1. KONTINUITETNA ENAČBA slošni obliki in za tekočinsko ceko - masa tekočine je zezno (kontinuiano) oazdeljena o ostou - zakon o ohaniti mase: neto masni etok tekočine skozi stene kontolnega olumna je enak časoni semembi mase znotaj kontolnega olumna ρ d = ρdp P (lei del neto etok mase skozi stene, desni del časona sememba mase znotaj kontolnega olumna) - uoabimo Gausso teoem za etobo loskonega integala ostoskega : ρd = di( ρ)dp = ρdp P ρ + di( ρ) dp = 0 ρ + di( ρ) = 0 kontinuitetna enačba osnoni obliki ρ ( ρu) ( ρ) ( ρw) + + + = 0 - oenostaite: - stalni tok: = 0 di( ρ) = 0 - nestisljia tekočina: ρ = const di = 0 - za enodimenzijske tokoe K.E osnoni obliki izgubi omen, zato izeljemo K.E za tekočinske ceke - tekočinske ceke so ceke, ki jim lašč sestaljajo same tokonice; za njih je značilno, da je ekto hitosti na njiho lašč tangencialen tok teče aalelno s stenami ceki, skozi stene ni etoka - edostaimo še, da je hitost saki točki istega eseka enaka - neto masni etok skozi ošino alja je enak azliki med dotokom skozi leo in ( ρa) desno steno: δs, kje je A sednji ečni esek alja, δs a dolžina s - zaadi zakona o ohaniti mase je časona sememba mase enaka neto masnemu etoku skozi ošino : ( ρa) ( ρa) δs = δs s ( ρa) ( ρa) - kontinuitetna enačba: + = 0 s ( ρa) A - za nestisljio tekočino: + = 0 s (A) - za stalen oja (s časom nesemenlji): = 0 oz A = const s - obe izeljani enačbi eljata za idealne in ealne tekočine, saj iskoznost tu sloh ne nastoa. KELVINOV TEOREM, HELMHOLTZOVI ZAKONI d 1 - izhajamo iz osnone dinamične enačbe za nestisljie tekočine: = F gad + ν dt ρ d 1 - se člene integiamo o zaključeni kiulji: d = Fd gadd + ν d dt ρ dγ d(d) d - dokažemo lahko, da je člen na lei enak časonemu ododu cikulacije Γ : = = d + d, zadnji člen je dt dt dt enak nič 1 1 - če je olje tlako stacionano, = (x, y,z) : d gadd = dx + dy + dz = ρ ρ ρ dγ d - dobimo Kelinoo enačbo: = Fd + ν d dt ρ Komenta K.T: - ojasnjuje masikatei hidodinamični oja - časono semembo cikulacije lahko ozočijo 3 ste sil oz momento (če so izolnjeni določeni ogoji) 1. moment masnih sil: - če lahko masne sile zaišemo kot gadient nekega otencialnega olja U: F = gadu, otem je ta člen enačbe enak 0 in take sile ne moejo semeniti cikulacije: Fd = gadud = du = UB UA = 0 - taka sta sil konseatine sile je tudi gaitacijska in lahko naišemo U = gz
- zelo ažna masna sila, bez otenciala, je Coiolisoa: F = Ω ; ta sila a lahko s im členom na desni stani K.T n otencialno gibanje semeni tinčnega (ta sila ozoča nastanek emenskih tob). moment tlačnih sil: - če imamo baotono stanje, kje je gostota odisna le od tlaka ρ = f(), otem tlačne sile ne moejo semeniti cikulacije d d B = = [ f1 ()] A = f1( B) f1( A) ρ f() - sememba cikulacije zaadi tlačnih sila a nastane i tekočini, ki je na nekem mestu segeta, ali i mešanju tekočin z azličnimi gostotami 3. iskozne sile: - lahko semenijo cikulacijo in s tem oto Helmholtzoi zakoni - če so K.T na desni si členi enaki 0, eljajo naslednji zakoni (možno jih je izeljati iz dinamične enačbe): 1. Vtinčnice se nikje tekočini ne končajo toijo zaključene kiulje ali a se končajo na obu tekočinskega olja Cikulacija je enaka za sako kontuo, ki sebuje tinčnico. Tekočinska linija, ki je istočasno tinčnica, ostane edno tinčnica ot 3. Na določeni tinčnici z dolžino l je azmeje = const če se tinčnica aztegne, se oeča ot in s tem kotna hitost ρl - i zakon je omemben letalstu, za hidotehnično akso a je omembnejši tetji 3. FUNKCIJA TOKA, HITROTNI POTENCIAL, METODE ZA DOLOČEVANJE TOKOVNIH MREŽ Funkcija toka - elja tudi za tinčni tok, enda jo naječ uoabljamo i otencialnem toku - (D) če sta A in P de točki anini x-y in če ima smei osi z tok debelino 1, moa biti etok skozi kateokoli kiuljo, ki oezuje A in P, enak - če je A fiksna točka, P a oljubna (emična), je etok skozi kateo koli kiuljo, ki saja obe točki, funkcija ozicije točke P - dogooimo se, da je ta funkcija ozitina, če teče tok z lee oti desni, če gledamo iz A in tako dobimo ti. funkcijo toka: Ψ = Ψ(x, y) - za nestalni tok a je še