UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA ŠPORT Učbenik za študente Fakultete za šport Biomehanika 1. Biomehanika 1. Matej Supej

Transcript

1 UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA ŠPORT Učbenik za študente Fakultete za špot Biomehanika Biomehanika Matej Supej Ljubljana, 0

2 M. Supej Biomehanika - učbenik za študente Fakultete za špot Univezitetni učbenik z ecenzijo CIP - Kataložni zapis o publikaciji Naodna in univezitetna knjižnica, Ljubljana 6.76(075.8)(0.034.) SUPEJ, Matej Biomehanika [Elektonski vi] : učbenik za študente Fakultete za špot / Matej Supej ; likovni mateial Matej Supej, Ivan Čuk, Stanko Štuhec. - Ljubljana : Fakulteta za špot, Inštitut za špot, 0 Način dostopa (URL): ISBN

3 Po sklepu dekana je delo Biomehanika - učbenik za študente Fakultete za špot avtoja M. Supeja, pvi učbenik za študente Fakultete za špot za pedmet Biomehanika. Vse pavice so pidžane. Ponatis (gafični, elektonski ali mehanski, vključno s fotokopianje, snemanjem ali penosom v baze podatkov) celotne ali posameznih delov je dovoljen le s pisnim soglasjem nosilcev avtoskih pavic. 3

4 Posvetilo Knjigo posvečam svoji mali pinceski Uli in se ji opavičujem za vse zamujene ue ob njenem nastajanju. Vse to ne bi bilo mogoče, če moja daga Tina ne bi pevzela vloge mamice in očija hkati. Zahvalil bi se svojim stašem, ki so mi stali ob stani pi izbii študija fizike in me podpiali pi moji špotni poti. 4

5 Pedgovo Špot v šišem smislu niso le»gladiatoska«tekmovanja, kje se vhunski špotniki bojujejo za stotinke in milimete, ampak je to tudi zdav in aktiven način življenja. Špot izboljšuje kakovost življenja in omogoča zdavo inteesno duženje ljudi. Tako na avni vhunskega kot tudi ekeativnega špota sta izjemno pomembna njegovo poučevanje in azumevanje, saj lahko le tako zagotovimo na eni stani vhunske ezultate in na dugi zdavo udejstvovanje s špotom. Izkaže se, da je avno azumevanje naavnih zakonitosti gibanja eno temeljnih podočij azumevanja špota. Povezanost špotnika z okoljem v špotnih stokah večkat spegledajo, ka vodi v mnogo zmotnih intepetacij dogajanj, ki smo jim piča, še posebno takat, kada pihaja do večjih spememb. Te so navadno povezane s tehnološkim napedkom, ki ga bez azumevanja težko optimalno upoabimo. Če se spomnimo bližnje zgodovine alpskega smučanja, je bilo ka nekaj takšnih pimeov. Začnimo z izjemnimi ezultati noveškega smučaja v devetdesetih letih pejšnjega stoletja, ki je bezkompomisno zmagoval na tekmovanjih v veleslalomu. Ke je tekmoval s pecej azklenjenimi smučmi, je mnogo tenejev menilo, da je to azlog za njegov uspeh, zato so začeli smučaje množično učiti azklenjene dži smuči. Na smučasko žalost pa je bila glavna pednost Novežana upoaba smuči z bolj poudajenim stanskim lokom, kot so ga imeli sotekmovalci. Toej ezultati niso imeli neposedne povezave z azklenjeno džo smuči. Še več, niti tekmovalni sevisi poizvajalcev smuči niti vhunski tekmovalci niso vejeli v pohod»kavinga«v tekmovalno smučanje, vse dokle mlajši tekmovalci z ekeativnimi smučmi, kupljenimi v običajnih tgovinah, niso začeli hiteje smučati od svojih staejših in sice boljših kolegov na klasičnih smučeh. Šele takat so se tekmovalna industija in vhunski tekmovalci skupaj s teneji zbudili iz zgodovine klasičnih smuči. Naslednji koak, ki je na žalost negativno zaznamoval tudi slovensko tekmovalno smučanje, pa je pilagoditev smučaske tehnike novim smučem. Izkazalo se je, da te zavijajo po popolnoma dugačnem fizikalnem načelu. To je pavzapav ključna spememba pi povezavi smučaja z okolico, saj se spemeni mehanika zavijanja. Ke se izkoiščajo dugačna mehanska načela pi zaeznem smučanju glede na klasično tehniko z oddsavanjem, se moa z načeli zavijanja spemeniti tudi 5

6 smučaska tehnika. Ta moa optimalno izkoiščati nove mehanske pogoje. Ob tem se seveda nismo vpašali, kako so se s pihodom novih smuči spemenile vanost smučanja in z njo usteznost pog za azlične kategoije smučajev, metodika poučevanja itd., saj je vse to neposedno vezano na spemembe biomehanike smučanja. Podobno kot v alpskem smučanju se tehnološki napedek dogaja tudi v dugih špotnih panogah, saj so vse tehnološko postale podobne fomuli, zato lahko v pihodnje pičakujemo vse več tehnoloških spememb in pilagoditev gibalnih veig, ki jih izkoiščajo bolje in na bolj zdavi način. Tako pidemo do pomena biomehanike v špotu in njenega osnovnega poslanstva, ko nam piskbi odgovoe na vpašanja zakaj. Z eno besedo, biomehanika je azumevanje. Matej Supej Ljubljana, Slovenija, 0 6

7 Kazalo Pedgovo Uvod Kineziologija in kineziološka znanost Biomehanika Povatna infomacija iz stališča biomehanike Koncept azmišljanja»eno aven nižje«....5 Obseg učbenika.... Kinematika Opazovani sistem Tanslatono gibanje Pemočtno gibanje... 0 Enakomeno gibanje... 0 Enakomeno pospešeno gibanje..... Ravninsko gibanje... Poševni met... 3 Koženje Dinamika Osnovni zakoni gibanja Newtonov zakon Newtonov zakon Newtonov zakon Sile Sila teže Sila podlage Nomalna sila Sila tenja Sila požnosti

8 3..4 Sila upoa Dinamični vzgon Magnusov efekt Hidostatični vzgon Sile pi koženju Sunek sile in gibalna količina Tki teles Sistem masnih točk in togo telo Težišče sistema masnih točk in težišče togega telesa Navo in vztajnostni moment točkastega telesa Vtenje togega telesa okoli nepemične osi Steinejev izek Sunek navoa in vtilna količina Mehansko delo in enegija Potencialna enegija Kinetična enegija pi tanslatonem gibanju Kinetična enegija pi koženju točkastega telesa Kinetična enegija otiajočega telesa Požnostna enegija Izek o ohanitvi mehanske enegije Mehanska moč... 0 Vii Recenzije doc. d. Bojan Nemec doc. d. Nejc Šaabon O avtoju

