3 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

3 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εσωτερικό γινόµενο Ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων, τον πργµτικό ριθµό Έστω = ( x,y ) κι ( x,y ) συν,, ν 0 κι 0 = 0, ν = 0 ή = 0 = Αποδεικνύετι ότι: = xx + yy Συµολίζουµε το = (εσωτερικό τετράγωνο του ) Ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου = (ντιµετθετική) λ = λ = ( λ), λ R 3 = 4 + γ = + γ 5 ν τότε = ν τότε = 6 Aν xx + yy 0 κι 0 τότε συν, = = x + y x + y 7 Aν = 0 ( µε, 0 ) 8 λ λ = ( µε, 0 ) ν ορίζοντι οι λ, λ

34 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Προολή δινύσµτος σε διάνυσµ Έστω, δύο δινύσµτ του επιπέδου µε 0 Ονοµάζουµε προολή του δινύσµτος στο διάνυσµ (κι συµολίζουµε προ ) το διάνυσµ ΑΒ που είνι η ορθή προολή του ευθύγρµµου τµήµτος ΑΒ σε ευθεί πράλληλη µε τον φορέ του Είνι δηλδή ΑΒπρο = ΑΒ Αποδεικνύετι ότι ισχύει: = προ Σχόλιο: Η πρπάνω σχέση µετφέρει έν εσωτερικό γινόµενο δύο δινυσµάτων που σχηµτίζουν µι γωνί φ σε εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων που ρίσκοντι στην ίδι ευθεί κι ντίστροφ εν ισχύουν πάντοτε οι πρκάτω σχέσεις: γ = γ (προσετιριστική ιδιότητ) γ = γ = (ιδιότητ διγρφής) (Ισχύει : Αν = τότε γ = γ ) 3 = (Ισχύει : ) 4 = (Ισχύει : ) Τις νφέρουµε γιτί είνι σχέσεις που ισχύουν στο σύνολο των πργµτικών ριθµών R λλά δεν ισχύουν γενικά στο εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Β ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κτηγορί - Mέθοδος Γι ν υπολογίσουµε τη γωνί δύο µη µηδενικών δινυσµάτων, χρησιµοποιούµε τον τύπο συνφ =, όπου φ η γωνί των δυο δινυσµάτων Πράδειγµ Ν υπολογιστεί η γωνί των δινυσµάτων = (3,3) κι = (0,) Είνι = 30 + 3 = 6 κι = 9+ 9 = 8 = 3 κι = 0 + = Άρ

Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 35 6 ο συνφ = = = Εποµένως φˆ = 45 3 Κτηγορί - Mέθοδος Γι ν δείξουµε ότι δύο µη µηδενικά δινύσµτ, το εσωτερικό τους γινόµενο είνι ίσο µε µηδέν είνι κάθετ, δείχνουµε ότι Πράδειγµ Ν δείξετε ότι το διάνυσµ u = γ γ είνι κάθετο στο Αρκεί το εσωτερικό γινόµενο u ν είνι ίσο µε µηδέν Είνι: u = γ γ = γ γ = γ γ = 0 Άρ u Κτηγορί - Mέθοδος 3 Γι ν υπολογίσουµε το µέτρο ενός δινύσµτος που δίνετι ως γρµµικός συνδυσµός άλλων δινυσµάτων υπολογίζουµε το τετράγωνο του µέτρου χρησιµοποιώντς τον τύπο = Πράδειγµ ίνετι το διάνυσµ u = 5 + 3, όπου =, =, u 5 3 = + = 5+ 3 = 5 + 30 + 9 = Είνι ( ) ( ) = 5 + 30 συν, + 9 = 5 4 + 30 + 9 = Άρ u = 39 π (, ) = 3 Ν υπολογισθεί το u 00 + 30 + 9 = 39 Κτηγορί - Mέθοδος 4 Γι ν δείξουµε ισότητες ή νισότητες µε µέτρ δινυσµάτων, υψώνουµε κι τ δύο µέλη στο τετράγωνο, χρησιµοποιούµε την ιδιότητ = κι γνωστές τυτότητες

