Ključi sorazmerij, 2...

10 Ključi sorazmerij, 2... http://predmet.fa.uni-lj.si/olt/10_ksk/10_1/10_1_1.html Ključi sorazmerij, 2... 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i614 614 1/16/08 12:58:40 PM

Zlati rez Zlati rez ni le cifra; je najodličnejši predstavnik členitve. Predstavlja konstantno spremembo kot nasprotje strukturi, ki jo gradi konstantni člen, enota. Vsak novi člen je za faktor Φ večji ali manjši, nikakor pa ne more biti enak. Govorimo o sorazmerju (proporcu, proporciji). Kaže se skozi nespremenljivost karakterističnega odnosa, predstavlja pa enotnost mere, materiala in duha. Torej presega golo matematično igro in ga lahko v celoti dojamemo le intuitivno. * Zagrebški profesor Vjenceslav Richter je zastavil dobro vprašanje: Zakaj ima krog 360, ko pa po geometrijski poti ne morem narisati kota 1. Če krog razdelim na pol, dobim 180, ob drugi delitvi 90, ob tretji 45. Naprej ne morem več z razpolavljanjem, ker bi dobil decimalne vrednosti. Torej bi moral 45 deliti na tri dele, kar pa po geometrijski poti ni rešljivo. Trčil sem ob problem trisekcije kota. Vprašanje je res skrajno provokativno, še bolj pa je provokativna predlagana rešitev. Profesor namreč predlaga, da naj bi po novem polni kot meril 512. Če namreč krog devetkrat razpolovimo, dobimo na koncu kot 1 Richterjeve ločne stopinje. Sliši se res inteligentno in zakaj potem polni krog ne meri 512. Razlog ni geometrijski, ne izvira iz Grčije ali Egipta, temveč iz arabskega sveta. Število 360 je namreč drugo število med 1 in 1000 po številu deljiteljev. Boljše je le še število 720, ki je deljivo z vsemi deljitelji števila 360 in še s številom 360 samim. Torej se z njim zelo lepo računa, ker le redko dobimo decimalne vrednosti. Kotne mere so tudi edine mere, ki so matematično natančno definirane. Tako nas je profesor Vjenceslav Richter pripravil, da smo se vprašali po nečem, kar je navidez tako očitno, da se tega nikoli ne vprašamo in zato tudi ne vemo. Podobno je tudi z zlatim rezom. Opazil sem, da niti ljudje, ki naj bi po svoji poklicni izobrazbi natanko poznali problem, niti približno ne vedo, za kaj sploh gre. Tisti, ki nekaj le vejo, pa poznajo le vrednost 1,6. Toda to je le cifra, do popolnosti okleščeno bogastvo zakonitosti, ki se skrivajo za pojmom zlatega reza. Poleg tega se je prav nasprotno, kot v prej omenjenem primeru kotne stopinje, vsa zgodba začela z geometrijskimi igrami in ne z aritmetiko. Da bo vse skupaj še bolj jasno in tudi kakšen dvom ali zabloda manj, bom zlati rez primerjal s 2. zato, ker ljudje zlati rez in 2 pogosto zamenjajo. Prva naloga Najprej bi morda nalogo postavil takole. Iščem pravokotnik, ki mu odrežem največji možni kvadrat, to je tisti, ki leži ob pravokotnikovi krajši stranici in ima z njim to stranico skupno, kar pa ostane, pa je, matematično povedano, podoben pravokotnik. To je takšen, ki ima 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i615 615 1/16/08 12:58:40 PM

