Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε πό έν σηµείο Α, πάνω σε µι ευθεί ε (Αν το σηµείο βρίσκετι πάνω στην ευθεί, τότε είνι το ίδιο το σηµείο.) Α Προβολή τµήµτος σε ευθεί Ορθή προβολή του ευθύγρµµου τµήµτος ΑΒ πάνω στην ε ονοµάζουµε το ευθύγρµµο τµήµ Α 'Β' που έχει ως άκρ τις ορθές προβολές Α ', Β ' των Α, Β πάνω στην ε Α3 Θεώρηµ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µις κάθετης πλευράς του, ισούτι µε το γινόµενο της υποτείνουσς επί την προβολή της πλευράς υτής πάνω στην υποτείνουσ. ηλδή: ΑΒ ΑΓ = ΒΓ Β ή = Β γ = ΒΓ Γ ή = Γ β Τ τρίγων ΑΒΓ κι γιτί έχουν δύο γωνίες ίσες: Συνεπώς, θ ισχύει AB είνι όµοι Α = = 90 ΑΒ Β = ΑΒ = ΒΓ Β ΒΓ ΑΒ κι Γ : κοινή γωνί. Οµοίως, χρησιµοποιώντς τ τρίγων ΑΒΓ κι ΑΓ, ποδεικνύετι κι η σχέση η οποί ισχύει γι την άλλη κάθετη, δηλδή ΑΓ = ΒΓ Γ

Προυσίση 3 Σε τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α = 90 κι ύψος Α, είνι ΑΒ = 3 cm κι ΑΓ = 4cm Θ υπολογίσουµε τ µήκη των τµηµάτων Β κι Γ Από ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ είνι ΒΓ = 3 + 4 = 5, άρ ΒΓ = 5 Από ΑΓ = ΒΓ Γ είνι 4 6 = 5 Γ ή Γ = 5 κι πό ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ είνι 3 = 5 Β ή Σε τρίγωνο µε Α = 90 κι ύψος Α είνι ν υπολογίσετε τ µήκη των τµηµάτων Γ κι Β 9 Β = 5 ΑΓ = 6 cm κι ΒΓ = 0 cm Α6 Θεώρηµ 4 - Αντίστροφο του Πυθγορείου Αν σε έν τρίγωνο το τετράγωνο της µεγλύτερης πλευράς του είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών του, το τρίγωνο είνι ορθογώνιο µε ορθή γωνί την γωνί που βρίσκετι πένντι πό την µεγλύτερη πλευρά. ηλδή: Αν είνι ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ, τότε θ είνι Πάνω στις πλευρές τις ορθής γωνίς πίρνουµε Ο = ΑΒ κι ΟΕ = ΑΓ Εφρµόζουµε Πυθγόρειο θεώρηµ στο τρίγωνο ΟΕ κι είνι Οπότε Άρ Ε = Ο + ΟΕ Ε = ΑΒ + ΑΓ x O y Ε = ΒΓ Α = 90 Ε = ΒΓ κι πό τ προηγούµεν είνι Ο = ΑΒ κι ΟΕ = ΑΓ ΑΒΓ = ΟΕ κι τελικά O Α = 90 = Στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΒΓ = 7cm, ΑΒ = 4cm κι ΑΓ = 65 cm Επειδή ΒΓ + ΑΒ = 7 + 4 = 49 + 6 = 65 = 65 = ΑΓ, είνι B = 90 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΒΓ = 3 cm, ΑΓ = 8 cm κι ΑΒ = 9 cm ν ελέγξετε ν το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ορθογώνιο.