36 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Πράδειγµ Έστω, µη µηδενικά δινύσµτ Ν δείξετε ότι: 4 3 = 4+ 3 4 3 = 4+ 3 4 3 = 4+ 3 4 3 = 4+ 3 6 4+ 9 = 6 + 4+ 9 48 = 0 = 0 (διότι, 0) Κτηγορί - Mέθοδος 5 Γι ν νλύσουµε έν διάνυσµ σε δύο κάθετες µετξύ τους συνιστώσες, θέτουµε τις συνιστώσες µε άγνωστες συντετγµένες ( πρµετρικές ) κι δηµιουργούµε πό τ δεδοµέν σχέσεις µε τις οποίες υπολογίζουµε τους γνώστους υτούς Πράδειγµ Ν νλύσετε το διάνυσµ = (, 3) σε δύο κάθετες µετξύ τους συνιστώσες πό τις οποίες η µί ν είνι πράλληλη προς το διάνυσµ = (3, ) τρόπος Έστω u = (x,y ) κι ν= (x,y ) οι δύο συνιστώσες Ισχύει u+ν= κι επειδή η σχέση των δινυσµάτων είνι κι σχέση συντετγµένων: x+ x = () u+ ν = ( x,y) + ( x,y ) = (,-3) y+ y = 3 () Η µί πό τις δύο συνιστώσες, έστω η u είνι πράλληλη προς το, άρ σύµφων µε τη συνθήκη συγγρµµικότητς: x y = 0 x 3y = 0 x + 3y = 0 (3) 3 Η άλλη συνιστώσ, η ν είνι κάθετη στο Εποµένως ν = 0 3x y = 0 (4) Λύνουµε το σύστηµ των (), (), (3), (4) κι ρίσκουµε 7 7 9 x =, x =, y =, y = Εποµένως 7 9 u =, 0 0 0 0 0 0 κι -7 ν=, 0 0

Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 37 τρόπος Έστω // =+ () =λ () κι = 0 (3) Απ την () εάν πολλπλσιάσουµε µε έχουµε: () (3) = + =λ + ( ) 9 9 7 9 () = = (3, ) =, 0 0 0 0 7 9 7 () = = (, 3), =, 0 0 0 0 0 3 + ( 3) ( ) =λ 3 + ( ) 6+ 3= 0λ λ= 0 9 Βσικοί γεωµετρικοί τόποι (γτ) Κτηγορί - Mέθοδος 6 Ότν ζητείτι ο γεωµετρικός τόπος σηµείων Μ που ικνοποιούν µι δινυσµτική σχέση, κάνουµε πράξεις σ υτήν γι ν κτλήξουµε σε πλούστερη πο την οποί θ φίνετι η ιδιότητ των σηµείων Μ Έστω Α κι Β στθερά σηµεί κι Μ τυχίο σηµείο του οποίου ζητείτι ο τόπος Αν κτλήξουµε σε σχέση : MA = MB Τότε ο γτ των σηµείων Μ είνι η µεσοκάθετος του στθερού ευθτµήµτος ΑΒ MA = ρ, όπου ρ στθερό Τότε ο γτ των σηµείων Μ είνι κύκλος κέντρου Α κι κτίνς ρ 3 MA MB = 0 Τότε ο γτ των σηµείων Μ είνι κύκλος διµέτρου ΑΒ 4 MA Α B = 0 Τότε ο γτ των σηµείων Μ είνι κάθετη ευθεί στην ΑΒ στο σηµείο Α Πράδειγµ Αν Α, Β είνι στθερά σηµεί του επιπέδου κι Ο το µέσον του ΑΒ, ν ρείτε το γτ των σηµείων Μ του επιπέδου γι τ οποί ισχύουν : i MA MB =κ, κ R iii MA MB = κ, κ R iv ii AM AB =κ, κ R MA + MB = κ, κ > 0

