Κεφάλαιο 7. Μετασχηματισμός Laplace. 7.1 Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace

Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace Σε αυτο το κεφάλαιο θα μελετήσουμε τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace, η οποία αποτελεί μία από τις βασικές τεχνικές μαθηματικών προβλημάτων: μετασχηματίζει δύσκολα προβλήματα σε απλούστερα που χρησιμοποιούνται για την επίλυση του αρχικού προβλήματος. Η μέθοδος που θα παρουσιάσουμε σε αυτο το κεφάλαιο μετασχηματίζει ΠΑΤ με γραμμικές ΔΕ με σταθερούς συντελεστές (και μη σε ορισμενές των περιπτώσεων) σε αλγερβικές εξισώσεις (ή ΔΕ μικρότερης τάξης) των οποίων η λύση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να λύσουμε το αρχικό ΠΑΤ. Θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί ότι η μέθοδος του μετασχηματισμού Laplace, αποτελεί μία εναλλακτική μέθοδο για την επίλυση των ίδιων προβλημάτων που συζητήσαμε στα προηγούμενα κεφάλαια. Παρόλα αύτα σε ορισμένες των περιπτώσεων η μέθοδος του μετασχηματισμού Laplace είναι πιο αποτελεσματική από ότι οι άλλες μέθοδοι, π.χ. σε φυσικά προβλήματα με ασυνεχείς συναρτήσεις εξωτερικής δύναμης. Η δομή του κεφαλαίου είναι η ακόλουθη: Στο εδάφιο 7. ορίζουμε τον Μετασχηματισμό Laplace και αναπτύσσουμε τις βασικές ιδιότητες του, Στο εδάφιο 7. ορίζουμε τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Laplace Στο εδάφιο 7.3 θα παρουσιάσουμε την επίλυση μίας ΔΕ με σταθερούς συντελεστές με χρήση του Μετασχηματισμού Laplace στο (, ). Στο ε- δάφιο 7.4 ορίζουμε τη Συνάρτηση Βήματος (Heaviside) Στο εδάφιο 7.4. θα ασχοληθούμε με την επίλυση ΔΕ με σταθερούς συντελεστές και με κατα τμήματα συνεχείς συναρτήσεις δύναμεων με χρήση συναρτήσεων βήματος. Στο εδάφιο 7.5 διατυπώνουμε το Θεώρημα Συνέλιξης. Στο εδάφιο 7.6 ορίζονται οι συναρτήσεις Dirac. Στο τέλος του βιβλίου στο Παράρτημα Αʹ παραθέτουμε το βασικό Τυπολόγιο του Μετασχηματισμού Laplace. 7. Εισαγωγή στον μετασχηματισμό Laplace Ορισμός του μετασχηματισμού Laplace 9

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Για να ορίσουμε τον μετασχηματισμό Laplace, υπενθυμίζουμε τον ορισμό του γενικευμένου (ή καταχρηστικού) ολοκληρώματος, (βλ.β. Ρόθος & Χ. Σφυράκης, ). Αν g είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [a, T ] για καθε T > a, τότε το γενικευμένο ολοκλήρωμα της g στο [a, ) ορίζεται ως: a T g(t) dt = lim T a g(t) dt. (7.) Θα λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει, αν το όριο στην (7.) υπάρχει, διαφορετικά θα λέμε ότι αποκλίνει ή δεν υπάρχει. Δίνουμε τον ορισμό του μετασχηματισμού Laplace της f. Ορισμός 7.. Εστω f που ορίζεται για t και s πραγματικός αριθμός. Τότε ο μετασχηματισμός Laplace της f είναι η συνάρτηση F ορισμένη ως F (s) = e st f(t) dt, (7.) για εκείνες τις τιμές του s για τις οποίες το γενικευμένο ολοκλήρωμα συγκλίνει. Σημειώνουμε ότι η μεταβλητή ολοκλήρωσης στην (7.) είναι t, αφού s είναι παράμετρη ανεξάρτητη της t. Χρησιμοποιούμε την t ως ανεξάρτητη μεταβλητή για την f, διότι στις εφαρμογές ο μετασχηματισμός Laplace δρα σε συναρτήσεις του χρόνου t. Ο μετασχηματισμός Laplace μπορεί να θεωρηθεί ο τελεστής L που μετασχηματίζει τη συνάρτηση f = f(t) στη συνάρτηση F = F (s). Έτσι, η (7.) μπορεί να γραφεί ως F = L(f). Οι συναρτήσεις f και F αποτελούν ζεύγος μετασχηματισμού, το οποίο μερικές φορές δηλώνεται από f(t) F (s). Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν F (s) ορίζεται για s = s, τότε ορίζεται για όλα s > s. Υπολογισμός Μετασχηματισμού Laplace ορισμένων συναρτήσεων Παράδειγμα 7.. Βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace της f(t) =. Λύση Από (7.) με f(t) =, Αν s, τότε F (s) = T T e st dt = lim e st dt. T e st dt = s e st T = e st s. (7.3)

7.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ LAPLACE 3 Οπότε { T lim e st dt = s, s >, T, s <. Αν s =, η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι, και (7.4) Συνεπώς F () είναι απροσδιόριστη, και T T lim dt = lim dt = lim T =. T T T F (s) = e st dt = s, s >. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να γραφεί με τον τελεστικό συμβολισμό L() = s, s >, ή ως ζεύγος μετασχηματισμού s, s >. Είναι βολικό να συντομεύσουμε τους υπολογισμούς μας ολοκληρώνοντας από εως T και παίρνοντας το όριο T. Οπότε αντί για (7.3) και (7.4) ως ξεχωριστά βήματα μπορούμε να γράψουμε { e st dt = s e st = s, s >,, s <. Θα ακολουθήσουμε αυτήν την τακτική στο υπόλοιπο του κεφαλαίου. Παράδειγμα 7.. Βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace της f(t) = t. Λύση Από (7.) με f(t) = t, F (s) = Αν s, η ολοκλήρωση κατά παράγοντες δίνει e st t dt = te st s + s { = s, s >,, s <. e st t dt. (7.5) [ t e st dt = s + ] e st s

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αν s =, το ολοκλήρωμα στην (7.5) γράφεται t dt = t =. Οπότε F () απροσδιόριστο και F (s) = s, s >. Το αποτέλεσμα γράφεται ως L(t) = s, s >, Παράδειγμα 7..3 Βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace της f(t) = e at, όπου a σταθερά. Λύση Από (7.) με f(t) = e at, F (s) = Γνωρίζουμε από το Παράδειγμα 7.. ότι Αντικαθιστώντας s με s a έχουμε Το οποίο μπορεί να γραφεί e st e at dt = e st dt = s, s >. F (s) = s a, s > a. L(e at ) = s a, s > a. e (s a)t dt. Παράδειγμα 7..4 Βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace της f(t) = sin ωt και g(t) = cos ωt, με ω σταθερά. Λύση Ορίζουμε F (s) = και G(s) = Αν s >, με ολοκλήρωση κατά παράγοντες της (7.6) έχουμε e st sin ωt dt (7.6) e st cos ωt dt. (7.7) F (s) = e st s sin ωt + ω s e st cos ωt dt,

7.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ LAPLACE 33 οπότε F (s) = ω G(s). (7.8) s Αν s >, με ολοκλήρωση κατά παράγοντες της (7.7) έχουμε οπότε G(s) = e st cos ωt s ω s G(s) = s ω s F (s). Αντικαθιστώντας από την (7.8) στην προηγούμενη σχέση Επιλύοντας ως προς G(s), έχουμε Αυτό και (7.8) συνεπάγεται ότι G(s) = s ω s G(s). G(s) = F (s) = Πίνακας με τους μετασχηματισμούς Laplace s s + ω, s >. ω s + ω, s >. e st sin ωt dt, Στο Παράρτημα Αʹ παραθέτουμε πλήρες τυπολόγιο για τον μετασχηματισμό Laplace. Παράδειγμα 7..5 Με χρήση του τυπολογίου να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Laplace L(t 3 e 4t ). Λύση Από το τυπολόγιο έχουμε Θέτοντας n = 3 και a = 4 προκύπτει L(t 3 e 4t ) = L(t n e at ) = n! (s a) n+. 3! (s 4) 4 = 6 (s 4) 4. Γραμμική Ιδιότητα του μετασχηματισμού Laplace Όπως φαίνεται από το επόμενο θεώρημα ο μετασχηματισμός Laplace είναι γραμμικός.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Θεώρημα 7.. [Γραμμική Ιδιότητα] Υποθέτουμε ότι L(f i ) ορίζεται για s > s i, i n). Έτσω s = max{s, s,..., s n, } και c, c,, c n σταθερές. Τότε L(c f + c f + + c n f n ) = c L(f ) + c L(f ) + + c n L(f n ) για s > s. Απόδειξη Παραθέτουμε την απόδειξη για n =. Αν s > s, τότε L(c f + c f ) = e st (c f (t) + c f (t))) dt = c e st f (t) dt + c e st f (t) dt = c L(f ) + c L(f ). Παράδειγμα 7..6 Με χρήση του Θεωρήματος 7.. και του τυπολογίου να βρείτε L(cosh bt) (b ). L(e at ) = s a Λύση Εξ ορισμού, Τότε cosh bt = ebt + e bt. L(cosh bt) = ( L ebt + ) e bt = L(ebt ) + L(e bt ) (γραμμική ιδιότητα) = s b + s + b, (7.9) όπου ο πρώτος μετασχηματισμός ισχύει για s > b και ο δεύτερος για s > b και οι δύο ορίζονται για s > b. Απλοποιώντας την σχέση (7.9) έχουμε Θεώρημα Μετατόπισης L(cosh bt) = s s b, s > b. Θεώρημα 7.. [Θεώρημα Μετατόπισης] Αν F (s) = e st f(t) dt (7.) είναι ο μετασχηματισμός Laplace της f(t) για s > s, τότε F (s a) είναι ο μετασχηματισμός Laplace της e at f(t) για s > s + a.

