ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες: 6 6 8 4 i ii ii 6 iv 5 iii 4 4 vi 0 iv viii 6 4 6 v 6 9 6 vi ii vii iv 6 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Να βρείτε τα αναπτύγματα: i ( + y) ii (+) iii (α + ) iv (4 + y) v( + 7y) vi (5α + 9β) vi i y (α + yβ) 4 Να βρείτε τα αναπτύγματα: vi vii y i ( - y) ii (-) iii (8-α) iv (5κ-λ) viii a v( + 7y) vi (8ν-μ) vi vi (α -4) vii (-αβ) viii (0,5α - 0,8β) i(0,5α - 0,8β) (,5 - l,6y) i y ii a 9 iii (-α-β) iv (-4κ + λ) v (αβ - γδ) vi (αβγ - ) vii ( - κλ) viii 4 Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i ii iii 5 iv 4 v 4 vi 5 Να βρεθούν τα αναπτύγματα: i y 5 5 vii 7 7 ii y iii y y, y 59
iv, v a, α > β 6 Να βρείτε τα αναπτύγματα: i (-α+) ii (α + ) iii(-α-) iv (-y) v ( + y) vi (y-) vii( y-y ) viii i iii ( y y ),, y 0 a 7 Να βρείτε τα αναπτύγματα: i y i y ii iii 5 iv va, 0 vi(4 4 a ii a 8 Nα βρείτε τα αναπτύγματα: i( + y + z) ii ( + y-z) iii ( -y + z) iv (- + y-z) v(α-β-) vi ( + 4 + ) vii viii i( + y + z) (-y + z) i (α-β + ) ii iii iv 9 Να βρείτε τα παρακάτω αναπτύγματα : )( ) ) ( ) ),(, 0) i y ii a y iii a a iv)( y z) v) ( ) vi) y z vii a viii y i )( ) ) ( ) ) a 4 0 Nα κάνετε τις πράξεις: i ( + y)(y-) - ( + y) ii (+) 4 - iii (-)(+) + iv (α + β) - (α - 6αβ + 9αβ ) v ( + y) + (-y) -(-y)( + y) vi (-y) -(y-) vii (-y) - ( + y) + 6(y+l) viii (4-y) - (y-)(+y)-4(+y) i (-) + (+) - (-) -(-) +(+) -(+) Να κάνετε τις πράξεις: i ( + y-z)( + y + z) ii (α-β + γ)(α-β-γ) iii ( --)( + + ) iv (α + β + γ)(α-β + γ) 60
v ( )( ) vi 5 5 Να βρεθούν τα γινόμενα: i [ -(+)] [ + ( + )] ii (α-)(α + )(α -α+ 9)(α + α + 9) iii (α-β)(α + β)(α + β ) iv ( + )(-)( - + 4)( + + 4) ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να αποδείξετε ότι: i 4 5 ii iii y y y y iv 4 7 8 0 4 Να αποδείξετε τις ταυτότητες : i (- ) - ( -) = - ii 4α (β -)-4β (α -) = 4(β-α)(β + α) iii(α -β )(α + αβ + β ) - α 4 + β 4 = αβ(α - β ) 5 Να αποδείξετε τις ταυτότητες: 9( ) i 4 6 Να αποδείξετε ότι: i (α-β-γ) = α + β + γ - αβ + βγ - γα ii (α + β )( + y )-(αy-β) = (α + βy) iii (α-β) - (α + β) = -4αβ iv (α + β ) - (α - β ) = (αβ) v (α-β-γ) - (γ α + β) = 0 vi(α - β) + αβ(α - β) = α - β ii ( 7) 7 7 Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i ( + 4)(y + ) - (y + ) = (y -) ii (+y) +(y+l) + (l+) -4 - y - l = ( + y+l) iii (α - y) - (y - α) + 8α = 8y iv (-y) + (y-z) + (z+) - -y -z = ( -y + z) 8 Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i (α + β) - (α-β) (α + β) = 4αβ(α + β) ii 4 -y 4 - (-y) ( + y) = y( -y ) iiiα( -α ) + α ( + α) = α( + α ) 9 Να αποδείξετε ότι: i (α - β) + (α - β) (β - α) ++(α - β)(β - α) + (β - α) = 8α ii (α + β + γ) + (α-β-γ) - (α + β-γ) - (α-β + γ) = 8βγ 0 Να αποδείξετε ότι: i α β(α + β) = α 4 -β 4 - (α + β) (α-β) + β(α + β ) ii (y - - ω) + ( - y) + 4y = = ( + y) + (-y + ω) 6
Να αποδείξετε ότι: i αν α + γ = β, τότε (α-β) + β + (β-γ) = α -4β(α-β) ii αν α γ = β, τότε γ(α - β) = α(β - γ) Να αποδείξετε ότι αν, τότε Να αποδείξετε τις ταυτότητες: 4 4 α) β) ( ) ( ) γ) (α-β) -(β-γ) + (γ-α) = (α-γ)(α-β) δ) (α + β + γ) -(α + β-γ) + (α - β + γ) - (α - β - γ) =8αγ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ 4 Αν ισχύει 5 Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 4,να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( )( ) 6 6 Αν ισχύει,να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 0 7 Αν ισχύει α+β=,να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 8 Αν ισχύει α-β=,να αποδείξετε ότι 4 9 Αν ισχύει ( ) 4, με α,β 0,να αποδείξετε ότι α=β 0 Αν ισχύει α+β+γ=0,να αποδείξετε ότι Αν για τους αριθμούς α,β,γ 0 ισχύει α+β+γ=0,να αποδείξετε ότι Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ ισχύει : ( ) ( ) ( )( ) i Να αποδείξετε ότι α =β ii Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = α 00 -β 00 Αν ισχύει α+β+γ=,να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 Αν για τους αριθμούς α,β,γ 0 ισχύουν α+β+γ= και 0 iνα βρείτε την τιμή της παράστασης Α=αβ+βγ+γα iiνα αποδείξετε ότι α +β +γ =9 5 Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β 0 ισχύει : ( ) ( ) Να αποδείξετε ότι 6