Προυσίση 4 Α7 Θεώρηµ 5 Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που ντιστοιχεί στην υποτείνουσ είνι ίσο µε το γινόµενο των προβολών των κθέτων πλευρών του στην υποτείνουσ. ηλδή: Α = Β Γ ή = Β Γ υ Συγκρίνοντς τ τρίγων ΑΓ κι ΑΒ διπιστώνουµε ότι = = 90 Οπότε, είνι όµοι κι συνεπώς Σε τρίγωνο ΑΒΓ, µε πό Α = 90 κι Α = Γ Α Β = Α = Γ Β Γ Α, ύψος 6 cm Α = Β Γ είνι 6 = 9 Γ ή Γ = 4 cm Α = κι Β = 9 cm Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ν υπολογίσετε το Α Α = 90 κι ύψος Α, κι µε Γ = 8 cm, Β = cm Α8 Εφρµογή Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, µε Α = 90 κι ύψος Α, είνι: β + γ = υ β + γ = + Γ Β = Γ + Β Β + Γ = = Γ Β = = Γ Β Γ Β υ Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε Α = 90 κι ύψος Α είνι ΑΒ = 3 cm, ΑΓ = 7 cm Τότε πό β + = είνι γ υ Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ν υπολογίσετε το ΑΒ Α = 90 7 + = ή 3 υ κι ύψος 0 9 = ή υ = 9 0 υ Α = 3 cm, είνι ΑΓ = 9 cm

Προυσίση 5 Β Γενίκευση του Πυθγορείου θεωρήµτος Β Θεώρηµ (Οξείς γωνίς) Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκετι πένντι πό οξεί γωνί, είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών ελττωµένο κτά το διπλάσιο γινόµενο της µις πό υτές, επί την προβολή της άλλης πάνω σε υτή. ηλδή: ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΓ Α ή = β + γ β Α όπου Α είνι η προβολή της γ πάνω στη β ή ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΒ ΑΕ ή = β + γ γ ΑΕ όπου AE είνι η προβολή της β πάνω στη γ Είνι Οπότε ΒΓ = Β + Γ Β = ΑΒ Α ΒΓ = Β + Γ ΒΓ = ΑΒ Α + Γ () Αν Γ < 90, το θ είνι µετξύ Α κι Γ κι άρ Γ = ΑΓ Α () Οπότε ΒΓ = ΑΒ Α + Γ = ΑΒ Α + (ΑΓ Α ) = ΑΒ Α + ΑΓ ΑΓ Α + Α = ΑΒ + ΑΓ ΑΓ Α Αν Γ > 90, το Γ θ είνι µετξύ των Α κι κι άρ Γ = Α ΑΓ (3) Οπότε ΒΓ = ΑΒ Α + Γ = ΑΒ Α + (Α ΑΓ) = ΑΒ Α + Α ΑΓ Α + ΑΓ = ΑΒ Αν Γ = 90, το θ συµπέσει µε το Γ κι άρ Γ = 0 + ΑΓ ΑΓ Α Οπότε ΒΓ = ΑΒ Α + Γ = ΑΒ + ΑΓ ΑΓ Α

Προυσίση 6 Β Θεώρηµ (µβλείς γωνίς) Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκετι πένντι πό µβλεί γωνί, είνι ίσο µε το άθροισµ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών, υξηµένο κτά το διπλάσιο γινόµενο της µις πό υτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε υτή. ηλδή: = β + γ + β Α ή = β + γ + γ ΑΕ Είνι ΒΓ = Β + Γ Β = ΑΒ Α Προσθέτοντς έχουµε ή ΒΓ = Β + Γ ΒΓ = ΑΒ Α + Γ Επειδή A > 90 το A είνι µετξύ κι Γ κι άρ Γ = ΑΓ + Α Οπότε, είνι ΒΓ = ΑΒ Α + (ΑΓ + Α ) ή ή ΒΓ = ΑΒ Α + ΑΓ + ΑΓ Α + Α ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ + ΑΓ Α Β3 Κριτήρι γι το είδος τριγώνου Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ, µε πλευρές ΑΒ = γ, ΒΓ =, ΓΑ = β κι µεγλύτερη πλευρά την Αν = β + γ, τότε ο Α = 90 κι ντίστροφ. Αν < β + γ, τότε ο Α < 90 κι ντίστροφ. Αν > β + γ, τότε ο Α > 90 κι ντίστροφ. Τ πιο πάνω προκύπτουν πό το Πυθγόρειο κι πό την γενίκευση του Πυθγορείου θεωρήµτος.

