ( ν ν ν ν ( ν ν ν ν ( ν A ( + ν ( ν ( + ν ( + ν Δ Δ Δ Δτ Δτ ( + ν Δτ zx S: Δ Προοχή : για ν.5 το S δεν αντιτρέφεται ( ν ( ν Δγ Δγ ( ν Δγ zx Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Ογκομετρική παραμόρφωη : Με άθροιη των ορθών παραμορφώεων προκύπτει : vol K vol Δγ G Δγ G Δγ G + Δτ Δτ Δτ + ( Δ + Δ + Δ ( Δ + Δ + Δ Δ K Πόριμα : Στην ΓΙΕ, κατά την ατράγγιτη φόρτιη εδαφών ( vol, η πίεη πόρων μεταβάλλεται κατά : Δ ( Δ + Δ + Δ ( Δ Δ Δ K

Γραμμική Ιότροπη Ελατικότητα (ΓΙΕ και πιέεις πόρων Κατά την ατράγγιτη φόρτιη εδαφών ( vol, η πίεη πόρων μεταβάλλεται κατά : Δ ( Δ + Δ + Δ Δp Η ανάπτυξη των ανωτέρω υπερπιέεων πόρων οφείλεται την απαίτηη μηδενικής μεταβολής του όγκου του εδάφους Οι υπερπιέεις πόρων βαθμιαία εκτονώνονται με υνέπεια την μεταβολή των ενεργών τάεων και χρονικά εξελιόμενες παραμορφώεις (τερεοποίηη του εδάφους Πορίματα : Σύμφωνα με την ΓΙΕ, εάν το έδαφος φορτιθεί μόνον με διατμητικές τάεις (π.χ. ειμός :. Ο όγκος του δεν μεταβάλλεται και υνεπώς δεν υμβαίνει καθίζηη της επιφάνειας. ν παρατηρούνται μεταβολές των υδατικών πιέεων πόρων Και τα δύο ανωτέρω πορίματα δεν επιβεβαιώνονται την πράξη. Αρα (τουλάχιτον κατά την ειμική φόρτιη το έδαφος δεν ακολουθεί την ΓΙΕ Σταφυικάεδάφη: Δ Δp + α Δq (υμμετοχή και των διατμητικών τάεων Δq α υντελετής (όχι πάντα ταθερός Εκφραη των κατατατικών χέεων της Γραμμικής Ιότροπης Ελατικότητας ως προς τις ολικές τάεις. Περίπτωη ξηρού εδάφους ή κορεμένου εδάφους με πλήρη τράγγιη : Ιχύει : ενεργές τάεις ολικές τάεις [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Δ και υνεπώς : Δ Δγ G Δγ G Δγ G Δτ Δτ Δτ όπου : G ( +ν Οι ανωτέρω χέεις ιχύουν και την περίπτωη κορεμένου εδάφους, όταν οι υνθήκες φόρτιης είναι αρκετά αργές ώτε να επιτυγχάνεται πλήρης τράγγιη, δηλαδή φόρτιη χωρίς να αναπτύονται υπερπιέεις πόρων: Δ.

. Περίπτωη ξηρού εδάφους ή κορεμένου εδάφους με πλήρη τράγγιη : Μητρωική έκφραη των χέεων τάεων παραμορφώεων : Δγ Δγ Δγ zx ή (με αντιτροφή : Δ Δ Δ Δτ Δτ Δτ zx A όπου : ν ν ν ν ν ν Δ C: ( ν ν ν ν ( ν ν ν ν ( ν A ( + ν ( + ν ( ν ( + ν S: Δ Δ Δ Δ Δτ Δτ ( + ν Δτ zx Προοχή : για ν.5 το S δεν αντιτρέφεται ( ν ( ν Δγ Δγ ( ν Δγ zx Εκφραη των κατατατικών χέεων της ΓΙΕ ως προς τις ολικές τάεις. Περίπτωη κορεμένου εδάφους υπό ατράγγιτες υνθήκες : ( δηλαδή φόρτιη του εδάφους χωρίς μεταβολή του όγκου του Δ Δ Δ όπου : Δ ( Δ + Δ + Δ Αντικατάταη τις χέεις ελατικότητας : [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] [ Δ ν( Δ + Δ ] Δγ G Δτ Δίνει : [ Δ ν ( Δ + Δ ] [ Δ ν ( Δ + Δ ] [ Δ ν ( Δ + Δ ] Δγ G Δτ όπου : G ν ν ( +