38 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Από τη σχέση MA MB = k, k R, ν Ο το µέσο του ΑΒ έχουµε: MA MB = k MO + OA MO + OB = k ( )( ) ( MO + OA)( MO OA) = k MO OA = k MO = OA + k οπότε : Αν OA + k < 0, γεωµετρικός τόπος του Μ είνι το κενό σύνολο Αν OA + k = 0, γεωµετρικός τόπος του Μ είνι το σηµείο Ο Αν OA + k > 0, γεωµετρικός τόπος του Μ είνι κύκλος µε κέντρο Ο κι κτίν OA + k Από τη σχέση ΑΜ ΑΒ = κ, κ R, ν είνι η προολή του Μ στην ΑΒ έχουµε: AM AB = k A AΒ = k k Οπότε Α ΑΒ= k Α = ΑΒ Άρ προκύπτει ότι ο γεωµετρικός τόπος Μ είνι η κάθετη ευθεί ε στην ΑΒ στο σηµείο, φού το πέχει στθερή πόστση πό το σηµείο Α 3 Από τη σχέση ΜΑ ΜΒκ =, κ R, ν Γ η προολή του Μ στην ΑΒ, έχουµε: MA MB = MA + MB MA MB = MO BA = AB OM = AB OΓ ( )( ) k Άρ ΑΒΟΓ = k Οπότε ΑΒΟΓ = k ΟΓ =, άρ ΑΒ προκύπτει, ότι ο γεωµετρικός τόπος του Μ είνι ευθεί ε, κάθετη στην ΑΒ στο σηµείο Γ 4 Από τη σχέση MA + MB = k, ν Ο το µέσον του ΑΒ έχουµε: MA MB k MO k MO k AB ΑΒ + = + = = =λ 4 Οπότε: Αν λ < 0 ο γτ του Μ είνι το κενό σύνολο Αν λ = 0 το σηµείο Μ τυτίζετι µε το σηµείο Ο Αν λ > 0 ο γτ του Μ είνι ο κύκλος µε κέτρο Ο κι κτίν λ

Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 39 Γ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση ίνοντι τ δινύσµτ, µε =, = 3 κι, = επόµεν : γ 3 =συν, = 3 = 3 γ = + = 4 6+ 3= δ π Ν υπολογισθούν τ 6 ε + 3 = = 4 3= δ = = Άρ = ε + 3 = 3+ 3 = 3 = 3 = 4 3 3 3= 4 Άσκηση ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι η διάµεσός του ΑΜ Αν ισχύει η ισότητ ΑΒ ΑΓ ΑΓ = ΑΜ ΒΓ ΑΒ (), ν δείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές Τ δινύσµτ ΑΓ, ΑΒ δεν είνι συγγρµµικά, φού σχηµτίζουν τρίγωνο Άρ πο την ()πρέπει νγκστικά: ΑΒ ΑΓ = 0 κι ΑΜ ΒΓ = 0 Αλλά ΑΒ ΑΓ = 0 σηµίνει ΑΒ ΑΓ, εποµένως το τρίγωνο είνι ορθογώνιο κι ΑΜ ΒΓ = 0 ΑΜ ΒΓ δηλδή η διάµεσος του τριγώνου είνι κι ύψος, που σηµίνει ότι το τρίγωνο είνι ισοσκελές Άσκηση 3 Γι δύο οποιδήποτε µη µηδενικά δινύσµτ,, ν δείξετε ότι: προ = Έστω τ δινύσµτ = i+ 4j κι = i j Ν ρεθεί η προ γ Έστω = 4i 3j κι = i+ 5j Ν ρεθεί η προ +

40 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Το διάνυσµ προ είνι συγγρµµικό µε το Σύµφων µε τη συνθήκη συγγρµµικότητς, υπάρχει λ R τέτοιο ώστε: προ =λ () Όµως =προ = λ =λ λ= () Οπότε χρησιµοποιώντς την () ή () γίνετι προ = = i+ 4j = (,4), = i j = (,-) Εποµένως = 4= Σύµφων µε το προηγούµενο ερώτηµ έχουµε: προ = = = = (,) Τελικά προ = γ Είνι = 4i-3j = (4,-3) κι = i+ 5j = (,5) Εποµένως + = (6,) κι + = 4 6 = 8 Σύµφων µε το πρώτο ερώτηµ έχουµε: + 8 8 7 54 προ + = = = (4, 3) =, 5 5 5 5 Άσκηση 4 Ν δειχθεί ότι κάθε εγγεγρµµένη γωνί σε ηµικύκλιο είνι ορθή Έστω Ο το κέντρο του κύκλου κι ΑΒ διάµετρος Θ δείξουµε ότι η γωνί Α Γˆ Β είνι ορθή Αρκεί ΓΑ ΓΒ= 0 Είνι ΓΑ ΓΒΟΑ = ΟΓ ΟΒΟΓ = ΟΑ ΟΓ ΟΑ ΟΓ =

Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 4 = ΟΑ ΟΓ ΟΑ+ΟΓ = ΟΑ ΟΓ = = ΟΑ ΟΓ = ( ) R R = 0 Άσκηση 5 Γι τ δινύσµτ κι ισχύουν:, + 3 κι γ = 4 Ν υπολογίσετε κι Είνι, άρ = 0 () Επίσης, + 3 + 3 = 0 () 3+ 3 = 0 3 = 0 () () Επιπλέον ισχύει = 4 = 6 + = 6 + = 6 (3) Αφιρούµε την () πό την (3) κι έχουµε: + + 3 = 6 4 = 6 = 4 = Αντικθιστούµε στην (3) κι έχουµε: + 4= 6 = = = 3 Άσκηση 6 Αν γι τ τρί δινύσµτ του επιπέδου,, γ ισχύουν ότι = = γ = κι + γ= ν δείξετε ότι = = γ Από τη σχέση + γ= έχουµε: συν, + γ συν γ, = άρ συν, +συν γ, = Επειδή συνφ γι ν ισχύει η πρπάνω σχέση πρέπει συν, = κι συν γ, = Εποµένως, 0 ο = κι, 0 ο γ =

4 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων ηλδή τ δινύσµτ, κι γ είνι οµόρροπ Επειδή έχουν κι ίσ µέτρ, έχουµε = = γ Άσκηση 7 Ν ποδείξετε ότι () Πότε ισχύει η ισότητ; Ν εξετάσετε πότε πό την ισότητ =γ προκύπτει = γ γ Αν + =+ ν δείξετε ότι Πίρνουµε τη σχέση () κι εργζόµστε µε ισοδυνµίες:, συν συν, 0 συν, 0 () Η τελευτί σχέση ισχύει φού, 0 κι συν, Εποµένως ισχύει κι η ρχική Από τη σχέση () πρτηρούµε ότι θ ίσχυε η ισότητ ν = 0 ή = 0 ή συν, = δηλδή, = 0 ή π, δηλδή, ότν τ δινύσµτ, είνι συγγρµµικά Εργζόµστε πάλι στην δοσµένη σχέση µε ισοδυνµίες: =γ γ = 0 γ = 0 Η τελευτί ισότητ όµως µπορεί ν ισχύει ν = 0 ή = γ ή γ Γι ν ισχύει λοιπόν µόνο το = γ πρέπει 0 κι ν µην είνι κάθετο στο γ γ i Αν, 0 Από τη δοσµένη σχέση έχουµε: + =+ + = + + = + + + + = + + = συν, =

Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 43 συν, = 0 συν, = 0 Άρ, 0 ο = δηλδή ii Αν ή = 0 τότε προφνώς, 0 συν, = Άσκηση 8 Αν =, =, () ν ρείτε την προολή του δινύσµτος ν= πάνω στο διάνυσµ u = + Είνι προ v = λ u, * λ R () u Επίσης u ν = u προ ν + =λ u u + = λ + (*) =λ 4 + 4+ =λ( 4 + 4) = 8λ λ = 4 (*)(διότι = 0 ) Άρ προ ν= u = + u 4 4 Άσκηση 9 ίνετι τρίγωνο ΑΒΓ κι Μ µέσο της πλευράς ΒΓ Είνι ΑΒ= 3, ΑΓ = κι π ΑΒΑΓ, = Ν υπολογίσετε το συνηµίτονο της γωνίς 6 Το συνηµίτονο της γωνίς (, ) ΑΒΑΜ είνι : (, ) ΑΒΑΜ ΑΒ ΑΜ συν( ΑΒΑΜ, ) = ΑΒ ΑΜ Ως γνωστόν γι τη διάµεσο ενός τριγώνου ισχύει ΑΜ = ( ΑΒ+ ΑΓ) () Εποµένως ΑΒ ΑΜ = ΑΒ ΑΒ+ ΑΓ = ΑΒ + ΑΒ ΑΓ = ()