funkcija časa: Ψ = Ψ(x, y, t) - če sta Ψ1 in Ψednosti funkcije toka točkah P 1 in P, otem je Ψ Ψ 1 enak etoku eko kiulje P 1 P in je neodisen od ozicije točke A - če zamemo dugo točko 0 namesto A, se obe ednosti Ψ1 in Ψ oečata za isto konstanto, toej je funkcija določena le do neke konstante - komonente hitosti x in y smei lahko izazimo s funkcijo toka: δψ Ψ δψ Ψ u = = in = = δy δx oz olanem ks: - če točki P 1 in 1 Ψ Ψ = in Θ = Θ P ležita na isti tokonici, je Ψ Ψ1 = 0 tokonice ni etoka. Tokonica je toej dana z enačbo Ψ Ψ + = 0 Lalaceoa enačba, ke eko iste Ψ = const oz - ešite Lalacoe enačbe je enolično določena z obnimi ogoji; funkcije, ki ji ustezajo imenujemo hamonične Hitostni otencial - i stalnem toku ga definiamo tako, da so njegoi ododi določeni smei enaki komonenti hitosti tisti smei : = gadφ Φ u =, Φ Φ =, w = oz za olani ks: z Φ =, Θ 1 Φ = Θ - dogoojeno je, da je edznak gadienta ozitien, to omeni, da hitostni otencial smei hitosti naašča - hitostni otencial je samo i netinčnem (otencialnem) toku - ogoj za obstoj hitostnega otenciala je, da je oto hitosti 0: ot = ot(gadφ) = 0 Φ Φ Φ - če to staimo kontinuitetno enačbo za nestisljio tekočino dobimo: di (gadφ) = 0 oz + + = 0 - Lalazoa enačba elja toej za otencial hitosti in funkcijo toka - če zdužimo definiciji za hitostni otencial in funkcijo toka dobimo: Φ Ψ Φ Ψ = ; = - to sta Cauchy-Riemannoi enačbi - za olane koodinate Φ 1 Ψ 1 Φ Ψ = ; = Θ Θ
Tokone meže - toijo jih obe dužini kiulj tokonice ( Ψ = const ) in ekiotencialne čte ( Φ = const ) - kiulje so saki točki med seboj aokotne - ke je δ Ψ = δq = δn, je etok med dema tokonicama je konstanten δψ δq - hitost je toej obatno soazmena azdalji med tokonicama δ n: = = δn δn - azdalje med kiuljami ene dužine so enake azdaljam kiulje duge dužina: δn = δs liki so kiočtni kadati - o C.R enačbah je mogoče najti za sak hitostni otencial neko funkcijo toka in obatno ednosti ψ in Φ lahko med seboj zamenjamo in dobimo neko sto toka - metode: - gafična metoda: - temelji na oskušanju, z isanjem doseči mežo, katee elementi bi bili čimbolj odobni kadatom, otebno je zadostiti tudi obnim ogojem - zamudna, azmeoma netočna, uoablja se jo za določanje ibližnega otema - analitične metode: - ednost ed dugimi, ke lahko tokonice, za katee imamo točne enačbe, zelo hito konstuiamo - standadni oteki toka (izo ono, aalelni tok, otencialni tinec): enostani obni ogoji Ψ = Ψ(x, y), Φ = Φ(x, y), eljajo kateikoli točki olja - teoija komleksnih semenljik konfomne eslikae: komlician oblem eedemo na enostanejšega, ga ešimo in nato ešite eedemo na otno situacijo - numeične metode: - s omočjo ačunalniko - metoda elaksacije: - uoabimo, ko zaadi komlicianih obnih ogoje ne moemo uoabiti analitičnih - mežo (kadato) ostooma ilagajamo, da usteza Lalaceoi enačbi - ešite dobimo za kakšne koli obne ogoje - metoda končnih elemento: - oslošite metode elaksacije - olje azdelimo na oljubne like, ni otebno, da so med seboj enaki - na ta način natančnejše azdelimo obanaano odočje, omogočena je zgostite meže - metoda obnih elemento - ekseimentalne metode: - namenjene edsem za demonstacijo, določenih imeih se usešno uoabljajo za ešeanje aktičnih oblemo - iskozna analogija: - tlak je analogen hitostnemu otencialu netinčnega toka - suščamo bailo, ki označuje tokonice dobimo sliko tokonic - membanska analogija: - elastično membano nanemo na ustezen oki - azdalja z analogna z Ψ ali Φ - elektična analogija: - el tok je analogen otencialnemu toku 4. DINAMIČNA ENAČBA bezdimenzijski obliki, POMEN REYNOLDOVEGA (Re) in FROUDOVEGA (F) ŠTEVILA - izaža anotežje seh sil, ki delujejo na delček tekočine -.N.Z. ma = F, ki zajema: - masne sile, ki delujejo na delček iz neke oddaljenosti (težnost, centifugalna, elektomagnetna ) - ošinske sile, ki delujejo na ošino delca, zaadi ostale tekočine okog delca; dobimo jih, če naetosti omnožimo s loskijo (nomalne in stižne komonente naetosti) d - tako lahko zaišemo: ρdp = FρdP + [ σ] d P dt P - zadnji člen etoimo o Gaussoem izeku: [ σ] d = di[ σ] dp P d d 1 - če to uošteamo: ρ ρf di[ σ] dp = 0 = F + di[ σ] P dt dt ρ 1 - tenzo lahko zaišemo: σij = δij + µ (fij diδij) 3 d 1 µ µ - tako dobimo slošno dinamično enačbo ektoski obliki: = F gad + + gaddi dt ρ ρ 3ρ µ d 1 ν - če uošteamo = ν : = F gad + ν + gaddi ρ dt ρ 3 d - - li ztajnostnih sil ; F - li masnih sil ; dt 1 ν gad - li tlačnih sil ; ν + gaddi - li iskoznih sil ; ρ 3 ν gaddi - li stisljiosti 3 - i nestisljiih tekočinah odade zadnji člen ( di = 0 ) - za idealno tekočino odadeta oba zadnja člena tako dobimo dinamično enačbo za idealno tekočino oz Eulejeo enačbo: d 1 = F gad dt ρ