enaka razmerja med stanicami. Izkaže se, da je to možno le v pravokotniku s stranicami v razmerju zlatega reza, torej v zlatem pravokotniku. Druga naloga Iščem pravokotnik, ki ga razpolovim pravokotno na daljšo smer, in kar ostane, je spet, matematično rečeno, podoben pravokotnik. Tej zahtevi ustreza pravokotnik z razmerjem stranic 1 proti diagonali kvadrata s stranico 1, torej z razmerjem stranic 1 : 2. Očitno je, da sta nalogi zastavljeni bistveno drugače. V prvem primeru gre za popolno ponavljanje razmerja (različnosti, ne enote), torej za sorazmerje, proporc (proporcijo) oziroma, kar so Grki imenovali analogia. V drugem primeru pa gre za stalni člen. Prvo imenujemo členitev, drugo pa struktura. Prvo drži skupaj sorazmerje, to je konstantna sprememba oziroma modul spremembe, drugo pa lahko prevedemo na enoto mere, torej na modul mere. Nalogi lahko tudi obrnem. Najprej vzamem za osnovo kvadrat in mu ob eno stranico dodam popolnoma enek (to je skladen) kvadrat. Dobim pravokotnik 1 : 2. Sedaj ob daljšo stranico postavim kvadrat z enako dolžino 2. Sestavil sem pravokotnik razmerja 2 : 3. Ponovim postopek še nekajkrat in dobim pravokotnike z razmerjerm stranic 3 : 5, 5 : 8, 8 : 13, 13 : 21, 21 : 34, 34 : 55, 55 : 89,... Dobil sem zaporedje števil 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... z lastnostjo an = an-1 + an-2. Imenujemo ga Fibonaccijevo zaporedje. Njegova lastnost pa je, da zaporedje zdeljencev (kvocientov) sosednjih števil limitira k vrednosti zlatega reza, ki jo imenujemo Θ, to je nekaj podobnega na samem začetku tega pisanja omenjeni cifri. Izkaže se tudi, da za sam začetek lahko vzamem kakršen koli pravokotnik, torej ni pogoj kvadrat, ki mu ob daljšo stranico postavim kvadrat in po znanem postopku naprej, pa bo zakonitost še vedno držala. Le operacojo bom moral ponoviti večkrat, da bom z razultatom zadovoljen (več začetnih parov bo neuporabnih). Drugič dodam pravokotniku ob daljšo stranico popolnoma enak (skladen) pravokotnik tako, da bosta imela to stranico skupno, in novi pravokotnik bo imel enako razmerje stranic, kakor pravokotnika, ki ga sestavljata. V prvi nalogi gre torej za neskončno členitev, ko dva sosednja člena nista nikoli enaka, v drugem primeru pa bi lahko dokazal, da stalno ponavljam en sam člen, torej enoto. Do sedaj sem govoril o zlatem rezu in 2, kakor da nimata prav nič skupnega. Toda izkaže se, da nista tako huda tujca. Vzamem pravokotnik razmerja stranic 1 : 2, mu po že znani metodi (uporabil sem jo pri zlatem rezu, ne 2) odrežem navečji možni kvadrat in pogledam, kaj mi ostane. Dobljeni pravokotnik so v zgodovini imenovali Θ. Ima pa posebno lastnost. Njegova diagonala namreč oklepa z daljšo stranico kot 22,5, kar je ravno polovica od 45. Kdor misli, 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i616 616 1/16/08 12:58:41 PM