7.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ LAPLACE 35 Α. Αντικαθιστώντας s με s a στην (7.) έχουμε F (s a) = αν s a > s. Όμως, η (7.) μπορεί να γραφεί ως F (s a) = το οποίο είναι και το ζητούμενο. e (s a)t f(t) dt (7.) e st ( e at f(t) ) dt, Παράδειγμα 7..7 Με χρήση του Θεωρήματος 7.. και του τυπολογίου, υπολογίστε L(e at ), L(te at ), L(e λt sin ωt), and L(e λt cos ωt). Λύση Με χρήση του τυπολογίου και του Θεωρήματος 7.. προκύπτουν οι ζητούμενοι μετασχηματισμοί Laplace. f(t) F (s) e at f(t) F (s a) s, s > eat (s a), s > a t s, s > teat (s a), s > a sin ωt ω s + ω, s > ω eλt sin ωt (s λ) + ω, s > λ cos ωt s s + ω, s > s λ eλt sin ωt (s λ) + ω, s > λ Θεώρημα Υπαρξης μετασχηματισμού Laplace. Κάθε συνάρτηση δεν επιδέχεται μετασχηματισμό Laplace. Για παράδειγμα, μπορεί να α- ποδειχθεί ότι (Άσκηση 3) e st e t dt = για όλους τους s. Δηλαδή, η συνάρτηση f(t) = e t δεν έχει μετασχηματισμό Laplace. Στόχος μας είναι να διατυπώσουμε συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί μία συνάρτηση για να δέχεται μετασχηματισμό Laplace. Ορισμός 7.. (i) μία συνάρτηση f καλείται κατά τμήματα συνεχής σε ένα πεπερασμένο κλειστό διάστημα [, T ] εαν f(+) και f(t ) είναι πεπερασμένα και η f είναι συνεχής στο ανοικυό (, T ) με εξαίρεση σε πεπερασμένο αριθμό σημείων, όπου η f μπορεί να έχει ασυνέχειες.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE f(t ) f(t ) = f(t +) t x Σχήμα 7.: Συνεχής συνάρτηση y a b x Σχήμα 7.: Κατά τμήματα συνεχής συνάρτηση στο [a, b].

7.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ LAPLACE 37 (ii) μία συνάρτηση f καλείται κατά τμήματα συνεχής σε άπειρο διάστημα [, ) εάν είναι κατά τμήματα συνεχής σε διάστημα [, T ] για κάθε T >. Στο Σχήμα 7. δείχνουμε γραφικά μία κατά τμήματα συνεχή συνάρτηση. Θυμίζουμε από τον Λογισμό συναρτήσεων μίας μεταβλητής ότι εάν μία συνάρτηση είναι κατά τμήματα συνεχής σε πεπερασμένο κλειστό διάστημα τότε είναι και ολοκληρώσιμη σε αυτό το διάστημα (βλ. Ρόθος & Σφυράκης, ). Αλλά εάν η f είναι κατά τμήματα συνεχής στο [, ), τότε και η e st f(t), συνεπώς T e st f(t) dt υπάρχει για κάθε T >. Επισημαίνουμε όμως ότι η κατά τμήματα συνέχεια δεν εξασφαλίζει ότι το καταχρηστικό ολοκλήρωμα T e st f(t) dt = lim e st f(t) dt (7.) T συγκλίνει για s σε κάποιο διάστημα (s, ). Για παράδειγμα έχουμε αναφέρει πιο πάνω ότι (7.) αποκλίνει για όλα τα s εάν f(t) = e t. Αυτό συμβαίνει, διότι η e t αυξάνει γρήγορα καθώς t. Με τον επόμενο ορισμό παρέχουμε έναν περιορισμό που πρέπει να ικανοποιεί η f έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η σύγκλιση του μετασχηματισμού Laplace της f για s (s, ). Ορισμός 7..3 Η συνάρτηση f καλείται of εκθετικής τάξης s, εάν υπάρχουν σταθερές M and t έτσι ώστε f(t) Me s t, t t. (7.3) Στην περίπτωση που η συγκεκριμένη τιμή της s είναι ασήμαντη, θα λέμε απλά ότι η f είναι εκθετικής τάξης. Το επόμενο θεώρημα μας δίνει ικανές συνθήκες για να έχει μία συνάρτηση f μετασχηματισμό Laplace. Θεώρημα 7..3 Αν f είναι κατά τμήματα συνεχής στο [, ) και εκθετικής τάξης s, τότε L(f) ορίζεται για s > s. Παρατήρηση: Επισημαίνουμε ότι οι συνθήκες του Θεωρήματος 7..3 είναι ικανές, αλλά όχι αναγκαίες, για να έχει η συνάρτηση f μετασχηματισμό Laplace. Ενδέχεται μία συνάρτηση f να έχει μετασχηματισμό Laplace, ακόμα και όταν η f δεν είναι εκθετικής τάξης. Παράδειγμα 7..8 Αν η f είναι φραγμένη σε διάστημα [t, ), δηλαδή f(t) M, t t, τότε η (7.3) ισχύει με s =, οπότε η f είναι εκθετικής τάξης μηδέν. Έτσι για παράδειγμα, sin ωt και cos ωt είναι εκθετικής τάξης μηδέν, και το Θεώρημα 7..3 συνεπάγεται ότι

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE L(sin ωt) and L(cos ωt) υπάρχει για s >. Αυτό ερμηνεύει το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 7..4. Παράδειγμα 7..9 Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν lim t e s t f(t) υπάρχει και είναι πεπερασμένο, τότε η f είναι εκθετικής τάξης s (Άσκηση 6). Αν α είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός και s > τότε η f(t) = t α είναι εκθετικής τάξης s, αφού lim t e s t t α =, από κανόνα L Hôpital. Αν α, f είναι επίσης συνεχής στο [, ). Αποδεικνύεται από την Άσκηση 6 και το Θεώρημα 7..3 ότι L(t α ) υπάρχει για s s. Όμως, έχουμε ότι L(t α ) υπάρχει για όλα s >. (Βλ. Παράδειγμα 7..). Παράδειγμα 7.. Αναφέραμε νωρίτερα, e st e t dt = για όλα s, από Θεώρημα 7..3 έπεται ότι f(t) = e t δεν είναι εκθετικής τάξης, αφού οπότε lim t e t Me s t = lim t e t > Me s t M et s t =, για αρκετά μεγάλες τιμές του t, και για οποιαδήποτε επιλογή των M και s (Άσκηση 3). 7. Ασκήσεις προς επίλυση. Βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace των ακόλουθων συναρτήσεων υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα F (s) = e st f(t) dt. (a) t (b) te t (c) sinh bt (d) e t 3e t (e) t. Με χρήση του τυπολογίου του μετασχηματισμού Laplace να βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace των ακόλουθων συναρτήσεων: (a) cosh t sin t (b) sin t (c) cos t (d) cosh ( t (e) t sinh t (f) sin t cos t (g) sin t + π ) (h) cos t cos 3t (i) sin t + cos 4t 4 3. Δείξτε ότι e st e t dt = για όλους τους s R.