D.E bezdimenzijski obliki - edostake: - nestisljia tekočina: ρ = ρ 0 = const - od masnih sil deluje le teža: F = (0,0, g) - stalen tok: = 0 - naišemo samo enačbo za z sme, u = = 0;w = f(z) w 1 w - dimenzijska enačba za sme z: w = g + ν ρ - kaakteistični aameti: L kaakteistična dolžina; U kaakteistična hitost w z - bezdimenzijski aameti: w ' = ; z ' = ; ' = izačunamo dimenzijske aamete w, z, in jih staimo D.E U L ρu w' U 1 ' ρu w' U - dobimo: w' = g + ν ' L ρ ' L ' L U w' gl ' ν w' - delimo z : w' = + L ' U ' UL ' U - uedemo bezdimenzijski šteili: - Foudoo: F = Lg w' - w' ' = 1 F ' + ' 1 Re - Reynoldsoo: w' Re = UL ν bezdimenzijska enačba ' - enačba kaže, da so si imei toka, kje imamo isti F in Re te kje so obni ogoji med seboj geometično odobni, med seboj odobni to omeni geometično odoben azoed tokonic in odoben azoed tlako dinamična odobnost - to lahko koistno uoabljamo i oskusih na modelih, otem a dobljene ezultate (hitosti, tlake, sile ) enesemo naao - dejansko slošnem težko dobiti enakost obeh šteil - Re je okazatelj laminanega oz tubulentnega toka, izaža azmeje ztajnostnih in iskoznih sil - Fe se uoablja za eačun iz modela naao, če je li težnosti eladujoč 5. PRIJEMALIŠČE HIDROTATIČNEGA PRITIKA NA RAVNO PLOKEV - hidostatični itisk je sila, ki ezultia iz tlako na se delne loskice df - če uošteamo = 0 + (z0 z) gρ in = d df = d = ρ g(z 0 z)d - sila na celotno loske: F = ρg (z0 z) d - izaz integalu je statični moment loske glede na anino gladine, ki ga izazimo kot: M = (z0 z)d = (z 0 z) - tako dobimo izaz za silo: F = ρg(z 0 zt) = γht - ijemališče sile: df(z' 0 z' ) = (z' 0 z' )F d(z' 0 z' ) = (z' 0 z' ) ρght ρ g(z 0 z)(z' 0 z' )d = (z' 0 z' ) ρght ρ gsinα (z' 0 z' ) d = ρghth' ( z' 0 z' ) d - ztajnostni moment loske - taineje staek: JG = JT + h' sin α (JT + h' ) = h T Th' / : sin α J T + h' = h' T T h' /: h' T JT - ijemališče sile: h ' = h' T+ h' T
Določanje sile hidostatičnega itiska na ano loske, s omočjo komonent - hoizontalno komonento sile določimo z integianjem delnih sil df : dfh = ρg(z 0 z)dy = ρg(z 0 z)d sinα F = ρg(z z)d sinα = ρgh sinα H 0 - odobno dobimo etikalno komonento: F = ρg(z 0 z)d cosα = ρght cosα - izaz h T cosα obemenjeno loskijo - etikalno komonento tako določimo o enačbi F = ρgp - sila F je enaka teži telesa P - ezultanta obeh komonent: F = F + F = ρght sin α + cos α = ρght H edstalja ostonino odnega telesa P, ki si ga zamislimo nad - ijemališče hoizontalne komonente dobimo o slošni enačbi za ijemališče sile na ano loske, ke zamemo za to loske ojekcijo obemenjene nagnjene loske - enačbo za ijemališče etikalne komonente a dobimo na da načina: - o slošni enačbi za ijemališče na ano loske - lažja aianta: težišče odnega telesa, ki leži nad obemenjeno loskijo 6. TOKOVNA FUNKCIJA, HITROTNI POTENCIAL za otencialni tok oti onou - ono/izo 1 Ψ1 Φ1 q * 360 = = ; = Θ * π * * α Ψ1 1 Φ1 θ = 0 = = Θ Ψ ψ dψ = 1 d + 1 1 dθ θ q360 Ψ 1 = ± Θ+ c πα Φ1 Φ1 dφ1 = d + dθ Θ q360 Φ 1 = ln + c πα 0 - aalelni tok Ψ Φ up = = Ψ Φ P = = Ψ Ψ dψ = dx + dy Φ Φ dφ = dx + dy T 7. VIKOZNI UPOR, UPOR OBLIKE, DINAMIČNI VZGON, PRAKTIČNI RAČUN UPORA TELE V TOKU - na telo, ki se giblje tekočini deluje sila uoa, ki jo azdelimo o zoku nastanka da dela - Uo tenja: - stižne naetosti zaadi iskoznosti in gadiento hitosti ob ošini telesa ozočajo sile, ki so saki točki tangencialne na ošino. Ta del uoa imenujemo uo tenja ali iskozni uo - lahko bi ga ačunali o enačbi: F t = τ0 sinφd - nastane, ke se zaadi ogoja ileljanja tekočina tik ob steni telesa edno giblje z isto hitostjo kot samo telo; aninska sila se zato eko stižnih naetosti enaša na zunanjo tekočino - običajno ga določamo ekseimentalno, dinamični enačbi je to člen ν - Uo oblike: - nomalne naetosti, ki so zaadi dinamičnih efekto azoejene neenakomeno zdolž ošine telesa, ozočajo uo oblike - enačba: F = cosφd
