2.2. Rentabilitatea si riscul unui portofoliu de active financiare

2.2. Rentabilitatea si riscul unui portofoliu de active financiare În secţiunea anterioară a acestui capitol s-a arătat cum putem măsura rentabilitatea anticipată şi riscul unei acţiuni folosind media, respectiv deviaţia standard. Pentru a măsura riscul s-au mai folosit coeficientul de variaţie şi semivarianţa, însă în cele ce urmează, ne vom limita doar la deviaţia standard. În această secţiune vom arăta cum putem extinde această abordare pentru a măsura rentabilitatea şi riscul unui portofoliu, începând cu cazul simplu al unui portofoliu format doar din două active, după care vom generaliza pentru N active. De asemenea, vom considera pentru început că toate activele din portofoliu sunt active riscante, urmând să analizăm portofoliile ce includ şi active fără risc (spre exemplu, obligaţiuni emise de stat). 2.2.1. Determinarea mediei şi a varianţei unui portofoliu din două active Vom defini portofoliul format din acţiunea A şi acţiunea B ca un vector [w A, w B ] unde w i reprezintă ponderea investită în activul i, cu condiţia w A + w B = 1. Observaţi că numai cu două active se pot forma o infinitate de portofolii, întrucât se pot forma o infinitate de combinaţii (w A, w B ) astfel încât suma lor să fie 1. Dacă E(R A ) şi E(R B ) reprezintă rentabilitatea anticipată a activului A, respectiv B, atunci rentabilitatea anticipată pentru un portofoliu (să-i spunem P), format din cele două active va fi o medie ponderată a randamentelor aşteptate pentru fiecare activ unde ponderile sunt w A respectiv w B. Cu alte cuvinte, dacă o persoană investeşte o pondere w A dintr-o anumită sumă, în acţiunea A, ce are un randament anticipat de E(R A ), şi o pondere w B (unde w B = 1-w A ) în acţiunea B ce are un randament anticipat de E(R B ), atunci randamentul aşteptat pentru portofoliul format din cele două acţiuni va fi calculat astfel:. Ţinând cont de proprietăţile varianţei se poate arăta că riscul unui portofoliu se determină astfel:.. unde σ P 2 reprezintă varianţa portofoliului, σ A 2 - varianţa acţiunii A, σ B 2 - varianţa acţiunii B, σ P - deviaţia standard pentru portofoliul P (riscul portofoliului), iar σ AB covarianţa dintre activul A şi B. Covarianţa se calculează astfel: 1

. Observaţi că dacă se calculează covarianţa dintre un activ cu el însuşi se obţine varianţa acestuia, adică σ AA = σ A 2 respectiv σ BB = σ B2. O covarianţă pozitivă arată că randamentele celor două active tind să se modifice în aceeaşi direcţie. O covarianţă negativă indică o tendinţă a randamentelor a două active de a evolua în sens opus (altfel spus, când randamentul unui activ creşte, de obicei, randamentul celuilalt scade). Din relaţia (2.16) se observă că pe măsură ce covarianţa scade, riscul portofoliului scade şi el. Cu alte cuvinte, prin diversificare riscul asumat se reduce. Pentru a înţelege mai bine acest aspect să considerăm următorul exemplu. Exemplul 10: Să considerăm următoarele randamente istorice pentru două acţiuni A şi B: R A (%) 2 3 2 3 1 2 3 2 5 3 R B (%) 3 1 2 4 1 1 3 2 1 2 Randamentul anticipat pentru fiecare acţiune este: 1 2 32313 0.2 % 10 1 3 12412 0.4 % 10 Riscul (calculat prin deviaţia standard ) pentru fiecare acţiune este: 1 10 1 2 0.2 3 0.2 3 0.2 2.9364 % 1 10 1 3 0.4 1 0.4 2 0.4 2.3190 % Covarianţa dintre randamentul acţiunii A şi B este: 2 0.2 3 0.4 3 0.2 1 0.4 3 0.2 2 0.4 10 1 3.20 Dacă se investeşte o pondere de 30 % în A şi restul de 70% în B atunci rentabilitatea şi riscul portofoliului sunt: 0.3 0.2 0.7 0.4 0.34% 0.3 2.9364 0.7 2.3190 2 0.3 0.7 3.20 2.067 2.067 1.4377 % 2

Din exemplul 10 se observă că dacă s-ar investi doar în acţiunea A riscul asumat va fi de 2.9364 %, dacă s-ar investi doar în acţiunea B atunci riscul asumat va fi de 2.3190 %. Prin diversificare, adică prin formarea unui portofoliu cu cele două acţiuni riscul asumat se reduce la 1.4377%. Evident că dacă schimbăm ponderile investite în cele două active se va schimba şi riscul portofoliului, dar el va rămâne întotdeauna mai mic sau cel mult egal cu media ponderată a riscurilor individuale ale celor două acţiuni (această afirmaţie va fi demonstrată mai jos! ). La fel ca şi varianţa, covarianţa se exprimă în procente la pătrat şi este greu de interpretat. Spre exemplu, este incert în ce măsură o covarianţă de - 3.20, cât am obţinut în exemplul anterior, înseamnă o legătură puternică sau una slabă! De aceea se preferă un alt indicator ce derivă din covarianţă şi anume, coeficientul de corelaţie (ρ), ce se calculează astfel:,. Spre deosebire de covarianţă a cărei valoare variază în intervalul,, coeficientul de corelaţie ia valori doar în intervalul [-1, 1]. Dacă atinge limita superioară (ρ = 1), atunci randamentele sunt perfect pozitiv corelate (adică, ori de câte ori R A creşte, R B creşte şi el). Dacă atinge limita inferioară (ρ = -1), atunci randamentele sunt perfect negativ corelate (când R A scade, R B creşte). În cazul în care randamentele sunt independente, covarianţa lor este zero şi prin urmare coeficientul de corelaţie este tot zero (ρ = 0), adică randamentele sunt necorelate. Figura 2.8. Randamente perfect corelate vs. necorelate 3