Προυσίση 7 Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές = 6, β = 8 κι γ = 9 Είνι = 36, β = 64, γ = 8 Γι το τετράγωνο της µεγλύτερης πλευράς ισχύει γ = 8 < + β = 00 Εποµένως η γωνί Γ είνι οξεί κι επειδή είνι κι η µεγλύτερη γωνί του τριγώνου φού βρίσκετι πένντι πό τη µεγλύτερη πλευρά είνι φνερό ότι το τρίγωνο θ είνι οξυγώνιο. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι =, β = 8, γ = 6 δείξτε ότι είνι µβλυγώνιο. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε Ν τονίσουµε ότι η γωνί ΑΒ = 7 cm, ΑΓ = 5 cm κι ΒΓ = 6 cm ο Α < 90 φού Γι την προβολή ΑΕ της ΑΒ πάνω στην ΑΓ είνι ΒΓ ΑΒ < ΑΓ + ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ ΑΒ ΑΕ ή 6 = 7 + 5 7 ΑΕ ή 9 ΑΕ = 7 Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΒΓ = 8 cm, ΑΒ = 9 cm κι γι την προβολή Β της ΑΒ πάνω στην ΒΓ είνι Β4 Νόµος συνηµιτόνων 83 Β = cm, ν υπολογίσετε την πλευρά ΑΓ 6 Τ θεωρήµτ οξείς κι µβλείς γωνίς, ποτελούν την γεωµετρική έκφρση του νόµου συνηµιτόνων. ηλδή: = β + γ β γ συνα Β5 Ύψος τριγώνου Γι το τρίγωνο ΑΒΓ είνι υ = τ(τ )(τ β)(τ γ), όπου τ = ( + β + γ) Τ µήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είνι = 6, β = 7 κι γ = 5 Θ υπολογίσουµε το µήκος του ύψους υ + β + γ 6 + 7 + 5 Είνι τ = = = 9 Οπότε = υ 9(9 6)(9 7)(9 5) = 6 6 µ.µ. Τ µήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είνι = 5, β = 4 κι γ = 3 Ν υπολογίσετε το µήκος του ύψους υ

Προυσίση 8 Γ Θεωρήµτ διµέσων Γ Θεώρηµ Το άθροισµ των τετργώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου, ισούτι µε το διπλάσιο του τετργώνου της διµέσου που περιέχετι µετξύ των πλευρών υτών υξηµένο κτά το µισό του τετργώνου της τρίτης πλευράς. ηλδή β Αν + γ = µ + ΑΒ > ΑΓ, το ίχνος του ύψους θ βρίσκετι µετξύ των Γ κι Μ Επίσης A MB > 90 κι A MΓ < 90 Στο ΑΜΒ εφρµόζουµε το θεώρηµ µβλείς γωνίς κι είνι ΑΒ = ΑΜ + ΒΜ + ΒΜ Μ Στο ΑΜΓ εφρµόζουµε το θεώρηµ οξείς γωνίς κι είνι ΑΓ = ΑΜ + ΜΓ ΜΓ Μ Με πρόσθεση κτά µέλη των πρπάνω σχέσεων, προκύπτει ότι: γ + β = ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΒΜ + ΒΜ Μ + ΑΜ + ΜΓ ΜΓ Μ = ΑΜ + ΒΜ + ΜΓ = µ + + = µ Αν λύσουµε τον πρπάνω τύπο ως προς τη διάµεσο, είνι µ Όµοι είνι µ β Γ Θεώρηµ + γ β = κι 4 µ γ = + β 4 γ β + γ = 4 + Η διφορά των τετργώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου, ισούτι µε το διπλάσιο γινόµενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της ντίστοιχης διµέσου πάνω στην πλευρά υτή. ηλδή: ΑΒ > ΑΓ ή γ β = Μ, µε γ > β Με φίρεση των σχέσεων κτά µέλη, προκύπτει γ β = ΑΒ ΑΓ = ΑΜ + ΒΜ + ΒΜ Μ ΑΜ = ΜΒ Μ = Μ ΜΓ + ΜΓ Μ Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε γ = ΑΒ = 7cm, β = ΑΓ = 5cm κι = ΒΓ = 6cm = Είνι 4µ = β + γ = 5 + 7 6, άρ µ = 8 cm Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε Ν υπολογίσετε το µήκος της διµέσου µ β ΑΒ = 7cm, ΑΓ = 5cm κι ΒΓ = 6cm