- nastane zaadi neenakomene azdelite nomalnih tlako - eladuje i elikih hitostih - odisen je od odleljenja mejne lasti 1 - dinamični enačbi je to gad ρ - določamo ga ekseimentalno ( celotna ošina telesa, Φ kot med nomalo na ošinski element in smejo toka) - Dinamični zgon: - nastane zaadi nomalnih tlako, imeu, če je azoed tlako nesimetičen glede na os smei osnonega toka - sila nastane smei aokotno na sme toka kuna sila uoa ρu - celotni uo izazimo z F = c ; c določen ekseimentalno - F uoa = tlačla _ naetosti+ stižne _ naetosti - uo oblike in uo tenja nastoata istočasno, naadno ju je težko ločiti, dinamični zgon ečna komonenta sile, ki nastoa i nesimetičnih telesih glede na aalelno os s smejo hitosti toka, a naadno obanaamo osebej - ke je aksi težko teoetično določiti uo tenja in oblike, si omagamo s oskusi. 8. ENAČBA TANJA, MODUL TILJIVOTI za kaljeine in line - slošnem (če obanaamo tudi stisljie tekočine) ρ const, temeč ρ = ρ(, T) - zato ne moemo oblema ešiti s kontinuitetno in dinamično enačbo, ke imamo 5 neznanih količin: u,, w, in ρ - dodatno zezo nam daje enačba stanja f( ρ,, T) zeza med ρ = ρ(, T) in = f( ρ, T), ki je odisna od ste tekočine Kaljeine - odisno semenljik je komliciana, onaadi jo odajamo tabelah - gostota ρ se i kaljeinah malo seminja s tlakom, ke so kaljeine malo stisljie d - definicija stisljiosti: = χd ; χ- stisljiost dρ ρ = χd K = 1 - modul stisljiosti χ d - i kaljeinah se K s tlakom zelo malo seminja, tako da ob uošteanju K = const enačba K = d ρ ρ edstalja neko sto enačbe stanja d dρ - m = const d(ρ ) = 0 dρ + dρ = 0 = ρ Plini m m - enačba stanja za idealne line: V = nrt oz = RT ρ M - za idealne line je linska konstanta oezana s secifično toloto RT - obanaamo izotemne ocese, T = const : = = const ρ M m - ke je ρ = in je m konstantna V = const V - d = 0 ρ ρd dρ ρ = 0 dρ = ρ d - idealni lini, R = 8300J / K d ρ d = - slošna def stisljiosti K = ρ K - modul stisljiosti i linih je odisen od absolutnega tlaka
9. ILA IN PRIJEMALIŠČE HIDROTATIČNEGA PRITIKA NA KRIVO PLOKEV, VZGON, OBTEŽNO TELO IN DIAGRAM - je slošna, neailna loske ostou; izhajamo iz osnone definicije: df = d - aoksimiamo z delnimi loskami, dobimo delne sile: F = - te delne sile seštejemo (gafično ali numeično); ke so sile ektoji, moamo i sešteanju določiti sako od teh komonent Fx = ρghtyz F = ρgh F y = ρ T xz z gp Pijemališče sile: J T = ht ; ht h + Tx = xt ; yzxt x + J JTy y = yt + ; y xz T J z = zt + Vzgon - silo zgona dobimo, če določimo ezultanto seh delnih itisko F na celotno ošino otoljenega telesa - ezultanta hoizontalnih sil se izniči: F Hl = FHD - etikalna komonenta: FV1 = ρgpv1 ; FV = ρgpv FV = FV1 FV = ρg(p V1 PV) = ρgvotoljenega _ telesa Ahimedo zakon: sila zgona je enaka teži izodinjene tekočine xy Tz z T Obtežbeno telo in obtežbeni diagam - F = ρg hd, kje je hd olumen obtežbenega telesa - obtežbeni diagam je esek obtežbenega telesa s simetalno etikalno anino 10. BERNOULLIJEVA in ENERGIJKA ENAČBA, POJAV KAVITACIJE - zakon o ohaniti enegije: de = Q A sememba celotne enegije je enaka doedeni toloti zmanjšani za oaljeno delo - edostaimo: - baotono stanje ρ = f() : - eljemo funkcijo tlaka P = d oz dp = d ρ ρ P P P - i stalnem toku: dp = dx + dy + dz = gadpd, kje je d = (dx, dy,dz) 1 - gad = gadp ρ - za nestisljie tekočine ( ρ = ρ 0 = d const ): P = = in ρ ρ0 gadp = gad ρ0 - edina masna sila, ki deluje, je sila teže: F = gadu ; U = gz - če obe edostaki nesemo Eulejeo enačbo: gad + ot = gadu gadp + gad + U+ P = ot