da ima opazovani pravokotnik razmerje stranic 1 : 2, se zelo moti in naj raje pametno molči. Gre namreč za razmerje 1 : (1 + 2). Arhitekti bi ga morali poznati iz vaj pri zgodovini arhitekture 1, ko so risali pročelje klasičnega templja. Diagonala ležečega pravokotnika Θ namreč predstavlja naklon stehe, oziroma v tak pravokotnik lahko včrtamo timpanon. Sedaj pa moram povedati, kaj ima ta pravokotnik skupnega z zlatim rezom. Skupen je postopek neskoknčne delitve, le da je sšmo pravilo malo drugačno. Pravokotniku Θ odrežem največji dvojni kvadrat, to je pravokotnik z razmerjem stranic 1 : 2, in kar dobim, je spet Θ. Delitev je, podobno kot pri zlatem rezu, neskončna. Pa lahko nalogo tudi obrnem. Ob dvojni kvadrat dodam dvojni kvadrat, kot to kaže slika. Dobim pravokotnik 2 : 5. Ponovim postopek in dobim 5 : 12, 12 : 29,... Pravilo je an = 2an-1 + an-2. Zaporedje imenujemo Pellovo in velja, da zdeljenci sosednjih členov limitirajo k razmerju 1 : (1 + 2). Pravilo velja za poljubni začetni pravokotnik, ne le za dvojni kvadrat; v tem primeru je le primer najbolj nazoren. * Najbolj splošna definicija zlatega reza pravi, da je to odnos med stranico desetkotnika in polmerom temu desetkotniku očrtanega kroga. Če narišem tako imenovani zlati pravokotnik, velja, da ko je stranica kvadrata enaka omenjenu polmeru, je krajša stranica novega zlatega pravokotnika enaka stranici desetkotnika, njegova diagonala pa starnici petkotnika. Če je premer 1, potem je stranica desetkotnika enaka obratni vrdenosti Φ (1/Φ). O čem pravzaprav govorim. O dveh popolnoma različnih principih; o členitvi in strukturi ter o razliki, ki se skriva za tema dvema pojmoma. Pri členitvi je edina konstanta sprememba oziroma sorazmerje, o čemer piše knjiga z največjo naklado v zgodovini človeštva Yijing. Členitev oziroma sorazmerje je enakost vsaj dveh razmerij (Ευκλιδεζ), enakost vsaj dveh primerjav. Ne moremo dobro primerjati dveh stvari brez tretje in med njimi potrebujemo povezavo, ki jih druži. (Πλατονεζ: Τιμεοζ). Pomeni, da tako kot sta si različna 1. in 2. člen, sta si različna tudi 2. in 3. člen. To skupno razmerje imenujemo sorazmerje; pravimo, da je razmerje element sorazmerja. Nespremenljivost karakterističnega odnosa je očitna. Pri zlatem rezu velja poleg konstantne stpremembe še, da je tretji člen vsota prejšnjih dveh; a : b = b : (a + b) (glej Fibonaccijevo zaporedje). Pri strukturi pa je poglavitna enota, ki se ponavlja. Torej govorim o ritmu, ritem pa je temeljna človekova izkušnja urejenega toka gibanja; ritem je za čas to, kar je simetrija za prostor. Gre predvsem za primerjavo merljivih količin; količine pa merimo z enotami. Pri strukturi lahko posamezne člene odvzemam in dodajam, ne da bi s tem spremenil ritmični karakter, ki temelji na ponavljaju. V primeru 2 velja še dodatna zakonitost, ki pravi da je vsak drugi 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i617 617 1/16/08 12:58:41 PM

nasledjni člen dvakratnik določenega člena (an + 2 = 2an; 1, 2, 2, 2 2, 4, 4 2, 8, 8 2,...). S tem mislim že prej omenjeno podvajanje oziroma ponavljanje. * Zakaj pa matematične igre obravnavam na simpoziju o likovni teoriji? Likovnost išče realnost za tistim, kar lahko vidim. Tudi znanost išče univerzalno resnico, ki je za tistim, kar lahko zaznam s čutili. Kaj to pomeni za kompozicijo. Dovolil si bom nekoliko svobodno interpretacijo definicij Vasilija Kandinskega iz knjige Punkt und Linie zu Fläche. V prvi definiciji pravi: Elemnt v kompoziciji definiramo iz treh vidikov: 1. element sam na sebi, 2. element do drugih elementov in 3. element do celote. To pomeni naslednje: vsak format v sliksrtvu, blok v kiparstvu ali gabarit v arhitekturi vsebuje določeno sorazmerje. Načeloma velja, de če želimo ustvariti dobro kompozicijo, moramo spoštovati to sorazmerje pri odnosih med elementi in pri oblikovanju elemntov samih. V bistvu isto pravi tudi Kandinski v drugi definiciji: Kompozicija je notranje smotrno podrejanje 1. posameznih elementov in 2. zgradbe (konstrukcije) konkretnemu prostorskemu cilju. Z zgradbo pa v likovnem smislu med drugim razumem predvsem sorazmerje. In sedaj že omenja parafraza : V resnici ne materializirajo vsebine likovne stvaritve zunanje forme, temveč med temi oblikami živeče sile = napetosti; njih pa ustvarjajo predvsem sorazmerja. Piet Mondrian je komponiral svoje slike po občutku. Če pogledam katero njegovih nedokončanih sik, vidim, kako je s poskusi določal količinske odnose oziroma položaje posameznih elementov. Po natančni analizi pa ugotovim, da je na oko presenetljivo dobro sledil odnosom zlatega reza. Tudi njegov tovariš Teo van Doesburg je v zelo podobnih kompozicijah sledil enekemu sorzmerju, le da je to počel zavestno; on je računal. Rezultati pa so res presenetljivo podobni. Podobno Wolfgang Amadeus Mozart. Ekspozicija Simfonije v G molu je dolga 100 taktov. Najvišji ton G6 se pojavi v 62. taktu (62 : 38 = Φ, 62 + 38 = 100). Najnižji ton se pojavi v 24. taktu (38 : 24 = Φ, 38 + 24 = 62). Žal nisem našel podatkov, kako je simfonija nastala; ne vem, če je Mozart razmerja računal ali je zgolj sledil intuiciji. Toda največji sodobni skladatelj, vsaj po merilih večine antologij moderne glesbe, Karheinz Stockhausen svoje kompozicije ponavadi računa. V Klavierstücke III se poigrava s 55 toni v 34 različnih taktih (obe števili najdemo v prvem Fibonaccijevem zaporedju).v vsakem taktu je 50 poltonov razpona (3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 50; 3, 5, 8, 13, 21 so tudi števila prvega Fibonaccijevega zaporedja). * 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i618 618 1/16/08 12:58:41 PM