Dacă ρ = 1, într-o reprezentare grafică de coordonate R A 0R B ( scatter plot ) randamentele sunt pe o dreaptă cu o pantă pozitivă (vezi figura 2.8). Pentru a vedea acest lucru, vom scrie că:. adică pornim de la ipoteza că randamentele sunt aşezate de-a lungul unei drepte de pantă b > 0. Aplicând operatorul de medie şi varianţă vom obţine:.. Substituind (2.20) şi (2.21) în formula de calcul a covarianţei (2.18) se obţine:. Înlocuind (2.21) şi (2.22) în formula coeficientului de corelaţie (2.19) se determină că: 1 Similar se poate vedea că dacă randamentele sunt perfect negativ corelate ele sunt aşezate pe o dreaptă cu o pantă negativă, iar coeficientul de corelaţie este -1. În realitate randamentele nu sunt nici perfect pozitiv şi nici perfect negativ corelate. Un astfel de exemplu este ilustrat în figura 2.9 unde au fost simulate pe rând randamente pozitiv corelate (cu un coeficient de corelaţie de 0.72) şi randamente negativ corelate (cu un coeficient de -0.80). Figura 2.9. Randaemante pozitiv / negativ corelate a). Randamente pozitiv corelate (ρ = 0.72) 4

b). Randamente negativ corelate (ρ = - 0.80) Folosind relaţia (2.19), varianţa portofoliului se poate rescrie astfel:. Se observă că pe măsură ce coeficientul de corelaţie scade, riscul portofoliului scade şi el. Cu cât coeficientul de corelaţie este mai mic cu atât este mai puternic efectul diversificării asupra reducerii riscului. În cazul extrem când ρ = -1, varianţa portofoliului devine: Iar deviaţia standard (riscul) devine: In celălalt caz extrem, când ρ = 1 (randamentele sunt perfect pozitiv corelate) riscul portofoliului devine: adică diversificarea nu are nici un efect asupre riscului, deoarece riscul este în acest caz egal cu media ponderată a riscului celor două active. Într-o altă ordine de idei, în funcţie de coeficientul de variaţie, riscul unui portofoliu de două active poate fi maxim w A σ A w B σ B, şi minim w A σ A w B σ B (vezi figura 2.11). Concluzie: Deşi rentabilitatea unui portofoliu este egală cu media ponderată a rentabilităţilor individuale ale activelor componente, riscul portofoliului este cel mult egal cu media ponderată a riscurilor individuale ale activelor, acest plafon fiind atins în cazul mai puţin realist al unui coeficient de corelaţie de 1. 5

2.2.2. Relaţia risc rentabilitate. Portofolii eficiente S-a arătat mai sus că rentabilitatea şi riscul unui portofoliu de două active, se determină conform relaţiilor (2.15) şi (2.17), adică: unde: După ce se aleg cele două acţiuni A şi B, valorile E(R A ), E(R B ), σ A, σ B şi ρ AB devin fixate. Ceea ce rămâne de stabilit sunt ponderile w A, w B (structura portofoliului). În funcţie de aceste ponderi se determină rentabilitatea şi riscul portofoliului. Schimbând structura portofoliului, evident se vor modifica şi riscul şi rentabilitatea acestuia. Cu doar două active putem construi o infinitate de portofolii şi prin urmare se pot determina o infinitate de combinaţii risc rentabilitate. Din punct de vedere geometric relaţia risc rentabilitate pentru portofolii de active riscante este o hiperbolă (vezi figura 2.10). Exemplul 11: Să considerăm un portofoliu format din două acţiuni A şi B. Rentabilitatea anticipată a acţiunii A este de 50%, iar a acţiunii B de 10%. Varianţa pentru A este de 50%, varianţa pentru B de 30%, iar coeficientul de corelaţie de -0.5. Cu aceste acţiuni s-au construim 12 portofolii, iar pentru fiecare portofoliu s-a calculat randamentul mediu şi riscul (deviaţia standard) folosind relaţiile (2.15) şi (2.17). Rezultatele sunt ilustrate în tabelul următor: Nr. portofoliu wa wb risc Var(Rp) E(Rp) 1 0 1 0.547723 0.3 0.1 2 0.1 0.9 0.461674 0.213143 0.14 3 0.2 0.8 0.387340 0.150032 0.18 4 0.3 0.7 0.332667 0.110667 0.22 5 0.4 0.6 0.308299 0.095048 0.26 6 0.4365 0.5635 0.308647 0.095263 0.2746 7 0.5 0.5 0.321209 0.103175 0.3 8 0.6 0.4 0.367489 0.135048 0.34 9 0.7 0.3 0.436655 0.190667 0.38 10 0.8 0.2 0.519646 0.270032 0.42 11 0.9 0.1 0.610854 0.373143 0.46 12 1 0 0.707107 0.5 0.5 6