9 9

10 . Uvod. Kineziologija in kineziološka znanost Kineziologija je vedenje o gibanju ljudi. Včasih se imenuje tudi kinetika ljudi. Beseda izvia iz gških pojmov»kinesis«(gibanje) in»kinein«(pomakniti). Kineziološka znanost obavnava fiziološke, mehanske in psihološke mehanizme, ki so povezani z gibanjem ljudi. Znanstveniki, ki delujejo na podočju kineziologije, se pimano opiajo na biomehaniko, anatomijo, fiziologijo, psihologijo in nevologijo.. Biomehanika Biomehanika je po definiciji znanost, ki aziskuje in se ukvaja z mehaniko živih oganizmov. Kot taka je intedisciplinana te zdužuje mehaniko in biologijo. Kljub temu, da se je biomehanika zgodovinsko ukvajala pedvsem z osnovnimi zakonitostmi gibanja, kot so težišče telesa, pomen kčenja mišic za gibanje segmentov, aeodinamike letenja ptic in insektov, hidodinamike plavanja ib, je danes to podočje bistveno šiše. Poleg funkcionalnega azumevanja mako gibanja človeka in živali zajema biomehanika tudi mehanske lastnosti in funkcijo tkiv te celic, mehanske lastnosti in obnašanje oganov, np. dihal, slušnega apaata, kvnih obtočil..3 Povatna infomacija iz stališča biomehanike Običajno delo stokovnjaka v špotu, ki želi špotniku posteči s povatno infomacijo, je azdeljeno na več stopenj. Pva je opazovanje izvedbe, za ka stokovnjak upoablja čutila, pedvsem oči, večkat pa tudi ušesa. Nato sledi pocesianje, ki ga opavijo možgani glede na svoje izkušnje in znanja. Rezultat je kvalitativne naave in je zelo omejen z infomacijo, ki jo lahko poda svojemu tečajniku, vaovancu ali tekmovalcu. S pomočjo tehnologije in biomehanike je mogoče povatno infomacijo izboljšati. Namesto človeških čutil, ki so azmeoma omejena, lahko upoabimo meilno tehnologijo, ki gibanje špotnika kvantizia z objektivnimi izmeki. Danes je pestost senzojev in meilnih inštumentov skoaj 0

11 neomejena. V nadaljevanju lahko fazo pocesianja opavimo v ačunalniku, če ima pimeno pedpisano nalogo: izačune in obdelave podatkov. Sledi naslednja faza pocesianja ozioma analiza podatkov, ki temelji na azumevanju izmejenih in izačunanih paametov, toej na temeljih, ki zelo pogosto zajemajo biomehaniko. Po potebi lahko upoabimo tudi ustezno statistično obdelavo, ki lahko izmejene paamete dodatno obogati z infomacijo. Tako je sklenjen kog, ki v naspotju s kvalitativno sliko opazovanja posteže s kvantitativnimi ezultati, slonečimi na naavnih zakonitostih. Pednost takega dela sta seveda objektivnost in pimeljivost, ki navadno postežeta s kakovostnejšo infomacijo te posledično izboljšujeta uspešnost dela..4 Koncept azmišljanja»eno aven nižje«če želimo upoabiti tehnologijo in izkoistiti pednosti objektivne infomacije, je nujno potebno azumeti biomehanska načela. Še več, več kot želimo azumeti in kakovostnejšo infomacijo želimo posedovati, globlje moamo poznati zakonitosti. Za pime: če opazujemo dva smučaja na pogi na istem mestu, se navadno najpej vpašamo po hitosti, če nas zanima pimejava kakovosti smučanja. Pva ugotovitev bi bila, da je tisti, ki je hitejši v danem tenutku, boljši tudi v tem tenutku. Žal je ta ugotovitev povšna in pogosto tudi napačna. Vpašati se moamo po pospešku, toej eno aven nižje. Zakaj? Moda tisti, ki v danem tenutku smuča počasneje, hkati močno pospešuje, dugi pa zavia. Kdo pa je v tem pimeu»boljši«? Ko se začnemo spaševati po pospeških, pidemo še eno aven nižje do sile. Sile so po. Newtonovem zakonu neposedno povezane s pospeškom. Sili, ki povzočata zavianje, sta sili tenja in upoa. Ko se začnemo ukvajati z upoom, nas začne zanimati obtekanje zaka, toej tokovnice in vtinčenje molekul zaka zopet aven nižje. Ravno tako je pi sili tenja. Začnemo se zanimati za lastnosti snega in dsne obloge oboje hito konča še eno aven nižje molekulska slika. Do podobnih ugotovitev bi pišli tudi, če začnemo azglabljati o tehniki smučanja in podiati v notanjost človeka, mišičnih sil, lastnosti mišic, celic itd. Ugotovimo lahko, da če želimo na neki avni mehanskega sveta azumeti dogajanje, moamo vedno poznati tudi to, kaj se dogaja na eni avni nižje. To lahko imenujemo koncept azmišljanja»eno aven nižje«.

12 .5 Obseg učbenika Učbenik Biomehanika je namenjen azumevanju osnovnih načel biomehanskega modelianja špotnika v povezavi z okolico in špotnimi ekviziti. Balca popelje skozi osnove klasične mehanike in njen penos na špot. Ke je biomehanika del fizike, od balca pičakujemo azumevanje osnovnih konceptov matematike.

13 . Kinematika Biomehanika se začne z opazovanjem gibanja. Podočje opazovanja gibanja, kje se ne menimo za vzoke gibanja, se imenuje kinematika. Kinematika sodi v fizikalno podočje mehanike. Splošno se opazovani posto v fiziki azteza od izjemno majhnih delcev, ki sestavljajo np. potone atomov, pa vse do galaksij. Ne glede na to, kaj opazujemo, moamo v vsakem pimeu vpeljati osnovne enote mejenja. Za dolžino vpeljemo mete (m), za enoto časa sekundo (s) in za enoto mase kilogam (kg). Enote dolžine, časa in mase imenujemo osnovne zato, ke so vse duge enote (hitost, pospešek, sila, enegija ), ki jih sice upoabljamo v mehaniki, izpeljane iz teh osnovnih enot. Dnevno upoabljamo tudi neosnovne enote časa (minute, ue, tedne ), dolžine (milimete, centimete, kilomete ) in mase (game, dekagame, tone ), ki so v usteznih velikostnih azedih, da sta pedstava in obavnava lažji. 3

14 . Opazovani sistem Gibanje v makoskopskem svetu navadno opišemo v tidimenzionalnem vektoskem postou, kje vsaka od koodinat pedstavlja eno od smei gibanja, np. napej-nazaj, levo-desno in go-dol. Ob definianju postoa je pomembna tudi definicija opazovanega sistema. Najenostavnejša oblika opazovanega sistema je točkasto telo (slika..). To je telo, ki ima vso svojo maso zbano v eni točki in nima dimenzije, toej je njegova velikost neskončno majhna ozioma enaka nič. Ena od pomembnih posledic je, da točkastega telesa ne moemo vteti okoli lastne osi. V nekateih pimeih opazovani sistem obavnavajo tudi kot sistem točkastih teles (slika..), kje se vsaka točka zase obnaša kot točkasto telo. Mehansko gledano je od točkastega kompleksnejše togo telo (slika..). Kada opazovani sistem obavnavamo kot togo telo, imamo s tem v mislih, da se naš opazovani sistem ne pegiba oz. ne speminja svoje oblike. Njegova masa pa je poazdeljena po vsem volumnu telesa. Togo telo je lahko homogeno, takat je njegova gostota po vsem volumnu enaka, lahko pa je tudi nehomogeno, kada je gostota po volumnu telesa neenakomena. Za podočje biomehanike je večkat zanimiv tudi sistem togih teles (slika..), ki ga sestavlja več med seboj povezanih togih teles. Za lažjo pedstavo lahko nekega špotnika v najenostavnejši obliki obavnavamo kot točkasto telo. To je navadno ka njegovo težišče telesa (več o tem v poglavju 3.6). V tem pimeu se pedvsem zanimamo, kako se špotnik kot celota giblje v postou. Če ima v oki še kakšen špotni ekvizit, lahko opazovani sistem obavnavamo tudi kot sistem dveh masnih točk, če nas na pime ločeno zanima, kako se giblje špotnik in kako njegov lopa. Kada pa nas zanima še njegov nagib pi spemembi smei ali vtenje okoli lastne osi, moamo špotnika obavnavati»najmanj«kot togo telo. Če želimo izvedeti več o njegovih kotih v kolenskem, kolčnem in komolčnem sklepu, pa ga moamo obavnavati kot sistem togih teles. 4