- enačbo integiamo zdolž tokonice, omnožimo z d = dt, uošteamo še stalni tok = 0 : gad + U+ P d = ( ot)dt, mešani odukt kolineanih ektoje = 0 d( + U+ P) = 0 oz + U+ P const = - kot masna sila deluje samo težnost, tekočina je nestisljia: P =,U = gz ρ - dobimo enačbo: + gz + const ρ = in če je omnožimo z ρ ρ - + ρgz + const = N Nm enegija Benoullijea enačba ; = = 3 m m enota _ olumna - to je ena najomembnejših enačb aktične hidomehanike; elja za otencialni in tinčni tok, amak le za eno in isto tokonico - če Benoullijeo enačbo delimo z ρg dobimo enegijsko enačbo: Nm enegija m = = = enegijska _ išina N enota _ teže - ''kinetična išina''; z gaitacijska otencialna enegija; ρg + z + const g ρg = ; ρ g enegija sil tlaka; z + iezometična išina ρg Pimei uoabe: - ceood s semenljiim esekom - Toicellijea enačba - kaitacija - teča se osoda Poja kaitacije - zaišemo B.E za otencialni tok deh eezih isti hoizontalni anini - če je esek ečji od eseka 1: < 1, 1 < - tlak 1 se lahko zmanjša oti 0; fizikalno je nemogoče, da bi bil absolutni tlak manjši od nič; s tem je ostaljena neka omejite aametom, 1 in - ko tekočina teče odočje, kje je tlak zmanjšan na tlak odne ae, se začne izaeanje ali enje in se toijo mehuji odne ae - ti mehuji otujejo s tekočino, dokle ne dosežejo odočja z ečjim tlakom, kje se naglo utekočinijo - ta oja imenujemo kaitacija - začni mehuji, ki idejo kontakt s stenami, ko se utekočinijo, učinkujejo nanje z elikimi lokalnimi tlaki, ki ozočajo oškodbe sten - kaitacija je lahko zelo neana seh edelih ceoodo, kje lahko nastoajo tlaki, ki so blizu absolutne ničle 11. HRAPAVA/GLADKA KROGLA - i haai kogli nastane odleljenje ecej bolj zadaj, kot i gladki; odočje bazde je manjše in sila uoa je i haai ecej manjša - i gladki kogli nastane o sem sodnjem delu a do oba odleljenja laminana last - i haai kogli zaadi haaosti nastane tubulentna mejna last - laminana mejna last se ej odlei kot tubolentna i gladki kogli se mejna last ej odlei kot i haai - i laminani lasti se delci gibljejo smei toka - tubolentni lasti a se se količine, tudi gibalna, gibljejo tudi ečni smei glede na tok; zato se tudi zdolžno gibanje delce tekočine z zunanjih lasti bolj enašajo na notanje tik ob steni, tako da tok dalj časa semlja steno, eden se odlei - ta oja lahko izkoistimo za zmanjšeanje oblikonega uoa - ta a lahko aktično izkoistimo i določanja območja Re, kje lahko s haaostjo ozočimo hitejši ehod iz laminane tubolentno mejno last in čim kasnejše odleljenje - imei uoabe: tenis žogica in žogica za golf te i isokih stabah, kje bo na gobi fasadi uo eta manjši
1. PREMEMBA TLAKA PRAVOKOTNO NA TOKOVNICE, sememba tlaka tekočini, ki se ti skuaj s osodo - ko tok ni otencialen, a nas zanima seminjanje tlaka aokotno na tokonice, si z Benoullijeo enačbo ne moemo omagati - izeljemo enačbo, ki elja smei aokotno na tokonice, sakem (tudi tinčnem) toku - ta enačba je še osebej uoabna kje so močno ukiljene tokonice - Eulejea enačba za sme n aokotno na tokonice, ki so ukiljene: d 1 = N dt n ρ n d s n - = + + dt n n s n n n d s n - i stalnem toku = 0 ; elja tudi = in n 0 dt n = = d δ - = = = dt n s n δs n R R δ - odobni tikotniki: = = δs R R 1 = N R ρ n - če je masna sila N zanemaljia N 0 otem elja: = ρ n R seminjanje tlaka aokotno na tokonice - idimo, da tlaki naaščajo z oddaljenostjo od centa kiine Vteča se osoda - ne smemo uoabiti Benoullijee enačbe - tokonice so koncentični kogi, ehajamo iz ene tokonice na dugo, saka a ima dugačen E (E bi bil enak, če bi bil tok otencialen, a ni) - hitost se teči osodi seminja z adiem: = ω - enačba za seminjanje tlaka aokotno na tokonice: ω = ρ = ρ n R R d - za kožno gibanje elja: = in R = n d - dobimo: d = ρω d ρω - če to integiamo: = + c to je aabolična azdelite tlako, ka nam okaže tudi oskus 13. TABILNOT PLAVANJA i majhnih kotih nagiba, METACENTRIČNA RAZDALJA, TABILNOT PLAVANJA i elikih kotih - aimo, da telo določeni legi laa stabilno, če a ga začasno izmaknemo iz te lege, se ne njo; uanalni moment telo sili začetno lego - če se ne ne otno lego, otem je laanje labilno; uanalni moment telo sili k eniti - oznamo še indifeentno laanje - stabilnost laanja je odisna od medsebojne lege težišča laajočega telesa C G in ijemališča zgona C W - M - metacente - MCG - metacentična azdalja - M nad CG - laanje stabilno - M od CG - laanje nestabilno oz labilno - M CG - laanje indifeentno - čim ečja je metacentična azdalja, tem ečji je uanalni moment: M = lg = CG MG sinα