Εκφραη των κατατατικών χέεων της ΓΙΕ ως προς τις ολικές τάεις. Περίπτωη κορεμένου εδάφους υπό ατράγγιτες υνθήκες : ( δηλαδή φόρτιη του εδάφους χωρίς μεταβολή του όγκου του Μητρωική έκφραη των χέεων τάεων παραμορφώεων : Δγ Δγ Δγ zx ν ν ν ν ν ν S Δ Δ Δ Δτ Δτ Δτ zx : Δ Προοχή : Το μητρώο S δεν αντιτρέφεται επειδή ν.5. Άρα υχνά τίθεται (κατά προέγγιη : ν.495, οπότε με την αντιτροφή προκύπτει: Δ C : Το C έχει ίδια μορφή με το C, με ν v Μή-γραμμικές χέεις τάεων -παραμορφώεων. Βαιμένες τη θεωρία πλατικότητας Δ C: Περιγράφονται με μαθηματική χέη της μορφής : Tο μητρώο C δεν είναι ταθερό, αλλά εξαρτάται από τις τάεις και άλλα μεγέθη Ο προδιοριμός του C αποτελεί αντικείμενο της θεωρίας πλατικότητας Παράδειγμα : Το μοντέλο Cam-Clay που βαίζεται τη θεωρία της κρίιμης κατάταης των αργιλικών υλικών (βλέπε επόμενες διαλέξεις. Ημι-εμπειρικές Παράδειγμα : Υπερβολικό μοντέλο. Μονοδιάτατο μοντέλο μέω των αναλλοίωτων μεγεθών διατμητικής τάης (q και διατμητικής παραμόρφωης (ε q qa ε q Παράμετροι : 5 q a αντοχή του υλικού q ( q q Ε 5 τέμνον μέτρο ελατικότητας το 5% της αντοχής Ε r μέτρο ελατικότητας κατά την αποφόρτιη - επαναφόρτιη a

Μή-γραμμικές χέεις τάεων παραμορφώεων Ημι-εμπειρικές χέεις : Το υπερβολικό μοντέλο (Dncan & Chang, 97 qa ε q 5 q ( q q a q δηλαδή χέη της μορφής (υπερβολή : 5 ε q + q qa ε q ε A + Bε Μή-γραμμικές χέεις τάεων παραμορφώεων qa ε q q Ημι-εμπειρικές χέεις : Το υπερβολικό μοντέλο Απότηνπροηγούμενηχέηπροκύπτει(με διαφοριμό ητιμήτηςεκάτοτεκλίηςτηςκαμπύληςq ε q : Σχέη τάεων παραμορφώεων : Κατά τη φόρτιη ( q > : Κατά την αποφόρτιη ( q < : dq dε q Δ q 5 q q a Δq r q q 5 q a dq dε Αρχική κλίη : 5 Κλίη το q q a / : 5 q 5 q dq dε ( q q a q Το μοντέλο μπορεί να γενικευθεί τις τρείς διατάεις ως μοντέλο ολικών τάεων για την ατράγγιτη φόρτιη εδαφών : Δ C:

Περιγραφή της φόρτιης εδαφικού τοιχείου μέω της διαδρομής των τάεων Παρακολούθηη της εξέλιξης του κύκλου Mohr μέω της κίνηης της κορυφής του : Διαδρομή τάεων κατά την τριαξονική θλίψη Αρχικά και τη υνέχεια το αυξάνει ενώ το παραμένει ταθερό Περιγραφή της φόρτιης εδαφικού τοιχείου μέω της διαδρομής των τάεων κορυφή του κύκλου Mohr t t s ( + ( ( Κύκλος ενεργών τάεων Κύκλος ολικών τάεων Κύκλος ολικών και ενεργών τάεων (απέχουν κατά την πίεη πόρων -

Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους. Ιότροπη θλίψη ( y Διαδρομή τάεων Δ Δ c Δ vol c K Δ Δ ν Δ c όπου : K Δγ ( ν Δγ Δγ Μέτρο ιότροπης υμπίεης Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους. Μονοδιάτατη θλίψη ( y Διαδρομή τάεων Δ ν Δ K Δ όπου : vol K Δγ ( ν Δγ Δγ Μέτρο ιότροπης υμπίεης

. Μονοδιάτατη παραμόρφωη (υνέχεια y Διαδρομή τάεων Δγ Δγ Δγ D Δ Δ ν ν όπου : Δ Δ D ( ν ( + ν( ν Λόγος μονοδιάτατης παραμόρφωης : και με θεώρηη ΓΙΕ : K o ν ν K o Μέτρο μονοδιάτατης υμπίεης Δ h Δ v Δ Δ 4. Απλή διάτμηη Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους Δ Δ Δ Δτ G Δγ Δτ Δτ zx

Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους 5. Τριαξονική θλίψη 5. Τριαξονική θλίψη Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους

Τυπικοί τρόποι φόρτιης του εδάφους 5. Τριαξονική θλίψη y Διαδρομή τάεων Δ - Δ Δ [ Δ ν Δ ] Δγ Δγ [( ν Δ ν Δ ] Δγ Αναλόγως του λόγου Δ /Δ Τάεις και παραμορφώεις του εδάφους λόγω επιβολής φορτίων Λόγω των εξωτερικών φορτίων, το έδαφος αναπτύονται πρόθετες τάεις (Δ και πιέεις πόρων (Δ που προκαλούν παραμορφώεις ( Το θεμελιώδες πρόβλημα : Ο προδιοριμός των παραμορφώεων, μετακινήεων και τάεων που προκαλούνται το έδαφος λόγω των εξωτερικών φορτίων

Τάεις και παραμορφώεις του εδάφους λόγω επιβολής φορτίων Οι αναπτυόμενες τάεις (Δ δεν εξαρτώνται μόνον από τη φόρτιη αλλά και από τις χέεις τάεων-παραμορφώεων του εδάφους (-ε Αρα : το πρόβλημα του προδιοριμού των παραμορφώεων δεν μπορεί να επιλυθεί μέω της απλής διαδικαίας : P -> (Δ, Δ -> Ο προδιοριμός των παραμορφώεων του εδάφους υνήθως απαιτεί τη λύη ενός ύνθετου προβλήματος υνοριακών τιμών με μερικές παραγώγους. Διαφορικές εξιώεις ιορροπίας : x x yx + y + y + z + z + + fˆ x fˆ y ή : + fˆ ( x zx + zy y + z + fˆ z. Σχέεις μεταξύ ενεργών τάεων και πιέεων πόρων : + δ ή : ˆ + Με αντικατάταη της ( την ( : + + f I ( Αγνωτοι : και (ενεργές τάεις και πίεη πόρων