15 Slika..: Od leve poti desni: točkasto telo, sistem točkastih teles, togo telo in sistem togih teles 5

16 . Tanslatono gibanje Najpej se bomo posvetili tanslatonemu gibanju, pi kateem se vse točke telesa gibljejo enako. V tem pimeu je dovolj, če telo obavnavamo kot točkasto. Njegovo lego lahko v vsakem tenutku zapišemo s kajevnim vektojem: = ( x, y, z). Ke se v splošnem telo s časom t pemika, je kajevni vekto odvisen od časa ozioma se vsaka od njegovih koodinat s časom speminja: ( t) =, ( x( t), y( t) z( t) ) V katkem času dt se točka pemakne za: d =. ( t + dt) (t). Matematično gledano: če je dt dovolj katek, se točka v času dt pemakne v smei tangente na kivuljo. V tem pimeu lahko kvocient med d in dt definiamo kot hitost gibanja: d dx v = = x y, dt dt dt dt ( t) dy( t) dz( t),, = ( v, v v ) z. (.) Hitost je fizikalna količina, ki nam pove, koliko se telo pemakne na časovno enoto, in ima enoto [m/s]. Po definiciji ima hitost sme in velikost, matematično jo zapišemo kot vekto. Kada nas zanima samo njena velikost, lahko izačunamo dolžino vektoja hitosti ozioma njegovo absolutno vednost: x y z v = v = v + v + v. (.) Tudi hitost se lahko s časom speminja, zato je tudi hitost funkcija časa: v ( t) = v ( t), v ( t) v ( t) 6 ( ) x y, z. Podobno, kot smo definiali hitost, ki opisuje spemembo položaja, lahko definiamo tudi pospešek, ki opisuje spemembo hitosti: dv = v ( t + dt) v(t)

17 te zapišemo pospešek kot količnik spemembe hitosti in časa, v kateem se spememba zgodi: dv dt dv dt ( t) dv ( t) dv ( t) ( a, a a ) x y z a = =,, = x y, dt dt z. (.3) Enota za pospešek je [m/s ]. Če je hitost odvod poti po času oz. kajevnega vektoja po času, potem je pospešek dugi odvod poti po času: dv d a = =. dt dt Kada imamo opavka z enakomeno pospešenim gibanjem, je pospešek konstanten, kada pa imamo opavka z neenakomeno pospešenim gibanjem, je tudi pospešek odvisen od časa: a ( ) ( t) = a ( t), a ( t) a ( t) x y, z. Najpej smo zapisali osnovni definiciji za hitost in pospešek, ki ju lahko izačunamo iz kajevnega vektoja oz. iz vektoja hitosti. Velikokat pa se spašujemo tudi o naspotni poti, kako bi np. iz hitosti izačunali pot oz. spemembo položaja. To dobimo tako, da v vsakem tenutku pogledamo hitost gibanja in jo pomnožimo s časom dt : d = v( t)dt. Vsota vseh majhnih spememb je: d = v ( t)dt ozioma je spememba položaja: = = v( t)dt. Velikokat začetni položaj poznamo, takat je končni položaj: t = + v( t)dt, (.4) t 7

18 kje sta t in t čas na začetku in čas na koncu te položaj na začetku (ob času t ) te položaj na koncu (ob času t ). S podobnim azmislekom pidemo tudi do spoznanja, da je končna hitost: v t = v + a( t)dt. (.5) t Razumevanje matematičnega ozadja osnovnih definicij, kot smo jih zapisali v enačbah od. do.5, je izjemnega pomena za azumevanje diagamov. Vedno imamo lahko v mislih, da časovni odvod pedstavlja smeni količnik tangente na kivuljo ob določenem času. Tako np. zelo peposto iz diagama poti v odvisnosti od časa azbeemo hitost. Peposto povedano: kada je kivulja naaščajoča, je tudi hitost pozitivna in obnjeno. Kada kivulja hiteje naašča, je tudi hitost višja in obnjeno. Kada imamo np. maksimum ali minimum, je hitost enaka nič. Podobno si lahko pi banju diagamov pomagamo tudi z geometijsko pedstavo integala. Integal pedstavlja ploščino pod kivuljo, ki jo lahko azdelimo na enakomeno šioke in tanke stolpce te opazujemo, kako veliko ploščino imajo (kako visoki so). Kada je vednost funkcije, np. hitosti, bolj oddaljena od abscisne osi (stolpci so višji), pot hiteje naašča (pozitivna funkcija) oz. hiteje pada (negativna funkcija) in obnjeno. Mnogokat nas pi gibanju zanima tudi povpečje, np. povpečna hitost ali povpečni pospešek. Po definiciji lahko povpečno hitost zapišemo kot količnik med opavljeno potjo ( = = v( t)dt ) v določenem časovnem intevalu in časovnem intevalu, v kateem je bila pot opavljena: v = t t v t ( t) t dt =. (.6) t t Opazimo, da je povpečna hitost na določenem časovnem intevalu odvisna le od začetnega in končnega položaja. Posledica tega je, da ima atlet, ki peteče cel kog na kožni atletski stezi, povpečno hitost enako nič, saj je na začetku in na koncu teka na istem mestu. To se moda zdi na pvi pogled pesenetljivo, azlaga pa je zelo peposta. Atlet na azličnih delih steze teče v azlično sme, hitost pa je 8

19 vekto (slika..). Zato se poti med seboj odštejejo. Kot smo že zapisali, je ob velikosti hitosti pomembna tudi njena sme. v v v v Slika..: Sme hitosti gibanja na atletski stezi Podobno kot povpečno hitost lahko zapišemo tudi povpečni pospešek, ka lahko balec naedi za vajo. 9

20 .. Pemočtno gibanje Zapisane enačbe v poglavju. veljajo splošno. Kada imamo opavka z gibanjem v eni smei, toej z enodimenzionalnim gibanjem, enačbe dobijo enodimenzionalno obliko. Kada sistem zasukamo tako, da os x kaže v smei gibanja, osnovni definiciji za hitost in pospešek zapišemo takole: d dx v = = dt dt dv dvx a = = dt dt ( t) ( t),0,0 =,0,0 = ( v,0,0) x ( a,0,0) x. Pi pemočtnem gibanju pogosteje opustimo vektosko obliko in enačbe gibanja zapišemo v skalani obliki: ds v = dt dv d s a = = dt dt t, (.7) s = s + v dt v = v + t t t a ( t) ( t)dt kje smo zaadi pogostejše abe kajevni vekto nadomestili s potjo s. Enakomeno gibanje Najenostavnejša oblika gibanja v postou je enakomeno gibanje. Zanj je značilno, da se telo giblje nepospešeno, hitost pa je konstantna. Čepav je enakomeno gibanje v postou, se bomo omejili na pemočtno gibanje. V tem pimeu enačbe.7 zapišemo takole: 0

21 v = konst. a = 0 s v = s + v = v ( t t ). (.8) Enakomeno pospešeno gibanje Kada se telo giblje s konstantnim pospeškom, ge za enakomeno pospešeno gibanje. V tem pimeu se hitost enakomeno speminja. Enačbe.7 za pemočtno enakomeno pospešeno gibanje zapišemo takole: ds v = dt a = konst. s v = s + v = v + a ( t t ) ( t t ) a + ( t t ). (.9) Pime enakomeno pospešenega gibanja je navpični met. Pospešek nadomestimo z gavitacijskim pospeškom g, pot z višino h, hitost pa z vetikalno hitostjo v z ( slika..). Če je čas ob izmetu enak 0, začetna vetikalna hitost pa enaka v z, potem naslednje enačbe opišejo pedpostavljeno gibanje: a = g = 9.8m / s gt h = h + vzt v = v gt z z, (.0) kje t pedstavlja petečeni čas od začetka izmeta. Negativni pedznak gavitacijskega pospeška označuje njegovo sme, ki kaže poti sedišču Zemlje. Navadno spejmemo, da je pozitivna sme navzgo (iz sedišča zemlje navzven).