Conform rezultatelor prezentate în tabel, dacă se investeşte 10% în A şi 90% în B se obţine o rentabilitate medie de 14% cu un risc de 46.16%, dacă se investeşte 50% în A şi 50% în B rentabilitatea medie este de 30% iar riscul de 10.31% ş.a.m.d. Observaţi că pe măsură ce rentabilitatea creşte, riscul scade până la un punct după care creşte. În cazul de faţă, riscul minim ce se poate asuma este de 30.86% şi corespunde unui portofoliu format prin investirea unei ponderi de 43.56% în A şi restul de 56.35 % în B 1. Relaţia risc rentabilitate pentru exemplul nostru este ilustrată grafic în figura 2.10. Punctele din capetele curbei corespund investiţiilor doar într-un singur activ, iar vârful hiperbolei corespunde portofoliului de risc minim (notat cu V). Figura 2.10. Relaţia risc - rentabilitate Portofoliile 1, 2, 3, 4, 5 sau orice alt portofoliu aflat pe curba VB (cu excepţia portofoliului V), sunt considerate ineficiente, deoarece se pot crea portofolii cu acelaşi risc dar cu o rentabilitate mai mare, adică portofoliile de pe curba VA (inclusiv V). Spunem că portofoliile de pe VB sunt dominate de cele de pe VA, şi că acestea din urmă sunt portofolii eficiente (sau optime). Deci un investitor raţional ar alege doar portofolii de pe curba VA. In funcţie de aversiunea sa la risc va prefera un portofoliu mai apropiat de V sau mai apropiat de A. Dacă doreşte să obţină o rentabilitate medie ridicată va trebui să investească în portofoliile mai riscante (precum 10 şi 11), dar dacă aversiunea sa la risc este mare va prefera portofoliul V sau unul apropiat de acesta (precum 7, 8). 1 Structura portofoliului de risc minim se determină minimizând riscul (funcția varianței portofoliului) cu constrângerea wa+wb=1. Astfel se determină că, iar wb=1 wa. 7

Concluzie: Între riscul şi rentabilitatea unui portofoliu format numai din active cu risc există o relaţie direct proporţională (dacă rentabilitatea anticipată creşte, atunci creşte şi riscul asumat) şi neliniară. Această concluzie la care s-a ajuns este generală, în sensul că ea este valabilă şi pentru portofoliile formate din mai multe active cu risc. Din relaţia 2.24 s-a observat că pe măsură ce scade coeficientul de corelaţie, scade şi riscul portofoliului. Oare cum se modifică relaţia risc - rentabilitate din figura 2.10 pentru diferite valori ale coeficientului de corelaţie? Răspunsul la această întrebare este ilustrat în figura 2.11. Figura 2.11. Relaţia risc- rentabilitate pentru diferite valori ale lui ρ Folosind datele din exemplul 11 referitoare la rentabilitatea şi riscul acţiunilor A şi B, s-a recalculat rentabilitatea şi riscul pentru fiecare portofoliu folosind 5 valori diferite pentru coeficientul de corelaţie. Relaţia risc - rentabilitate pentru ρ = - 0.5 este aceeaşi cu cea din figura 2.10. Pe măsură ce ρ scade, pentru o rentabilitate fixată, riscul devine mai mic. De asemenea, observaţi că rentabilitatea unui portofoliu nu se modifică la modificarea coeficientului de variaţie, ci doar riscul. Spre exemplu pentru portofoliul de risc minim (V) care se află la nivelul unei rentabilităţi de 27.46%, pe măsură ce ρ se reduce riscul său scade chiar până la zero. Prin diversificare, spunem că riscul se reduce, iar figura 2.11 indică faptul că gradul diversificării este influenţat de coeficientul de corelaţie. Pentru a înţelege mai bine ce înseamnă acest lucru să considerăm un investitor care iniţial a investit doar în acţiunea A (punctul A de pe graficul nostru) ce presupune un risc de 70%. Mai târziu, află că prin diversificare riscul se reduce, şi prin urmare decide să investească şi în acţiunea B o pondere de 30% (acest portofoliu este reprezentat în 8

figura 2.11 prin cel de-al treilea punct sub A). Rentabilitatea portofoliului său este de 38%, iar riscul depinde de coeficientul de corelaţie dintre cele două acţiuni: dacă ρ = 0.5 riscul scade de la 70% la 60%, dacă ρ = 0 riscul scade la 52%, dacă ρ = -0.5 riscul scade la 44%, iar dacă ρ = -1 riscul scade la 33%. Deci cu cât coeficientul de corelaţie este mai mic, cu atât scăderea riscului (ca efect al diversificării) este mai mare. Prin definiţie, un portofoliu este eficient (sau optim) dacă nu există un alt portofoliu cu aceeaşi rentabilitate şi un risc mai mic, sau nu există un alt portofoliu cu acelaşi risc şi o rentabilitate mai mare. Conform acestei definiţii, dacă pe piaţă ar exista doar cele două active A şi B, atunci portofoliile 7, 8, 9, 10, 11, 12 (A) din figura 2.10 sunt portofolii eficiente. Dacă extindem analiza noastră la 4 active cu risc, portofoliile aflate pe curba AV nu vor mai fi neapărat toate eficiente. Pentru a ilustra această idee, să considerăm alte două active cu risc C şi D. Rentabilitatea anticipată a lui C să presupunem că este de 60% iar pentru D de 5%. De asemenea să presupunem că C are o varianţă de 55%, D de 30%, iar coeficientul de corelaţie dintre ele să fie de -0.3. Cu aceste două active se pot forma o infinitate de portofolii ce sunt ilustrate în figura 2.12 pe curba CWB, unde W este portofoliul de risc minim. Figura 2.12. Portofolii eficiente Conform discuţiei anterioare, este evident faptul că portofoliile de pe curba VB respectiv WD sunt ineficiente. In plus, se observă că portofoliile de pe IA sunt dominate de cele de pe IC; la fel putem spune despre portofoliile de pe IW că sunt dominate de cele de pe IV. Deci portofoliile 10, 11, 12 care erau iniţial eficiente (când am presupus că pe piaţă există doar acţiunile A şi B), acum sunt dominate de portofolii aflate pe IC, deoarece acestea din urmă au o rentabilitate aşteptată mai mare pentru acelaşi nivel de risc asumat. 9