7.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ LAPLACE 39 4. Αποδείξτε ότι αν f(t) F (s), τότε t k f(t) ( ) k F (k) (s). 5. Με χρήση των μετασχηματισμών Laplace L(e λt sin ωt) = ω (s λ) + ω και L(e λt cos ωt) = και την Άσκηση 4 να υπολογίσετε L(te λt cos ωt) και L(te λt sin ωt). s λ (s λ) + ω 6. (αʹ) Δείξτε ότι αν lim t e s t f(t) υπάρχει και είναι πεπερασμένο, τότε η f είναι εκθετικής τάξης s. (βʹ) Δείξτε ότι αν f είναι εκθετικής τάξης s, τότε lim t e st f(t) = για όλους s > s. (γʹ) Δείξτε ότι αν f είναι εκθετικής τάξης s και g(t) = f(t + τ) όπου τ >, τότε g είναι, επίσης, εκθετικής τάξης s. 7. Αποδείξτε ότι: Αν f είναι κατά τμήματα συνεχής και εκθετικής τάξης, τότε lim s F (s) =. 8. Αποδείξτε ότι: Αν f είναι συνεχής στο [, ) και εκθετικής τάξης s >, τότε ( t ) L f(τ) dτ = s L(f), s > s. 9. Υποθέτουμε ότι f είναι κατά τμήματα συνεχής και εκθετικής τάξης, και ότι το lim t + f(t)/t υπάρχει. Δείξτε ότι ( ) f(t) L = F (r) dr. t. Με χρήση του τυπολογίου του μετασχηματισμού Laplace και της Άσκησης 9 να βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace των ακόλουθων συναρτήσεων: (a) sin ωt t (ω > ) (b) ) cos ωt t s (ω > (c) eat e bt t (d) cosh t (e) sinh t t t. Υποθέτουμε ότι f είναι συνεχής στο [, T ] και f(t + T ) = f(t) για όλα t, (δηλαδή η f είναι περιοδική με περίοδο T.) (αʹ) Από το Θεώρημα 7..3 προκύπτει ότι ο μετασχηματισμός Laplace της f ορίζεται για s >. Υπόδειξη: Αφού f είναι συνεχής στο [, T ] και περιοδική με περίοδο T, είναι και φραγμένη στο [, ). (βʹ) Δείξτε ότι Υπόδειξη: Γράψτε F (s) = e st F (s) = n= T (n+)t nt e st f(t) dt, s >. e st f(t) dt.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Τότε δείξτε ότι (n+)t nt T e st f(t) dt = e nst e st f(t) dt, και θυμηθείτε τον τύπο για το άθροισμα γεωμετρικής σειράς.. Με χρήση του τύπου από την Άσκηση (β) να βρείτε τον μετασχηματισμό Laplace των ακόλουθων περιοδικών συναρτήσεων: { t, t <, (αʹ) f(t) = f(t + ) = f(t), t t, t <, {, t < (βʹ) f(t) =,, t <, f(t + ) = f(t), t (γʹ) f(t) = sin t { sin t, t < π, (δʹ) f(t) = f(t + π) = f(t), π t < π, 7. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Ορισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace Στο προηγούμενο εδάφιο, ορίσαμε τον μετασχηματισμό Laplace της f με F (s) = L(f) = e st f(t) dt. Θα λέμε ότι η f είναι ένας αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F, και γράφουμε f = L (F ). Πρέπει να είμαστε σε θέση να βρίσκουμε την f από τον μετασχηματισμό της F. Υπάρχει μία μέθοδος της μιγαδικής ανάλυσης αλλά στο βιβλίο αυτό θα χρησιμοποιούμε τον τυπολόγιο του μετασχηματισμού Laplace για την εύρεση του αντιστρόφου. Ας δούμε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα: Παράδειγμα 7.. Με χρήση του τυπολογίου του μετασχηματισμού Laplace βρείτε: ( ) ( ) s (a) L and (b) L. s s + 9 Λύση (α) Θέτοντας b = στο ζεύγος μετασχηματισμού έχουμε sinh bt b s b, ( ) L = sinh t. s

7.. Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 4 (β) Θέτοντας ω = 3 στο ζεύγος μετασχηματισμού έχουμε cos ωt s s + ω, ( ) s L = cos 3t. s + 9 Το επόμενο θεώρημα μας επιτρέπει να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace γραμμικών συνδυασμών μετασχηματισμών από το τυπολόγιο. Θα παραλείψουμε την απόδειξη. Θεώρημα 7.. [Γραμμική Ιδιότητα] Αν F, F,, F n είναι μετασχηματισμοί Laplace και c, c,, c n είναι σταθερές, τότε L (c F + c F + + c n F n ) = c L (F ) + c L (F ) + + c n L (F n ). Παράδειγμα 7.. Βρείτε ( 8 L s + 5 + 7 ). s + 3 Λύση Από το τυπολόγιο του μετασχηματισμού Laplace, e at s a and sin ωt ω s + ω. Θεώρημα 7.. με a = 5 και ω = 3 δίνει ( 8 L s + 5 + 7 ) ( ) = 8L s + 3 s + 5 ( ) + 7L s + 3 ( ) ( = 8L + 7 ) 3 L s + 5 3 s + 3 = 8e 5t + 7 3 sin 3t. Παράδειγμα 7..3 Βρείτε ( ) 3s + 8 L. s + s + 5 Λύση Με συμπλήρωση τετραγώνου στον παρανομαστή έχουμε 3s + 8 s + s + 5 = 3s + 8 (s + ) + 4.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Λόγω της μορφής του παρανομαστή μπορούμε να θεωρήσουμε τα ζεύγη των μετασχηματισμών: e t cos t s + and e t sin t (s + ) + 4 (s + ) + 4, και γράφουμε ( ) 3s + 8 L (s + ) + 4 ( ) ( ) 3s + 3 = L + L 5 (s + ) + 4 (s + ) + 4 ( ) = 3L s + + 5 ( ) (s + ) + 4 L (s + ) + 4 = e t (3 cos t + 5 sin t). Αντίστροφοι μετασχηματισμοί Laplace ρητών συναρτήσεων Αρκετές φορές χρειαζεται να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace ρητών συναρτήσεων F (s) = P (s) Q(s), όπου P και Q είναι πολυώνυμα ως προς s χωρίς κοινούς παράγοντες. Μπορεί να αποδειχθεί ότι lim s F (s) =, εαν F είναι ο μετασχηματισμός Laplace, μπορούμε να θεωρήσουμε μόνο την περίπτωση degree(p ) < degree(q). Για να υπολογίσουμε τον L (F ), αναλύουμε σε απλά κλάσματα την F και προσδιορίζουμε τους αντίστροφους μετασχηματισμούς Laplaceμε χρήση του τυπολογίου. Στα επόμενα παραδείγματα παρουσιάζουμε την συγκεκριμένη μέθοδο. Παράδειγμα 7..4 Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F (s) = 3s + s 3s +. (7.4) Λύση Παραγοντοποιώντας τον παρανομαστή στην (7.4), έχουμε Η ανάλυση σε απλά κλάσματα δίνει F (s) = 3s + (s )(s ). (7.5) 3s + (s )(s ) = A s + B s. (7.6) όπου A = 5, B = 8, F (s) = 5 s + 8 s

7.. Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 43 και ( ) ( ) L (F ) = 5L + 8L = 5e t + 8e t. s s Παράδειγμα 7..5 Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F (s) = 6 + (s + )(s 5s + ). (7.7) s(s )(s )(s + ) Λύση Με ανάλυση σε απλά κλάσματα της (7.7) έχουμε και Οπότε L (F ) = 7 L ( s F (s) = A s + F (s) = 7 ) = 7 et + 7 et e t. B s + s s + 7 C s + D s +. (7.8) s s + ( ) L + 7 ( ) ( ) s L L s s + Παράδειγμα 7..6 Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F (s) = 8 (s + )(4s + ) (s + )(s + ). (7.9) Λύση Η ανάλυση σε απλά κλάσματα για την περίπτωση που ο παρανομαστής έχει διπλή ρίζα δίνει F (s) = A s + + B s + + C (s + ). (7.) Οπότε και F (s) = s + 6 s + 8 (s + ) ( ) ( ) ( ) L (F ) = L 6L 8L s + s + (s + ) = e t 6e t 8te t. Παράδειγμα 7..7 Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της F (s) = s(5 + 3s) s [(s + ) + ]. (7.)

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Λύση Η ανάλυση σε απλά κλάσματα για την F είναι F (s) = A s + Bs + C (s + ) +. (7.) Παρατηρούμε από το τυπολόγιο του μετασχηματισμού Laplace, ότι ο αντίστροφος μετασχηματισμός για το δεύτερο κλάσμα στη σχέση (7.) θα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των αντίστροφων μετασχηματισμών των e t cos t και e t sin t s + (s + ) + και (s + ) + αντίστοιχα. Οπότε, αντί της (7.) μπορούμε να γραψουμε F (s) = A s + B(s + ) + C (s + ) +. (7.3) Οπότε μετά από πράξεις στην (7.3), F (s) = s 7 s + (s + ) + 5 (s + ) +. Δηλαδή L (F ) = ( ) L 7 ( ) s + s L 5 ( ) (s + ) + L (s + ) + = 7 e t cos t 5 e t sin t. 7. Ασκήσεις προς επίλυση. Με χρήση του τυπολογίου του μετασχηματισμού Laplace βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace 3 s 4 (a) (b) (c) (s 7) 4 s 4s + 3 s + 4s + s (d) (e) (f) s + 9 (s + ) (s ) 4 s 4 s 4s + 3 (g) (h) (i) (s 4s + 85) (s 3) 9 (s 4s + 5).. Με χρήση του Θεωρήματος 7.. του τυπολογίου του μετασχηματισμού Laplace βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace

7.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΠΑΤ) 45 s + 3 (a) (s 7) 4 (b) (d) s + s + 9 (e) (g) s3 + s s 3 (s + ) 4 (h) (j) 3s + 4 s (k) s s + 5 (c) (s ) 6 s + 6s + 8 s (f) s + s + s + s 9 s + 3 (i) (s ) + 4 s s s + 3 s + 4s + (l) s + 9 3. Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace 3 (s + ) s + 6 s + 4. + 3s 3s + s + (a) (b) (s + )(s + )(s + ) (s + )(s + s + ) 3s + 3s + s + (c) (d) (s )(s + s + 5) (s ) (s + )(s + 3) s + s + 3 3s + (e) (f) (s ) (s + ) (s + )(s ). 4. Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace 7s 5 8s + 56 (a) (b) (s s + 5)(s + s + ) (s 6s + 3)(s + s + 5) s + 9 3s (c) (d) (e) (s + 4s + 5)(s 4s + 3) 3s (s s + )(s + s + 5) (f) (s 4s + 5)(s 6s + 3) s + 4 (4s 4s + 5)(4s + 4s + 5) 5. Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace (a) (b) s(s + ) (s )(s s + 7) 3s + 34 7s (c) (d) (s )(s + s + ) (s )(s s + 5) s + s (e) (f) (s 3)(s + s + 5) (s )(s + s + ). 6. Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace s + s + (a) (b) (s + )(s )(s 3) (s + s + )(s ) s s 6 (c) (d) (e) (s s + )(s + )(s ) s 3 s(s )(s s + 5) (f) (s )(s + 4) 5s 5 (s 4s + 3)(s )(s ). 7.3 Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Τιμών (ΠΑΤ) Μετασχηματισμός Laplace παραγώγων συναρτήσεων