22 Opomba: navpični met smo obavnavali bez upoštevanja začnega upoa. Več o začnem upou je zapisano v poglavju v z h.. Ravninsko gibanje Slika..: Navpični met Pi avninskem gibanju obavnavamo takšna gibanja, ki potekajo v dveh smeeh, toej dvodimenzionalno. Zanje navadno izbeemo dvodimenzionalni katezični koodinatni sistem z dvema osema, z absciso x in odinato y. Splošni definiciji hitosti in pospeška bi v avninskemu gibanju zapisali kot: d dx v = = dt dt dv dvx a = = dt dt ( t) dy ( t), ( t) dv y ( t), dt dt,0 =,0 = ( v, v,0) x ( a, a,0) x y y.

23 Poševni met Poševni met je eden od pedstavnikov avninskega gibanja. Pi njem se začne telo gibati poševno navzgo v gavitacijskem polju Zemlje. Če zanemaimo začni upo, lahko poševni met obavnavamo kot enakomeno gibanje v hoizontalni smei, v našem pimeu bo to os x, in kot enakomeno pospešeno gibanje v vetikalni smei, os y. Če poznamo začetno hitost gibanja v, lahko izačunamo velikost hitosti in izmetni kot oz. začetni kot gibanja: v = v = v φ = atg v y x x v + v y. v y = 0 v y H φ v v x D Slika..3: Poševni met. Če namesto vektoske oblike vsako os gibanja obavnavamo ločeno, lahko začetno hitost v smeeh x in y zapišemo tudi kot: v x v y = v cos = v sin ( φ) ( φ). Za izhodiščno točko gibanja vzamemo položaj ( x ) smei konstantna, velja: 0, y 0. Ke je hitost v hoizontalni 3

24 ( ) vx = v x = v cos φ = konst., x = x + v t 0 x če je čas ob začetku poševnega meta enak 0, x pa pedstavlja pot v hoizontalni smei. Gibanje v smei y pa je skladno z navpičnim metom (enačbe.0), le da zaadi boljše peglednosti z y označimo gibanje v vetikalni smei: g = 9.8m / s y = y v y 0 = v gt + v yt gt y. Enačbi: x = x + v t 0 y = y 0 x gt + v yt (.) pedstavljata paametično obliko tinice gibanja. Če spejmemo, da se je izmet x y 0,0, in iz pve enačbe.. zgodil v izhodišču koodinatnega sistema ( 0, 0 ) = ( ) izpostavimo t x v x = x ( φ) y ( x) x tg( ) 4 = v cos te vstavimo v dugo enačbo (.), dobimo: gx =. (.) φ v0 cos ( φ) To je enačba paabole. Ugotovimo lahko, da se pi poševnem metu, kada ne upoštevamo začnega upoa, telo giblje po paaboli. Ob tem je hitost v vsakem tenutku tangencialna na tinico leta. Domet pi poševnem metu, kada je podlaga avna, lahko izačunamo na dva načina. Pi pvem upoabimo enačbo paabole (.) in poiščemo, kdaj ima enačba ničle: gd y ( D) = D tg( φ) = 0. v cos Dobimo dve ešitvi. Pva je: 0 ( φ)

25 D = 0, duga pa po peoblikovanju: ( φ ) v0 sin D =. (.3) g Rešitvi lahko balec izpelje sam. Duga možnost izačunavanja dometa je s pomočjo ačunanja časa leta in dveh pedpostavk, ki ju dobimo z opazovanjem. Pva pedpostavka je, da je vetikalna hitost na vhu paabole enaka 0: vy ( t / ) = v y gt/ = 0. Iz tega lahko izačunamo, koliko časa potuje telo do najvišje lege: vy t / =. (.4) g Duga pedpostavka je, da telo potuje navzgo enako dolgo kot navzdol, tinica je simetična. Toej je čas leta: vy t = t/ =. (.5) g Če čas leta (enačba.5) vstavimo v enačbo. za pot, dobimo: D t / v x =. Z upoabo izekov o kotnih funkcijah dobimo enako enačbo za domet (.3): ( φ ) v0 sin D =. g Tudi najvišjo lego (maksimalno višino) gibanja telesa pi poševnem metu lahko dobimo na dva načina. Pvi je, da poiščemo maksimum paabole leta ozioma maksimum enačbe., ki ga poiščemo z odvodom funkcije: 5

26 ( x) dy = 0 dx d x tg ( φ ) v dx 0 gx cos ( φ ). = 0 Po katkem ačunu bi dobili ešitev, ki je enaka kot po dugi, matematično enostavnejši poti. V tem pimeu avnamo podobno kot pi iskanju dometa. Poiščemo čas, ki ga potebuje telo do najvišje lege (enačba.4) in ga vstavimo v enačbo za višino (.) ob pedpostavki, da je izhodišče koodinatnega sistema v začetni točki leta y 0 = 0 : H = y ( t ) / = v gt v / y g v y y t/ = v y. g g Z upoabo izekov o kotnih funkcijah dobimo, da je najvišja lega: H ( ) v sin 0 φ =. (.6) g Optimalni met imamo takat, kada ima telo takšen izmetni kot ozioma kot začetne hitosti φ pi poševnem metu, da bo pi enaki začetni hitosti letelo najdlje, domet bo takat največji. V tem pimeu iščemo optimizacijo enačbe = t v. Če je kot φ velik, bo čas leta dolg, venda bo hoizontalna hitost D / x majhna in s tem tudi domet. Pi majhnih kotih φ bi se zgodilo avno naspotno. Toej iščemo azmeje med hoizontalno hitostjo in časom leta. Matematično gledano lahko iščemo maksimum enačbe za domet (.3). To pa že vemo, da je takat, ko ima odvod funkcije ničlo: dd = 0 dφ v d 6 0 sin g dφ ( φ ). = 0 Rešitve dobimo po koakih:

27 dd d cos 0 v = φ g ( φ ) = 0 cos π φ = ± kπ π kπ φ = ± 4 ( φ ) = 0 V našem pimeu je edina pimena ešitev: = π 4 = 45. o φ. (.7) Domet v pimeu optimalnega meta poenostavljeno izačunamo kot: v0 D =. (.8) g V špotu nas večkat zanima poševni met, ko začetna in končna višina nista enaki (slika..4). Tak pime je np. met kogle. Takat lahko ečemo: y 0 0. Tudi v tem pimeu lahko domet izačunamo na dva načina. Tokat je pepostejši (kajši), z upoabo enačbe paabole (.), kje iščemo: y ( D) h =, h pa je azlika med začetno in končno višino: h = h h. 7

28 v y = 0 ( x 0 y ), 0 φ v H v x h = h h Slika..4: Poševni met, ko začetna in končna višina nista enaki D Vstavimo pogoj y( D) h D tg 8 gd ( φ) v0 cos = v enačbo.. in dobimo: ( φ) = h. Rešitev kvadatne enačbe nas pipelje do enačbe za domet: ( φ ) v 0 sin g h D = + + v ( φ ). (.9) g 0 sin Enačba ob pogoju h = 0 peide v znano obliko enačbe za poševni met, ko sta začetna in končna višina enaki (enačba.3). Najvišjo lego pi poševnem metu, ko začetna in končna višina nista enaki, izačunamo po enačbi za višino. s pogojem.4. Rezultat je skoaj enak kot pi poševnem metu, kje sta začetna in končna višina enaki (enačba.6), le da pištejemo začetno višino: ( φ) v sin 0 H = y0 +. (.0) g

