Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές (ΓΕΔΣΣ) Ταξινόμηση Συστημάτων ανάλογα με τον Τύπο της Κρουστικής Απόκρισης 2
Εξισώσεις Διαφορών Η έξοδος y σε τυχαία είσοδο x, όπου a k, b(k) συντελεστές που ορίζουν το σύστημα, δίνεται από τη Γραμμική Εξίσωση Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (ΓΕΔΣΣ) : y = q b k x k p k= a k y k ΓΕΔΣΣ μη-αναδρομική (o-recursive) αν a k = 0 για καθε k ΓΕΔΣΣ Αναδρομική (recursive) αν a k 0 για κάποιο k Η Γενική Λύση της ΓΕΔΣΣ δίνεται από : y y h : ομογενής λύση y p () : μερική λύση = y h + y p (), όπου: Για να υπολογιστεί η λύση της ΓΕΔΣΣ για >=0 απαιτείται να έχουν οριστεί προηγουμένως οι τιμές των αρχικών συνθηκών. 3
Εξισώσεις Διαφορών Ομογενής λύση y h : απόκριση στις αρχικές συνθήκες, θεωρώντας ότι x = 0. p y h = A k z k όπου οι A k επιλέγονται ώστε να ικανοποιούνται οι αρχικές συνθήκες και τα z k είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου : p k= a k z k = 0 z p z p + a z p + a 2 z p 2 + + a p z + α(p) = 0 Μερική (ειδική) λύση y p : απόκριση για είσοδο x, με μηδενικές Α.Σ. Όρος στη x : C Μερική λύση: C C C + C 2 C a C a C cos(ω 0 ) C cos ω 0 + C 2 si ω 0 C si(ω 0 ) C cos ω 0 + C 2 si ω 0 C a cos(ω 0 ) C a cos ω 0 + C 2 a si ω 0 C δ() Καμία
Ταξινόμηση Συστημάτων ανάλογα με τη διάρκεια της Κρουστικής Απόκρισης FIR - Fiite Impulse Respose - Συστήματα με κρουστική απόκριση πεπερασμένης διάρκειας: Αν h κρουστική απόκριση διάρκειας Μ [δηλ. h 0, για 0 < M και h = 0, για < 0 και M], η έξοδος y() για είσοδο x() δίνεται από: y M = x k h( k) Επειδή το σύστημα είναι μη-αναδρομικό, δηλ. ισχύει a k έχουμε: = 0, σε μορφή ΓΕΔΣΣ y q = b k x k 5
Ταξινόμηση Συστημάτων ανάλογα με τη διάρκεια της Κρουστικής Απόκρισης ΙIR - Ifiite Impulse Respose - Συστήματα με κρουστική απόκριση άπειρης διάρκειας: Αν h κρουστική απόκριση άπειρης διάρκειας, η έξοδος y() για είσοδο x() υπολογίζεται από το άθροισμα της συνέλιξης: y = x k h( k) Επειδή το σύστημα είναι αναδρομικό, δηλ. ισχύει a k έχουμε: 0, σε μορφή ΓΕΔΣΣ y q = b k x k p a k y k k= 6
Άσκηση Να βρεθεί η κρουστική απόκριση ενός αναδρομικού συστήματος 2 ης τάξης που περιγράφεται από τη ΓΕΔΣΣ: y = 3 y y 2 + x x. 8 Απάντηση: Επειδή αναζητούμε την κρουστική απόκριση h(), θέτουμε ως είσοδο x = δ και μηδενικές αρχικές συνθήκες. Χαρακτηριστική εξίσωση: z 2 3 z + 8 = z 2 z () Ομογενής λύση: y h = A + A2 2 Μερική λύση: y p = 0 Πλήρης λύση: y = y h + y p = y h (), 0 (2) Λύση ομογενούς: Ισχύει y = y 2 = 0 Για = 0 έχουμε: y 0 = 3 y y 2 + x 0 x 0 y 0 = 8 Για = έχουμε: y = 3 y 0 8 y + x x 0 = 3 y = 7
Άσκηση (συνέχεια) Λύνουμε την (2) για = 0 και = και έχουμε: y 0 = y h 0 = A y = y h = A 2 2 0 + A2 + A2 0 = A +A 2 = 2 A + A 2 Λύνουμε το παραπάνω σύστημα ως προς A, A 2 και βρίσκουμε A, = 2, A 2 = 3. Επομένως: y = y h = 2 2 + 3, 0 Και η κρουστική απόκριση είναι h = 2 2 + 3 u() 8
Άσκηση 2 Να βρεθεί η απόκριση του συστήματος της άσκησης για είσοδο: x() = u() u( 0) Απάντηση: Η είσοδος x() είναι άθροισμα δύο βηματικών. Υπολογίζουμε τη βηματική απόκριση s() και λόγω γραμμικότητας εκφράζουμε την απόκριση ως y() = s() s( 0). Η βηματική απόκριση s() για 0, είναι: s() = h() u() = h k = 2 2 k + 3 k, 0 Υπολογίζοντας το άθροισμα με χρήση γεωμετρικών προόδων, βρίσκουμε: 2 s() = 2 + + 3 + u() = 2 2 u() 2 Η λύση είναι: u() 2 0 0 u( 0) y = s s 0 = 2 2 2 9