Fără o analiză mai complexă decât cea de până acum, nu putem spune dacă portofoliile de pe IC respectiv IV sunt eficiente; putem spune doar că ele domină portofoliile de pe IA respectiv IW. Portofoliile din figura 2.12 au fost construite numai cu două active riscante: curba AVB combină acţiunile A şi B, iar curba CWD combină doar acţiunile C şi D. Există posibilitatea ca prin combinarea celor patru active cu risc (adică formarea de portofolii utilizând nu doar două acţiuni, ci toate patru) să se obţină portofolii dominante. Cu alte cuvinte, pentru a determina portofoliile eficiente trebuie să determinăm relaţia risc rentabilitate similară celei din figura 2.10 folosind toate activele cu risc existente. Mulţimea portofoliilor eficiente formate doar din active cu risc se numeşte frontiera Markowitz. Modul în care se determină această frontieră va fi discutat în secţiunea 2.2.4. Spre exemplu dacă pe piaţă ar exista doar acţiunile A şi B, atunci curba VA din figura 2.10 s-ar numi frontieră Markowitz. 2.2.3. Relaţia risc rentabilitate pentru portofolii formate dintr-un activ cu risc şi un activ fără risc În continuare vom menţine ipoteza că pe piaţă există doar două active, dar vom consideră că unul din ele are riscul zero. Un exemplu clasic de activ fară risc îl reprezintă titlurile emise de stat. În cazul în care se poate considera că statul este o entitate asupra căreia riscul de faliment nu poate surveni, atunci veniturile (dobânzi, rate, anuităţi) generate de un titlu emis de stat sunt certe. Spre exemplu, să considerăm un bilet de trezorerie emis emis cu discount ce în prezent este tranzacţionat pe piaţă la preţul de 950 u.m. şi care la scadenţă (să presupunem, 3 luni) va fi răscumpărat la valoarea nominală de 1000 u.m. Dacă un investitor cumpără în prezent acest titlu la 950 u.m. şi îl păstrează până la scadenţă, atunci el va obţine un câstig sigur de 50 u.m. pentru că va obţine cu certitudine peste 3 luni suma de 1000 u.m. Randamentul anticipat pentru acest plasament fictiv este de 5,26% pe 3 luni ((1000-950)/950). În secţiunea 2.1. când analizam rentabilitatea activelor riscante, se specifica o anumită distribuţie pentru randamentele viitoare posibile, iar media distribuţiei reprezenta randamentul aşteptat. În cazul activului fără risc, nu mai este nevoie să specificăm astfel de distribuţii, deoarece există doar un singur randament viitor şi acesta este cert (în exemplul biletului de trezorerie, se obţine un randament de 5.26% cu o probabilitate de 100%). Prin urmare, dacă notăm randamentul activului fară risc cu r f atunci putem scrie că:. 10

Intuitiv, dacă activul este fără risc atunci varianţa, respectiv deviaţia standard va fi zero. Statistic, dacă randamentului viitor i se asociază o singură valoare atunci el este o constantă, iar varianţă dintr-o constantă este zero. In concluzie:. De asemenea, covarianţa dintre activul cu risc şi activul fară risc este tot zero:,. Dacă formăm un portofoliu din activul fără risc şi un activ cu risc A, atunci rentabilitatea şi riscul acestui portofoliu vor fi:.. În secţiunea 2.2.2 s-a arătat că pentru un portofoliile formate numai din active cu risc, între risc şi rentabilitate există o relaţie neliniară. Se poate arăta uşor că în cazul în care includem un activ fără risc, relaţia risc rentabilitate devine liniară. Se observă că panta relaţiei risc - rentabilitate nu depinde de w (de structura portofoliului). Pentru a demonstra acest lucru se calculează mai întâi modificarea rentabilităţii în raport cu w: cât şi modificarea riscului în raport cu w:.. În consecinţă panta relaţiei risc - rentabilitate este:. Se observă că panta este invariabilă în raport cu structura portofoliului şi deci relaţia risc - rentabilitate este liniară. Din 2.28 şi 2.29 se poate observa că pentru w = 0, se obţine σ P = 0 respentiv E(R P ) = r f, ceea ce înseamnă că relaţia risc - rentabilitate (care este o dreaptă) intersectează axa 0y în punctul r f. De asemenea, sţiind că panta este dată de relaţia 2.32, putem scrie ecuaţia relaţiei risc rentabilitate pentru portofolii ce includ şi un activ fără risc astfel: 11