6 Αν ισχύει α+β+γ=0,να αποδείξετε ότι : i α(α+β)(α+γ) = β(β+γ)(β+α) ii ( ) ( ) ( ) ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ 7 Αν ο αριθμός είναι άρρητος,να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι άρρητος 8 Ο αριθμός α είναι ακέραιοςνα αποδείξετε ότι : i αν ο αριθμός (α+) είναι άρτιος,τότε ο αριθμός α είναι περιττός, ii αν ο αριθμός (α-6) είναι άρτιος,τότε ο αριθμός α είναι άρτιος 9 Οι αριθμοί α και β είναι ακέραιοιαν ο αριθμός ( ) είναι άρτιος,να αποδείξετε ότι ο αριθμός α είναι περιττός 4 40 Δίνονται οι ακέραιοι αριθμοί α και β Αν οι αριθμοί β και είναι άρτιοι, να αποδείξετε ότι ο αριθμός α είναι άρτιος 4 Δίνονται οι ακέραιοι αριθμοί α και β Αν οι αριθμοί β και είναι περιττοί, να αποδείξετε ότι ο αριθμός α είναι άρτιος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ 4 Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων να βρείτε τις παρακάτω τιμές: 6 i 99 ii 00 iii 0 999 iv 997 00 v 999 999 vi 97 697 9 4 iνα αποδείξετε την ταυτότητα : ( )( ) 4 iiνα βρείτε την τιμή της παράστασης :,45,45 5,45 44 iαν α,β 0,να αποδείξετε ότι : ( ) 99 9 ii Να βρείτε την τιμή της παράστασης : 8 999 45 iνα αποδείξετε την ταυτότητα : 0 0 0 0 5 5 iiνα βρείτε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού : 46 iνα αποδείξετε την ταυτότητα : ( )( ) ( )( ) ( )( ) iiνα βρείτε την τιμή της παράστασης: 04 00 0 0 4 4 47 iνα αποδείξετε την ταυτότητα : ( )( )( iiνα βρείτε την τιμή της παράστασης: 990 000 6
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΣΥΝΘΗΚΗ 48 α)να αποδείξετε τις ταυτότητες : i) ( ) ii) ( ) 4 β) Αν,να βρείτε την τιμή της παράστασης, γ) Αν y 4,να βρείτε την τιμή της παράστασης B y y y 49 iνα αποδείξετε την ταυτότητα : ( ) ( a ) ii Αν,να βρείτε την τιμή της παράστασης 50 Αν ισχύει 7 y και y,να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : i A y ii B ( y) iii y iv y y 5 Αν ισχύει,να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : 4 7 i A ii iii iv 4 7 5 Αν ισχύει α+β=4 και α +β =9,να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : iα=αβ ii Β= α +β 5 Αν ισχύει α+β= και α +β =8,να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : i ii Β=αβ iiiγ= α +β ivδ =(α-β) 54 Αν ισχύει,όπου 0,να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : i A ii ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 55 Για τους αριθμούς α και β ισχύει : iνα βρείτε τον αριθμό 0 0 ( ) ( )( ) ( )( ) iiνα βρείτε την τιμή της παράστασης : ( ) ( ) ( ) 56 Για τους αριθμούς α και β ισχύουν οι σχέσεις : Και ( )( ) ( ) () α)να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι β)να υπολογίσετε το άθροισμα α +β γ)να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων : 4 4 i A( a ) ii 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 () 64
57 Δίνονται οι παραστάσεις ( ) ( ) α 0 α)να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Κ και λ β) Αν ισχύει Κ = Λ,να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i A a a 4 ii Ba iii a 4 a a iv 58 Για τους αριθμούς α,β,γ ισχύει : α+β+γ=0 και 6 και 99 iνα αποδείξετε ότι : ( ) iiνα βρείτε την τιμή του γινομένου αβγ, iiiνα βρείτε την τιμή της παράστασης ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 7),όπου 6 6 A a a 65