- za majhne kote: sin α tgα α - dm = dfx - df = ρgdtgα ρgdxα - dm = ρgdxαx - M = dm = ρgα x d - x d = J - ztajnostni moment lone loske - M = ρgαj - ρ g α J = W = ρ gp = ρ gpmc Wα - = MCW sinα MCWα J - MC W = ; P olumen otoljenega dela P - Fd = GMCG sinα α kot nagiba J - metacentična azdalja: M CG = MCW ± CGCW = ± CWCG P J - C WM = > CWCG - laanje je stabilno P J C WM = < CWCG - laanje je labilno P J C WM = = CWCG - laanje je indifeentno P - saka lona loske ima azlične ztajnostne momente, glede na to kateo lono os izbeemo otebno je uošteati tisto, okoli katee je ztajnostni moment lone loske najmanjši - če ačunamo kot nagiba za neko določeno obemenite, otem uošteamo tisto lono os, ki je aokotna na sme katei ačunamo nagib Za elike kote nad 15 - ne moemo ačunati eč stabilnosti kot i majhnih kotih - i elikih kotih se semeni tudi oblika lone loske - i takih kotih je otebno za sak naklonski kot določiti ijemališče zgona C ' W in izačunati uanalni moment: M = Gl - funkcija M = f( α) okaže stabilnostno kaakteistiko loila, enda so ačuni zamudni, ezultate se lažje dobi na osnoi modele - na stabilnost i elikem kotu nagibo najbolj lia stabilnost oblike (šioki boki) in stabilnost zaadi obtežbe (nizko težišče) 14. LAMINARNI IN TURBOLENTNI TOK, KONVEKCIJKO-DIFUZIJKA ENAČBA za tubolentni tansot snoi Laminani tok - glana značilnost je, da tekočina teče slojih, lasteh, ki se med seboj ne mešajo - iskozne sile elatino omembne imejai z iskoznimi silami - Re < 300 za tok cei Re < 500 za tok odtih kanalih 1 - enegijske izgube so soazmene i otenci hitosti: E - laminani tok gadbeni aksi edko nastoa - če hočemo določiti otek laminanega toka, moamo ešiti N- enačbe (+ kontinuitetno enačbo) - točne ešite oznamo le za osebne imee obnih ogoje: - tok med dema odoanima loščama - tok cei - tok med dema koncentičnima laščema alje - stalni tok med dema tečima loskoma Tubolentni tok - nihanje količin okog anoesne ednosti (,,...) - azoed hitosti je i sakem oskusu dugačen - need - mešanje seh količin, ki se ši seh smeeh, z mešanjem se enaša tudi gibalna količina - tinčnost značilna je isotnost otoja hitosti seh teh smeeh tok je tidimenzionalen - ztajnostne sile elatino omembne imejai z iskoznimi - Re > 300 za tok cei Re > 500 za tok odtih kanalih - enegijske izgube so soazmene dugi otenci hitosti: E - isoten mnogih aktičnih oblemih, ečina toko naai je tubulentnih - ešujemo N- enačbo + K.E; aktično idejo ošte samo numeične metode - uoaba: meteoologija, oceanogafija, astonomija, uo aiono in ladij, stojništo, kemija, tok ekah, kanalih, jezeih, mojih., hidoelektane, nukleane elektane
Konekcijsko-difuzijska enačba - ohanite mase: ρdp = ρd P msnoi msnoi - ohanite mase snoi s koncentacijo c: c = = maztoine mode + msnoi m snoi << m ode maztoine mode msnoi c m snoi = cmode mode - ohanite mase snoi: cρdp = cρd P ( ρc) (cρ) + di(cρ) dp = 0 ; dp 0 + di(cρ) = 0 P (cu i) - nestisljie tekočine ρ = const : + di(c) = 0 ; tenzoski način isae + = 0 i (c + c' ) (c + c' )(ui + u' i ) - uoabimo statistični isto: c = c + c' ; u i = ui + u' i + = 0 i - oečimo: (c + c' ) (c + c' )(u + i i i i + (cu i) (c'u' i ) + = u + i i u + c c ui + c (c'u' i ) = i u' i i ) ; c ' = 0 ; c ' u = 0 ; u i = 0 ; u i c = 0 (c'u' i ) c ui = ; = di = 0 i i i i - tansot snoi na enoto ošine: c'u' i = J = Dti ; D ti - koeficient tubulentne difuzije i - dobimo končno obliko enačbe za sednji tok, uošteamo še dogoo, da ne išemo eč znaka za sednje ednosti: + u + + w = Dti + Dti + Dti + izo /ono t x y z x x y y 15. ROTOR VEKTORKEGA POLJA hitosti cilindičnih koodinatah; VRTINČNI IN NEVRTINČNI TOKA Def otoja ektoskega olja - dana je zata kiulja ošine, izačunamo linijski integal in ga delimo z ; nomalna komonenta otoja je limitna ednost, ko ostane neskončno majhna d c (ot) n = lim s o - cikulacija: d = Γ c Izeljaa otoja cilindičnem ks - d = dϕdz ϕ z z ϕ d = d zdz dz d z d dz = ϕ ϕ ϕ + + ϕ ϕ + c z ϕ d z ϕ d c z ϕ (ot) n = = ϕ z ϕ - odobno izeljemo še ostale komonente: (ot) = ϕ ( ot) (ot) z ϕ 1 (ϕ) = ϕ =