Προυσίση 9 ΕΜΒΑ Α

Προυσίση 0. Περί εµβδών Α Πολυγωνικό χωρίο Γνωρίζουµε ότι µι πλή κι κλειστή πολυγωνική γρµµή, ονοµάζετι πολύγωνο. Α Πολυγωνικό χωρίο Το σχήµ που ποτελείτι πό έν πολύγωνο κι τ εσωτερικά του σηµεί, λέγετι πολυγωνικό χωρίο. Α Πολυγωνική επιφάνει Έν σχήµ που ποτελείτι πό πεπερσµένο πλήθος πολυγωνικών χωρίων, που νά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεί, ονοµάζετι πολυγωνική επιφάνει. Β Εµβδόν ευθύγρµµου σχήµτος Όπως στ ευθύγρµµ τµήµτ έτσι κι στ σχήµτ µέτρηση του χωρίου A λέµε την σύγκρισή του µε έν άλλο επίπεδο χωρίο το οποίο επιλέγουµε ως µονάδ µέτρησης. Έτσι, οδηγούµστε σε µί σχέση της µορφής A = κ, µε κ > 0 Ο θετικός κ λέγετι εµβδόν του πολυγωνικού χωρίου A κι συµβολίζετι µε ( A) Β Αξιώµτ γι το εµβδόν Γι το εµβδόν ισχύουν τ επόµεν ξιώµτ. Ίσ πολυγωνικά χωρί έχουν ίσ εµβδά το εµβδόν µις πολυγωνικής επιφάνεις ισούτι µε το άθροισµ των εµβδών των επιµέρους πολυγωνικών χωρίων πό τ οποί ποτελείτι. Το εµβδόν ενός τετργώνου πλευράς µ.µ. είνι τ.µ.

Προυσίση Β Ισοδύνµ ευθύγρµµ σχήµτ Ανφέρµε προηγουµένως ότι ν δύο πολυγωνικά χωρί είνι ίσ, τότε θ έχουν κι ίσ εµβδά. Το ντίστροφο προφνώς κι δεν ισχύει. ύο σχήµτ που έχουν το ίδιο εµβδόν λέγοντι ισοδύνµ ή ισεµβδικά. Άρ λοιπόν µπορούµε ν συγκρίνουµε ως προς το εµβδόν τους κι σχήµτ τ οποί δεν είνι ίσ. Γ Εµβδόν βσικών ευθυγράµµων σχηµάτων Προυσιάζουµε στη συνέχει, τ εµβδά των βσικών ευθύγρµµων σχηµάτων. Γ Εµβδόν τετργώνου Το εµβδόν E ενός τετργώνου πλευράς είνι Έν τετράγωνο µε πλευρά E = 4 cm έχει εµβδόν 6 cm Ν βρείτε το εµβδόν ενός τετργώνου µε περίµετρο Γ Εµβδόν ορθογωνίου πρλληλογράµµου Το εµβδόν E ενός ορθογωνίου πρλληλογράµµου ισούτι µε το γινόµενο των πλευρών του. Γι έν ορθογώνιο πρλληλόγρµµο διστάσεων, β είνι E = β cm Έστω έν ορθογώνιο ΑΒΓ, µε AB = β κι A =. Προεκτείνουµε την πλευρά AB κτά τµήµ BZ = κι την A κτά Ε = β Στην συνέχει, σχηµτίζουµε το τετράγωνο AZ ΘΕ το οποίο έχει πλευρά + β άρ κι ( ΑΖΘΕ) = ( + β) Προεκτείνοντς τώρ τις B Γ κι Γ σχηµτίζοντι τ τετράγων B ΓΗΖ, ΓΙΕ µε πλευρές κι β ντίστοιχ, κι το ορθογώνιο ΓΗΘΙ το οποίο είνι ίσο µε το ΑΒΓ Οπότε ( BΓΗΖ) =, ( ΓΙΕ) = β κι ( ΓΗΘΙ) = (ABΓ ) Έχουµε λοιπόν ( AZΘΕ) = (ABΓ ) + (BΓΗΖ) + ( ΓΙΕ) ηλδή (ABΓ ) = (AZΘΕ) (BΓΗΖ) ( ΓΙΕ) = ( + β) β οπού µετά πό πράξεις κτλήγουµε ότι ( ABΓ ) = β