29 Za določitev optimalnega meta zopet iščemo maksimum funkcije dometa v dd odvisnosti od kota ( = 0 ). Razlika je v tem, da je enačba za domet (.9) tokat dφ bolj zapletena. Računanje bomo peskočili in zapisali le ezultat za optimalni kot: φ opt = accos. (.) v 0 + g h Duga, nekoliko lažja, venda vseeno dovolj zapletena metoda za izačun optimalnega kota, da pesega našo aven je, da vzamemo enačbo paabole. s dx pogojem y( D) = h. Tudi tu velja = 0. Po nekaj matematičnih koakih dφ dobimo ezultata, ki sta enaka enačbi.: v0 φ opt = actan (.) v0 + g h in φ opt = acsin. (.3) g h + v0 Čepav so si enačbe.-.3 na pvi pogled azlične, dobimo enak ezultat. Pime: lokostelec usteli puščico v D = 70 m oddaljeno tačo po kotom φ = 0. Izačunaj, s kolikšno hitostjo moa puščica odleteti v tenutku, ko zapusti lok. Pedpostavi, da je tača na enaki višini kot puščica v tenutku, ko zapusti lok. Izačunaj še, kako daleč bi odletela puščica, če bi lokostelec zgešil tačo, višina puščice v tenutku izstelitve pa je h =.4 m. 9

30 h = h h Slika..5: Lokostelec, ki usteli puščico v tačo Za izačun hitosti izstelka upoabimo enačbo za poševni met, kje je h = 0: ( φ ) v0 sin D =. g In izazimo hitost: Dg v = 45,4m / s 0 sin =. ( φ ) Za izačun dolžine leta, če lokostelec zgeši tačo, upoabimo enako hitost in enačbo za poševni met, kje je h =.4 m: ( φ ) v sin g h 0 D = + + = 77. m. g v0 sin ( ) φ D Koženje Koženje je dugo avninsko gibanje, ki ga bomo obavnavali, in je v špotnih gibanjih. Pi koženju spejmemo, da se položaj telesa pomika po kožnici s stalnim 30

31 polmeom. Če zapišemo, da kot φ oklepa kot med absciso in polmeom (slika..6), lahko koženje opišemo takole: = = ( cos( φ), sin ( φ),0) ( cos( φ),sin ( φ),0) če pedpostavimo, da je koženje v smeeh x in y., (.4) y v φ x Slika..6: Koženje po kožnici s stalnim polmeom Po osnovni definiciji za hitost dobimo: 3

32 v = = φ & = ( & φ sin ( φ ), & φ cos( φ),0) &( sin ( φ), cos( φ),0) =, (.5) kje smo s pikicami označili odvod po času. Že od pej vemo, da je hitost gibanja tangencialna na tinico gibanja (kožnica). Hkati ugotovimo, da je adij vekto, pavokoten na hitost, saj velja: v = 0. (.6) Opomba: skalani podukt je enak 0, kada sta vektoja pavokotna. Balec lahko sam pevei, da to pi koženju dži. Če v enačbo.5 namesto časovnega odvoda kota φ & vstavimo kotno hitost ω dφ (veljaω = = & φ ), dobimo: dt v = ω ( sin ( ωt),cos( ωt),0). (.7) Ugotovimo tudi, da je absolutna hitost ozioma velikost hitosti pi koženju neposedno odvisna od kotne hitosti in polmea koženja: v = ω. (.8) Med kotno hitostjo in hitostjo obstaja pomembna azlika. Če hitost pove, koliko poti na časovno enoto opavi telo, potem kotna hitost pove, za kolikšen kot v adianih se telo zasuka v časovni enoti. Enota, ki jo ima kotna hitost, je tako [s - ], ka nekatei avtoji zapišejo tudi [ad/s]. Opomba: osnovna fizikalna enota za kot je adian in ne stopinja. Po definiciji (enačba.) izačunamo še pospešek pi koženju: a = v& = α & &&( ( ) ( ) ) & = = φ sin φ,cos φ,0 + φ ( cos( φ), sin ( φ),0) ( sin ( φ ),cos( φ),0) + ω ( cos( φ), sin ( φ),0) = a t + a & =, (.9) kje smo pospešek azdelili na adialno in tangencialno sme (slika..7). Definiali smo tudi kotni pospešek: α = & ω = & φ (.30) 3

33 in zopet označili časovne odvode s pikicami. Enota kotnega pospeška je [s - ], ka nekatei avtoji označijo z [ad/s ]. S skalanim poduktom peveimo, ali sta adialni in tangencialni pospešek pavokotna dug na dugega, saj velja: a a = 0. (.3) t Velikost pospeška ozioma absolutni pospešek je: a = a t + a = + α ω, (.3) ke sta tangencialni in adialni pospešek med seboj pavokotna. y a t a a x 33 Slika..7: Tangencialni in adialni pospešek pi koženju

34 Pi koženju nas pogosto zanima tudi obhodni čas, ki ga definiamo s količnikom med opavljeno potjo L in hitostjo koženja v, iz česa dobimo povezavo s kotno hitostjo: L π π t 0 = = =. (.33) v v ω Definiajmo še fekvenco koženja: ν = (.34) t 0 te izpeljimo povezavo med fekvenco koženja in kotno hitostjo: π ω = = πν. (.35) t 0 Enakomeno koženje Kada je tangencialni pospešek enak 0: a = 0, t koženje imenujemo enakomeno. Takat je tudi kotni pospešek enak nič. Skupni pospešek je enak adialnemu, ka je pogoj, da telo koži: a = a = ω. (.36) ( cos( ωt),sin( ωt),0 ) = ω Pospešek pi enakomenem koženju kaže v naspotni smei adija vektoja oz. neposedno poti sedišču koženja. Velikost pospeška pa je enaka: a = ω. (.37) Enakomeno koženje lahko v polanih koodinatah opišemo s/z: 34

35 α = 0 ω = konst., (.38) φ = ωt + φ = konst. 0 saj se adij koženja in kotna hitost ne speminjata. Začetni odmik v kotu ob času t = 0 smo označili s φ 0. Enakomeno pospešeno koženje Koženje, pi kateem imamo stalen tangencialni pospešek a t = konst. in s tem tudi kotni pospešek α = konst., imenujemo enakomeno pospešeno, ki ga v polanih koodinatah opišemo: α = konst. ω = αt + ω 0 αt, (.39) φ = + ωt + φ0 = konst. saj se adij koženja ne speminja. Ob času t = 0 smo odmik v kotu označili s φ 0, začetno kotno hitost pa z ω 0. Pospešek pi enakomeno pospešenem koženju je vsota tangencialnega in adialnega pospeška: a = a t + a, velikost pospeška pa znaša: a = a t + a = + α ω. (.40) Po katkem azmisleku in pegledu zgonjih enačb ugotovimo, da je koženje matematično enostavneje opisati v polanih kot v katezičnih koodinatah. Enakomeno koženje tako zapišemo v polanem sistemu le z lineanimi enačbami, kje se speminja ena koodinata (enačbe.38), medtem ko je v katezičnem koodinatnem sistemu za opis potebno obavnavati zahtevnejše enačbe s speminjanjem v dve smeeh (v x in y). 35

36 Mehansko gledano lahko koženje obavnavamo na enak način kot pemočtno gibanje, če upoabimo polane koodinate. Toej pot, hitost in pospešek ( s, v, a ) v enačbah zamenjamo s/z ( φ, ω, α ). Pemočtno gibanje: da v =, a = dt s = s + dv dt ( t) dt v = v a( t) v 0 + 0, in koženje: = konst. dφ dω ω =, α = dt dt φ = φ + dt ( t) dt ω = ω α( t) ω 0 + 0, Za pime zapišimo enačbi enakomeno pospešenega gibanja: v = at + v at s = 0 + vt + s 0 in nato še enačbe enakomeno pospešenega koženja: ω = αt + ω αt φ = + ωt + φ0. = konst. 0 dt Če želimo polane koodinate petvoiti v katične, upoabimo zvezi: x = cos y = sin ( φ) ( φ)., (.4) kada pa želimo katične koodinate petvoiti v polane, upoabimo zvezi: 36

