ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ( ) 6e ) ( + ) ) 3) ( + ) 3 + + ( 5) 3 5 ) + 3 6) + 3 ( + ) Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) cos sin ) cos ( 3) cos sin ) 3 5 cot tan 3 5) cos 6) Ασκηση 3. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: sin ) cos + sin ) 3) sin Μέθοδος Αντικατάστασης + ( + ) Ασκηση 4. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) ) cos 5 3) ( 6) 5 + 4 5) 6) 5 + 3 6 ( )
Ασκηση 5. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 9 ) ) t t 7 3) 3 + 5) 3 + Ασκηση 6. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) tan ) cot 3) cos 3 7) ( sin 3 5) cos t ) sin t dt 6) sin cos 8) 4 cos sin( ) sin cos (sin + cos ) 9) Ασκηση 7. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ln ) e e e ) 3) e e 5) 5 e e 6) + ln e 8 + e 8 Ασκηση 8. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 4 ln e ) ) 3) sinh e ( ) 5) Ασκηση 9. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: cos ) e 3 ) sin e sin cos 5) 7) + ln 5 + ln 3) tan 3 6) cot csc 8) sin sin 3 tan sec sin
Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: + cos 5 ) + 4 + 3 ) e arctan + ln( + ) + sin 7 3) + tan 5 sec 7 5) 7) cos(ln ) tan 5 csc 6) ln ln t sin 8) 9) dt (ln ) t Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) ) cos 4 5 + ln + e 3) arcsin arctan 5) 4 + 6) Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) sin cos 5 ) cos 7 cos 3 3) sin sin 4 3 arctan + sin cos (Υπόδειξη:Χρησιμοποιήστε τις ταυτότητες sin cos y = sin(+y)+sin( y), cos cos y = cos( y) + cos( + y), sin sin y = cos( y) cos( + y)) Ασκηση 3. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ln(ln ) ) ) ln(cos ) tan 3) ln + sin 5) e e + Ασκηση 4. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) a +, a ) a, a > 8 5) 4 3) 6) 7 + 5 3 +
4 Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες (παραγοντική) Ασκηση 5. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) e ) (3 )e 3) e 3 e 5) ( + + )e 6) 3 e Ασκηση 6. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) cos ) sin 3) 3 sin cos 5) ( + 5 + 6) cos Ασκηση 7. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) e cos ) e sin 3) e sin cos sin 5) sin sin 3 6) e 5 cos 4 Ασκηση 8. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) ln ) arctan 3) ln 5) κ ln, κ N 6) arcsin sin (ln ) Ασκηση 9. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) ln ( + ) + ) ln 3) ln ln (ln ) ln 5) 6) 5 ln ( + )
Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) e ) ( + ) sin 3) arcsin 5) arctan + Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) arcsin ) arctan 3) ln ( ) 5) tan 6) Ασκηση. Να αποδειχθούν οι ακόλουθοι αναγωγικοί τύποι: cos 5 6) arcsin + ln ( + ) sec 3 tan () Αν I n = cos n, n N {}, τότε I n = cosn sin + n n n I n. () Αν I n = sin n, n N {}, τότε I n = sinn cos + n n n I n. (3) Αν I n = tan n, n N {}, τότε. I n = cosn sin + n n n In Ασκηση 3. Να αποδειχθούν οι ακόλουθοι αναγωγικοί τύποι: () Αν I n = ln n, n N, τότε I n = ln n ni n. () Αν I n = n e a, n N, τότε I n = a n e a n a I n. (3) Αν I n = (a ) n, τότε I n = n 3 a (n ) I n + a (n ) (a ) n.