. Relaţia 2.33 se numeşte dreapta fundamentală a pieţei de capital (CML Capital Market Line ). Panta CML fiind aceeaşi pentru toate portofoliile, putem înlocui portofoliul A din formulă cu orice alt portofoliu situat pe dreaptă (vezi figura 2.13). Exemplul 12: Să presupunem că rentabilitatea anticipată a activului cu risc este 10%, rentabilitatea activului fără risc este de 4%, iar deviaţia standard a activului cu risc este de 25%. Folosind relaţiile 2.28 respectiv 2.29 putem determina rentabilitatea şi riscul unui set de portofolii, considerând diferite valori pentru w (ponderea investită în activul cu risc). Aici s-au cosiderat 9 portofolii ce corespund unor ponderi w de: 0%, 20%, 40%, 60%, 80%, 100%, 120%, 140% respectiv 160%. Rezultatele sunt prezentate în tabelul următor: Portofoliu w E(Rp) σp 1(rf) 0 0.04 0 2 0.2 0.052 0.05 3 0.4 0.064 0.1 4 0.6 0.076 0.15 5 0.8 0.088 0.2 6(A) 1 0.1 0.25 7 1.2 0.112 0.3 8 1.4 0.124 0.35 9 1.6 0.136 0.4 Ponderile mai mari de 100% investite în activul cu risc corespund unor ponderi negative investite în activul fără risc ceea ce reprezintă o poziţie short pe acest activ. Spre exemplu, dacă dispunem de suma M şi investim 120% din M în activul cu risc şi -20% în activul fără risc, acest lucru înseamnă de fapt că luăm cu împrumut suma 20% din M la rata fără risc, ceea ce ne permite să investim în activul cu risc mai mult cu 20% decât suma de care dispunem (M). Pentru că în acest caz ne asumăm riscuri mai mari, randamentul cerut va fi, bineînţeles, mai mare. Observaţi că s-a presupus că orice investitor poate să se împrumute şi să acorde un împrumut la rata dobânzii fără risc, ceea ce nu este adevărat în realitate. În secţiunea următoare, vom vedea cum se modifică relaţia risc rentabilitate (CML), dacă relaxăm această ipoteză. 12

Figura 2.13. Relaţia risc rentabilitate când un activ este fără risc Combinaţiile risc-rentabilitate obţinute pentru cele 9 portofolii sunt reprezentate în figura 2.13. Portofoliile de la 1 la 6 presupun poziţii long pe ambele active şi deci w este mai mic sau egal cu 1 (100%). Portofoliile 7, 8, 9 presupun o piziţie long pe activul cu risc şi o poziţie short pe activul fără risc (w >1). Concluzie: Pentru cazul în care se include un activ fără risc, relaţia risc rentabilitate pentru portofolii de active financiare este una liniară. Portofoliile eficiente se vor afla pe această dreaptă. Aceste observaţii se menţin şi atunci când portofoliile sunt formate din N active dintre care unul este fără risc. 2.2.4. Riscul şi rentabilitatea portofoliilor cu N active În această parte a capitolului vom extinde analiza relaţiei risc rentabilitate, pentru portofolii formate din N active (N mai mare ca 2). De asemenea, ne propunem să determinăm structura portofiliilor eficiente (optime) atât pentru cazul portofoliilor formate numai din active cu risc, dar şi pentru cazul portofoliilor cu un activ fără risc. Riscul şi rentabilitatea portofoliilor formate din N active Pentru cazul în care portofoliile sunt formate din N, se preferă scrierea ecuaţiilor pentru rentabilitate şi risc în formă matricială. Relaţiile 2.15 şi 2.16 pot fi rescrise matricial astfel:. 13

. cu condiţia ca suma ponderilor să fie 1, adică:. Această scriere matricială este foarte utilă pentru extensia noastră la portofolii cu N active. În acest sens, dacă notăm cu: 1,, Σ, 1 1 atunci rentabilitatea anticipată şi riscul pentru portofolii cu N active se pot calcula astfel:. unde Σ reprezintă matricea de covarianţă. Această matrice este simetrică, pentru că σ ik = σ ki, iar pe diagonala principală se află varianţele celor N active. Efectul diversificării asupra riscului. Observaţii empirice. În această secţiune vom discuta efectul pe care îl are creşterea numărului de acţiuni asupra riscului portofoliului. În acest sens, rescriem ecuaţia varianţei din 3.37 astfel:. Dacă vom presupune că ponderile portofoliului sunt egale, atunci varianţa devine: 1 1 2.39 Dacă notăm media covarianţelor cu, atunci relaţia 2.39 devine: 14

1 2.40 Se observă că pe măsură ce N tinde la infinit varianţa portofoliului tinde către media covarianţelor:. Concluzie: Pe măsură ce numărul de acţiuni dintr-un portofoliu creşte, scade efectul riscurilor individuale (σi) ale acţiunilor componente asupra riscului portofoliului (σp). Deci riscul portofoliilor foarte bine diversificate depinde de covarianţa dintre acţiunile componente (adică de tendinţa randamentelor lor de a evolua în acelaşi sens sau în sens opus) şi nu de riscul specific acţiunii (al firmei emitente). Exemplul 13: Pentru a ilustra aceste concluzii s-au luat în considerare randamentele lunare din perioada 1/2003 4/2008 ale 19 acţiuni cotate la BVB, cu următoarele simboluri: amo, atb, apc, azo, cmp, ect, imp, oil, olt, pcl, sif1, sif2, sif3, sif4, sif5, sno, snp, tlv, zim. Din aceste 19 acţiuni s-a ales în mod aleator o acţiune şi s-a calculat riscul acesteia (deviaţia standard), apoi s-au extras aleator 2 acţiuni şi s-a calculat riscul portofoliului (deviaţia standard) de ponderi egale; după care s-au extras aleator 3 acţiuni şi s-a calculat riscul portofoliului de ponderi egale ş.a.m.d. până la formarea unui portofoliu cu toate cele 19 acţiuni. Evoluţia riscului pe măsura creşterii numărului de acţiuni este ilustrată în figura 2.14, varianta 1. Figura 2.14. Efectul diversificării asupra riscului a). Varianta 1 b). Varianta 2 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.1 0.09 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.14 0.135 0.13 0.125 0.12 0.115 0.11 0.105 0.1 0.095 0.09 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 15

