ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΥΣΤΗMAΤΩΝ

Εισαγωγή - Έννοιες Ένα ασταθές αντικείμενο προκαλεί γενικά ανεπιθύμητες παρενέργειες ή και καταστροφές Γενικά ένα ευσταθές σύστημα έχει μία οριοθετημένη τιμή στην απόκρισή του και τείνει να επιστρέψει στην αρχική του κατάσταση, όταν δεχθεί μια διέγερση μικρής διάρκειας στην είσοδό του.

Εισαγωγή - Έννοιες Η ευστάθεια ενός συστήματος κλειστού βρόχου εξαρτάται από τις θέσεις των ριζών του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου. Μέθοδοι εξέτασης της ευστάθειας: πότε ένα Σ.Α.Ε είναι ευσταθές και πόσο ευσταθές είναι. Με την εξέταση των ριζών της Χ.Ε αλλά και με την εξέταση των συντελεστών της.

Ευστάθεια και απόκριση Ένα σύστημα είναι σταθερό τότε και μόνον όταν ισχύει η σχέση: g t dt όπου g(t) είναι η απόκριση του συστήματος σε έναν στιγμιαίο παλμό

Ευστάθεια και απόκριση Οι θέσεις των πόλων του συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο μάς δίνουν την μορφή της εν λόγω απόκρισης. Η ύπαρξη πόλων στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο συνεπάγεται μία συνεχή αύξηση της τιμής της απόκρισης, δηλαδή αστάθεια. στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο συνεπάγεται μία ελλατούμενη απόκριση, δηλαδή ευστάθεια. πάνω στον φανταστικό άξονα μία ταλαντούμενη απόκριση, στα όρια μεταξύ ευστάθειας και αστάθειας.

Ευστάθεια και απόκριση Q k R m m m m k N M i i z K Q P F Σ' ένα γραμμικό σύστημα Κ.Β η Σ.Μ του, μπορεί να γραφεί υπό μορφή: όπου Q()=Δ() είναι η Χ.Ε, της οποίας οι ρίζες είναι οι πόλοι του Σ.Α.Ε.Κ.Β. Η απόκριση του συστήματος σε στιγμιαίο παλμό όταν N= θα είναι: R m m t m m Q k t k t e B e A t C m k i

Ευστάθεια και απόκριση C Q t kt m t Ak e Bm e i m t k R m Από την μορφή της απόκρισης φαίνεται καθαρά ότι εάν θέλουμε ευστάθεια θα πρέπει όλοι οι πόλοι να βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα Σ.Α.Ε.Κ.Β θα πρέπει όλοι οι πόλοι της Σ.Μ να έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. m

Κριτήριο ROUTH Η Χ.Ε ενός Σ.Α.Ε.Κ.Β μπορεί να γραφεί υπό μορφή: και υπό μορφή γινομένου παραγόντων:

Κριτήριο ROUTH Πολ/σιάζοντας τους συντελεστές μεταξύ τους έχουμε: Q 4

Κριτήριο ROUTH Εξετάζοντας την σχέση βλέπουμε ότι: για να έχουμε όλες τις ρίζες στο αριστερό ημιεπίπεδο, θα πρέπει όλα της τα πολυώνυμα να έχουν το ίδιο πρόσημο. Επίσης για ένα ευσταθές σύστημα θα πρέπει να μην υπάρχουν ρίζες μηδενικές. Αν και οι δύο αυτές προϋποθέσεις είναι απαραίτητες για την ευστάθεια, εν τούτοις δεν είναι αρκετές. Αν όμως δεν πληρούνται, αυτόματα το σύστημα είναι ασταθές. Συνήθως όταν οι δύο αυτές προϋποθέσεις τηρούνται πρέπει να επιβεβαιώσουμε την ευστάθεια του και με διαφορετικό τρόπο.

Παράδειγμα 4 8 Q Είναι ασταθές, αν και οι συντελεστές της Χ.Ε του είναι όλοι θετικοί. Το κριτήριο Rοuth-Huwit είναι ωστόσο μία ικανή και αναγκαία συνθήκη της ευστάθειας.

Κριτήριο ROUTH (διαδικασία) Βάζουμε τους όρους της Χ.Ε κατά σειράν φθίνοντος μεγέθους Στην συνέχεια γεμίζουμε τις δύο πρώτες γραμμές ενός πίνακα ως εξής: 4... 5...

Κριτήριο ROUTH (διαδικασία) κατόπιν συμπληρώνουμε περαιτέρω τις στήλες του πίνακα: 4 5 b b b 5 c c c 5......... h

Κριτήριο ROUTH (διαδικασία) όπου: b 5 4 5 4 b b b b b b b c

Κριτήριο ROUTH (διαδικασία).. και ούτε καθ εξής μέχρι που να συμπληρώσουμε όλα τα στοιχεία. Το κριτήριο Rοuth-Huwitz λέει ότι: Ο αριθμός των ριζών της Q() με πραγματικό θετικό μέρος, ισούται με τον αριθμό των αλλαγών των προσήμων της πρώτης στήλης του πίνακα. Το κριτήριο απαιτεί να μην υπάρχουν αλλαγές προσήμων στα στοιχεία της στήλης για να είναι το σύστημα σταθερό, πράγμα που είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη.