Pimei tinčnega oz netinčnega toka - teča osoda: - tekočina se ti skuaj s osodo - tekočina se ti enako kot tdno telo, si delci imajo isto kotno hitost, ki je enaka kotni hitosti osode - = ω - ( ot) z = ω,(ot) = (ot) ϕ = 0 ot 0 - tinčni tok - tok kanalu: - meilec tinčnosti se bližini sten ti - i steni je hitost toka zaadi tenja 0, nato naašča z oddaljenostjo od stene - dokažemo lahko, da je cikulacija azlična od 0, s tem a tudi oto - ot 0 - tinčni tok - otencialni tinec: - osoda ima na obu tok, sedišču a iztok - hitost je obatno soazmena adiju - oečen zasuk = 0 - ot = 0 - tok je netinčen 16. DARCY-JEV POKU, 1D in 3D Dacy-jea enačba, TOK PODTALNICE ooznem ostou je POTENCIALEN, DOLOČITEV VERTIKALNE ILE NA DNO PREGRADE, KOLIČINA PRONICANJA od egado Dacy-je zakon - oda teče smei naječjega adca iezometične išine, hitost toka a je enaka: = kgadπ - kje je π = z + iezometična išina, k a koeficient oustnosti, odisen od kakoosti zemljine in iskoznosti tekočine ρg - znak minus je zato, ke je hitost usmejena smei adca iezometične čte - ke je k za določen mateial konstanta, jo lahko enesemo od znak gadienta: = gad( kπ) - hitost ima otencial Φ = k π ; ka je tudi dokaz, da je tok odtalnice es otencialen Dacy-je oskus - nagnjena ce je naolnjena s oustnim mateialom, skozi kateega teče etok Q - na azdalji s sta iključena da iezometa, na kateih meimo iezometično išino π1 in π - meite okažejo, da adec iezometične išine π lineano naašča z ečanjem hitosti Q π - tako dobimo: = = k s - to je osnoni Dacy-je zakon za tok eni smei (1D); za slošen π tok moamo nadomestiti naklon z gadientom π s - = kgadπ - oslošen Dacy-je zakon (3D ime) Q s - na isti način meimo ednost koeficienta k: znan je s in, izmeimo Q in adec π dobimo k = π - ezultat je ozitien, ke je naklon iezometične čte negatien Vetikalna sila na dno egade - na dno egade deluje sila, ki je ezultanta seh delnih itisko - ta ezultanta deluje smei nazgo in jo je otebno uošteati i dimenzionianju egade - ke deluje nazgo, zmanjšuje težo egade in jo imenujemo dinamični zgon - ostoek: 1. določimo tokono mežo za tok od egado obni ogoji, linija teena je ekiotencialna čta, duge ekiotencialne čte so enake čtam enake iezometične išine, obisi dna egade in stene so tokonice, duga tokonica je ob neoustni lasti na dnu H H1. adec med dema ekiotencialnima čtama je edno enak, adec določimo: π = n Konstuiamo otek iezometične čte med začetno in končno točko, tako da uošteamo znižanje iezometične čte za π med dema naslednjima ekiotencialnima čtama
A 3. na sakem mestu dna o enačbi: = πa za določimo tlačno čto ρg 4. D oblem: etikalno komonento dobimo tako, da integiamo loske med dnom egade in tlačno čto F = ρg d ; ijemališče deluje težišču diagama ρ g 5. določimo etok, ki onica od egado: - skozi as med dema tokonicama teče delni etok q π H - iz Dacy-jee enačbe dobimo: = k = k s n s H H1 H π = = n n n šteilo aso med ekiotencialnimi čtami H - q = = nk sn H - i tokoni meži je n = s : q = k n - da dobimo celoten etok, moamo q omnožiti s šteilom seh m aso med tokonicami m: Q = qm = kh n 17. TRAJEKTORIJE, TOKOVNICE, LEDI, EKVIPOTENCIALNE ČRTE, Cauchy-Riemannoe ENAČBE Tokonice steam-lines - čte, ki seh točkah ostoa sajajo smei hitosti, toej so saki točki ektoji hitosti tangencialni na tokonice - lastnosti: - z znanim otekom tokonic je odano celo hitostno olje - aokotno na tokonice ni etoka - med dema tokonicama teče edno enak etok, azdalja med tokonicama se seminja obatno soazmeno s hitostjo azdalja oda info o hitosti - tokonice se med seboj ne sekajo, stikajo se le točkah, kje so hitosti nič ali neskončno elike - tdni obisi miujočega objekta so tokonice, azen ko ide do odleljenja tokonic - določene imee oteka tokonic i nestalnem toku lahko etoimo imee stalnega toka - enačba tokonic: - dodimenzionalnem toku je tokonica