6 Ολοκληρώματα Ρητών Συναρτήσεων Ασκηση 4. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) ) 3) 3 6 5) 5 + (4 + 6) ) 7) ( 8) + 3) ( + 9) ) Ασκηση 5. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) ) + + 3) + 7) + 5) 5 + 4 + ( 8) + + ) 3 6) 5 + 7 5 + 9 ( 9) + ) Ασκηση 6. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: + 4 ) ) + 5 + 6 3) + + 7 3 + 5) 3 (6 + ) 7 e t e t + 3e t dt 6) + Ασκηση 7. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) ( + )( ) + ) 3 3) + 3 + + 4 + 5) + 4 6) + (Υπόδειξη: 4 + = ( + )( + + ).) + 6 (6 + ) + + 4 + 5 + 3 4 ( + 4 + 9) ( ) e t e t + e t + dt + ( + )( + + ) + 3 3 + + 3 5
7 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα της Μορφής R (sin, cos ) Ασκηση 8. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: cos + sin ) ) 3) + cos + cos 5) sin cos Ασκηση 9. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: sin 3 ) ) cos sin 3 3) + cos sin cos 4 5) 7) cos 5 6) sin cos 8) sin cos 5 Ασκηση 3. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: + cos ) sin ) 3) + sin 3 + 5 sin Ολοκληρώματα της Μορφής R (, m + sin 5 + 4 cos sin ( cos ) 3 + sin sin ( ) ) a+b k, ( ) kn..., mn a+b c+d c+d Τα ολοκληρώματα αυτά υπολογίζονται με την αντικατάσταση u = m a+b c+d, όπου m = εκπ (m,..., m n ). Ασκηση 3. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: + + ) ) ( + 3 ) + 3 3) 3 5) ( ) 3 4 6) + + 3 5
8 Ολοκληρώματα της Μορφής R (, a + b, c + d ) Τα ολοκληρώματα αυτά υπολογίζονται με την αντικατάσταση u = a + b ή u = c + d Ασκηση 3. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: + ) ) + ) dt 3) t 4 t Ολοκληρώματα της Μορφής ϱ ( a + b β ) δ, ϱ, β, δ Q Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: + 5 + Εάν δ Z, ϱ = k λ, β = µ ν, τότε θέτουμε = uτ, όπου τ = ɛκπ(λ, ν) Εάν ϱ + Z, δ = µ β ν, τότε θέτουμε a + bβ = u ν ( ) ϱ + µν a + bβ Εάν + δ Z, δ =, τότε θέτουμε a + bβ = u ν β Ασκηση 33. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: 5 ( + 3 ) ) ( ) 3 + 4 5) 7 ( 4 + ) /3 β 3) 3 ( + ) + 3 6) 3/5 3
Ολοκληρώματα της Μορφής ( R, ) ±(a ± b ) 9 Τα ολοκληρώματα αυτά υπολογίζονται με την αντικατάσταση b a tan ω ή cot ω ή sec ω ή csc ω. = sin ω ή cos ω ή Ασκηση 34. Να υπολογισθούν τα ακόλουθα ολοκληρώματα: 3 ) ) 4 (a 3) b ) 3 4 5) 4 (Υπόδειξη:(sec ω + tan ω) = sec ω tan ω + sec ω) Ολοκληρώματα της Μορφής ( R, ) a + b + c 6) Τα ολοκληρώματα αυτά υπολογίζονται με την αντικατάσταση a + b + c = t a, όταν a > και την αντικατάσταση κ ± λ = µ sin t όταν a < φέρνοντας το τριώνυμο στη μορφή µ (κ ± λ). Επίσης, αν a + b + c = a( ρ )( ρ ), τότε θέτουμε a( ρ )( ρ ) = t( ρ ) ή t( ρ ). Ασκηση 35. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) ) 3 + 5 + 4 + 4 + + 5) 3) + 6) + + 5 + 6 + +
ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ) Ασκηση 36. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: π ( cos ) sin 3) e 5 + ) 3 + π 3 ) ) 5) + 3t 5 t dt 6) Ασκηση 37. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: π arctan ) cos 5) π e sin 3) + + + ( 3)e 6) Ασκηση 38. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) π 4 sin ) 5) e e 3 ln 3) π π arctan 6) Ασκηση 39. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) e e ) 4 ln( + ) e ln sin cos π 5 3) 5 + 6 Ασκηση 4. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: π π sin ) f(), f() = 3) { +, < e 5, π 4 cos 4 + 9 + ( )