Προυσίση Γ3 Εµβδόν πρλληλογράµµου Το εµβδόν E ενός πρλληλογράµµου ισούτι µε το γινόµενο µις πλευράς του επί το ύψος που ντιστοιχεί σε υτή. Γι έν πρλληλόγρµµο διστάσεων, β είνι E = υ ή E = β υβ Θεωρούµε έν πρλληλόγρµµο ΑΒΓ κι φέρνουµε το ύψος AE το οποίο ντιστοιχεί στην Γ Από το σηµείο B φέρνουµε την BZ κάθετη στην προέκτση της Γ Τ τρίγων A Ε κι BZ Γ είνι ίσ, οπότε ( A Ε) = (BΖΓ) Επειδή το ABZE είνι ορθογώνιο πρλληλόγρµµο οπότε το εµβδόν του θ είνι ίσο µε ( ABZE) = AB AE Όµως ( ABΓ ) = (Α Ε) + (ΑΒΓΕ) = (ΒΓΖ) + (ΑΒΓΕ) = (ABZE) Συνεπώς ( ABΓ ) = AB AE = Γ AE Γ4 Εµβδόν τριγώνου Το εµβδόν E ενός τριγώνου ισούτι µε το ηµιγινόµενο µις πλευράς του επί το ύψος που ντιστοιχεί σε υτή. Γι έν τρίγωνο µε πλευρές, β, γ υ β υ β γ υγ είνι E = ή E = ή E = Με πλευρές AB κι B Γ σχηµτίζουµε το πρλληλόγρµµο AB ΓΕ του οποίου το εµβδόν είνι ( ABΓΕ) = BΓ Α = υ Όµως, τ τρίγων AB Γ κι AE Γ είνι ίσ, οπότε ( ABΓ) = (ΑΕΓ) Τέλος, έχουµε ότι ( ABΓΕ) = (ABΓ) + (ΑΕΓ) υ Οπότε υ = (ABΓ) ή (ABΓ) = Το εµβδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούτι µε το ηµιγινόµενο των δύο κθέτων πλευρών του. Ν βρείτε το εµβδόν ενός ορθογωνίου κι ισοσκελούς τριγώνου µε υποτείνουσ µήκους cm

Προυσίση 3 Γ5 Εµβδόν τρπεζίου Το εµβδόν ενός τρπεζίου ισούτι µε το γινόµενο του ηµιθροίσµτος των βάσεών του επί το ύψος του. Γι έν τρπέζιο µε βάσεις B, β κι ύψος υ B + β είνι E = υ Έστω το τρπέζιο AB Γ (µε B Γ // Α ) µε βάση µεγάλη B Γ = Β, βάση µικρή A = β κι ύψος υ Φέρνουµε τη διγώνιο A Γ Είνι ( ABΓ ) = (ΑΒΓ) + (Α Γ) Επειδή τ τρίγων ΑΒΓ, Α Γ έχουν το ίδιο ύψος γι το εµβδόν τους Β υ β υ είνι (AΒΓ) = κι (A Γ) = Β υ β υ B + β Άρ ( ΑΒΓ ) = + = υ Επίσης, φού σε κάθε τρπέζιο η διάµεσός του ισούτι µε το ηµιάθροισµ των βάσεών του το εµβδόν του θ ισούτι κι µε E = δ υ Γ6 Εµβδόν ρόµβου Το εµβδόν ενός ρόµβου ισούτι µε το ηµιγινόµενο των διγωνίων του. Γι έν ρόµβο µε διγώνιους δ κι δ β είνι δ E = Έστω ο ρόµβος ΑΒΓ µε διγώνιους δ κι Είνι ( ABΓ ) = (AOB) + (BOΓ) + (ΓΟ ) + (ΑΟ ) Όµως, τ τέσσερ ορθογώνι τρίγων είνι ίσ µετξύ τους, άρ κι ισοδύνµ. Έτσι λοιπόν ( ABΓ ) = 4(AOB) Το εµβδόν του τριγώνου AOB είνι (AOB) = δ Άρ (ABΓ ) = 4 δ 8 β δ = δ β δ β δ δβ δ β δ = δ 8 β