Κριτήριο ROUTH (περιπτώσεις ) Περίπτωση η: Κανένα μηδενικό στην πρώτη στήλη Παράδειγμα : Q b Το κριτήριο πληρούται αν οι συντελεστές α είναι θετικοί b

Παράδειγμα : b Το κριτήριο πληρούται αν: c b b b c Για: έχουμε ταλάντωση και οι πόλοι βρίσκονται στον φανταστικό άξονα Q

Παράδειγμα : j 7 j 7 4 Q Όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι θετικοί. Ωστόσο εφαρμόζοντας το κριτήριο έχουμε: 4-4 Επειδή υπάρχουν δύο αλλαγές προσήμου στην η στήλη, σημαίνει ότι έχουμε δύο ρίζες στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο.

Κριτήριο ROUTH (περιπτώσεις ) Περίπτωση η: Έχουμε μηδενικά στην πρώτη στήλη αλλά στην ίδια γραμμή υπάρχουν μη μηδενικά στοιχεία. Παράδειγμα : 5 4 Q 4 5 4 4 ε 6 C d 4 6c c d 6 c Υπάρχουν δύο αλλαγές προσήμου οφειλόμενες στον αρνητικό αριθμό c. Έτσι το σύστημα είναι ασταθές με δύο πόλους στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο.

Παράδειγμα : 4 K Q 4 K ε Κ c Κ K K c Έτσι για κάθε τιμή του Κ το σύστημα είναι ασταθές.

Κριτήριο ROUTH (περιπτώσεις ) Περίπτωση η: Όλα τα στοιχεία μιας γραμμής είναι μηδέν. Παράδειγμα : Q 4 K 4 8 K K K Για Κ8 έχουμε ευστάθεια Για Κ=8 έχουμε αυτοταλάντωση και το βοηθητικό πολυώνυμο είναι: U K 8 4 j j Συχνότητα της αυτοταλάντωσης: d ec

Παράδειγμα : 5 4 4 4 6 Q 5 4 4 4 6 - -6 6 Το βοηθητικό πολυώνυμο θα είναι: d ec U 6 j j

Παράδειγμα : Για να εξάγουμε τους υπόλοιπους πόλους διαιρούμε την Χ.Ε δια του βοηθητικού πολυωνύμου και έχουμε: Q - Οι δύο αλλαγές προσήμου στην πρώτη στήλη δείχνουν (εκτός των δύο φανταστικών) και την παρουσία δύο πόλων στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο πού κάνουν το σύστημα όχι μόνον ταλαντούμενο αλλά και ασταθές.

Παράδειγμα : + - Ελεγκτής Κεφαλή R C K K G Q 6 6 4 K K Q

Παράδειγμα : 4 Q 6 K 6 K 4 K. 6 K+6 b K. c K. c b b 6 K 6 K 6 b 6 K Ο συντελεστής c δίνει τις ανεκτές τιμές για τα μεγέθη K και,ενώ ο b ορίζει το K να είναι μικρότερο του 6. Θέτοντας τον c = για την συνθήκη της αυτοταλάντωσης έχουμε: K 6 K K 6 6K 66 K Π.χ για K=4 θα είναι,69 6 K

Σχετική ευστάθεια Σ.Α.Ε.Κ.Β Κριτήριο Rοuth-Ηuwitz:Ευστάθεια Αστάθεια Πολλές φορές θέλουμε να ξέρουμε και πόσο ευσταθές είναι ένα σύστημα, δηλαδή πόσο απέχει απ'την αστάθεια. Αυτή η γνώση λέγεται σχετική ευστάθεια του συστήματος και δίνεται από τις σχετικές αποσβέσεις κάθε πόλου της χαρακτηριστικής εξίσωσης ή ακόμα από τον χρόνο απόκρισης κάθε πόλου (ή ζεύγους πόλων). Μ άλλα λόγια η σχετική ευστάθεια μπορεί να δοθεί από το πραγματικό μέρος κάθε πόλου.

Σχετική ευστάθεια Σ.Α.Ε.Κ.Β jω σ -σ * * O πόλος είναι σχετικά πιο σταθερός από το ζεύγος των πόλων, *.

Σχετική ευστάθεια Σ.Α.Ε.Κ.Β Γενικά, εξετάζοντας ξανά την Χ.Ε του συστήματος μπορούμε να εξάγουμε μεθόδους για την γνώση της σχετικής ευστάθειάς του. Αυτό μπορεί να γίνει αλλάζοντας την μεταβλητή, πράγμα πού μεταφέρει τους άξονες του πεδίου για να χρησιμοποιηθεί στην συνέχεια το κριτήριο Rοuth-Ηυwitz. Q Παράδειγμα: 4 6 4 4 6 4

Σχετική ευστάθεια Σ.Α.Ε.Κ.Β 4 6 4 Yπάρχουν πόλοι φανταστικοί στον μετατοπισμένο φανταστικό άξονα οι όποιοι μπορούν να υπολογισθούν από το βοηθητικό πολυώνυμο. U j j j j

Παράδειγμα υπολογισμού ευστάθειας F K 5 5 K Σ.Μ.Κ.Β 4 7 5 5 K K Q 4 5 K 7 5+K 8-K 4K 8 K 5 K 8 K 98K 4K Μετά από πολ/σιασμό x7 Ο συνδυασμός των σειρών,,, μας δίνει για το Κ: Κ 8,