Zelo pogosto slišim, da umetnost ni matematika in da so taki in podobni primeri le slučaj. Toda psihologi so dokazali nasprotno. V enem od testov so narisali več pravokotnikov z različnimi razmerji stranic. Velika večina vprašanih (govori se dejansko o večini) je kot najbolj ugoden lik izbrala zlati pravokotnik. Torej verjetno smem zaključiti, da je matematika v tem primeru le orodje pri ustvarjanju, ki skrbi, da ostanem na varni strani, če se je držim. Pravim če, ker je izbira svobodna. Slikar Paul Klee v eni svojih knjig trdi, da je večina problemov rešljivih po racionalni in intuitivni poti. Zelo malo pa je takih, ki so rešljivi le po eni sami od omenjenih poti. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i619 619 1/16/08 12:58:41 PM

620 Homogen črtni vzorec Gestalt psihologija Renzo Piano 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i620 620 1/16/08 12:58:42 PM

621 Zakon podobnosti Tanjše linije tvorijo svojo skupnost, debele svojo. Pompidoujev center 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i621 621 1/16/08 12:58:42 PM

622 Zakon bližine Bližnji liki se družijo v skupine. Miroslav Šutej 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i622 622 1/16/08 12:58:43 PM

623 Zakon zaprte oblike Zaprta oblika je močnejši zakon, kot sta prejšnja. Brazilija 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i623 623 1/16/08 12:58:44 PM

624 Zakon skupne usode Linija kot celota Miroslav Šutej 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i624 624 1/16/08 12:58:44 PM

625 Zakon izkušnje Dustin Fenstermacher 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i625 625 1/16/08 12:58:44 PM

626 Zakon konkavne oblike Konveksno (zunanji izraz), konkavno (notranja vsebina) Oblika in načrtovalsko orodje Masonski znaki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i626 626 1/16/08 12:58:45 PM

627 Standardni element, modularni element Opeka 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i627 627 1/16/08 12:58:45 PM

628 Modul je največja skupna mera v kompoziciji. Modularne mere Modularna omara 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i628 628 1/16/08 12:58:46 PM

629 Modularna mreža Modularna hiša 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i629 629 1/16/08 12:58:46 PM

630 Modularne oblike Arena v Španiji 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i630 630 1/16/08 12:58:47 PM

631 Arhitekt razvija: 1. modularne principe in 2. modularno gradivo. Wrightovi zidaki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i631 631 1/16/08 12:58:47 PM

632 Enotna oblika kamna izhaja iz načina lomljenja kamna v kamnolomu. Kamen v kamnolomu 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i632 632 1/16/08 12:58:47 PM

633 Zlaganje manj določenih oblik v»red«srbski samostan 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i633 633 1/16/08 12:58:48 PM

634 Klasični red v zlaganju modularnih oblik. Louis Sullivan 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i634 634 1/16/08 12:58:48 PM

635 Modularni princip v navidez nemodularni zgradbi (organska oblika). Antoni Gaudi 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i635 635 1/16/08 12:58:49 PM

636 Hagia Sophia 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i636 636 1/16/08 12:58:49 PM

637 Ena kompozicija, več modulov več velikosti Hagia Sophia Hagia Sophia 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i637 637 1/16/08 12:58:50 PM