Προυσίση 4 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Χρησιµοποιώντς τον βσικό τύπο γι το εµβδόν ενός τριγώνου AB Γ µε µήκη πλευρών, β κι γ προκύπτουν κι οι πρκάτω τύποι. Τύπος του Ήρων E = τ(τ )(τ β)(τ γ) + β + γ όπου τ = η ηµιπερίµετρος του τριγώνου. Επειδή υ = τ(τ )(τ β)(τ γ) είνι E = υ = τ(τ )(τ β)(τ γ) = τ(τ )(τ β)(τ γ) Το εµβδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς E = 3(3 )(3 )(3 ) = 3 cm φού τ = 3 cm είνι Ν βρείτε το εµβδόν ενός τριγώνου µε πλευρές 3 cm, 5 cm κι 6 cm Χρησιµοποιώντς την κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου E = τ ρ όπου τ η ηµιπερίµετρος κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου. Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ κι ο εγγεγρµµένος κύκλος του ( I, ρ) Οι διχοτόµοι AI, BI κι ΓΙ των γωνιών του τριγώνου, χωρίζουν το τρίγωνο σε τρί τρίγων, τ AIB, BI Γ κι AI Γ τ οποί δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεί λλά έχουν το ίδιο ύψος ρ Οπότε είνι ( ΑΒΓ) = (ΑΙΒ) + (ΒΙΓ) + (ΑΙΓ) = AB ρ + BΓ ρ AΓ ρ = ( AB + BΓ + ΑΓ) ρ = τ ρ = τ ρ

Προυσίση 5 3 Χρησιµοποιώντς την κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου E = β γ 4R όπου R η κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου του τριγώνου. Γνωρίζουµε ότι βγ = Rυ άρ είνι βγ Έχουµε λοιπόν E = υ = = R 4 Τριγωνοµετρικός τύπος βγ R βγ 4R υ = E = β γ ηµα ή E = γ ηµ B ή E = β ηµ Γ Η πόδειξη διφέρει νάλογ µε το είδος του τριγώνου. υ β Αν A < 90, στο ορθογώνιο A Β έχουµε ηµa =, δηλδή υ β = γ ηµ Α γ υ β Αν A > 90, στο ορθογώνιο A Β έχουµε ηµa εξ =, δηλδή υβ = γ ηµ Α εξ γ Επειδή A εξ + A = 80, είνι ηµ Α εξ = ηµ A Εποµένως κι στην δεύτερη περίπτωση ισχύει πάλι υ β = γ ηµ Α Οπότε έχουµε E = β υβ = β γ ηµ Α Τέλος ν A = 90, θ είνι υ β = γ κι άρ ο τύπος πάλι ισχύει. Όµοι ποδεικνύοντι κι οι άλλοι τύποι. Σε τρίγωνο µε πλευρές 5, 6, 7 κι E = 8, η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου είνι ίση µε ρ =, πό τον τύπο E = τ ρ Σε τρίγωνο µε πλευρές, 3, 4 κι E = 3 ν βρείτε την κτίν του περιγεγρµµένου κύκλου του.

Προυσίση 6 ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

Προυσίση 7 3. Μέτρηση κύκλου Α Μήκος κύκλου Χρησιµοποιώντς την περίµετρο των κνονικών πολυγώνων θ προσεγγίσουµε την έννοι του µήκους του κύκλου. Θεωρούµε έν κύκλο ( O, R) κι εγγράφουµε σε υτόν διδοχικά έν ισόπλευρο τρίγωνο, έν κνονικό εξάγωνο έν κνονικό δωδεκάγωνο κι γενικότερ έν κνονικό πολύγωνο µε διπλάσιο κάθε φορά, πλήθος πλευρών πό το προηγούµενο. Κθώς λοιπόν ο ριθµός των πλευρών του πολυγώνου µεγλώνει πρτηρούµε ότι το πολύγωνο τείνει ν τυτισθεί µε τον κύκλο. Στο ίδιο κριβώς συµπέρσµ κτλήγουµε ν ντί γι εγγεγρµµέν κνονικά πολύγων θεωρήσουµε περιγεγρµµέν κνονικά πολύγων στον κύκλο ( O, R) Αποδεικνύετι ότι υπάρχει µονδικός θετικός ριθµός L µεγλύτερος πό την περίµετρο P ν των εγγεγρµµένων πολυγώνων κι µικρότερος πό την περίµετρο P ν των περιγεγρµµένων πολυγώνων στον ίδιο κύκλο. Κθώς διπλσιάζουµε τις πλευρές, οι P ν κι P ν προσεγγίζουν όλο κι περισσότερο τον ριθµό L Ο ριθµός υτός λοιπόν ονοµάζετι µήκος του κύκλου ( O, R) L Έχει ποδειχθεί ότι ο λόγος του µήκους του κύκλου προς τη διάµετρό του R είνι στθερός, δηλδή είνι ίδιος γι κάθε κύκλο. Η στθερή υτή τιµή του λόγου συµβολίζετι διεθνώς µε το Ελληνικό γράµµ π Προκύπτει λοιπόν ότι το µήκος L του κύκλου κτίνς R δίνετι πό τη σχέση L = πr Ν σηµειώσουµε ότι ο ριθµός π είνι ένς άρρητος, υπερβτικός ριθµός κι στην πράξη, µι προσέγγισή του είνι π 3,4