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Στη συνέχεια του κεφαλαίου θα μας απασχολήσει το θέμα επίλυσης ΠΑΤ με χρήση του μετασχηματισμού Laplace, γι αυτό θα παρασουσιάσουμε μερικούς βασικούς τύπους που συνδέουν τον μετασχηματισμό Laplace των f, f (n) με τον μετασχηματισμό Laplace της f. Θεώρημα 7.3. Έτσω f είναι συνεχής στο [, ) και εκθετικής τάξης s, και f είναι κατά τμήματα συνεχής στο [, ). Τότε f and f έχουν μετασχηματισμό Laplace για s > s και L(f ) = sl(f) f(). (7.4) Απόδειξη Από το Θεώρημα 8..6 έχουμε ότι ο L(f) ορίζεται για s > s. Θεωρούμε την περίπτωση που η f είναι συνεχής στο [, ). Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες T e st f (t) dt = e st f(t) T T + s = e st f(t ) f() + s e st f(t) dt T e st f(t) dt (7.5) για κάθε T >. Αφού f είναι εκθετικής τάξης s, lim T e st f(t ) = το τελευταίο ολοκλήρωμα στην (7.5) συγκλίνει καθώς, T αν s > s. Συνεπώς e st f (t) dt = f() + s = f() + sl(f), e st f(t) dt το οποίο αποδεικνύει την (7.4). Υποθέτουμε τώρα ότι T > και f είναι μόνο κατά τμήματα συνεχής στο [, T ], με ασυνέχειες στα t < t < < t n. Για διευκόλυνση, έστω t = και t n = T. Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες ti e st f (t) dt = e st f(t) t i + s t i t i ti t i e st f(t) dt = e st i f(t i ) e st i f(t i ) + s ti Αθροίζοντας τα δύο μέρη της προηγούμενης σχέσης από i = έως n t i e st f(t) dt. ( e st f(t ) e st f(t ) ) + ( e st f(t ) e st f(t ) ) + + ( e st N f(t N ) e st N f(t N ) ) = e st N f(t N ) e st f(t ) = e st f(t ) f() καταλήγουμε στην (7.5), οπότε η (7.4) ισχύει όπως και στην προηγούμενη περίπτωση. Θεώρημα 7.3. Έστω f και f είναι συνεχείς στο [, ) και εκθετικής τάξης s, και ότι f είναι κατά τμήματα συνεχής στο [, ). Τότε f, f, και f δέχονται μετασχηματισμό Laplace

7.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΠΑΤ) 47 για s > s, και L(f ) = sl(f) f(), (7.6) L(f ) = s L(f) f () sf(). (7.7) Επίλυση ΔΕ δεύτερης τάξης με τον μετασχηματισμό Laplace Θα παρουσιάσουμε τη χρήση του μετασχηματισμού Laplace για την επίλυση ΠΑΤ με δεύτερης τάξης ΔΕ με σταθερούς συντελεστές. Παράδειγμα 7.3. Με χρήση του μετασχηματισμού Laplace να επιλυθεί το ΠΑΤ y 6y + 5y = 3e t, y() =, y () = 3. (7.8) Λύση Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Laplace και στα δύο μέλη της ΔΕ (7.8),έχουμε που γράφεται L(y 6y + 5y) = L ( 3e t) = 3 s, L(y ) 6L(y ) + 5L(y) = 3 s. (7.9) Θεωρούμε L(y) = Y (s). Το Θεώρημα 7.3. και οι αρχικές συνθήκες στην (7.8) δίνουν και L(y ) = sy (s) y() = sy (s) L(y ) = s Y (s) y () sy() = s Y (s) 3 s. Αντικαθιστώντας τις δύο τελευταίες στην εξίσωση (7.9) προκύπτει Οπότε και ( s Y (s) 3 s ) 6 (sy (s) ) + 5Y (s) = 3 s. (s 6s + 5)Y (s) = 3 + (3 + s) + 6( ), (7.3) s (s 5)(s )Y (s) = Y (s) = 3 + (s )(s 9), s 3 + (s )(s 9) (s )(s 5)(s ). Αναλύοντας το δεξί μέρος σε απλά κλάσματα έχουμε Y (s) = s + s 5 + 5 s,

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE και ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνει y = e t + e5t + 5 et ως λύση της (7.8). Θα δούμε πώς εφαρμόζουμε τη μέθοδο του Παραδείγματος 7.3. στην γενική περίπτωση ay + by + cy = f(t), y() = k, y () = k. (7.3) Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Laplace και στα δύο μέλη της ΔΕ (7.3), έχουμε al(y ) + bl(y ) + cl(y) = F (s). (7.3) Θέτοντας Y (s) = L(y). Το Θεώρημα 7.3. και οι αρχικές συνθήκες στην (7.3) δίνουν L(y ) = sy (s) k and L(y ) = s Y (s) k k s. Αντικαθιστώντας στην (7.3) προκύπτει a ( s Y (s) k k s ) + b (sy (s) k ) + cy (s) = F (s). (7.33) Ο συντελεστής του Y (s) στο αριστερό μέρος είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο p(s) = as + bs + c της ομογενούς ΔΕ (7.3). Οπότε επιλύοντας ως προς Y (s) p(s)y (s) = F (s) + a(k + k s) + bk, (7.34) η οποία αντιστοιχεί στην (7.3) του Παραδείγματος 7.3.. Παράδειγμα 7.3. Με χρήση του μετασχηματισμού Laplace να επιλυθεί το ΠΑΤ y + 3y + y = 8e t, y() = 4, y () =. (7.35) Λύση Το χαρακτηριστικό πολύωνυμο της ομογενούς ΔΕ είναι p(s) = s + 3s + = (s + )(s + ) και οπότε η (7.34) γίνεται F (s) = L(8e t ) = 8 s +, (s + )(s + )Y (s) = 8 + ( 4s) + 3( 4). s +

7.3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΠΑΤ) 49 Επιλύοντας ως προς Y (s), έχουμε Y (s) = και με ανάλυση σε απλά κλάσματα προκύπτει οπότε η λύση της (7.35) είναι 4 ( (s + )(s + )) (s + /)(s + )(s + ). Y (s) = 4 3 s + / 8 s + + 8 3 s +, y = L (Y (s)) = 4 3 e t/ 8e t + 8 3 e t. Επίλυση ΔΕ δεύτερης τάξης με μη σταθερούς συντελεστές με τον μετασχηματισμό Laplace Στο σημείο αυτό θα παρουσίασουμε τη χρήση του μετασχηματισμού Laplace για επίλυση γραμμικών ΔΕ με μη σταθερούς συντελεστές. Αυτό είναι ένα δύσκολο πρόβλημα, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε. Πρόταση 7.3. Έστω f είναι συνεχείς στο [, ) και εκθετικής τάξης s, Τότε Ας δούμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. lim s + L(f) = F (s) =. (7.36) Παράδειγμα 7.3.3 Με χρήση του μετασχηματισμού Laplace να επιλυθεί το ΠΑΤ y + 3ty 6y = y() =, y () =. (7.37) Λύση Αυτό που χρειάζεται να υπενθυμίσουμε είναι ο ακόλουθος τύπος από το τυπολόγιο του μετασχηματισμού Laplace L(t n f(t))(s) = ( ) n F (n) (s). (7.38) Στην συγκεκριμένη περίπτωση, εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στα δύο μέρη της ΔΕ (7.37) χρειάζεται να υπολογίσουμε την σχέση L(ty ), εφαρμόζντας την (7.38) για n = έχουμε Η ΔΕ (7.37) γράφεται L(ty ) = d ds (L(y )) = d ds (sy (s) y()) = sy (s) Y (s) s Y (s) sy() y () + 3( sy (s) Y (s)) 6Y (s) = s,

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE δηλαδή, ( 3 Y (s) + s s ) Y (s) = 3 3s Σε αντίθεση με τα προηγούμενα παραδείγματα η χρήση του μετασχηματισμού Laplace μας οδηγεί σε μία ΔΕ ης τάξης για την οποία ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι µ(s) = s 3 e s 6 Συνεπώς, η γραμμική ης τάξης ΔΕ δέχεται ως λύση τη συνάρτηση 6 Y (s) = s + 3 ces (7.39) s 3 Εφαρμόζοντας την Πρόταση 7.3., πρέπει c =, ώστε Y (s), καθώς s. Συνεπώς,η (7.39) γράφεται Y (s) = s 3, y(t) = t. 7.3 Ασκήσεις προς επίλυση Στις Ασκήσεις -3 με χρήση του μετασχηματισμού Laplace να επιλυθούν τα αντίστοιχα ΠΑΤ.. y + 3y + y = e t, y() =, y () = 6. y y 6y =, y() =, y () = 3. y + y y = e 3t, y() =, y () = 4 4. y 4y = e 3t, y() =, y () = 5. y + y y = e 3t, y() =, y () = 6. y + 3y + y = 6e t, y() =, y () = 7. y + y = sin t, y() =, y () = 8. y 3y + y = e 3t, y() =, y () = 9. y 3y + y = e 4t, y() =, y () =. y 3y + y = e 3t, y() =, y () = 4. y + 3y + y = e t, y() =, y () =. y + y y = 4, y() =, y () = 3 3. y + 4y = 4, y() =, y () = 4. y y 6y =, y() =, y () = 5. y + 3y + y = e t, y() =, y () = 6. y y =, y() =, y () =