638 Pantheon 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i638 638 1/16/08 12:58:50 PM

639 Pantheon in Kepler 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i639 639 1/16/08 12:58:51 PM

640 Modularno mestno tkivo Mesto iz zraka 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i640 640 1/16/08 12:58:52 PM

641 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6 1 + 1 + 1 + 3 = 6 1 + 1 + 3 + 1 = 6 1 + 2 + 3 = 6 2 + 1 + 3 = 6 2 + 2 + 2 = 6 1 + 2 + 3 = 6 3 + 3 = 6 1 x 2 x 3 = 6 Temeljne lastnosti števil Popolno število 6 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i641 641 1/16/08 12:58:52 PM

642 Posebne lastnosti elementarnih oblik, kot so posebne lastnosti števil. Pravilna telesa 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i642 642 1/16/08 12:58:53 PM

643 Najprej so določili osnovni smeri v prostoru. Rimski legionar 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i643 643 1/16/08 12:58:53 PM

644 Enako na papirju Dioklecijanova palača 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i644 644 1/16/08 12:58:53 PM

645 Osnovni križ na papirju 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i645 645 1/16/08 12:58:54 PM

646 Boljša razmerja in kar tako neka razmerja Φ in 2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i646 646 1/16/08 12:58:54 PM

647 Najugodnejša razmerja so rezultat izkušenj. Višina prostora 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i647 647 1/16/08 12:58:55 PM

Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez S sestavljanjem kvadratov se približujemo zlatemu rezu. Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i648 648 1/16/08 12:58:59 PM

Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i649 649 1/16/08 12:59:03 PM

650 1+1 1+2 2+3 3+5 5+8 8+13 13+21 21+34 34+55 55+89 89+144 144+233 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 2/1 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34 89/55 144/89 233/144 377/233 1 2 1,5 1,666 1,600 1,625 1,615 1,619 1,617 1,618 1,617 1,618 1,618 1,61803398874989484820458683436538117720309179805762862134486 Fibonaccijeva vrsta 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i650 650 1/16/08 12:59:04 PM

651 Zlati rez 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i651 651 1/16/08 12:59:05 PM

652 Zlati rez in 2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i652 652 1/16/08 12:59:06 PM

653 Θ Θ Θ=1+ 2 Θ=1+ 2 Θ Θ Θ=1+ 2 Θ=1+ 2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i653 653 1/16/08 12:59:08 PM

654 Θ Θ Θ=1+ 2 Θ=1+ 2 Θ Θ Θ=1+ 2 Θ=1+ 2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i654 654 1/16/08 12:59:10 PM

655 n x x decimalno 1/ 2-1/ 2 2-0,70711 1,41421 2 x-n=1/x 1 (1-5)/2 (1+ 5)/2-0,61803 1,61803 Ø 2 1-2 1+ 2-0,41421 2,41421 Θ 5 ( 5-3)/2 ( 5+3)/2-0,38196 2,61803 Ø+1 4 2-5 2+ 5-0,23606 4,23607 2Ø+1 Ø=(1+ 5)/2 Θ=1+ 2 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i655 655 1/16/08 12:59:11 PM

656 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Zlati rez Zlati rez Ø=(1+ 5)/2 Ø=(1+ 5)/2 Pravokotnik, ki mu odrežem največji možni kvadrat, kar pa ostane, je podoben pravokotnik. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i656 656 1/16/08 12:59:12 PM

657 2 2 2 2 Pravokotnik, ki ga razpolovim, in kar ostane, je podoben pravokotnik. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i657 657 1/16/08 12:59:14 PM

658 Zlati rez in sorodniki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i658 658 1/16/08 12:59:14 PM

659 Po Le Modulorju Vitruvijanska figura 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i659 659 1/16/08 12:59:15 PM

660 Koren iz dva in sorodniki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i660 660 1/16/08 12:59:15 PM

661 Koren iz dva in sorodniki Zlati rez in sorodniki 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i661 661 1/16/08 12:59:16 PM