. Κατατατικές χέεις ενεργών τάεων - παραμορφώεων : Δ Ckl kl ή : Δ C : όπου : Δ ( o Παράδειγμα την περίπτωη Γραμμικής Ιότροπης Ελατικότητας: Δ Δ Δ Δτ Δτ Δτ zx A 4. Σχέεις παραμορφώεων - μετακινήεων : όπου : kl ( ν ν ν A ν k xl ( ν ν ( + ν ( ν l + x ( ν k ν ν ( ν ( ν ή : ( + Δγ Δγ ( ν Δγ zx 5. Διατήρηη της μάζας του ρευτού των πόρων (προδιοριμός της πίεης των πόρων : Αρχή διατηρήεως της μάζας του ρευτού που πληρεί τους εδαφικούς πόρους : Ηκαθαρήειροήνερούεέναεδαφικόόγκοιούταιμετονρυθμόμεταβολήςτου νερού εντός του όγκου αυτού : q ρw v t ( ρ v + ( S ρ η w w Μάζα νερού εντός μοναδιαίου όγκου : m w S ρ w η Για κορεμένο έδαφος (S και αυμπίετο ομοιογενές ρευτό (ρ w ct : ε ( η t vol v ( ρ w πυκνότητα του ρευτού των πόρων v ανηγμένη ταχύτητα του ρευτού (τη υνολική επιφάνεια όχι το εμβαδόν των πόρων S βαθμός κορεμού η πορώδες ε vol ογκομετρική παραμόρφωη

5. Σχέεις προδιοριμού της πίεης των πόρων ( : Κατατατική χέη ροής (νόμος Darcy : Οριμός της πιεζομετρικής τάθμης (h : v k h h Στην υδροτατική κατάταη : h h s ct γ Οπότε : h ( w s z + γ h γ w ειδικό βάρος του ρευτού των πόρων v ανηγμένη ταχύτητα του ρευτού (τη υνολική επιφάνεια όχι το εμβαδόν των πόρων k τανυτής διαπερατότητας. Για ταθερή διαπερατότητα (k : k k I h πιεζομετρική τάθμη h s πιεζομετρική τάθμη την υδροτατική κατάταη ( ταθερή s υδροτατική πίεη πόρων πίεη πόρων s w s ε t γ Οι χέεις (, (, ( δίνουν για k ct : w vol + ( η γ k h s s z + γ w ( w z ( 5. Σχέεις προδιοριμού της πίεης των πόρων ( : γ w + k ε ( η t vol Η διαφορική εξίωη διατήρηης της μάζας δεν μπορεί να επιλυθεί ως προς την πίεη πόρων ( επειδή είναι υζευγμένη με τις εδαφικές παραμορφώεις (ε vol. Συνεπώς, απαιτείται η επίλυη των τεάρων εξιώεων (τρείς εξιώεις ιορροπίας και μία εξίωη διατήρηης της μάζας για τον προδιοριμό των τριών μετακινήεων ( x, y, z και της πίεης πόρων (. Εξιώεις ιορροπίας : + + fˆ Συνοριακές υνθήκες : (α Τάεων ή/και μετακινήεων το ύνορο : (β Πιέεων πόρων ή/και παροχών το ύνορο : n Tˆ ˆ Η επίλυη του υνδυαμού των ανωτέρω χέεων απαιτεί προηγμένες αριθμητικές μεθόδους (π.χ. πεπεραμένα τοιχεία Σε οριμένες περιπτώεις απλής γεωμετρίας και φόρτιης και με την παραδοχή γραμμικής ελατικότητας υπάρχουν αναλυτικές λύεις ˆ ή : ή : n q qˆ n ρw vˆ n

5. Σχέεις προδιοριμού της πίεης των πόρων ( :. Εάν θεωρηθεί ότι ο εδαφικός κελετός είναι απαραμόρφωτος (ε vol ήότιη ροή είναι μόνιμη ( / t : Ειδικές περιπτώεις : Αυτήηδιαφορικήεξίωη(εξίωη Laplace μπορεί να επιλυθεί ώτε να υπολογιθεί η πίεη πόρων (. Στη υνέχεια, επιλύονται (ανεξάρτητα οι εξιώεις ιορροπίας για τον προδιοριμό των μετακινήεων, παραμορφώεων και τάεων.. Μονοδιάτατη τερεοποίηη με ταθερή ολική τάη ( ct - Θεωρία Terzaghi : t D t t D t D t t vol ε ε ( + t k vol w ε η γ Οπότε, η εξίωη διατηρήεως της μάζας δίνει : t D k z w ( η γ t z c όπου : ( η γ w D k c Εξίωη διάχυης, c υντελετής τερεοποίηης. Μονοδιάτατη τερεοποίηη με ταθερή ολική τάη (θεωρία Terzaghi : t z c w z h γ + h Δ