37 = x + y y. (.4) φ = atg x Pime: Metalec kogle se z miovanja začne vteti s kotnim pospeškom α = s -. Izačunaj, s kolikšno tangencialno hitostjo se bo vtelo kladivo po dveh obatih. Upoštevaj, da je dolžina oke in kladiva (adij koženja) = m. Slika..8: Metalec kladiva (fotogafija: S. Štuhec) Najpej moamo izačunati, koliko časa bo metalec kladiva poteboval, da se zasuka za dva obata. Upoabimo enačbo za enakomeno pospešeno koženje: αt φ = + ωt + φ0, kje sta φ 0 = 0 in ω = 0, te izpostavimo čas: φ t = = 3, 54s. α Upoštevali smo, da sta dva obata enaka kotu 4π adianov. Iz tega izačunamo kotno hitost: ω = αt + ω0 = αt = 7, 09s 37

38 in nato tangencialno hitost: v = ω =4,8 m/ s. 38

39 3. Dinamika V naspotju s kinematiko dinamika obavnava zakone o gibanju teles pod vplivom sil ozioma se zanima za vzoke za gibanje in s tem pedstavlja glavno vejo mehanike. To podočje biomehanike nam posteže z odgovoi na vpašanja zakaj. V dinamiki je teba najpej definiati silo. To je fizikalna količina, ki nam pove kako eno telo učinkuje na dugo, in jo označimo s F. Koncept sile je izjemno pomemben, saj pospešenega gibanja bez delovanja sil ni ozioma lahko za pospešeno gibanje nekega telesa vedno poiščemo vzok v dugem telesu, ki učinkuje na pvo. Pi obavnavanju sil ne smemo spegledati, da ima sila poleg velikosti tudi sme, zaadi česa jo zapišemo z vektojem. Kasneje bomo ugotovili, da je poleg velikosti in smei pi sili pomembno tudi njeno pijemališče, oz. to v katei točki na telo deluje. Enota za silo je Newton [N] in je enaka [kg m/s ]. Ke silo zapišemo kot vekto, lahko množico sil seštejemo kot seštevamo vektoje, po paalelogamskem pavilu (slika 3. zgoaj), kje je F R = F + F. Po dugi stani lahko sile seštejemo z vzpoednimi pemiki tako, da se konec enega vektoja sile ujame z vektojem naslednje sile (slika 3. spodaj). F F F F F R F 4 F F F R F 4 3 F 3 F F Slika 3.: Seštevanje sil F 39

40 3. Osnovni zakoni gibanja Osnovni zakoni klasične mehanike so tije Newtonovi zakoni.. Newtonov zakon Telo miuje ali se giblje pemo enakomeno, če nanj ne deluje nobena sila ozioma je vsota vseh sil, ki delujejo na to telo, enaka nič: v = konst. F = 0. (3.) v = 0. Newtonov zakon Vsota vseh sil, ki delujejo na neko telo, je pemo soazmena s poduktom mase telesa in njegovega pospeška: F = ma, (3.) kje je m masa telesa. 3. Newtonov zakon Če pvo telo deluje na dugo z neko silo F, potem dugo telo deluje na pvo z naspotno enako silo: F = F. (3.3) Tetji Newtonov zakon včasih imenujemo tudi zakon o akciji in eakciji ali pa zakon o vzajemnem učinku. 40

41 3. Sile V tem poglavju si bomo ogledali najpogostejše sile, ki delujejo v makoskopski mehaniki špota. 3.. Sila teže Sila, s kateo Zemlja zaadi svojega gavitacijskega polja pivlači k sebi vsa telesa maso, ki ni enaka nič, imenujemo sila teže ali gavitacijska sila. Označimo jo z F g te je enaka zmnožku mase in gavitacijskega pospeška g : = mg. (3.4) F g Njena sme je enaka smei gavitacijskega pospeška in kaže v smei poti sedišču Zemlje. To na Zemljinem povšju pomeni navpično navzdol. Gavitacijska sila deluje med vsemi telesi, ki imajo maso. Njeno velikost izačunamo kot: F g mm = κ, (3.5) kje sta m in m masi teles, κ gavitacijska konstanta, pa je azdalja med težiščema teles. Ke je gavitacijska konstanta κ = m / kg s majhna, gavitacijske sile med običajnimi telesi na Zemlji ne zaznamo. Np. gavitacijska sila med dvema 00 kg težkima špotnikoma, oddaljenima m, bi bila le N. Zaznamo jo, kada ima eno od teles zelo veliko maso, np. planeti. Zemlja je planet in ima veliko maso,»azmeoma«majhen, izačunamo znan gavitacijski pospešek: g M M Zemlje 4 = kg, adij Zemlje pa je Zemlje = m. S pomočjo enačb 3.4 in 3.5 lahko = κ Zemlje = 9.879m / s. (3.6) Zemlje Zapomnimo si še, da je gavitacijska sila vedno pivlačna in je vzpoedna z daljico, ki povezuje težišči dveh opazovanih teles. 4

42 Kada imamo opavka s telesom na klancu, silo teže pogosto azdelimo na statično komponento sile teže in jo označimo z F s (slika 3..). Njena velikost je: F s = F g cos( φ ), (3.7) če je φ naklonina klančine. Pavokotno na statično komponento sile teže pa definiamo še dinamično komponento sile teže, ki je tako vzpoedna s klančino in jo označimo s F d (slika 3..). Njena velikost je: F d = F g sin ( φ ). (3.8) Vsota obeh komponent sile teže je seveda enaka sili teže: F g = F + F. s d F d F s F g Slika 3..: Razdelitev sile teže na statično in dinamično komponento 4

43 3.. Sila podlage Nomalna sila Sila podlage F p je eakcija, ki jo povzoči podlaga na opazovano telo. Kada imamo opavka s statičnim pimeom na avni podlagi (velja. Newtonov zakon), na telo deluje sila teže, ki kaže navpično navzdol, in naspoti njej po 3. Newtonovem zakonu eakcija podlage, ki kaže navpično navzgo. To silo imenujemo nomalna sila ali katko nomala in jo označimo s nomalnega vektoja podlage, to je pavokotno na podlago. F N. Nomalna sila zato, ke vedno kaže v smei Kada je telo na klančini in miuje, sila teže deluje navpično navzdol, sila podlage pa moa biti naspotno enaka sili teže, da zadostimo. Newtonovemu zakonu. Venda po definiciji nomalna sila pedstavlja eakcijo le naspoti statični komponenti sile teže, saj je njena sme pavokotna na podlago. Pomembno si je zapomniti, da nomalna sila ni vedno naspotno enaka sili teže ali njeni statični komponenti, ampak pedstavlja eakcijo podlage v pavokotni smei na podlago. Ke nomalna sila izniči le sile v pavokotni smei na podlago, potebujemo še komponento sile eakcije podlage, ki deluje vzpoedno s podlago. To pa je sila tenja (slika 3..). F p N F t F d F s F g Slika 3..: Sila tenja in nomala sestavljata silo podlage 43

44 Sila tenja Tenje se pojavi takat, kada eno telo dsi po dugem. Pi tem pihaja do sile, ki se upia gibanju. Imenujemo jo sila tenja. Posledično deluje v naspotni smei gibanja in vzpoedno s podlago. Poznamo statično tenje (elativna hitost med opazovanima telesoma je enaka nič), ki ga pogosto imenujemo lepenje in ga označimo s F l, te kinetično tenje (elativna hitost med opazovanima telesoma je azlična od nič), ki ga označimo s F t. V pejšnjem pimeu miujočega telesa na klancu bi govoili o sili lepenja, saj imamo opavka s statičnim pimeom. Sila lepenja je po velikosti enaka zmnožku velikosti nomalne sile F N in koeficienta lepenja k l : F = k F. (3.9) l l N Koeficient lepenja je kvocient med silo lepenja in nomalno silo. Na enak način definiamo kinetično tenje, kje je sila tenja po velikosti enaka zmnožku velikosti nomalne sile F N in koeficienta tenja k t : F t = k F. (3.0) t N Tudi tu je koeficient tenja definian kot kvocient med silo tenja in nomalno silo. Za tenju lahko zapišemo ti zakone: Amontonov. zakon: sila tenja je pemo-soazmena z obemenitvijo. Amontonov. zakon: sila tenja je neodvisna od kontaktne povšine. To velja v idealnem pimeu, kada imamo opavka s popolnoma togimi in neelastičnimi telesi. Coloumbovo tenje: kinetično tenje je neodvisno od hitosti. Tudi Coloumbovo tenje je idealizian pime, saj je tenje pogosto odvisno od hitosti. 44