Άσκηση 3 Να βρεθεί η βηματική απόκριση του αναδρομικού συστήματος 2 ης τάξης που περιγράφεται από τη ΓΕΔΣΣ y 0.25 y 2 = x(), για αρχικές συνθήκες y( ) = 0 και y( 2) = 0. Απάντηση: Επειδή ζητείται η βηματική απόκριση, η είσοδος είναι x() = u(). (α) Εύρεση μερικής λύσης: Από τον πίνακα βρίσκουμε y p () = C Θέτουμε τη λύση στη ΓΕΔΣΣ και έχουμε: C 0.25C = C = 3 (β) Εύρεση ομογενούς λύσης: Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: z 2 0.25 = 0 z 0.5 z + 0.5 = 0, άρα z = 0.5 και z 2 = 0.5. Έτσι, η ομογενής λύση είναι: y h = A z + A 2 z 2 = A 0.5 + A 2 0.5 και η γενική λύση είναι: y = 3 + A 0.5 + A 2 0.5, 0 () 0
Άσκηση 3 (συνέχεια) Οι συντελεστές A και A 2 πρέπει να υπολογιστούν έτσι ώστε να ικανοποιούν τη γενική λύση για τις δοσμένες αρχικές συνθήκες y( 2) και y( ). Επειδή η λύση που δίνεται από την () ισχύει μόνο για 0, αναζητούμε ένα ισοδύναμο σύνολο αρχικών συνθηκών για y(0) και y(). Από τη ΓΕΔΣΣ έχουμε: y 0 0.25 y 2 = x 0 = y 0 = y 0.25 y = x = y = Αντικαθιστώντας τις νέες αρχικές συνθήκες y(0) και y() στην (), έχουμε: y 0 = 3 + A + A 2 = y = 3 + 2 A 2 A 2 = Λύνοντας ως προς A και A 2 έχουμε: A = 2 και A 2 = 6 Θέτοντας τις τιμές των A και A 2 στην () έχουμε τη γενική λύση: y = 3 2 0.5 + 6 0.5, 0
Άσκηση Ένα σύστημα περιγράφεται από την ΓΕΔΣΣ y() = y( ) y( 2) + 0.5x() + 0.5x( ). Να βρεθεί η απόκριση του συστήματος στην είσοδο x() = 0.5 u() με αρχικές συνθήκες y( ) = 0.75 και y( 2) = 0.25. Απάντηση: (α) Εύρεση μερικής λύσης. Για είσοδο x() = 0.5 u() θεωρούμε μια λύση y p () = C 0.5 0. Αντικαθιστώντας τη λύση στη ΓΕΔΣΣ, έχουμε: C 0.5 = C 0.5 C 0.5 2 + 0.5 0.5 + 0.5 0.5 0 Διαιρούμε με 0.5 και βρίσκουμε C = 2C C + 0.5 + C = 2 (β) Εύρεση ομογενούς λύσης. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι z 2 z + = 0, η οποία έχει ρίζες z = 2 ( ± j 3) = e±jπ 3. Άρα η ομογενής λύση είναι y h () = A e jπ 3 + A2 e jπ 3 Η γενική λύση είναι y() = 0.5 + + A e jπ 3 + A2 e jπ 3 0 () 2
Άσκηση (συνέχεια) Υπολογίζουμε τις σταθερές A και A 2, ώστε η γενική λύση να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες: y( ) = 0.75 και y( 2) = 0.25. Επειδή η λύση που δίνεται στην εξίσωση () είναι κατάλληλη μόνο για 0, πρέπει να αναζητήσουμε ένα ισοδύναμο σύνολο αρχικών συνθηκών για y(0) και y(). Λύνοντας την ΓΕΔΣΣ για = 0 και =, έχουμε: και y(0) = y( ) y( 2) + 0.5x(0) + 0.5x( ) = 0.75 0.25 + 0.5 = y() = y(0) y( ) + 0.5x() + 0.5x(0) = 0.75 + 0.25 + 0.5 = Αντικαθιστώντας τις παραγόμενες αρχικές συνθήκες στην εξίσωση (), έχουμε: y(0) = 0.5 + A + A 2 = y() = 0.25 + A e jπ 3 + A 2 e jπ 3 = 3
Άσκηση (συνέχεια) Γράφουμε το ζεύγος εξισώσεων με αγνώστους A και A 2, σε μορφή πινάκων: Α e jπ/3 e jπ/3 = 0.5 Α 2 0.75 Λύνοντας, βρίσκουμε: 2 e jπ/3 3 Α = j 3 Α 2 3 2 ejπ 3 + 3 Αντικαθιστούμε στην () και απλοποιώντας βρίσκουμε: y() = 0.5 + + 3 2 si π 3 2 3 3 si π 3 Παρατηρούμε ότι, επειδή η ΓΕΔΣΣ έχει πραγματικούς συντελεστές, οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι συζυγείς μιγαδικές. Άρα η κρουστική απόκριση είναι πραγματική. Για ένα πραγματικό σήμα x(), η απόκριση θα είναι επίσης πραγματική, άρα η σταθερά A 2 θα είναι η συζυγής της A, δηλ: A 2 = A