) Ασκηση 4. Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο [ a, a] και () περιττή, τότε a a f() =. () άρτια, τότε a a f() = a f(). Ασκηση 4. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: π 4 3 3 sin 5 ) 3 + tan cos coth 8 5) 5 7) 3 ( + ) 3) 3 8) 4 Ασκηση 43. Να λυθεί η εξίσωση Ασκηση 44. Να αποδείξετε ότι + = 5 5 5 4 3 9 6) 9 6 4 dt t + 4t = π 4 π 4 + tan θ dθ = 4 ln + π 8 (απ. = 3) Ασκηση 45. Υπολογίστε την παράγωγο των ακόλουθων συναρτήσεων: 3)f() = )f() = a 5 a + sin dt )f() = t dt + t + sin t 5)f() = 3 a +sin dt t a f() = b a + sin t dt 3 a cos 3 t dt + t + sin t dt
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Α) Υπολογισμός Εμβαδού Επίπεδου Χωρίου Ασκηση 46. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από: α: τη C f της f() = 5 + 6 και τον άξονα των. β: τη C f της f() = 7 + και τον άξονα των. γ: τη y =, τον άξονα των y y και τις ευθείες y =, y =. δ: τη C f της f() = + και τον άξονα των. Ασκηση 47. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες: α: y =, y = β: y = 4, y = γ: = y, y =, y = 3 δ: y =, y = ε: y = sin, y = cos για [, π] Β) Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Ασκηση 48. Να υπολογισθεί το μήκος της καμπύλης: α: y = 3 για [, 4]
β: = y3 3 + 4y από y = ως y = 4 γ: y = ln(cos ) για [, π 6 ] δ: = y 4 ln y για y Ασκηση 49. Να υπολογισθεί το μήκος της: α: αστροειδούς καμπύλης /3 + y /3 = a /3 β: καμπύλης που βρίσκεται στο ο και 4ο τεταρτημόριο και ορίζεται από τις καμπύλες y = 3 και + y = Ασκηση 5. Να υπολογισθεί το μήκος της καμπύλης με παραμετρικές εξισώσεις: α: = r cos t, y = r sin t, t [, π] β: = t sin t, y = cos t, t [, π] γ: = e θ sin θ, y = e θ cos θ, θ [, π] Γ) Υπολογισμός Εμβαδού Επιφάνειας εκ Περιστροφής Ασκηση 5. Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή : α: του ημικυκλίου + y = 3 γύρω από τον άξονα των β: του τόξου της καμπύλης y = sin t από το A(, ) ως το B( π, ) γύρω από τον άξονα των γ: της αστροειδούς καμπύλης /3 + y /3 = r /3, r > γύρω από τον άξονα των 3
4 δ: του τόξου της καμπύλης 9a = y(3a y), a > για y [.3a] γύρω από τον άξονα των y Δ) Υπολογισμός Ογκου Στερεού εκ Περιστροφής Ασκηση 5. Να υπολογισθεί ο όγκος των στερεών τα οποία προκύπτουν από την περιστροφή των ακόλουθων επίπεδων χωρίων που ορίζονται από τις καμπύλες: α: y = 8 και = γύρω από τον άξονα των β: y = 4, =, y = γύρω από τον άξονα των y γ: y = 8, = γύρω από την ευθεία = δ: + y = 6, y = + 4 γύρω από τον άξονα των ε: y = 4, y + = 4 γύρω από τον άξονα των y στ: y =, y = 8 γύρω από τον άξονα των y (απ. α)6π, β) 48π/5, γ) 56π/5, δ) 64π/3, ε) 8π/3, στ) 4π/5 ) Ασκηση 53. Να υπολογισθεί ο όγκος του ελλειψοειδούς που προκύπτει από την περιστροφή της έλλειψης a + y = γύρω από τον άξονα O. b (απ. 4 3 πab )
5 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α) α είδους Ασκηση 54. Να υπολογισθούν τα γενικευμένα ολοκληρώματα: + ) + 4 + 5 3 ) 5) + + 3) e sin 6) e 3 + + Ασκηση 55. Να υπολογίσετε το + για τις διάφορες τιμές του ρ ρ R. (απ. + όταν ρ και ρ όταν ρ > ) Ασκηση 56. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή της y = γύρω από την οριζόντια ασύμπτωτή της. + β) β είδους Ασκηση 57. Να υπολογισθούν τα γενικευμένα ολοκληρώματα: ) ln ) 3 5) ( ) 3) e 5 5 6) ( ) (απ. ln /3 π ) ( )
6 γ) γ είδους Ασκηση 58. Να υπολογισθούν τα γενικευμένα ολοκληρώματα: ) ) + 3) + 4 + 4 e e t ln t dt