Προυσίση 8 Β Μήκος τόξου Ένς κύκλος ( O, R) είνι έν τόξο Το τόξο οπότε έν τόξο πr θ έχει µήκος 360 µ θ έχει µήκος 360 µε µήκος πr πrµ l = 80 Επίσης έν τόξο κύκλου µε µήκος ίσο µε την κτίν R λέγετι κτίνιο (rad), εποµένως έν τόξο rad έχει µήκος R, δηλδή l = R Ν θυµηθούµε ότι πό τις δύο πρπάνω σχέσεις προκύπτει ο τύπος ο οποίος συνδέει τις µοίρες µε τ κτίνι, δηλδή = π µ 80 Γ Εµβδόν κυκλικού δίσκου Κυκλικός δίσκος κέντρου O κι κτίνς R είνι ο κύκλος ( O, R) µζί µε τ εσωτερικά του σηµεί. Είδµε προηγουµένως ότι τ εγγεγρµµέν ή τ περιγεγρµµέν σε ένν κύκλο κνονικά πολύγων τείνουν ν τυτισθούν µε τον κύκλο κθώς το πλήθος των πλευρών τους υξάνει. Ο µονδικός θετικός ριθµός E προς τον οποίο πλησιάζουν ολοέν κι περισσότερο, τ εµβδά των εγγεγρµµένων κι περιγεγρµµένων κνονικών πολυγώνων λέγετι εµβδόν του κυκλικού δίσκου. Θεωρούµε έν κνονικό ν-γωνο εγγεγρµµένο στον κύκλο ( O, R) Το εµβδόν E ν δίνετι πό τον τύπο E ν = Pν ν Από το διπλνό σχήµ φίνετι ότι κθώς το πλήθος των πλευρών υξάνει, το ν προσεγγίζει την κτίν R κι επειδή το P ν προσεγγίζει το µήκος L του κύκλου, µε ντικτάστση του κι του ν στο E ν έχουµε E ν = Pν ν = L R = πr R = πr Εποµένως το εµβδόν E ενός κυκλικού δίσκου κτίνς R δίνετι πό τη σχέση P ν E = πr

Προυσίση 9 Εµβδόν κυκλικού τοµέ κι κυκλικού τµήµτος Κυκλικός τοµές Θεωρούµε ένν κύκλο ( O, R) κι µί επίκεντρη γωνί OB A Το σύνολο των σηµείων της επίκεντρης γωνίς κι του κυκλικού δίσκου λέγετι κυκλικός τοµές κέντρου O κι κτίνς R Ο κυκλικός υτός τοµές συµβολίζετι O AB Αν η επίκεντρη γωνί A O B είνι µ, λέµε ότι κι ο κυκλικός τοµές είνι µ Ένς κυκλικός δίσκος ( O, R) είνι έν κυκλικός τοµές R Ο κυκλικός τοµές θ έχει εµβδόν 360 π 360 µε εµβδόν π R Οπότε, ένς κυκλικός τοµές µ θ έχει εµβδόν (O AB) = πr µ 360 Ακόµη, επειδή ο κυκλικός δίσκος ( O, R) είνι κυκλικός τοµές π rad µε εµβδόν Κυκλικό τµήµ π R, ένς τοµές rad θ έχει εµβδόν Έστω ένς κύκλος ( O, R) κι µί χορδή του AB Η AB χωρίζει τον κυκλικό δίσκο σε δύο µέρη ε κι ε που βρίσκοντι εκτέρωθεν υτής. Κθέν πό υτά τ µέρη λέγετι κυκλικό τµήµ. Το εµβδόν ε του κυκλικού τµήµτος που περιέχετι στην κυρτή γωνί A O B πr π = R προκύπτει, ν πό το εµβδόν του κυκλικού τοµέ φιρέσουµε το εµβδόν του τριγώνου, δηλδή = (O AB) (OAB) ε Το εµβδόν ενός κυκλικού δίσκου κτίνς ρ είνι ίσο µε το εµβδόν ενός κυκλικού τοµέ 90 κι κτίνς ρ Ν υπολογίσετε το εµβδόν ενός κυκλικού τοµέ 45 κι κτίνς ρ =