44 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 3 = ΑΒ + ΑΒ ΑΓ συν, 3 3 3 ΑΒ ΑΓ = + = Σύµφων µε τη µέθοδο 3 κι τη σχέση () έχουµε ΑΜ = ΑΒ+ ΑΓ = ΑΒ+ ΑΓ = 4 4 3 3 = ΑΒ + ΑΒ ΑΓ+ΑΓ = 3+ 3 + 4 = 4 4 4 Άρ 3 ΑΜ = 3 6 6 39 39 Εποµένως η σχέση () γίνετι: συν ΑΒΑΜ, = = = = 3 39 39 3 3 Άσκηση 0 Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ Ν δείξετε ότι τ σηµεί Μ του επιπέδου γι τ οποί ισχύει ΑΒ ΑΜ+ ΑΓ ΑΜ = 0 ρίσκοντι σε ευθεί Πίρνουµε τη δοσµένη σχέση κι τη µετσχηµτίζουµε ΑΒ ΑΜ+ ΑΓ ΑΜ = 0 ΑΒ+ ΑΓ ΑΜ = 0 ΑΚ ΑΜ = 0 (όπου ΑΚ η διάµεσος του τριγώνου ΑΒΓ) ΑΚ ΑΜ= 0 οπότε ΑΚ ΑΜ Άρ το Μ ρίσκετι επάνω σε ευθεί (ε) που είνι κάθετη στη διάµεσο ΑΚ κι διέρχετι πό το σηµείο Α Άσκηση Ν δείξετε ότι γι τέσσερ οποιδήποτε σηµεί Α, Β, Γ, του επιπέδου ισχύει: ΑΒ Γ + ΑΓ Β+ Α ΒΓ = 0 () Ν δείξετε ότι τ ύψη ενός τριγώνου διέρχοντι πό το ίδιο σηµείο Έστω Ο σηµείο νφοράς Από τη σχέση () έχουµε: () ΟΒ ΟΑ Ο ΟΓ + ΟΓ ΟΑ ΟΒ Ο + Ο ΟΑ ΟΓ ΟΒ = 0 ΟΒ Ο ΟΒ ΟΓ ΟΑ Ο +ΟΑ ΟΓ+ΟΓ ΟΒ ΟΓ Ο ΟΑ ΟΒ+ ΟΑ Ο + Ο ΟΓ Ο ΟΒ ΟΑ ΟΓ+ ΟΑ ΟΒ = 0 0 = 0 που ισχύει Ας υποθέσουµε ότι σε τρίγωνο ΑΒΓ, δύο ύψη του είνι ΑΕ κι το ΒΖ τ οποί τέµνοντι στο Θ δείξουµε ότι κι το τρίτο ύψος περνά πό το Γι τ τέσσερ σηµεί Α, Β, Γ, ισχύει η σχέση ()

Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 45 Επειδή το Α είνι ύψος ισχύει : Α ΒΓ = 0 () Επειδή το Β είνι ύψος ισχύει : Β ΑΓ = 0 (3) Οπότε η () σύµφων µε τις () κι (3) γράφετι : ΑΒ Γ = 0, που σηµίνει ότι του τριγώνου ΑΒ Γ, δηλδή το Γ είνι επίσης ύψος Άσκηση Έστω, δινύσµτ του επιπέδου µε =, = κι το διάνυσµ u = x+ Ν ρεθεί το x R ώστε το u ν είνι ελάχιστο Γι την τιµή του x που θ ρείτε ν δείξετε ότι το διάνυσµ u είνι κάθετο στο Είνι u x = + = x + x+ () Η τιµή του x γι την οποί είνι το u ελάχιστο είνι ίδι µε υτήν γι την οποί είνι το u ελάχιστο Από τη σχέση () πρτηρούµε ότι το u είνι τριώνυµο ως προς x Γνωρίζουµε ότι έν λ τριώνυµο kx + λx + µ λµάνει ελάχιστη τιµή γι x =,ν k > 0 k Άρ το u γίνετι ελάχιστο ότν : συν, x = x = x = συν, Γι υτή την τιµή του x το u γίνετι: u, συν = + Γι ν δείξουµε ότι u, ρκεί ν δείξουµε ότι u = 0 Έχουµε : u = συν, + = συν, += = συν, 4+ συν, = συν, + συν, = 0 Άρ u Άσκηση 3 ίνοντι δύο µη συγγρµµικά δινύσµτ κι του επιπέδου Ν ποδείξετε