7.4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΥ ΒΗΜΑΤΟΣ (HEAVISIDE) 5 7. y + 4y = 3 sin t, y() =, y () = 8. y + y = e 3t, y() =, y () = 4 9. y + y =, y() =, y () =. y + y = t, y() =, y () =. y + y = t 3 sin t, y() =, y () = 3. y + 5y + 6y = e t, y() =, y () = 3 3. y + y + y = 6 sin t 4 cos t, y() =, y () = 4. y y 3y = cos t, y() =, y () = 7 5. y + y = 4 sin t + 6 cos t, y() = 6, y () = 6. y + 4y = 8 sin t + 9 cos t, y() =, y () = 7. y 5y + 6y = e t cos t, y() =, y () = 8. y + y + y = t, y() =, y () = 7 9. y y + y = 5 sin t + cos t, y() =, y () = 3. y + 4y + 3y = e t 36e t, y() =, y () = 6 3. ty ty + y =, y() =, y () = 4 3. Υποθέτουμε ότι a, b, και c είναι σταθερές και a. Έστω ( ) ( ) as + b y = L and y as = L a. + bs + c as + bs + c Δείξτε ότι y () =, y () = and y () =, y () =. Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τον μετασχηματισμό Laplace για την επίλυση των ΠΑΤ ay + by + cy =, y() =, y () = ay + by + cy =, y() =, y () =. 7.4 Συνάρτηση μοναδιαίου βήματος (Heaviside) Στις επόμενες παραγράφους θα μελετήσουμε ΠΑΤ ay + by + cy = f(t), y() = k, y () = k, όπου a, b, και c είναι σταθερές και f είναι κατά τμήματα συνεχής. Για το σκοπό αυτό θα εισάγουμε την έννοια της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος (Heaviside) και πως υπολογίζεται ο μετασχηματισμός Laplace αυτής.

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE y τ t Σχήμα 7.3: y = u(t τ) Μετασχηματισμός Laplace κατά τμήματα συνεχών συναρτήσεων Ορίζουμε τη συνάρτηση βήματος, ως εξής u(t) = {, t <, t. (7.4) Αντικαθιστώντας το t με t τ στην (7.4), τότε u(t τ) = {, t < τ,, t τ ; έτσι το βήμα εμφανίζεται για t = τ (Σχήμα 7.3). Η συνάρτηση βήματος μας επιτρέπει να παρουσιάζουμε μία κατά τμήματα συνεχή συνάρτηση με πιο βολικό τρόπο. Συγκεκριμένα, θεωρούμε ως παράδειγμα τη συνάρτηση f(t) = { f (t), t < t, f (t), t t, (7.4) όπου f και f ορίζονται στο [, ), οπότε η (7.4) γράφεται ως f(t) = f (t) + u(t t ) (f (t) f (t)). (7.4) Για επιβεβαίωση, αν t < t τότε u(t t ) = και η (7.4) γίνεται f(t) = f (t) + () (f (t) f (t)) = f (t). Αν t t τότε u(t t ) = και η (7.4) γράφεται f(t) = f (t) + () (f (t) f (t)) = f (t).

7.4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΥ ΒΗΜΑΤΟΣ (HEAVISIDE) 53 Θα χρησιμοποιήσουμε το επόμενο Θεώρημα για να δείξουμε τη χρησιμότητα της (7.4) στον υπολογισμό του L(f). Θεώρημα 7.4. Έστω g ορισμένη στο [, ). Υποθέτουμε τ και L (g(t + τ)) υπάρχει για s > s. Τότε L (u(t τ)g(t)) υπάρχει για s > s, και L(u(t τ)g(t)) = e sτ L (g(t + τ)). Απόδειξη Εξ ορισμού L (u(t τ)g(t)) = και από τον ορισμό της u(t τ), L (u(t τ)g(t)) = τ e st u(t τ)g(t) dt e st () dt + τ e st g(t) dt. Το πρώτο ολοκλήρωμα στο δεξί μέρος είναι μηδέν, εισάγοντας την νέα μεταβλητή x = t τ στο δεύτερο ολοκλήρωμα δίνει L (u(t τ)g(t)) = e s(x+τ) g(x + τ) dx = e sτ e sx g(x + τ) dx. Αλλάζοντας την μεταβλητή από x σε t, έχουμε L (u(t τ)g(t)) = e sτ e st g(t + τ) dt = e sτ L(g(t + τ)). Παράδειγμα 7.4. Υπολογίστε L ( u(t )(t + ) ). Λύση Έχουμε τ = και g(t) = t +, οπότε g(t + ) = (t + ) + = t + t +. Αφού L (g(t + )) = s 3 + s + s, Από το Θεώρημα 7.4. συνεπάγεται ότι L ( u(t )(t + ) ) = e s ( s 3 + s + s Η σχέση (7.4) μπορεί να επεκταθεί σε μία γενικότερη κατά τμήματα συνεχή συνάρτηση. ).

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE y 6 4 8 6 4 4 6 3 4 5 6 t Σχήμα 7.4: Η κατά τμήματα συνεχής συνάρτηση (7.43). Για παράδειγμα μπορούμε να θεωρήσουμε f (t), t < t, f(t) = f (t), t t < t, f (t), t t, οπότε f(t) = f (t) + u(t t ) (f (t) f (t)) + u(t t ) (f (t) f (t)), αν f, f, και f ορίζονται στο [, ). Παράδειγμα 7.4. Υπολογίστε τον μετασχηματισμό Laplace της (βλ. Σχήμα 7.4)., t <, t +, t < 3, f(t) = 3t, 3 t < 5, t, t 5 (7.43) Λύση Γράφουμε τη συνάρτηση με τη βοήθεια των συναρτήσεων βήματος: f(t) = + u(t )( t + ) + u(t 3)(3t + t ) +u(t 5)(t 3t),

7.4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΥ ΒΗΜΑΤΟΣ (HEAVISIDE) 55 ή f(t) = u(t )t + u(t 3)(5t ) u(t 5)(t + ). Το Θεώρημα 7.4. συνεπάγεται ότι L(f) = L() e s L(t + ) + e 3s L (5(t + 3) ) e 5s L ((t + 5) + ) = L() e s L(t + ) + e 3s L(5t + 4) e 5s L(t + ) = ( s e s s + ) ( 5 + e 3s s s + 4 ) ( e 5s s s + ). s Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B (7.44) cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B (7.45) είναι χρήσιμες σε προβλήματα που περιέχουν μετατόπιση ορίσματος τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Εφαρμογή αυτών φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 7.4.3 Υπολογίστε τον μετασχηματισμό Laplace της (βλ. Σχήμα 7.5) sin t, t < π, f(t) = π cos t 3 sin t, t < π, 3 cos t, t π (7.46) Λύση Η συνάρτηση γράφεται ως εξής με χρήση της συνάρτησης βήματος, f(t) = sin t + u(t π/)(cos t 4 sin t) + u(t π)( cos t + 3 sin t). Το Θεώρημα 7.4. συνεπάγεται ότι L(f) = L(sin t) + e π s L ( cos ( ) ( )) t + π 4 sin t + π +e πs L ( cos(t + π) + 3 sin(t + π)). (7.47) Επίσης Από την (7.47) έχουμε ( cos t + π ) ( 4 sin t + π ) = sin t 4 cos t cos(t + π) + 3 sin(t + π) = cos t 3 sin t, L(f) = L(sin t) e πs/ L(sin t + 4 cos t) e πs L( cos t + 3 sin t) ( ) ( ) = s + π + 4s 3 + s e s e πs. s + s + Αντικαθιστώντας το g(t) με g(t τ) στο Θεώρημα 7.4., έχουμε τον ακόλουθο χρήσιμο

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE y 3 3 4 5 6 t 3 Σχήμα 7.5: Η κατά τμήματα συνεχής συνάρτηση (7.46). τύπο. Θεώρημα 7.4. [Δεύτερο Θεώρημα Μετατόπισης] Αν τ και L(g) υπάρχει για s > s τότε L (u(t τ)g(t τ)) υπάρχει για s > s και L(u(t τ)g(t τ)) = e sτ L(g(t)). (7.48) Παράδειγμα 7.4.4 Με χρήση της (7.48) υπολογίστε ( ) e L s. s Λύση Για να εφαρμόσουμε την (7.48) θεωρούμε τ = και G(s) = /s. Τότε g(t) = t και (7.48) συνεπάγεται ότι ( ) e L s = u(t )(t ). s Παράδειγμα 7.4.5 Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της H(s) = s s + 4 π e s 3s + s + 9 + s + e πs s + 6s +.

7.4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΥ ΒΗΜΑΤΟΣ (HEAVISIDE) 57 Λύση Έστω και Τότε G (s) = G (s) = s s + 4, G (3s + ) (s) = s + 9, s + s + 6s + = (s + 3) (s + 3) +. g (t) = cos t, g (t) = 3 cos 3t 3 sin 3t, g (t) = e 3t (cos t sin t). Οπότε η (7.48) και η γραμμικότητα του L δίνουν h(t) = cos t u(t π/) [3 cos 3(t π/) + 3 ( sin 3 t π ) ] +u(t π)e 3(t π) [cos(t π) sin(t π)]. Με χρήση των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων (7.44) και (7.45), η προηγούμενη σχέση γράφεται ως h(t) = cos t + u(t π/) ( 3 sin 3t cos 3t) 3 (7.49) u(t π)e 3(t π) (cos t sin t). 7.4 Ασκήσεις προς επίλυση Στις Ασκήσεις - να εκφράσετε την f με όρους συναρτήσεων βήματος και να υπολογίσετε τον L(f). Να γίνει, επίσης, η γραφική παράσταση της f. {, t <,. f(t) =. f(t) = t + 3t, t. { t +, t <, t, t. 3. f(t) = { te t, t <, e t, t. t, t <, 5. f(t) = t 4, t < 3,, t 3. t, t <, 7. f(t) = t, t <,, t. 4. f(t) = { e t, t <, e t, t., t <, 6. f(t) = t, t <,, t. t, t <, 8. f(t) = t, t <, 6, t >.