Προυσίση 0 Ε Τετργωνισµός του κύκλου Η µέτρηση του εµβδού του περικλειόµενου πό κάποιο σχήµ ήτν σε όλους τους λούς, πό την εποχή που κόµη η γεωµετρί ήτν εµπειρικής µορφής βσική επιδίωξη όλων των γεωµετρών. Από τη στιγµή που διλέξνε σν µονάδ µέτρησης των εµβδών το τετράγωνο µε πλευρά τη µονάδ µήκους, υτόµτ τέθηκε κι το πρόβληµ του τετργωνισµού των διφόρων σχηµάτων. Αρχικά "τετργωνίστηκν" δηλδή προσδιορίστηκε το εµβδόν τους τ ορθογώνι, τ τρίγων, τ πρλληλόγρµµ κι ορισµέν πολύγων. Μετά πό υτό ήτν φυσικό ν επιδιωχθεί κι ο τετργωνισµός σχηµάτων περικλειόµενων πό κµπύλες γρµµές κι πρώτου πό όλ του κύκλου. Ο τετργωνισµός του κύκλου λοιπόν, είνι έν πό τ ρχιότερ γεωµετρικά προβλήµτ. Η διτύπωση του είνι πλή. Ζητείτι η κτσκευή µε κνόν κι διβήτη ενός τετργώνου του οποίου το εµβδόν ν είνι ίσο µε το εµβδόν ενός δοθέντος κύκλου. Η δυσκολί του προβλήµτος συνίσττι σε δύο περιορισµούς που έθεσν σε υτό οι ρχίοι Έλληνες µθηµτικοί. Πιο συγκεκριµέν, γι ν θεωρηθεί ποδεκτή µί λύση του προβλήµτος σε υτήν θ πρέπει ν χρησιµοποιηθεί µόνο κνόνς κι διβήτης προκειµένου η πόδειξη ν νάγετι πλήρως στ θεωρήµτ του Ευκλείδη κι ν µην πργµτοποιείτι µετά πό άπειρο ριθµό βηµάτων. Αποδεικνύετι ότι το πρόβληµ του τετργωνισµού του κύκλου επιλύετι εύκολ ν άρουµε οποιονδήποτε πό υτούς τους δύο περιορισµούς. Κτά την Ελληνική ρχιότητ, δόθηκν λύσεις στο πρόβληµ πό τον Αρχιµήδη τον Νικοµήδη, τον Απολλώνιο κι τον Κάρπο. Η επίλυση του προβλήµτος συνδέετι άµεσ µε την υπερβτικότητ του ριθµού π. Αν κάποιος έχει κτφέρει ν τετργωνίσει τον κύκλο, σηµίνει ότι µε κάποιο τρόπο έχει υπολογίσει µί συγκεκριµένη λγεβρική τιµή γι το π Κάτι τέτοιο όµως δεν είνι εφικτό στην περίπτωση που ο ριθµός π είνι υπερβτικός, οπότε δεν έχει συγκεκριµένη λγεβρική τιµή. Πράγµτι, το ενδιφέρον γι την επίλυση του προβλήµτος του τετργωνισµού του κύκλου εξνεµίζετι το 88, ότν ο Ferdinand vn Lindemann πέδειξε ότι το π είνι υπερβτικός ριθµός.

Προυσίση