662 razmerje najbolj priljubljeni najmanj priljubljeni širina/višina Fechner (%) Lalo (%) Fechner (%) Lalo (%) kvadrat 1/1 3,0 11,7 27,8 22,5 kvadriagon 5/6 0,2 1,0 19,7 16,6 biauron 4/5 2,0 1,3 9,4 9,1 penton 3/4 2,5 9,5 2,5 9,1 diagon 2 7/10 7,7 5,6 1,2 2,5 hemolion 2/3 20,6 11,0 0,4 0,6 auron - zlati rez 5/8 35,0 30,3 0,0 0,0 sikston - 3 13/23 20,0 6,3 0,8 0,6 dvojni kvadrat 1/2 7,5 8,0 2,5 12,5 1+ 2 2/5 1,5 13,3 35,7 26,6 skupaj 100,0 100,0 100,0 100,0 Razmerja po priljubljenosti 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i662 662 1/16/08 12:59:17 PM

663 53,4 cm = 13" 43,2 cm = 10½" 86,3 cm = 21" 69,8 cm = 17" 139,7 cm = 34" 113 cm + 27½" 226 cm = 55" 182,9 cm = 44½". 365,8 cm = 89". 295,9 cm = 72.". 591,8 cm = 144". 478,8 cm = 116½". Le Modulor 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i663 663 1/16/08 12:59:17 PM

664 Primer zlatega reza Le Corbusier 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i664 664 1/16/08 12:59:18 PM

665 Zgodovinske napake? Stari Sveti Peter 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i665 665 1/16/08 12:59:18 PM

666 Palatinska kapela, Aachen 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i666 666 1/16/08 12:59:18 PM

667 Palatinska kapela, Aachen 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i667 667 1/16/08 12:59:19 PM

668 Popolnost v osmerokotniku St. Vitale, Ravenna 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i668 668 1/16/08 12:59:19 PM

669 St. Vitale, Ravena 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i669 669 1/16/08 12:59:20 PM

670 Geometrija kvadrata: kvadrat je v vseh vrstah; kvadrat se deli na vse načine. 2 x 2 8 x 8 Tretjinjenje Tretjinjenje in razpolavljanje 3 x 3 6 x 6 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i670 670 1/16/08 12:59:22 PM

671 Tretjinjenje in tretjinjenje Na pet 9 x 9 5 x 5 Na pet in na pol Na sedem 10 x 10 7 x 7 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i671 671 1/16/08 12:59:26 PM

672 Odlika odlične kompozicije je v enostavnosti. Santa Maria Novella 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i672 672 1/16/08 12:59:27 PM

673 Santa Maria Novella Santa Maria Novella 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i673 673 1/16/08 12:59:29 PM

674 Razpolavljanje in tretjinjenje Serlio 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i674 674 1/16/08 12:59:29 PM

675 Razpolavljanje in tretjinjenje Leone Batista Alberti: Mantova Leone BatistaAlberti: S. Andrea Mantova 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i675 675 1/16/08 12:59:30 PM

676 Na pet; na 2 + 2 + 1 San Miniato 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i676 676 1/16/08 12:59:31 PM

677 Ploskev razstavljamo na podobne like. Poljubni format lahko razpolavljamo. Metoda razpolavljanja Metoda podobnih likov 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i677 677 1/16/08 12:59:32 PM

678 Podobni liki Serlio 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i678 678 1/16/08 12:59:33 PM

679 Sorazmerje (proporcija) je razmerje. ki se v kompoziciji stalno ponavlja. Benetke 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i679 679 1/16/08 12:59:33 PM

680 Triangulatura (trikotnikovanje) Glouchester 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i680 680 1/16/08 12:59:34 PM

681 Triangulatura ne izhaja nujno iz enakostraničnega trikotnika. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i681 681 1/16/08 12:59:34 PM

682 Triangulatura in kvadratura; trikotniška in kvadratna števila 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i682 682 1/16/08 12:59:35 PM

683 Kvadratura? Wells 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i683 683 1/16/08 12:59:35 PM

684 Wells 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i684 684 1/16/08 12:59:36 PM

685 Leone Batista Alberti 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i685 685 1/16/08 12:59:36 PM

686 Sorazmerje se ohranja, če so diagonale vzporedne ali pravokotne. 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i686 686 1/16/08 12:59:37 PM

687 Razmerja v tipografiji: velikost pisave, stožec ali kegel, kern. Tipografija 10 Kljucǐ sorazmerij, 2....i687 687 1/16/08 12:59:38 PM