c). Varianta 3 d). Varianta 4 0.18 0.15 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.14 0.13 0.12 0.12 0.11 0.11 0.1 0.09 0.08 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.1 0.09 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Acest experiment s-a mai realizat încă de trei ori, rezultând evoluţiile din figura 2.14 variantele 2, 3, 4. Se observă că pe măsură ce creşte numărul de acţiuni incluse în portofoliu, riscul acestuia acade, dar cu rate descrescătoare. Proporţiile cu care se reduce riscul portofoliului sunt prezentate în tabelul 2.1. Tabelul 2.1. Reducerea riscului datorată creşterii numărului de acţiuni din portofoliu (cazul pieţei de capital româneşti) -în procente faţă de portofoliul cu o acţiune- Nr de actiuni 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Varianta 1 49.48 70.88 79.75 83.68 87.14 85.50 85.30 85.88 83.01 Varianta 2 48.34 45.20 62.30 46.02 48.49 60.52 65.85 77.09 77.35 Varianta 3 62.76 77.07 86.14 92.89 92.52 93.37 94.32 94.75 89.85 Varianta 4 38.21 55.09 59.08 67.79 67.40 76.22 75.08 72.51 67.08 După 10.000 de variante media 35.14 52.06 61.52 67.82 72.75 76.27 78.83 80.78 82.78 dev std 35.23 27.38 23.00 19.50 16.46 14.47 12.56 11.58 10.30 În prima variantă, riscul portofoliului format dintr-o acţiune (aleasă aleator) era de aproximativ 17%, după includerea unei alte acţiuni (aleasă tot aleator) riscul s-a redus cu aproximativ 50%; pentru un portofoliu din 3 acţiuni riscul a scăzut cu aproximativ 70%; pentru 4 acţiuni alese aleator riscul a scăzut cu aproximativ 80%, ş.a.m.d. Conform primei variante, efectele diversificării sunt impresionante, şi chiar mai impresionante în cazul variantei 3 unde riscul se reduce şi mai repede. În varianta 2 şi 4 reducerea riscului nu mai este la fel de rapidă ca în celelalte două, prin urmare datorită faptului că acţiunile sunt alese în mod aleator, rata de descreştere a riscului variază de la un experiment la altul. În consecinţă, s-au simulat 10.000 de experimente (variante) şi s-a calculat media şi deviaţia standard a histogramelor obţinute (vezi tabelul 2.1). În figura 2.15 16

sunt prezentate două dintre cele 9 histograme folosite pentru a calcula media şi deviaţia standard a procentului de reducere a riscului datorată diversificării. Figura 2.15. Distribuţia procentului de reducere a riscului ca urmare a diversificării a). 5 acţiuni b). 10 acţiuni 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0-80 -60-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0-80 -60-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 În concluzie, prin acest exemplu s-a arătat că prin diversificare riscul asumat de investitor se reduce substanţial. Astfel, conform rezultatelor obţinute prin formarea unor portofolii simulate pe baza a 19 acţiuni cotate la BVB, se observă că prin diversificarea cu doar două acţiuni alese aleator, riscul asumat se reduce în medie cu 35.14%. Dacă se aleg 3 acţiuni în mod aleator riscul se reduce în medie cu 52.06%, dacă se aleg 4 acţiuni riscul scade în medie cu 61.52% ş.a.m.d. (vezi tabelul 2.1). Frontiera portofoliilor optime formate numai din active cu risc S-a definit mai sus că un portofoliu este eficient (optim) dacă nu există un alt portofoliu cu aceeaşi rentabilitate şi un risc mai mic, sau nu există un alt portofoliu cu acelaşi risc şi o rentabilitate mai mare. Din punct de vedere matematic, frontiera portofoliilor optime se poate determina în două moduri: 1. minimizarea riscului pentru o rentabilitate dată; 2. maximizarea rentabilităţii pentru un risc dat. În cele ce urmează, vom considera doar prima abordare, adică vom rezolva o problemă de optimizare pătratică de forma: cu constângerile: E(RP) = r * (2.38) 17

Cu alte cuvinte, prin această problemă de optimizare ne propunem să determinăm ponderile w care minimizează riscul portofoliului pentru o rentabilitate fixată la nivelul de r*. Soluţia acestei probleme (să o notăm cu w*) pentru un anumit r* ales, reprezintă structura potrofoliului eficient (optim) de rentabilitate aşteptată r*. Având structura optimă w* se poate calcula riscul (σ*) asociat acestui portofoliu, care este, deci, cel mai mic risc posibil pentu o rentabilitate de r*. Rezolvând problema 2.38 pentru T valori ale lui r* vom obţine T portofolii optime (adică vectori w*) de risc minim, σ*. Reprezentând grafic cele T combinaţii (σ*, r*) se obţine o hiperbolă similară celei din figura 2.10. Mulţimea portofoliilor eficiente formează frontiera Markowitz. Exemplul 14: Să considerăm că pe piaţa de capital ar exista doar 5 acţiuni: SIF1, SIF2, SIF3, SIF4, SIF5; şi ne propunem să determinăm frontiera portofoliilor eficiente ce pot fi formate cu cele 5 acţiuni. Distribuţia randamentelor este aici aproximată prin histograma randamentelor lunare istorice din perioada 12 / 1999 3 / 2008, iar randamentele aşteptate vor fi mediile acestor distribuţii. Tabelul 2.2. Randamentul lunar mediu al SIF-urilor Actiunea SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5 E(Ri) 4.44% 5.05% 3.57% 3.75% 4.81% De asemenea, folosind randamentele lunare istorice, s-a determinat matricea de covarianţă 2 : sif1 sif2 sif3 sif4 sif5 sif1 0.020002 0.019063 0.016138 0.016238 0.016434 sif2 0.019063 0.02335 0.017118 0.017777 0.019855 sif3 0.016138 0.017118 0.019246 0.014809 0.01452 sif4 0.016238 0.017777 0.014809 0.019679 0.015272 sif5 0.016434 0.019855 0.01452 0.015272 0.022704 Optimizarea problemei 3.38 s-a realiza în Excel prin algoritmul SOLVER. S-au determinat ponderile (portofoliile optime), care minimizează riscul pentru un randament lunar aşteptat al portofoliului de: 1%, 2%, 3%, 4%, 5%, 6%, 7%, 8%, 9%. Rezultatele optimizării sunt prezentate în tabelul 2.3. Conform rezultatelor, observăm că prin investirea sumei M în cele 5 SIF-uri, pentru a obţine un randament mediu de 4%, se va investi o pondere de 31% din M în 2 In Excel se poate face prin funcția Covariance din Data > Data Analysis. 18