tangencialna na ekto hitosti - u in sta komonenti hitosti smei x in y dx - elja: = tgφ = u dy - tako je enačba tokonice: Ekiotencialne čte - so čte, ki so aokotne na tokonice; z njimi toijo kiočtne kadate - dužina kiulj, zdolž kateih je Φ ( x,y) = const Cauchy-Riemannoe enačbe Ψ - katezični ks: u P = = P Ψ = Φ Φ = dx = u dy - za tidimenzionalen tok elja analogno: Tajektoije ath-lines - čte, o kateih se gibljejo osamezni odni delci - i stalnem toku so tajektoije identične s tokonicami, i nestalnem a se azlikujejo ledi steak-lines - čte, ki sajajo i istem tenutku se tekočinske delce, ki so teku oazoanega časa šli skozi isto točko - i stalnem toku so tudi sledi identične s tokonicami in tajektoijami 1 Ψ Φ - olani ks: = = Θ Ψ 1 Φ θ = = Θ dx u = dy = dz w
19. ONOVNE LATNOTI TEKOČIN, RAZVRTITEV, COUETTOV POKU, ENAČBA ONOVNEGA NEWTONOVEGA ZAKONA za tekočine, DIAGRAM zeze med TRIŽNO NAPETOTJO IN DEFORMACIJKO HITROTJO za azne tie snoi lastnost kaljeina lin - oblika nima nima - osta gladina da da - gostota ečja manjša - stisljiost majhna elika - iskoznost isotna Pisotna Razstite: Couetto oskus - za azdelite newtonskih in nenewtonskih tekočin - med odoani lošči, s loščino, natočimo tekočino - na obu eno loščo lečemo odoani smei s silo F - oskusi okažejo: du F = µ dy du - odod komonente u o odinati y, ki je usmejena aokotno na u dy - µ soazmenostni koeficient, kaakteistika tekočine iskoznost - zgonjo enačbo zdelimo z : τ = F - to je osnoni Newtono zakon za tekočine du - i nekateih tekočinah je iskoznost µ konstantna, ne glede na Newtonske tekočine dy - i dugih se seminja Nenewtonske tekočine du - i Newtonski tekočini jeτ emosoazmena z medsebojno hitostjo emikanja sloje dy du = µ ; τ- stižna naetost dy
tgα = µ = τ u - a Newtonske tekočine - b,c Nenewtonske tekočine - d idealne tekočine - e idealno tdna sno - f idealno lastična sno - g isokolastična sno 0. TEOREM O GIBALNI KOLIČINI za stalni tok, ENAČBA ZA KOLENO V HORIZONTALNI RAVNINI, VODNI KOK V PRAVOKOTNEM KORITU - s omočjo enegijske enačbe in znanih hitosti lahko izačunamo azoed tlako zdolž obanaanega odseka; z integianjem teh tlako o loskah lahko izačunamo ezultanto seh sil, ki delujejo na obanaani odsek - če nas ne zanima detajlen azoed tlako in hitosti, amak samo ezultanta seh delnih sil, lahko uoabimo teoem o gibalni količini - tako hiteje in enostaneje idemo de ezultata, enda a dobimo le stanje na mejnih loskah odseka, ne oznamo a stanja znotaj obanaanega odseka - obanaamo del s ostonino P, ki je ogajen s ošino - skozi ta del ostoa P teče o eni stani masa tekočine: m = ρdp o dugi stani a tudi gibalna količina: M = dm = ρdp P dm -.N.Z. zaišemo obliki: F = dt dm M - totalni difeencial gibalne količine zaišemo z dema členoma: = + ρd = ρdp + ρd dt P - i člen je časona sememba gibalne količine znotaj olumna P, dugi člen a semembo, ki je nastala, ke je del gibalne količine odtekel, del a itekel olumen P dugi člen je neto etok gibalne količine skozi - stalni tok i člen odade in dobimo slošno obliko zakona o gibalni količini za stalni tok: F = ρd - F = F + P + G ; F - sila eakcije; P - tlačne sile; G - masne sile - sme x: Fx = xρd - sme y: Fy = yρd - aktičnih imeih izbeemo obliko kontolnega olumna P tako, da : - toijo lašč ceke tokonice - na hodnem in izhodnem eseku edostaimo, da je hitost enakomeno oazdeljena seh točkah istega eseka je enaka - na ta način se enačba za stalni tok ecej oenostai; edsem za imee toka o ceeh
Koleno hoizontalni anini - kontolni olumen je ogajen s esekoma 1 in te stenami cei - ke sta hitosti 1 in aokotni na eseka 1 in dobimo: Fx = ρq( x 1x) in Fy = ρq( y 1y) - Fx = Fx + (11) x ( ) x = ρq( x 1x) - Fx je komonenta eakcije smei osi x, s kateo moamo džati anotežje sili imulza, ( ) x je sila tlaka na eez 1, eezu a oti smei toka - toej je sila za sme x: Fx = ρq( x 1x) + ( ) x (11) x - za sme y: Fy = ρq( y 1y) + ( ) y (11) y - hitosti izačunamo iz kontinuitetne enačbe, tlake a iz Benoullijee - ezultanta: F = Fx + Fy - sme: tg α = Fy Fx Vodni skok aokotnem koitu 18. odgooi i 3