46 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων ότι οποιοδήποτε διάνυσµ γ του επιπέδου µπορεί ν γρφεί ως γρµµικός συνδυσµός των κι κτά µονδικό τρόπο ίνοντι τ κάθετ δινύσµτ κι µε =, = Ν ρεθεί συνρτήσει των κι το µονδιίο διάνυσµ u το οποίο νήκει στο ίδιο επίπεδο µε τ κι κι διχοτοµεί την γωνί των, Έστω Ο η κοινή ρχή των,, γ κι O Γ=γ Από το Γ φέρνουµε ΓΑ// κι ΓΒ// Είνι ΟΓ = ΟΑ+ ΑΓ = κ + λ, κ, λ R Άρ γ =λ+κ () δηλδή το γ γράφετι ως γρµµικός συνδυσµός των, Μονδικότητ: Έστω γ=µ+ν, µν, R () Από (), () συµπερίνουµε λ+κ = µ + ν ( λ µ ) = ( ν κ) (3) Αν λ µ 0 τότε ν κ = δηλδή // που είνι άτοπο Οµοίως ν ν κ 0 λ µ Τελικά γι ν ισχύει η (3) πρέπει λ = µ κι ν = κ, δηλδή το γ γράφετι κτά µονδικό τρόπο ως γρµµικός συνδυσµός των κι Το διάνυσµ u σύµφων µε το προηγούµενο ερώτηµ, γράφετι κτά µονδικό τρόπο ως γρµµικός συνδυσµός των, ηλδή u =λ+µ, λ, µ R Τ δινύσµτ, είνι κάθετ κι το u διχοτοµεί την γωνί τους Άρ σχηµτίζει γωνί 45 ο µε κάθε έν πό υτά Επιπλέον = 0 (4) Έχουµε: (4) u λ+µ λ + µ συν,u = = = u λ = 4λ = λ =

Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 47 λ µ (4) u + λ µ Ακόµ: συν,u + = = = u µ 4 = µ= Τελικά 4 u = + 4 Άσκηση 4 Έστω, δύο µη συγγρµµικά δινύσµτ Αν x+ ψ= 0 () ν δείξετε ότι x = ψ = 0 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Από τυχίο σηµείο Ζ της ΑΒ φέρνουµε πράλληλη προς τη ΒΓ AΖ AΗ που τέµνει την ΑΓ στο Η Ν δείξετε ότι: = AB AΓ ψ Έστω x 0 Τότε x+ ψ = 0 = που σηµίνει x ότι //, άτοπο γιτί κι µη συγγρµµικά Άρ x = 0 Από την () γι x = 0 έχουµε 0+ ψ= 0 ψ = 0 Οµοίως, ν ψ 0 κτλήγουµε σε άτοπο Επειδή Α, Ζ, Β συνευθεικά, τ δινύσµτ ΑΖ κι σύµφων µε τη γνωστή συνθήκη ΑΖ = κ ΑΒ () µε κ > 0 AZ Άρ AB =κ (4) Οµοίως ΑΗ = λ ΑΓ (3) µε λ > 0 Άρ AH A Γ =λ (5)Επειδή ΖΗ// ΒΓ θ είνι ΖΗ = µ ΒΓ, µ > 0 (),(3) Έτσι έχουµε: ΖΗ = µ ΒΓ ΑΗ ΑΖ = µ ΑΓ ΑΒ ( ) ( ) συγγρµµικά, σύµφων µε το προηγούµενο ερώτηµ, θ είνι : λαγ καβ=µ ΑΓ µ ΑΒ λ µ ΑΓ = κ µ ΑΒ Επειδή τ ΑΒ είνι συγγρµµικά εποµένως ΑΓ, ΑΒ δεν είνι λ - µ = 0 κι κ - µ = 0 Άρ λ = µ = κ (6) Από τις σχέσεις (4), (5), (6) προκύπτει ότι: AΖ AΗ = AB AΓ