SIF1, o pondere de -25% din M (short selling) în SIF2, 29% din M în SIF3, 27% în SIF4 şi 39% în SIF5. Operaţiunea de short selling de mai sus presupune vânzarea acţiunii SIF2 într-o pondere 25% din M, fără a deţine efectiv această acţiune. Cu alte cuvinte, broker-ul dumneavoastră vă împrumută un număr de acţiuni a căror valoare este de 25% din M; acţiuni ce vor fi vândute pe piaţă în prezent şi cumpărate în viitor, de dorit la un preţ mai mic. Bineînţeles că după ce sunt cumpărate, acţiunile sunt înapoiate broker-ului. Tabelul 2.3. Portofolii eficiente (active numai cu risc) Risc port. σ p Rentab. Port. E(Rp) Ponderi (w) SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5 18.84 % 1 % 0.05 2.23 1.52 1.35 0.42 15.28 % 2 % 0.07 1.57 1.11 0.99 0.41 13.02 % 3 % 0.19 0.91 0.70 0.63 0.40 12.75 % 4 % 0.31 0.25 0.29 0.27 0.39 14.59 % 5 % 0.43 0.41 0.12 0.09 0.38 17.89 % 6 % 0.55 1.07 0.53 0.45 0.37 22.02 % 7 % 0.67 1.73 0.94 0.81 0.36 26.58 % 8 % 0.79 2.39 1.35 1.17 0.35 31.39 % 9 % 0.91 3.05 1.76 1.53 0.34 De asemenea, în tabelul 2.3 sunt prezentate valorile riscului minim pentru fiecare nivel de rentabilitate fixat. Aceste combinaţi risc rentabilitate definesc frontiera Markowitz, ilustrată în figura 2.16. Frontiera Markowitz (a portofoliilor eficiente) este reprezentată doar de portofoliile aflate pe braţul superior al hiperbolei (curba roşie din grafic). Figura 2.16. Frontiera Markowitz (cu short selling) 19

Observaţi că toate cele 9 portofolii considerate în tabelul 2.3, implică operaţiuni de short selling. Cum ajustăm problema de optim 2.38, dacă pe piaţa nu sunt permise astfel de operaţiuni? (este şi cazul pieţei de capital din România). Răspunsul este simplu: adăugăm noi restricţii prin care impunem ca ponderile să fie pozitive. Adică la problema 3.38 mai adăugăm următoarele constrângeri: wi > 0, pentru orice i =1, 2...N Noile rezultate sunt prezentate în tabelul 2.4. Spre deosebire de situaţia anterioară, acum pentru a obţine o rentabilitate medie de 4% se va investi o pondere de 12% în SIF1, o pondere de 36% în SIF3, 30% în SIF4, 22% în SIF5 şi nimic în SIF2. Tabelul 2.4. Portofolii eficiente (fără short selling) Risc port. σ p Rentab. Port. E(Rp) Ponderi (w) SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5 13.48 % 3.6 % 0.00 0.00 0.86 0.14 0.00 12.93 % 3.8 % 0.00 0.00 0.48 0.39 0.13 12.88 % 4 % 0.12 0.00 0.36 0.30 0.22 13.11 % 4.3 % 0.31 0.00 0.18 0.17 0.35 13.64 % 4.6 % 0.38 0.15 0.04 0.05 0.38 13.85 % 4.7 % 0.39 0.21 0.00 0.02 0.38 14.11 % 4.8 % 0.27 0.38 0.00 0.00 0.35 14.9 % 5 % 0.00 0.80 0.00 0.00 0.20 De asemenea, pentru a obţine un randament lunar de 5%, se va investi doar în SIF2 în proporţie de 80%, şi în SIF5 restul de 20%. Coloanele unu şi doi din tabelul 2.4. ne furnizează informaţii despre noua relaţie risc rentabilitate, ilustrată în figura 2.17. Figura 2.17. Frontiera Markowitz (fără short selling) 20