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE sin t, t < π, 9. f(t) = π sin t, t < π, cos t, t π., t <,. f(t) = t +, t < 3, 3t, t 3. 3, t <,. f(t) = 3t +, t < 4, 4t, t 4. { (t + ), t <,. f(t) = (t + ), t. Στις Ασκήσεις 3- να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, και να σχεδιάστε γραφικά τον αντίστροφο μετασχηματισμό 3. H(s) = e s s. 4. H(s) = e s s(s + ). 5. H(s) = e s s + e s 3 s. ( 6. H(s) = s + ) ( 3s + e s s s ) ( s + e 3s + s ). ( 5 7. H(s) = s ) ( 6s + e 3s s + 7s ) + 3e 6s. s 3 8. H(s) = e πs ( s) s + 4s + 5. ( 9. H(s) = s s ) ( ) + e π 3s s s. + s + [ ]. H(s) = e s 3(s 3) (s + )(s ) s +. (s )(s ). H(s) = s + ( 3 s + e s s + ) ( 4 + e 3s s s + 3 ). s. H(s) = s s 3 + e s ( 3 s s 3 ) + e 4s s. 3. Έστω {t m } m= είναι μία ακολουθία σημείων, τέτοια ώστε t =, t m+ > t m, και lim m t m =. Για κάθε μη αρνητικό ακέραιο m, έστω f m είναι συνεχής στο

7.4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΥ ΒΗΜΑΤΟΣ (HEAVISIDE) 59 [t m, ) και έστω f ορίζεται στο [, ) με f(t) = f m (t), t m t < t m+ (m =,,... ). Δείξτε ότι f είναι κατά τμήματα συνεχής στο [, ) και έχει την ακόλουθη μορφή με τη χρήση των συναρτήσεων βήματος f(t) = f (t) + u(t t m ) (f m (t) f m (t)), t <. m= Αποδείξτε ότι η σειρά στο δεξί μέρος συγκλίνει για t στο [, ). 7.4. ΔΕ με σταθερούς συντελεστές και με ασυνεχή μη ομογενή όρο Θεωρούμε το ΠΑΤ της μορφής ay + by + cy = f(t), y() = k, y () = k, (7.5) όπου a, b, και c είναι σταθερές (a ) και η f είναι κατά τμήματα συνεχής στο [, ). Έ- νας σημαντικός αριθμός μηχανικών και ηλεκτρικών φαινομένων, περιγράφεται από γραμμικές ΔΕ με ασυνεχή τον μη ομογενή όρο. Η ΔΕ (7.5) δεν έχει λύσεις σε ανοικτό διάστημα το οποίο περιέχει το σημείο ασυνέχειας της f. Πρέπει λοιπόν να ορίσουμε τι εννούμε με τον όρο λύση της (7.5) στο [, ) στην περίπτωση που η f έχει ασυνέχειες. Θεώρημα 7.4.3 Υποθέτουμε ότι a, b, και c είναι σταθερές (a ), και f είναι κατά τμήματα συνεχής στο [, ). με σημεία ασυνέχειας στα t,, t n, όπου < t < < t n. Έστω k και k είναι αυθαίρετοι σταθεροί αριθμοί. Τότε υπάρχει μοναδική συνάρτηση y ορισμένη στο [, ) με τις εξής ιδιότητες: (αʹ) y() = k και y () = k. (βʹ) y και y είναι συνεχείς στο [, ). (γʹ) y ορίζεται σε κάθε ανοικτό υποδιάστημα του [, ) το οποίο δεν περιέχει κανένα από τα σημεία t,, t n, και ay + by + cy = f(t) σε κάθε υποδιάστημα (δʹ) y έχει όρια από δεξιά και αριστερά στα t,, t n. Ορίζουμε τη συνάρτηση y του Θεωρήματος 7.4.3 να είναι η λύση του ΠΑΤ (7.5).

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Θεωρούμε τα ΠΑΤ της μορφής ay + by + cy = { f (t), t < t, f (t), t t, y() = k, y () = k, (7.5) όπου ο μη ομογενής όρος έχει ένα σημείο ασυνέχειας στο t. Επιλύουμε το ΠΑΤ (7.5) με τα εξής βήματα: Βήμα. Προσδιορίζουμε την λύση y του ΠΑΤ ay + by + cy = f (t), y() = k, y () = k. Βήμα. Υπολογίζουμε c = y (t ) και c = y (t ). Βήμα 3. Προσδιορίζουμε την λύση y του ΠΑΤ ay + by + cy = f (t), y(t ) = c, y (t ) = c. Βήμα 4. Προσδιορίζουμε την λύση y του (7.5) ως y = { y (t), t < t y (t), t t. Η y υπάρχει και είναι συνεχής στο σημείο t. Στο επόμενο παράδειγμα παρουσιάζουμε τη μέθοδο. Παράδειγμα 7.4.6 Λύστε το ΠΑΤ y + y = f(t), y() =, y () =, (7.5) όπου, t < π f(t) =,, t π. Λύση Το ΠΑΤ στο Βήμα είναι y + y =, y() =, y () =. Εύκολα ο αναγνώστης μπορεί να υπολογίσει ότι η αντίστοιχη λύση είναι y = + cos t sin t. Το Βήμα δίνει y (π/) = and y (π/) =, και το δεύτερο ΠΑΤ έχει τη μορφή y + y =, ( π ) ( π ) y =, y =.

7.4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΥ ΒΗΜΑΤΟΣ (HEAVISIDE) 6 με λύση y = + cos t + sin t. Η λύση του (7.5) είναι + cos t sin t, t < π y =, + cos t + sin t, t π. (7.53) Αν f και f ορίζονται στο [, ), μπορούμε να γράψουμε την (7.5) ως ay + by + cy = f (t) + u(t t ) (f (t) f (t)), y() = k, y () = k, και να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του μετασχηματισμού Laplace. Θα λύσουμε το Παράδειγμα 7.4.6 με χρήση του μετασχηματισμού Laplace. Παράδειγμα 7.4.7 Με χρήση του μετασχηματισμού Laplace να λυθεί το ΠΑΤ y + y = f(t), y() =, y () =, (7.54) όπου, t < π f(t) =,, t π. Λύση Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε f(t) = u το Θεώρημα 7.4. (με g(t) = ) συνεπάγεται ότι ( t π ), L(f) = e πs/. s Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Laplace στην (7.54), προκύπτει οπότε (s + )Y (s) = e πs/ s + s, Y (s) = ( e πs/ )G(s) + s s +, G(s) = s(s + ). (7.55) Με ανάλυση σε απλά κλάσματα της G έχουμε s(s + ) = A s + Bs + C s +. (7.56)

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE G(s) = s s, g(t) = cos t. s + Συνεπώς, η (7.55), και το Θεώρημα 7.4., ( y = cos t u t π ) ( ( cos t π )) + cos t sin t. δηλ. ή ισοδύναμα ( y = + cos t sin t u t π ) ( sin t), + cos t sin t, t < π y =, + cos t + sin t, t π, το οποίο συμπίπτει με το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 7.4.6. 7.4 Ασκήσεις προς επίλυση Στις Ασκήσεις -3 με χρήση του μετασχηματισμού Laplace να λυθούν τα ΠΑΤ, να γίνει γραφική παράσταση της λύσης. {. y 3, t < 4, + y = y() =, y () =. ; t 5, t > 4,, t <,. y 3y + y =, t <, y() = 3, y () =., t, { sin t, t < π, 3. y + 4y = y() = 3, y () =., t π, cos t, t < 3π 4. y + 9y =, sin t, t 3π y() =, y () =., t, t < π 5. y + 4y =, π, t π, y() =, y () =. {, t <, 6. y 3y + y =, y() =, y () =. t 4, t, { t, t < π, 7. y + y = y() =, y () =. t, t π, {, t <, 8. y + 3y + y = y() =, y () =., t,

7.5. ΣΥΝΕΛΙΞΗ 63 9. { e y + y + y =, t <, e t, t,. { e y 4y + 4y =, t <, e t, t,. y = t, t <, t, t <, t +, t,. y + y + y = 3. Να λυθεί το ΠΑΤ όπου y() =, y () =., t < π, t, π t < 3π,, t 3π, y() = 3, y () =. y() =, y () =. y() =, y () =. y = f(t), y() =, y () =, f(t) = m +, m t < m +, m =,,,.... 7.5 Συνέλιξη Στο εδάφιο αυτό θα θεωρήσουμε το πρόβλημα εύρεσης του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace H(s) = F (s)g(s), όπου F και G είναι μετασχηματισμοί Laplace γνωστών συναρτήσεων f και g. Πιο συγκεκριμένα θεωρούμε το ΠΑΤ ay + by + cy = f(t), y() =, y () =. Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Laplace, έχουμε οπότε (as + bs + c)y (s) = F (s), Y (s) = F (s)g(s), G(s) = as + bs + c. (7.57) Για να μελετήσουμε πιο συγκεκριμένα τη σχέση για L (F G), θεωρούμε το ΠΑΤ y ay = f(t), y() =, (7.58) το οποίο επιλύουμε χωρίς τη χρήση του μετασχηματισμού Laplace Αναζητώντας λύσεις για την (7.58) της μορφής y = ue at όπου u = e at f(t). Ολοκληρώνοντας από εως t και λαμβάνοντας υπόψη την αρχική συνθήκη u() = y() = έχουμε u = t e aτ f(τ) dτ. Οπότε t t y(t) = e at e aτ f(τ) dτ = e a(t τ) f(τ) dτ. (7.59) Τώρα με χρήση του μετασχηματισμού Laplace επιλύουμε το (7.58) και συγκρίνουμε το αποτέλεσμα (7.59). Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace στην (7.58), έχουμε (s

