Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΔΕ ΠΡΟΗΓΜΈΝΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΑ Ενότητα 5 η Ανιχνευτές Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://ecla.uop.g/coue/s35 emal: naga@uop.g
Ανιχνευτές Πομπός m Κανάλι AWG ν w Αποδιαμορφωτής Δέκτης Ανιχνευτής Ο πομπός εκπέμπει ένα σύμβολο m [ m m m ] από τα διαθέσιμα Για κάθε ιαδικόσύμβολο που λαμβάνεται (μαζί με το θόρυβο AWG) ο αποδιαμορφωτής τροφοδοτεί τον ανιχνευτή με ένα σύνολο τιμών Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Ανιχνευτές Πομπός m Κανάλι AWG ν w Αποδιαμορφωτής Δέκτης Ανιχνευτής ψ (t) ψ (t) ò ( ) dt m n w ò ( ) dt m n Î R ψ (t) ò ( ) dt m n Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Ανιχνευτές Πομπός m Κανάλι AWG ν w Αποδιαμορφωτής Δέκτης Ανιχνευτής Βάσει του και δεδομένων των m ο ανιχνευτής αποφασίζει ποιο σύμβολο εκπέμφθηκε Η απόφαση λαμβάνεται αφού υπολογίσει κάποια συνάρτηση κόστους για κάθε σύμβολο Το σύμβολο υπέρ του οποίο λαμβάνεται η απόφαση θα έχει το μικρότερο κόστος Ο ανιχνευτής θα πάρει την καλύτερη απόφαση ανεξάρτητα από το αν θα είναι εσφαλμένη Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 3
Ανιχνευτές Ορισμοί P{ m }: Πιθανότητα ο πομπός να εκπέμψει το σύμβολο m (Συνήθως P{ m } /Μγια κάθε m) (): Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (pobablty denty uncton PDF) του διανύσματος παρατήρησης P{ m }: Εκ των υστέρων πιθανότητα (Apoteo pobablty): Πιθανότητα να εκπεμφθεί το σύμβολο m με δεδομένο ότι ο δέκτης έχει λάβει το διάνυσμα παρατήρησης ( m ): Πιθανοφάνεια (Lelhood): PDFτου διανύσματος παρατήρησης με δεδομένο ότι ο πομπός έχει εκπέμψει το σύμβολο m ( m ): Κοινή PDF των και m Κανόνας Baye: ( m ) ( m ) P{ m } P{ m } () Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 4
Ανιχνευτές Οι τιμές μπορούν να περιγραφούναπό ένα διάνυσμα παρατήρησης [ ] m n με nνα είναι ανεξάρτητες Gauan μεταβλητές κατανεμημένες ως n~( I /) Λόγω ανεξαρτησίας η κοινή PDFτων n n n ισούται με το γινόμενο Gauan PDF ì n ü ì í Õ Õ exp ý expí n p î þ î ( n) ( n n K n ) ( n ) / ( p ) ýü þ Υπό το δεδομένο ότι εκπέμφθηκε το m η υπό συνθήκη PDF του θα είναι ( m) Õ ( m) ( ) ìï ü m ï ì Õ expí ý expí m p ï î ï þ î / ( p ) ýü þ με να είναι ανεξάρτητες Gauan μεταβλητές κατανεμημένες ως ~( m I /) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 5
Ανιχνευτές Κριτήρια Απόφασης Baye Μέγιστης εκ των υστέρων πιθανότητας (axmum Apoteo Pobablty AP) Μέγιστης πιθανοφάνειας (axmum Llehood L) Η γενικότητα μεταξύ των παραπάνω κριτηρίων είναι Baye Ê AP Ê L Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 6
Ανιχνευτές Baye Έστω το κόστος ή ρίσκο της απόφασης που αναλαμβάνει ο ανιχνευτής ότι μεταδόθηκε το σύμβολο ενώ στην πραγματικότητα μεταδόθηκε το Το συνολικό κόστος ή ρίσκο που αναλαμβάνει ο αναλαμβάνει ο ανιχνευτήςυπέρ της απόφασης ότι εκπέμφθηκε το σύμβολο ενώ το διάνυσμα παρατήρησης είναι το q ( ) å ( ) { K } Κριτήριο Baye:Ο ανιχνευτής λαμβάνει απόφαση υπέρ το συμβόλου το οποίο με βάση το διάνυσμα παρατήρησης θα δίδει το μικρότερορίσκο σε σχέση με όλα τα υπόλοιπα σύμβολα δηλαδή q () < q () για κάθε ¹ Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 7