Frontiera portofoliilor eficiente ce includ şi un activ fără risc În secţiunea 2.2.3 s-a analizat relaţia risc rentabilitate pentru portofoliile formate dintr-un activ cu risc şi unul fără risc. S-a ajuns la concluzia că odată cu includerea unui activ fără risc în portofoliu, frontiera portofoliilor eficiente devine o dreaptă. Vom vedea aici că această concluzie se menţine şi pentru cazul portololiilor cu un activ fără risc şi mai multe active cu risc. Dacă, pe lângă activul fără risc, în formarea portofoliilor eficiente se folosesc toate activele cu risc, atunci relaţia risc rentabilitate obţinută se numeşte dreapta fundamentală a pieţei de capital (CML Capital Market Line). Figura 2..18. Dreapta fundamentală a pieţei de capital (CML) Pentu început să considerăm figura 2.18 unde pe frontiera Markowitz sunt reprezentate trei portofolii formate numai din active cu risc: A, B şi M. Dacă se diversifică portofoliul A cu activul fără risc (de rentabilitate rf) se pot obţine o infinitate de portofolii ce sunt situate pe dreapta rfa. Portofoliile ce presupun o ponderee mai mare investită în portofoliul A sunt mai apropiate de acesta, iar cu cât ne apropiem de rf înseamnăă că se măreşte ponderea investită în activul fără risc. Dacă, în schimb, se alege portofoliul B de pe frontiera Markowitz şi se combină cu activul fără risc se obţin din nou o nfinitate de portofolii situate pe dreapta rfb. Portofoliile de pe rfa sunt dominate de portofoliile de pe rfb, deoarece au o rentabilitate mai mică la acelaşi nivel de risc. Pe acelaşi raţionament ajungem la observaţia că la rândul lor portofoliile de pe rfb sunt dominate de toate portofoliile ce pot fi obţinute prin diversificarea portofoliilorr aflate între A şi M cu activul fără risc. 21

În concluzie, portofoliile eficiente se vor afla pe tangenta dusă din punctul rf la frontiera Markowitz. Toate portofoliile de pe această dreaptă (numită CML) domină portofoliile de pe frontiera Markowitz. Prin urmare, dacă pe piaţă există un activ fără risc, frontiera portofoliilor optime este reprezentată de dreapta CML. Portofoliul din active cu risc (M) aflat la punctul de intersecţie dintre frontiera Markowitz cu CML se numeşte portofoliul pieţei şi este singurul portofoliu eficient format numai din active cu risc. În funcţie de aversiunea sa la risc, investitorul poate alege un portofoliu de risc scăzut (aflat în apropierea lui rf) sau un portofoliu cu risc ridicat (aflat în apropierea sau deasupra lui M). De asemenea, portofoliile aflate pe CML între rf şi M presupun o pondere pozitivă (poziţie long) investită în activul fără risc. Deoarece activul fără risc este o obligaţiune emisă de stat, acest lucru înseamnă că investitorul acordă un împrumut la rata dobânzii făra risc. Dacă se alege portofoliul pieţei, M, înseamnă că se investeşte doar în active cu risc. În cazul în care se alege un portofoliu aflat desupra lui M, acest lucru implică o pondere negativă (poziţie short) investită în activul fără risc, ceea ce semnifică faptul că investitorul se împrumută la rata fără risc (rf), iar suma obţinută o investeşte în portofoliul pieţei. Pentru a determina frontiera portofoliilor eficiente (CML) cu un activ fără risc, se rezolvă problema de optimizare pătratică 2.38 cu observaţia că în matricea de covarianţă toţi termenii referitori la covarianţa dintre activul fără risc şi orice alt activ din portofoliu este zero (adică cov(rf, Ri)=0, pentru orice i). Exemplul 14 (continuare): Să presupunem că alături de cele 5 acţiuni, pe piaţă mai există şi un activ făra risc de rentabilitate lunară 1%. În acest caz vectorul de rentabilităţi devine: Actiunea SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5 Rf E(Ri) 4.44% 5.05% 3.57% 3.75% 4.81% 1% iar matrice de covarianţă este: sif1 sif2 sif3 sif4 sif5 rf sif1 0.020002 0.019063 0.016138 0.016238 0.016434 0 sif2 0.019063 0.02335 0.017118 0.017777 0.019855 0 sif3 0.016138 0.017118 0.019246 0.014809 0.01452 0 sif4 0.016238 0.017777 0.014809 0.019679 0.015272 0 sif5 0.016434 0.019855 0.01452 0.015272 0.022704 0 rf 0 0 0 0 0 0 22

Rezultatele obţinute în urma obtimizării 2.38 sunt prezentate în tabelul 2.5. Risc port σ p Tabelul 2.5 Portofolii eficiente cu un activ fără risc Rentab port E(Rp) Ponderi (w) SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5 rf 0.00 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 3.57 2 0.11 0.19 0.09 0.08 0.08 0.79 7.15 3 0.22 0.38 0.18 0.15 0.16 0.58 10.72 4 0.33 0.57 0.27 0.23 0.23 0.37 14.29 5 0.44 0.76 0.36 0.30 0.31 0.16 17.86 6 0.55 0.95 0.45 0.38 0.39 0.06 21.44 7 0.65 1.14 0.54 0.45 0.47 0.27 25.01 8 0.76 1.32 0.63 0.53 0.54 0.48 28.59 9 0.87 1.51 0.72 0.60 0.62 0.69 Conform rezultatelor, pentru a obţine o rentabilitate lunară de 4%, se va investi 37% în activul fără risc şi restul de 63% în activele riscante, astfel: 33% în SIF1, 57% în SIF2, -27% în SIF 3, -23% în SIF4 şi 23% în SIF5. Observaţi că pentru a obţine rentabilităţi mai mari precum 6%, 7%, 8% sau 9 %, investitorul trebuie să se împrumute, iar suma obţinută să o investească în portofoliul pieţei. Figura 2.19 Frontiera portofoliilor eficiente cu un activ fără risc Frontiera Markowitz, CML şi portofoliul pieţei pentru acest exemplu sunt ilustrate în figura 2.19. În plus, graficul mai prezintă şi combinaţia risc-rentabilitate pentru cele 5 SIF-uri (activele cu risc din exemplul nostru) pentru a arăta că investiţiile doar intr-una din ele sunt dominate de portofoliile eficiente de pe CML. 23