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE a)y (s) = F (s), δηλαδή, Y (s) = F (s), το οποίο συνεπάγεται s a ) y(t) = L (F (s). (7.6) s a Αν τώρα θεωρήσουμε g(t) = e at, έτσι ώστε G(s) =, τότε (7.59) και (7.6) γράφονται s a ως εξής: y(t) = t f(τ)g(t τ) dτ και y = L (F G), αντίστοιχα. Οπότε L (F G) = t στην περίπτωση μας. Η τελευταία σχέση μας οδηγεί στον ορισμό. f(τ)g(t τ) dτ (7.6) Ορισμός 7.5. Η συνέλιξη f g δύο συναρτήσεων f και g ορίζεται ως εξής: (f g)(t) = t f(τ)g(t τ) dτ. Μπορεί να αποδειχθεί ότι f g = g f; Η σχέση (7.6) δείχνει ότι L (F G) = f g στην ειδική περίπτωση όπου g(t) = e at. Το επόμενο θεώρημα γενικεύει την παρατήρησή μας. Θεώρημα 7.5. [Θεώρημα Συνέλιξης] Αν L(f) = F και L(g) = G, τότε Ο τύπος για τη λύση ενός ΠΑΤ L(f g) = F G. Το Θεώρημα της συνέλιξης μας παρέχει έναν τύπο για τη λύση ενός ΠΑΤ για μία γραμμική ΔΕ με σταθερούς συντελεστές και το μη ομογενές μέρος είναι αυθαίρετη συνάρτηση. Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Παράδειγμα 7.5. Βρείτε τον τύπο για τη λύση του ΠΑΤ y y + y = f(t), y() = k, y () = k. (7.6) Λύση Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην (7.6) έχουμε (s s + )Y (s) = F (s) + (k + k s) k. Οπότε Y (s) = = (s ) F (s) + k + k s k (s ) (s ) F (s) + k s + k k (s ).

7.5. ΣΥΝΕΛΙΞΗ 65 Από το τυπολόγιο του μετασχηματισμού Laplace, ( L k s + k ) k = e t (k (s ) + (k k )t), (s ) tet and F (s) f(t), Από το θεώρημα συνέλιξης έχουμε ( ) L (s ) F (s) = Η λύση του (7.6) είναι y(t) = e t (k + (k k )t) + t t Παράδειγμα 7.5. Βρείτε τον τύπο για τη λύση του ΠΑΤ τe τ f(t τ) dτ. τe τ f(t τ) dτ. y + 4y = f(t), y() = k, y () = k. (7.63) Λύση Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην (7.63) έχουμε (s + 4)Y (s) = F (s) + k + k s. Οπότε Y (s) = (s + 4) F (s) + k + k s s + 4, L ( ) k + k s = k s cos t + k sin t. + 4 Αφού (s + 4) sin t and F (s) f(t), Το θεώρημα συνέλιξης δίνει ( ) L (s + 4) F (s) = Η λύση για το ΠΑΤ (7.63) είναι y(t) = k cos t + k sin t + Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων Συνέλιξης t t f(t τ) sin τ dτ. f(t τ) sin τ dτ. Θα λέμε ότι ένα ολοκλήρωμα της μορφής t u(τ)v(t τ) dτ είναι ένα ολοκλήρωμα συνέλιξης. Το Θεώρημα συνέλιξης μας επιτρέπει να υπολογίζουμε ολοκληρώματα συνέλιξης.

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Παράδειγμα 7.5.3 Υπολογίστε το ολοκλήρωμα συνέλιξης h(t) = t (t τ) 5 τ 7 dτ. Λύση Το ολοκλήρωμα είναι η συνέλιξη των συναρτήσεων f(t) = t 5 και g(t) = t 7. Αφού Το θεώρημα συνέλιξης δίνει t 5 5! s 6 and t 7 7! s 8, δίότι Οπότε, h(t) 5!7! 5!7! 3! = s4 3! s, 4 3! s 4 t3. h(t) = 5!7! 3! t3. Το επόμενο θεώρημα μας παρέχει έναν γενικό τύπο για το ΠΑΤ ay + by + cy = f(t), y() = k, y () = k, όπου η f είναι συνεχής στο [, ) ώστε ο L(f) να ορίζεται, ο τύπος ισχύει και κάτω από ασθενέστερες συνθήκες για την f. Θεώρημα 7.5. Υποθέτουμε ότι η f είναι συνεχής στο [, ) και έχει μετασχηματισμό Laplace. Τότε η λύση του ΠΑΤ είναι όπου y και y ικανοποιούν ay + by + cy = f(t), y() = k, y () = k, (7.64) y(t) = k y (t) + k y (t) + t w(τ)f(t τ) dτ, (7.65) ay + by + cy =, y () =, y () =, (7.66) και και ay + by + cy =, y () =, y () =, (7.67) w(t) = a y (t). (7.68)

7.5. ΣΥΝΕΛΙΞΗ 67 Απόδειξη Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό Laplace στην (7.64), έχουμε Οπότε με και p(s)y (s) = F (s) + a(k + k s) + bk, p(s) = as + bs + c. Y (s) = W (s)f (s) + V (s) (7.69) W (s) = p(s) (7.7) V (s) = a(k + k s) + bk. (7.7) p(s) Εφαρμόζονατς τον μετασχηματισμό Laplace στις (7.66) και (7.67) έχουμε ότι p(s)y (s) = as + b και p(s)y (s) = a. Οπότε και Έτσι, η (7.7) γράφεται ως εξής Y (s) = as + b p(s) Y (s) = a p(s). (7.7) Αντικαθιστώντας στην (7.69), έχουμε V (s) = k Y (s) + k Y (s). Y (s) = k Y (s) + k Y (s) + a Y (s)f (s). Με τον αντίστροφο μετασχηματισμό και το θεώρημα της συνέλιξης έχουμε (7.65). Τελικά, (7.7) και (7.7) συνεπάγει (7.68). 7.5 Ασκήσεις προς επίλυση. Εκφράστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό ως ολοκλήρωμα s (a) (b) s (s + 4) (s + )(s + 9) s s (c) (d) (s + 4)(s + 9) (s + ) (e) (f) s(s a) (s + )(s + s + ) (g) (h) (s + ) (s + 4s + 5) (s ) 3 (s + )

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE (i) s s (s s + ) (j). Υπολογίστε τον μετασχηματισμό Laplace. (a) (c) t t sin aτ cos b(t τ) dτ sinh aτ cosh a(t τ) dτ t (e) e t sin ωτ cos ω(t τ) dτ t (g) e t e τ τ cos ω(t τ) dτ (i) t τe τ sin (t τ) dτ 3. Βρείτε ένα τύπο για τη λύση του ΠΑΤ. (b) (d) t s(s + 3) (s + 4)(s + 6s + ). t e τ sin a(t τ) dτ τ(t τ) sin ωτ cos ω(t τ) dτ t (f) e t τ (t τ)e τ dτ t (h) e t e τ sinh(t τ) dτ (j) t (t τ) 3 e τ dτ. (a) y + 3y + y = f(t), y() =, y () = (b) y + 4y = f(t), y() =, y () = (c) y + y + y = f(t), y() =, y () = (d) y + k y = f(t), y() =, y () = (e) y + 6y + 9y = f(t), y() =, y () = (f) y 4y = f(t), y() =, y () = 3 (g) y 5y + 6y = f(t), y() =, y () = 3 (h) y + ω y = f(t), y() = k, y () = k. 4. Με χρήση του θεωρήματος συνέλιξης υπολογίστε τα ολοκληρώματα. (a) (c) (e) t t t (t τ) 7 τ 8 dτ (b) (t τ) 6 τ 7 dτ (d) sin τ cos (t τ) dτ. t t (t τ) 3 τ 7 dτ e τ sin(t τ) dτ 5. Δείξτε ότι αν p(s) = as + bs + c έχει διακριτές r και r, τότε η λύση της ΔΕ είναι ay + by + cy = f(t), y() = k, y () = k r e rt r e r t e rt e rt y(t) = k + k r r r r t + (e rτ e rτ )f(t τ) dτ. a(r r )