45 Mateial k l Aluminij Jeklo 0.6 Bake Jeklo 0.53 Beton (moko) Guma 0.3 Beton (suho) Guma Beton Les 0.6 Železo Les Polietilen Jeklo 0. Železo Teflon 0.04 Les Les Peglednica 3.: Koeficienti statičnega tenja (lepenja) Poseben pime tenja je tudi kotalno tenje, to je takat, kada se telo okogle oblike kotali po avni podlagi. Do kotalnega tenja pide zaadi: ) defomacije telesa, ki se kotali, ) podlage ali 3) obojega hkati. Kotalno tenje definiamo na enak način kot podukt koeficienta kotalnega tenja in nomalne sile: F kt 45 = k F. (3.) kt N Koeficient kotalnega tenja izačunamo kot: z k kt =, (3.) d kje je z globina ugeza in d peme togega kolesa (slika 3..3). Np. koeficient kotalnega tenja avtomobilske gume je v območju med in 0.05, kolesa železniškega vagona po tiih med in te špotnega kolesa med 0.00 in

46 F kt d z Slika 3..3: Kotalno tenje telesa okogle oblike 3..3 Sila požnosti Vsako telo spemeni obliko ozioma se defomia, kada nanj delujejo zunanje sile. Če se po delovanju zunanjih sil telo povne v pvotno obliko, govoimo o elastični defomaciji. Velikost defomacije l je pi dovolj omejenih defomacijah soazmena velikosti zunanje sile: lf l =, (3.3) ES kje je l pvotna dolžina, E požnostni modul in S pečni pesek (Slika 3..4). S F l l Slika 3..4: Defomacija telesa ob delovanju zunanje sile Enačba 3.3 je znana tudi kot Hookov zakon požnosti. Pogosto ga zasledimo zakon zapisanega v obliki: 46

47 F p = k l, (3.4) kje je k koeficient požnosti in F p sila požnosti. Telesa se v paksi navadno obnašajo tako, da imajo območje defomacije ozioma aztezka, kje se obnašajo elastično (območje veljave Hookovega zakona). Meja, do kode velja Hookov zakon, se imenuje meja požnosti. Pi večjih aztezkih pide do plastične defomacije ozioma do defomacije po katei se telo ne vne več v pvotno obliko. Pi nadaljnjem povečevanju aztezka pide do poušitve ozioma do petganja. Kada imamo več elastičnih teles (np. vzmeti) vezanih v sistem, lahko izačunamo tudi njihov skupni koeficient požnosti. Za pime dveh vzpoedno vezanih požnih teles dobimo: k = k + k. Če sta telesi vezani zapoedno, je skupni koeficient požnosti: = +. k k k k k k k Slika 3..5: Vzpoedno (zgoaj) in zapoedno vezana elastična telesa (spodaj) 47

48 3..4 Sila upoa V špotu navadno opazujemo gibanje, ki se dogaja v azličnih medijih. Najpogostejša sta zak in voda. Pi gibanju telesa v tekočini ali kada se tekočina giblje mimo, telesa se obmejna plast tekočine pilepi na opazovano telo in se giblje z njim. Plasti tekočine bolj stan od telesa pa dsijo ena ob dugi. Zato se ustvai sila, ki deluje na telo in ima naspotno sme elativni hitosti med telesom in tekočino. Če je tok laminaen (slika 3..6), takšno silo imenujemo viskozni upo. S pomočjo viskozne sile: dv F v = ηs, dz kje je η viskoznost tekočine, S stična povšina in izačunamo viskozni upo za koglo: F u dv gadient hitosti, lahko dz = 6πηv, (3.5) kje je polme kogle. Slika 3..6: Laminani tok obtekanja tekočine Kada imamo opavka z višjo elativno hitostjo gibanja telesa v mediju in/ali manjšo viskoznostjo tekočine, se začnejo tokovnice vtinčiti. Tak tok imenujemo tubulentni (slika 3..7). V pimeu tubulentnega toka sila upoa ni več soazmena s hitostjo, ampak s kvadatom hitosti. Dobimo kvadatni zakon upoa: 48

49 F u c Sv v = u ρ, (3.6) v kje je c u koeficient upoa, ρ gostota medija in S pečni pesek. Kvadatni zakon upoa se sice izpelje iz zastojnega tlaka in Benoullijeve enačbe, venda to pesega našo azpavo. Slika 3..6: Tubulentni tok obtekanja tekočine Oblika telesa c u Ravna plošča.8 Valj 0.65 Kogla 0.5 Kapljičasto telo Kocka. 49 Peglednica 3.: Koeficienti upoa za azlične oblike teles Čepav upo po definiciji kaže v naspotni smei elativne hitosti gibanja telesa v tekočini, imamo lahko tudi»pogonski upo«. Tega s pidom izkoiščamo np. pi plavanju, kada plavalec dlan pečno na tekočino močno potisne nazaj glede na

50 gibanje težišče telesa. S tem se ustvai sila, ki kaže v smei napej. Če je ta sila večja od sile čelnega upoa plavalca, bo s tem pospešil v smei napej. Način obtekanja tekočine okoli telesa določa Reynoldsovo število: lvρ R e =, η kje je l značilna lineana azsežnost telesa, ki omejuje tok tekočine (za koglo ali cev je enak pemeu), v elativna hitost tekočine glede na opazovano telo, ρ gostota tekočine in η njena viskoznost. Reynoldsovo število je bez dimenzije in velja, da je tok obtekanja okog kogle laminaen, če je R e < 0.5, in tubulenten, če je R e > 000. Pime: padalec z maso m = 80 kg skoči s padalom, ki ima pečni pesek S = 5 m. Izačunaj, kolikšna bo avnovesna hitost padalca. Upoštevaj, da je viskoznost zaka η = Ns/m, gostota zaka ρ =.93 kg/m 3 in koeficient upoa c u =.. V pimeu padalca velja. Newtonov zakon, saj iščemo avnovesno hitost: F = 0. Na telo delujeta le sili teže in upoa, zato velja: F g F + u = 0. Iz tega lahko izazimo: mg = c in u ρ Sv v = mg c ρs u = 6.7m / s. Z Reynoldsovim številom še peveimo, ali je bilo pimeno upoabiti kvadatni zakon upoa: lvρ R = e >> 000, η 50

51 kje smo pivzeli, da je padalo koglaste oblike S = π in l = Dinamični vzgon Dinamični vzgon je podukt upoa tekočine v pečni smei na tokovnice. Nastane zaadi nesimetičnega poteka tokovnic okoli opazovanega telesa, ka zgosti tokovnice na eni stani in povzoči silo v pečni smei glede na tokovnice: F dv = cvρsv, (3.7) kje je v naspotju z enačbo 3.6 c v koeficient dinamičnega vzgona. Pi letalskem kilu (slika 3..7) je koeficient dinamičnega vzgona v območju med 0.5 in. Slika 3..7: Obtekanje zaka letalskega kila 3..6 Magnusov efekt Magnusov efekt je posledica obtekanja tekočine (zaka) okoli otiajočega pojektila. Za pime lahko upoabimo žogo, ki leti po zaku in se hkati vti okoli lastne osi, ki je pavokotna na tok zaka mimo nje (slika 3..8). Na stani, kje se žoga vti v isto sme, kot je njena sme potovanja po zaku, se del zaka pilepi na žogo. Lokalno se zato zak počasneje giblje ob tej stani kot na dugi stani, kje se dogaja avno naspotno. Na stani, kje je obtekanje počasnejše, se v skladu z Benoullijevo enačbo ustvai višji tlak, na dugi stani pa je tlak nižji. To povzoči sile, ki so pečne na gibanje žoge in jo potiskajo od višjega k nižjemu tlaku. 5