48 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Άσκηση 5 Αν = 3, =, γ = κι γι τ τρί δινύσµτ,, γ ισχύει η σχέση 3γ = 0 () ν υπολογισθεί η τιµή της πράστσης + γ+ γ Από τη σχέση () έχουµε: = 3γ οπότε = 9γ 4+ 4 = 9γ 4 = + 4 9γ Άρ 4 = 9+ 6 9 = 4 Οµοίως εργζόµενοι, µπορούµε ν υπολογίσουµε τ γ κι γ Είνι γ = κι 3 4 4 9 γ= Εποµένως: + γ+ γ = 4 + = = 3 3 3 3 3 Άσκηση 6 ίνετι διάνυσµ 0 κι το στθερό σηµείο Α Ν ρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Κ του επιπέδου γι τ οποί ισχύει: ΑΚ = λ, λ R i Aν λ = 0 τότε ΑΚ = 0, δηλδή: ΑΚ οπότε το Κ κινείτι σε ευθεί κάθετη στο φορέ του που περνάει πό το δοσµένο σηµείο Α ii Aν λ 0 κι Α η ρχή του δινύσµτος κι Η η προολή του σηµείου Κ στον φορέ του, τότε : ΑΚ = λ προ ΑΚ = λ ΑΗ = λ, οπότε ΑΗ = λ ΑΗ = λ Άρ το σηµείο Η ρίσκετι σε στθερή πόστση πό το σηµείο Α Εποµένως το Κ κινείτι σε ευθεί κάθετη στο φορέ του που περνάει πό το στθερό σηµείο Η Άσκηση 7 ίνοντι τ στθερά σηµεί Α, Β Ν ρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ γι τ οποί ισχύει: ΜΑ ΜΒ= λ, (λ θετικός πργµτικός)

Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 49 Έστω Ο το µέσο του τµήµτος ΑΒ Είνι ΜΑ ΜΒ= λ ΜΟ+ ΟΑ ΜΟ+ ΟΒ = λ ΜΟ+ΟΑ ΜΟ ΟΑ =λ ΜΟ ΟΑ =λ ΑΒΑΒΑΒ ΜΟ =λ+ ΟΑ ΜΟ =λ+ ΜΟ =λ+ ΜΟ = λ+ 4 4 Άρ το Μ πέχει πό το στθερό σηµείο Ο στθερή πόστση λ+ AB 4, δηλδή κινείτι σε κύκλο µε κέντρο Ο (το µέσο του ΑΒ) κι κτίν R = AB λ+ 4 Άσκηση 8 π Έστω θ η γωνί των δινυσµάτων ΟΑ κι ΟΒ, 0 < θ < Ν δείξετε ότι το εµδόν του πρλληλογράµµου ΟΑΓΒ είνι: Ε = ΟΑ ΟΒ εφθ = ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ Έστω Ε το εµδόν του ΟΑΓΒ Είνι Ε= ΟΑ ΒΗ () BH Επίσης ηµθ= BH = OB ηµθ () OB Η () γίνετι σύµφων µε τη (): Άρ Ε= ( ΟΑ ΟΒ εφθ ) ηµθ Ε = ΟΑ ΟΒ ηµθ = ΟΑ ΟΒ συνθ συνθ Ακόµ έχουµε: Ε= ΟΑ ΟΒ ηµθ= ΟΑ ΟΒ ηµ θ= ΟΑ ΟΒ συνθ ( ) = = ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ συν θ = ΟΑ ΟΒ ΟΑ ΟΒ ( )

50 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Άσκηση 9 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε AΒ AΓ ( Α = 90 ο ) ν ποδείξετε τις σχέσεις: AB = B Γ B AΓ =ΓB Γ, όπου Α ύψος γ AΒ+ΑΓ =ΒΓ (Πυθγόρειο Θεώρηµ) Είνι A Β=ΑΒ AB= A + B AΓ+Γ B = ( )( ) ( A ΓΒ) A AΓ+ A Γ B+ B AΓ+ B Γ B = = ( A + B ) AΓ+ΓB B= AB AΓ+ΓB B ΑΒ ΑΓ = 0+ ( BΓ)( B ) = B Γ B Οµοίως ποδεικνύετι ότι A Γ = ΓΒΓ () ΒΓ Β A Γ = ΓΒΓ = ΓB Γ = BΓ Γ = ( ΒΓ )( Γ) () ΓΒ Γ Προσθέτουµε τις σχέσεις () κι () κι έχουµε: AΒ + AΓ = ( Β Γ) ( Β ) + ( Γ ) = ( Β Γ)( Β Γ ) = ( Β Γ ) = BΓ = BΓ γ Είνι A Β =ΒΓΒ = B Γ B = ( ΒΓ)( Β ) Άσκηση 0 Μι ορθή γωνί στρέφετι γύρω πό τη κορυφή της Α (, ) Οι πλευρές της τέµνουν τους άξονες x x κι y y στ σηµεί Β κι Γ ντίστοιχ κι έστω Μ το µέσο του ΒΓ Ν δείξετε ότι το Μ κινείτι σε ευθεί Έστω ότι τ σηµεί Β κι Γ έχουν συντετγµένες Β (, 0) κι Γ (0, γ) Επειδή ˆ L Α= ΑΒ ΑΓ οπότε ΑΒ ΑΓ = 0 () Είνι ΑΒ= (, ) κι ΑΓ = (, γ ) κι η () γίνετι: γ + 4= 0 + γ = 5 () Το µέσο Μ του τµήµτος ΒΓ έχει συντετγµένες 0+ γ+ 0 γ, =, = x M,y ( ) γ 5 ιιρώντς τη σχέση () µε έχουµε: + = ηλδή 5 xμ + yμ = xμ + 4yΜ = 5 Άρ το Μ κινείτι στην ευθεί x + 4y = 5 M

Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων 5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν χρκτηρίσετε τις επόµενες προτάσεις µε την ένδειξη Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ίνοντι τ σηµεί Α (- 5, - ), Β (3, - ), Γ (, 0), τότε: i Τ σηµεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά 3 ii Τ µέσ των ΑΒ κι ΒΓ ντίστοιχ: Μ,, Ν 7, iii MN ΑΓ= 0 ίνοντι τ δινύσµτ ΟΑ =, ΟΒ= 6 κι ΟΓ = 3 3 i Τ σηµεί Α, Β, Γ είνι συνευθεικά ii ΑΒ= ΒΓ iii ΑΒΒΓ, = π 8 γ Είνι =, ν κι µόνο ν, τ δινύσµτ, έχουν την ίδι κτεύθυνση δ Έστω,, γ µη µηδενικά δινύσµτ Τότε: = γ = γ ή γ = 0 ε Γι οποιδήποτε δινύσµτ, ισχύει: + + = + στ Αν, είνι µη µηδενικά δινύσµτ κι ισχύει: =+, τότε: i = = 0 ii iii ζ Αν = i 3j κι = 3i+ j, τότε: i ii = + iii η + = +, είνι οµόρροπ συν, + = 0 3 θ Αν = i + j κι = 3i + j, τότε ο (,) = 60 ι Θεωρούµε δυο ίσ δινύσµτ, 0, τότε: i = ii iii κ Αν = 3 τότε = 3 λ Αν = 3, τοτε: = 3 µ Γι οποιδήποτε δινύσµτ,, ισχύει: = 3 = 3 ν Τ δινύσµτ x κι y είνι κάθετ Τότε: ( x + y) x = x

5 Εσωτερικό γινόµενο δινυσµάτων Ν ρεθεί η γωνί των δινυσµάτων = (, 3) κι ( 3,3) 3 Αν = = 4 Αν = = κι ( ) κι θ= (,) π = ν ρείτε τη γωνί των δινυσµάτων u = +, ν = + 3 ν δείξετε ότι: θ = ηµ (Υπ: Ν υπολογίσετε το ) 5 Αν γι τ δινύσµτ, ισχύει: = = + ν δείξετε ότι = 3 (Υπ: Υψώστε τις δοσµένες σχέσεις στο τετράγωνο) 6 Ν δείξετε ότι οι φορείς των δινυσµάτων = i + 3j σχηµτίζουν ορθογώνιο τρίγωνο 7 Έστω ΑΒΓ είνι ορθογώνιο τριγώνο µε AΒ AΓ Αποδείξτε ότι ( ) ( )( ) Θεωρούµε δύο µη µηδενικά δινύσµτ τέτοι ώστε: προ Ν ποδείξετε ότι : γ Ν ρείτε τη γωνί Α = Β Γ = = Ν ρείτε το λογο : (, ) (Υπ: ( ) Ε ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ δ Ν ρείτε τον λ R u = + λ κι, = 6i + 4j, γ = 4i + 7j (Απ: Είνι + = γ κι = 0 ) ( Α= 90 ο ) κι Α είνι το ύψος του Α = A = A = A A = ) 4 κι 4 προ =, ώστε τ δινύσµτ u = + ν είνι κάθετ (Απ: 4, γ π 3, δ λ = ) 5