Υπολογιμός της χρονικής εξέλιξης των καθιζήεων τερεοποιήεως (ρ c : ( t U ( t ( t ρ c ρ U ( t c ρ υντελετής τερεοποιήεως c ρ c ( t ( t καθίζηη την χρονική τιγμή t υνολική καθίζηη τερεοποιήεως Διατμητική αντοχή του εδάφους Παράδειγμα : Φόρτιη ε μοναξονική θλίψη ατοχία χαλάρωη Στααρχικάτάδιατηςφόρτιης, όλα τα υλικά παρουιάζουν γραμμικώς ελατική υμπεριφορά Σε μεγαλύτερες τάεις η υμπεριφορά γίνεται μή-γραμμική (διαρροή, και τελικώς οριμένοι υνδυαμοί τάεων οδηγούν ε ατοχία Ατοχία : Η κατάταη κατά την οποία το έδαφος έχει φθάει την αντοχή του και δεν μπορεί να αναλάβει πρόθετα φορτία (δηλαδή δεν μπορεί να αναλάβει μεγαλύτερες τάεις

Διατμητική αντοχή του εδάφους Ηκαμπύλητ ff f( ff είναι ιδιότητα του υλικού και ονομάζεται περιβάλλουα ατοχίας Τα κριτήρια ατοχίας καθορίζουν το χήμα και την θέη της περιβάλλουας ατοχίας για κάθε υλικό Το κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb ορίζει ως περιβάλλουα ατοχίας την ευθεία γραμμή : τ c + tan ϕ που ορίζεται από δύο παραμέτρους : c υνοχή, φ γωνία τριβής τ c + tan ϕ κύκλος ατοχίας Α: δεν ατοχεί Β: αδύνατος Κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb Το κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb δεν εξαρτάται από την ενδιάμεη κύρια τάη

Κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb. Ενα εδαφικό τοιχείο ατοχεί αν ο κύκλος Mohr εφάπτεται την περιβάλλουα ατοχίας : τ c + tan ϕ. Το επίπεδο ατοχίας αντιτοιχεί το ημείο επαφής του κύκλου με την περιβάλλουα ατοχίας Ζεύγος επιπέδων ατοχίας κατά το κριτήριο Mohr-Colomb Κριτήριο ατοχίας Mohr-Colomb. Ενα εδαφικό τοιχείο ατοχεί αν ο κύκλος Mohr εφάπτεται την περιβάλλουα ατοχίας. Το επίπεδο ατοχίας αντιτοιχεί το ημείο επαφής του κύκλου με την περιβάλλουα ατοχίας Τοεπίπεδοατοχίαςχηματίζειγωνία45+φ/ με το επίπεδο της

Προδιοριμός της περιβάλλουας ατοχίας με την τριαξονική δοκιμή Προδιοριμός της περιβάλλουας ατοχίας με την τριαξονική δοκιμή. Επιβολή ομοιόμορφης πίεης. Αύξηη της κατακόρυφης τάης μέχρι την ατοχία του δοκιμίου Αναλόγως των υνθηκών τράγγιης, μπορεί να μεταβάλλεται η πίεη πόρων ( κατά τη διάρκεια της δοκιμής