52 Magnusova sila Tajektoija leta Slika 3..8: Magnusova sila pi letu otiajoče žoge 3..7 Hidostatični vzgon Če telo potopimo v miujočo tekočino, ta nanj pitiska z vseh smei pavokotno na njegovo povšino. Ugotovimo, da se sile v pečni smei izničijo. V navpični smei pa ni tako, saj je tlak na zgonji in spodnji stani telesa, ki je potopljeno v tekočino, azličen (je azlično globoko). Zaadi tega se ustvai hidostatičen vzgon, ki je enak sili izpodinjene tekočine: F vzg = ρvg, (3.8) kje je ρ gostota tekočine, V postonina izpodinjene tekočine (postonina potopljenega telesa, kada je celo pod vodo) in g gavitacijski pospešek. Hidostatični vzgon je naspotno usmejen gavitacijskemu pospešku (slika 3..9), pijemlje v težišču izpodinjene tekočine in je neodvisen od tega, kako globoko je telo potopljeno v tekočino (azen pi zelo velikih globinah, ko bi se lahko spemenil gavitacijski pospešek). 5

53 F vzg Slika 3..9: Delovanje sile vzgona Pime: izačunaj, kolikšen je vzgon špotnika z maso m = 80 kg na zaku. Upoštevaj, da je gostota človekovega telesa ρ t =.05 kg/dm 3 in gostota zaka ρ z =.93 kg/m 3. Iz gostote telesa izačunamo postonino človeka: V m = = 76.dm ρ t 3 in nato velikost sile vzgona: F = ρ zvg = 0. vzg 98 N. Ugotovimo, da vzgon na špotnika deluje tudi na zaku, venda je zaadi majhne gostote zaka zanemaljiv Sile pi koženju V poglavju.. smo si ogledali kinematiko koženja. Toej vemo, da je koženje gibanje, kje imamo v splošnem tangencialni in adialni pospešek. Kada govoimo o enakomenem koženju, je tangencialni pospešek enak nič, adialni pospešek pa je po enačbi.36: a = ω. ( cos( ωt),sin( ωt),0 ) = ω Tako lahko na osnovi. Newtonovega zakona tdimo, da moa biti vsota vseh sil v adialni smei enaka ma, da bo telo kožilo: 53

54 F = ma. (3.9) Iz enačbe.36 sledi, da je vsota vseh sil enaka: v = F mω = m. (3.0) Podukt ma mnogokat imenujemo centipetalna sila F cp, čepav je to ezultat desne stani. Newtonovega zakona. Razlog tiči v tem, da moa v adialni smei skupno delovati sila, ki je enaka centipetalni sili, da bo telo z maso m kožilo po polmeu. y v F = m cp a a x Slika 3..0: Vsota vseh sil pi enakomenem koženju v inecialnem sistemu kaže poti sedišču koženja 54

55 Zgonji opis pipišemo sistemu zunanjega opazovalca oz. opazovalca, ki se ne giblje pospešeno. Bolj učeno tak sistem imenujemo inecialni. Ke pa je koženje azmeoma zapleteno za obavnavo, ga mnogokat aje obavnavamo v neinecialnem sistemu ozioma v pospešenem sistemu, ki ga imenujemo tudi sistem notanjega opazovalca. V njem enakomeno koženje obavnavamo tako, da se sistem vti hkati z opazovanim telesom. Posledica tega je, da opazovano telo v tem sistemu miuje in je vsota vseh sil te s tem tudi sil v adialni smei enaka nič: ad F =0, (3.) čepav telo koži. Posledica izbie kožečega neinecialnega sistema je sistemska sila, ki se imenuje centifugalna sila F cf (slika 3..). Po velikosti je enaka centipetalni sili, le da ima sme naspotno enako in tako kaže v smei adij-vektoja oz. iz sedišča koženja adialno navzven. Deluje na vsa telesa, ki jih obavnavamo v takem kožečem sistemu. 55

56 y Vtenje koodinatnega sistema F cf Centifugalna sila F + F F = 0 cf Sila, ki povzoča koženje x Slika 3..: Vsota sile, ki povzoča koženje, in centifugalne sile je v neinecialnem sistemu enaka nič Obstoj centifugalne sile si lahko ponazoimo s pepostim pimeom pemega gibanja. Kada se opazovalec vozi v pospešujočem vozilu, zanj telesa, ki sice miujejo, pospešujemo v naspotni smei pospeška vozila. V takem sistemu (neinecialnem pospešenem) na miujoča telesa deluje sistemska sila, ki je naspotno enaka poduktu mase telesa in pospeška sistema (vozila) F sistemska = ma. To lahko pojasnimo tako, da v takem neinecialnem sistemu moa delovati sila, ki povzoči pospešek telesa, čepav to telo sice miuje. Sistemska sila pa ne deluje le na miujoča, ampak na vsa telesa v takem neinecialnem sistemu. Če bi ta isti opazovalec opazoval vozilo, ki ima enak pospešek kot tisto, v kateem se vozi opazovalec, bi na dugo vozilo avno tako 56

57 delovala sistemska sila naspotno enaka poduktu mase in pospeška. Ke pa v tem neinecialnem sistemu dugo vozilo miuje, bi bila vsota vseh sil nanj enaka nič. Enak azmislek lahko opavimo tudi v kožečem sistemu, le da je tam pospešek sistema enak adialnemu pospešku, sistemska sila pa je enaka centifugalni. Kada imamo opavka s pospešenim koženjem, imamo ob adialnem pospešku tudi tangencialnega. Zato. Newtonov zakon za pospešeno koženje zapišemo v obliki: F = m( a + a t ). (3.) Zaadi lažjega ačunanja tudi tu sistem navadno obavnavamo v tangencialni in adialni smei (slika 3..). Zopet lahko tdimo, da je pogoj za koženje vsota vseh sil v adialni smei v vsakem tenutku koženja enaka poduktu ma : ad F = ma in vsota vseh sil v tangencialni smei enaka: (3.3) tan F = ma t. (3.4) Velikost vsote vseh sil v adialni smei je tako: v F ad = mω = m, (3.5) velikost vsote vseh sil v tangencialni smei (glej enačbo.9): F = mα, (3.6) tan in skupaj velikost vseh sil pi koženju, ki jo dobimo po Pitagoovem izeku: ( ω ) ( α ) F = m +. (3.7) 57

58 y m a a t ma t Σ F = ( + ) ma x Slika 3..: Vsota vseh sil v adialni in tangencialni smei pi pospešenem koženju Pime: vozilo se giblje po cestišču v ovinek. Razmisli, kako se bo gibalo, ko pipelje na poledenelo cestišče sedi ovinka. Vozilo ima med pnevmatikami in cestiščem pečno tenje, ki omogoča zavijanje (slika 3..3). Ko zapelje na poledenelo cestišče, sile v pečni smei ni več, če upoštevamo, da je tenje v pečni smei takat enako nič. Zato se vozilo od tistega tenutka giblje naavnost. 58

59 F t = 0 F t 3..3: Sila tenja v pečni smei med vozilom in cestiščem je pisotna, dokle imajo gume opijem Pime: smuča s stalno hitostjo smuča skozi adius na smučišču. Naiši sile, ki delujejo nanj v inecialnem in neinecialnem sistemu, te v obeh sistemih izačunaj, kolikšna je velikost sile nomale. Upo zaka in tenje zanemai. Na sliki 3..4 so naisane sile, ki delujejo na smučaja: sila teže, sila nomale in v neinecialnem sistemu še centifugalna sila. V inecialnem sistemu je označena tudi ezultanta vseh sil v adialni smei centipetalna sila. 59