7.6. ΠΑΤ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ DIRAC 69 6. Δείξτε ότι αν p(s) = as + bs + c r έχει διπλή ρίζα r, τότε η λύση της t ay + by + cy = f(t), y() = k, y () = k είναι y(t) = k ( r t)e r t + k te r t + a t τe r τ f(t τ) dτ. 7. Δείξτε ότι αν p(s) = as + bs + c έχει μιγαδικές συζυγείς ρίζες λ ± iω, τότε η λύση της ay + by + cy = f(t), y() = k, y () = k είναι [ y(t) = e λt k (cos ωt λ ω sin ωt) + k ] sin ωt ω + t e λt f(t τ) sin ωτ dτ. aω 7.6 ΠΑΤ με Συναρτήσεις Dirac Υπάρχει σημαντικός αριθμός φυσικών και βιολογικών φαινομένων, όπου η εξωτερική δύναμη αρκετά μεγάλου μεγέθους ασκεί επίδραση για πολύ μικρό χρονικό διάστημα. Η μελέτη τέτοιου είδους φαινομέν ων οδηγεί στη διαμόρφωση διαφορικών εξισώσεων της μορφής ay + by + cy = f(t), όπου η f είναι συνεχής ή κατά τμήματα συνεχής στο [, ). Στο κεφάλαιο αυτό θα θεωρήσουμε ΠΑΤ όπου η f είναι εξωτερική δύναμη αρκετά μεγάλου μεγέθους για μικρό χρονικό διάστημα και μηδέν αλλού. Οι δυνάμεις αυτές καλούνται ωθήσεις. Αν η f είναι μία ολοκληρώσιμη συνάρτηση και f(t) = για t εκτός του διαστήματος [t, t + h], τότε t +h t f(t) dt καλείται ολική ώθηση της f. Ενδιαφερόμαστε για μία ιδεατή κατάσταση όπου το h είναι τόσο μικρό, ώστε η ολική ώθηση μπορεί να θεωρηθεί ότι εφαρμόζεται στιγμίαία για t = t. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f είναι μία συνάρτηση ώθησης. Πιο συγκεριμένα δηλώνουμε με δ(t t ) συνάρτηση ώθησης με ολική ώθηση ίση με μονάδα τη στιγμή t = t. (Η συνάρτηση ώθησης δ(t) προκύπτει θέτοντας t = στην Dirac δ συνάρτηση.) Πρέπει να τονίσουμε ότι η δ(t t ) δεν είναι συνάρτηση με τη συνηθισμένη έννοια, αφού από τον ορισμό μας έχουμε δ(t t ) =, αν t t, αφού t t δ(t t ) dt =. Από τον λογισμό συναρτήσεων γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση με αυτές τις ιδιότητες; παρόλα αυτά υπάρχει ένας κλάδος των μαθηματικών γνωστός ως θεωρία κατανομών όπου ο ορισμός μπορεί να διατυπωθεί με αυστηρότητα αλλά ξεφεύγει από τους στόχους του παρόντος βιβλίου.

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE y /h t t +h t Σχήμα 7.6: y = f h (t) Πρώτος μας στόχος είναι να διευκρινίσουμε τι εννούμε λύση του ΠΑΤ: ay + by + cy = δ(t t ), y() =, y () =, όπου t είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Θεώρημα 7.6. Υποθέτουμε ότι t. Για κάθε θετικό αριθμό h, έστω y h είναι λύση του ΠΑΤ ay h + by h + cy h = f h (t), y h () =, y h() =, (7.73) όπου, t < t, f h (t) = /h, t t < t + h,, t t + h, (7.74) η f h έχει μοναδική ολική ώθηση ίση με το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου χωρίου στο Σχήμα 7.6. Τότε lim y h(t) = u(t t )w(t t ), (7.75) h + όπου ( ) w = L. as + bs + c

7.6. ΠΑΤ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ DIRAC 7 Απόδειξη Θεωρώντας τον μετασχηματισμό Laplace στην (7.73), έχουμε (as + bs + c)y h (s) = F h (s), Y h (s) = Από το θεώρημα της συνέλιξης έχουμε F h (s) as + bs + c. y h (t) = Συνεπώς, η (7.74) συνεπάγεται ότι y h (t) = h h t t +h t w(t τ)f h (τ) dτ., t < t, t w(t τ) dτ, t t t + h, t w(t τ) dτ, t > t + h. (7.76) Αφού y h (t) = για όλα h αν t t, συνεπάγεται Θα δείξουμε τώρα lim y h(t) = αν t t. (7.77) h + lim y h(t) = w(t t ) αν t > t. (7.78) h + Υποθέτουμε ότι t είναι σταθερό και t > t. Από (7.76), y h (t) = h t +h t w(t τ)dτ if h < t t. (7.79) Αφού μπορούμε να γράψουμε t +h dτ =, (7.8) h t Από την οποία και (7.79), w(t t ) = t +h h w(t t ) dτ = t h y h (t) w(t t ) = h t +h t t +h t w(t t ) dτ. (w(t τ) w(t t )) dτ. Εχουμε y h (t) w(t t ) h t +h t w(t τ) w(t t ) dτ. (7.8)

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Έστω τώρα M h είναι η μέγιστη τιμή της w(t τ) w(t t ) καθώς τ μεταβάλλεται στο [t, t + h]. (Υπενθυμίζουμε ότι t και t είναι σταθεροί.) Τότε από τις (7.8) και (7.8), έχουμε ότι y h (t) w(t t ) h M h t +h t dτ = M h. (7.8) Αλλά lim h + M h =, αφού η w είναι συνεχής. Συνεπώς, η (7.8) δίνει την (7.78). Αυτό και η (7.77) συνεπάγεται την (7.75). Το Θεώρημα 7.6. χρησιμοποιεί τον επόμενο ορισμό. Ορισμός 7.6. Αν t >, τότε η λύση του ΠΑΤ ay + by + cy = δ(t t ), y() =, y () =, (7.83) ορίζεται από όπου y = u(t t )w(t t ), ( ) w = L. as + bs + c Στις φυσικές εφαρμογές όπου η συνάρτηση εισόδου f και η εξόδου y σχετίζονται με τη ΔΕ ay + by + cy = f(t), w καλείται απόκριση ώθησης του συστήματος. Όπου w είναι λύση του ΠΑΤ aw + bw + cw =, w() =, w () = /a, (7.84) όπως μπορεί να επιβεβαιώσει κάποιος με χρήση του μετασχηματισμού Laplace. Από την άλλη μεριά, μπορούμε να λύσουμε την (7.84) με τις μεθόδους του Κεφαλαίου 5. και δείχνουμε ότι η w ορίζεται στο (, ) από w = er t e r t a(r r ), w = a ter t, or w = aω eλt sin ωt, (7.85) στην περίπτωση που το πολυώνυμο p(r) = ar + br + c έχει διακριτές πραγματικές ρίζες r και r, διπλή ρίζα στο r, ή συζυγείς μιγαδικές ρίζες λ ± iω. (Στις περισσότερες εφαρμογές, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος lim t w(t) =.) Αυτό σημαίνει ότι η y = u(t t )w(t t ) ορίζεται στο (, ) και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: y(t) =, t < t, και ay + by + cy = on (, t ) and (t, ), y (t ) =, y +(t ) = /a (7.86)

7.6. ΠΑΤ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ DIRAC 73 y t t Σχήμα 7.7: μία εικονογράφηση του Θεωρήματος 7.6. (θυμίζουμε ότι y (t ) και y +(t ) είναι παράγωγοι από δεξιά και αριστερά, αντίστοιχα) και η y (t ) δεν υπάρχει. Συνεπώς ορίζουμε την y = u(t t )w(t t ) ως λύση του (7.83), αυτή η συνάρτηση δεν ικανοποιεί την ΔΕ στην (7.83) στο t, αφού δεν είναι διαφορίσιμη εκεί. Πράγματι η (7.86) συνιστά ότι μία ώθηση έχει ένα κενό ασυνέχειας στην ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι το ΠΑΤ (7.83) δεν έχει έννοια για t =, αφού y () δεν υπάρχει στην περίπτωση αυτή. Όμως y = u(t)w(t) μπορεί να οριστεί ως λύση του τροποποιημένου ΠΑΤ ay + by + cy = δ(t), y() =, y () =, όπου η συνθήκη για την παράγωγο στο t = έχει αντικατασταθεί από την συνθήκη για την από αριστερά παράγωγο. Το Σχήμα 7.7 σκιαγραφεί το Θεώρημα 7.6. για την περίπτωση που η απόκριση ώθησης w στην πρώτη σχέση στην (7.85) και r και r είναι διακριτές και αρνητικές. Η συμπαγής καμπύλη στο σχήμα είναι το γράφημα της w. Οι διακεκομμένες καμπύλες είναι οι λύσεις του (7.73) για διάφορες τιμές του h. Καθώς η h τείνει στο το γράφημα της y h μετακινείται προς τα αριστερά στο γράφημα της w. Παράδειγμα 7.6. Βρείτε τη λύση του ΠΑΤ y y + y = δ(t t ), y() =, y () =, (7.87) όπου t >. Ερμηνεύστε τη λύση για t =.

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE y.4.3.. t t + t + t + 3 t + 4 t + 5 t + 6 t + 7 t Σχήμα 7.8: y = u(t t )(t t )e (t t ) Λύση Έχουμε ( ) ( ) w = L = L = te t, s s + (s ) ο Ορισμός 7.6. δίνει y = u(t t )(t t )e (t t ) ως λύση του (7.87) αν t >. Αν t =, τότε η (7.87) δεν έχει λύση, όμως y = u(t)te t (την οποία γράφουμε y = te t ) είναι λύση του τροποποιημένου ΠΑΤ y y + y = δ(t), y() =, y () =. Το γράφημα της y = u(t t )(t t )e (t t ) φαίνετα στο Σχήμα 7.8 Ο Ορισμός 7.6. και η αρχή της υπέρθεσης χρησιμοποιούνται στον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 7.6. Υποθέτουμε α είναι μη μηδενική σταθερά και f είναι κατά τμήματα συνεχής στο [, ). Αν t >, τότε η λύση του ΠΑΤ ay + by + cy = f(t) + αδ(t t ), y() = k, y () = k ορίζεται από y(t) = ŷ(t) + αu(t t )w(t t ),