Προδιοριμός της περιβάλλουας ατοχίας με την τριαξονική δοκιμή f f Μία δοκιμή δεν αρκεί για τον προδιοριμό της περιβάλλουας, εκτός εάν το υλικό δεν έχει υνοχή (π.χ. άμμος Εάν το υλικό δεν έχει υνοχή (c : τ ff ff tan ϕ ϕ α 45 + f f ϕ tan 45 + Προοχή : Το κριτήριο ατοχίας εκφράζεται ως προς τις ενεργές τάεις Προδιοριμός της περιβάλλουας ατοχίας με την τριαξονική δοκιμή f f f Εάν το υλικό έχει και υνοχή, απαιτούνται τουλάχιτον δύο δοκιμές, για να προδιοριθείηκοινήεφαπτομένητουςδύοκύκλουςmohr κατά την ατοχία f Εάν το υλικό έχει και υνοχή : ϕ tan f f 45 + + c tan 45 + ϕ

Περιβάλλουα ατοχίας Mohr - Colomb f f Σε χώρο ορθής και διατμητικής τάης (, τ Σε χώρο κυρίων τάεων (,, Παρατήρηη : Κατά το κριτήριο ατοχίας Mohr- Colomb, δεν μπορεί να υμβεί ατοχία του υλικού ε φόρτιη ιότροπης υμπίεης ή για φορτίεις με κυρίως υμπιετική υνιτώα (δηλαδή με χετικώς μικρή διατμητική υνιτώα Το κριτήριο ατοχίας εκφράζεται ως προς τις ενεργές τάεις : Περίπτωη θετικής πίεης πόρων : Εάνμετηνπάροδοτουχρόνουμειωθείηπίεη πόρων, αυξάνει η αφάλεια έναντι ατοχίας Παράδειγμα : Αύξηη της αντοχής εμπηγνυόμενων παάλων με την πάροδο του χρόνου

Το κριτήριο ατοχίας εκφράζεται ως προς τις ενεργές τάεις : Περίπτωη αρνητικής πίεης πόρων : Εάν με την πάροδο τουχρόνουμειωθείη αρνητική πίεη πόρων, μειώνεται η αφάλεια έναντι ατοχίας Παράδειγμα : Χρονική υτέρηη της ατοχίας πρανών ορυγμάτων ε τιφρές αργίλους Σύγκριη της ατοχίας δοκιμίων την τριαξονική δοκιμή κατά την: ( τραγγιμένη φόρτιη και ( ατράγγιτη φόρτιη ΔΕΤ Διαδρομή Ενεργών Τάεων Η αντοχή κατά την ατράγγιτη φόρτιη είναι πολύ μικρότερη

Αλλα κριτήρια ατοχίας :. Κριτήριο μέγιτης διατμητικής τάης (Tresca :. Γενικευμένο κριτήριο μέγιτης διατμητικής τάης (Mises : q y ( + ( + ( q q y Στα ανωτέρω κριτήρια, η ατοχία δεν εξαρτάται από την ορθή τάη (, δηλαδή τα κριτήρια αυτά δεν έχουν τα χαρακτηριτικά του νόμου τριβής. Συνεπώς δεν εφαρμόζονται ε αναλύεις εδαφών με ενεργές τάεις. Μπορούν όμως να εφαρμοθούν ε αναλύεις εδαφών υπό ατράγγιτες υνθήκες (τύπου φ κριτήριο Tresca ( qy Mohr. Κριτήριο Mohr - Colomb : Περιγραφή του κριτηρίου Mohr Colomb τον χώρο των κυρίων τάεων : a tan 45 + φ Αλλα κριτήρια ατοχίας : φ b c tan 45 + a + b. Κριτήριο Mises (για ατράγγιτη φόρτιη :. Κριτήριο Drcker - Prager : q q y Ηπαράμετροςq y ιούται με την αντοχή του υλικού ε ανεμπόδιτη θλίψη Ακτίνα του κυλίνδρου : r q y A tanφ + 4 tan φ A p + q B B c + 4 tan φ