Έστω ότι όλα τα κόστη εσφαλμένης απόφασης είναι ίδια Τότεσύμφωνα με το κριτήριο Baye ο ανιχνευτής αποφαίνεται υπέρ του συμβόλου ότανγια κάθε ¹ισχύει Ανιχνευτές Baye Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) { } { } P P P P q q < < < < < < < ¹ ¹ å å å å 44444 4 3 4444 4 L 44444 4 3 4444 4 L î í ì ¹ Κριτήριο AP
Ανιχνευτές AP Κριτήριο AP:Ο ανιχνευτής λαμβάνει απόφαση υπέρ το συμβόλου το οποίο με βάση το διάνυσμα παρατήρησης θα δίδει τη μεγαλύτερηεκ των υστέρων πιθανότητα σε σχέση με όλα τα υπόλοιπα σύμβολα δηλαδή P{ } > P{ } για κάθε ¹ Όταν ικανοποιείται το κριτήριο AP ελαχιστοποιείται η πιθανότητα σφάλματος της απόφασης Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 9
Έστω ότι όλα τα κόστη εσφαλμένης απόφασης είναι ίδια Επιπλέον έστω ότι όλα τα σύμβολα έχουν ίδια πιθανότητα να εκπεμφθούν Τότεσύμφωνα με το κριτήριο AP ο ανιχνευτής αποφαίνεται υπέρ του συμβόλου ότανγια κάθε ¹ισχύει Ανιχνευτές AP Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου { } { } { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) P P P P P P > > > > > î í ì ¹ Κριτήριο L { } P K "
Κριτήριο L:Ο ανιχνευτής λαμβάνει απόφαση υπέρ το συμβόλου το οποίο με βάση το διάνυσμα παρατήρησης θα δίδει τη μεγαλύτερηπιθανοφάνειασε σχέση με όλα τα υπόλοιπα σύμβολα δηλαδή ( ) > ( ) για κάθε ¹ Μεγιστοποίηση της πιθανοφάλειαςσυνεπάγεταιμεγιστοποίηση της λογαριθμικής πιθανοφάνειας (loglelhood)λ ln[( m )] Ανιχνευτές L Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου { } ( ) [ ] { } ( ) ( ) { } { } { } / ag max ag mn ag mn ln ag max exp ln ag max ln ag max ag max m m m m m m m m þ ý ü î í ì ï þ ï ý ü ï î ï í ì ú ú û ù ê ê ë é þ ý ü î í ì L K K K K K K K p p
Ανιχνευτές Baye Παράδειγμα Παράδειγμα: Έστω δυαδικό PA (Ν και ) με σύμβολα ÖE b και æ.5ö ÖE b πιθανότητα εκπομπής του P{ } pκαι κόστη ç è.5 ø Να βρεθεί το κατώφλι απόφασης του ανιχνευτή th. q ( th) q( th) å ( th) ( th) ( th) ( th) ( th) ( th) ( th ) P{ } ( th ) P{ } ( th ) P{ } ( th ) P{ } ( th ) p( ) ( th )( p)( ) ( th ) p ( ) p th å Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Ανιχνευτές Baye Παράδειγμα LLR th 4 ( th ) ( ) E th b p p æ p lnç è p ö Þ ø p p ( ) ( ) æ p lnç è p Παράδειγμα: Αν p.5 το κατώφλι απόφασης γίνεται θετικό th ìï th expí ï î ìï th expí ï î 4 E b üï ý ï þ üï ý ï þ p p.5ö.5ø 4 th 4 ln E E b ( 3) b æ 3p ö lnç è pø > ( ) ( ) κατώφλι (thehold) d ÖE b E b E b ÖE b ÖE b Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 3
Ανιχνευτές L Παράδειγμα Παράδειγμα: Έστω δυαδικό PA (Ν και ) με ισοπίθανασύμβολα ÖE b και ÖE b. Να βρεθεί το κατώφλι απόφασης του ανιχνευτή th. th th th (ÖE b ) ÖE b th (ÖE b ) ÖE b th Άρα για το δυαδικό PA ο βέλτιστος ανιχνευτής είναι ένας ανιχνευτής προσήμου (gn detecto) ( ) ( ) κατώφλι (thehold) d ÖE b E b E b ÖE b ÖE b Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 4
Παράδειγμα: Έστω δυαδικό PP (Ν και ) με ισοπίθανασύμβολα (ÖE b ) και ( ÖE b ). Να βρεθεί ο βέλτιστος ανιχνευτής. Ανιχνευτές L Παράδειγμα Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 5 ( ) ( ) ( ) ( ) E E E E b b b b ø ö ç ç è æ ø ö ç ç è æ d Ö( E b ) ÖE b ÖE b O κατώφλι (thehold)