TEÓRIA FIRMY: Výroba, Náklady

TEÓRIA FIRMY: Výroba, Náklady Prednáška 2.

rozhodnutia na strane ponuky Hlavný cieľ firmy = maximalizácia zisku

VÝROBA Čo je produkcia (výroba)? je proces, v rámci ktorého firmy kombinujú výrobné vstupy, s použitím danej technológie, tak aby vyprodukovali výstup. Aké sú základné výrobné vstupy? pôda, práca a kapitál

Základné otázky, ktoré rieši firma pri svojom rozhodovaní: Čo sa bude vyrábať a v akom množstve? Ako budú kombinované výrobné faktory pri výrobe?

Produkčná funkcia vyjadruje, ako sa bude meniť výstup, ak sa zmení niektorý zo vstupov alebo všetky vstupy. TPP Q = f K, L, A (kapitál (K), práca (L), pôda (A)) zjednodušený model uvažuje len prácu a kapitál

Produkčná funkcia Vstupy (pôda, práca, kapitál,...) Technológia Výstup (statky)

Podoba produkčnej funkcie závisí od: technickej úrovne kapitálových statkov používanej technológie spôsobu riadenia kvality práce a pod.

Rozhodovanie firmy v rôznych časových horizontoch. firma prijíma rozhodnutia v dvoch časových horizontoch: v krátkom období v dlhom období

Krátke obdobie najdlhšie časové obdobie, v priebehu ktorého nemožno meniť objem minimálne jedného zo vstupov používaných vo výrobnom procese. Dlhé obdobie najkratšie časové obdobie nevyhnutné k zmene objemu všetkých vstupov používaných vo výrobnom procese.

Rozlišujeme: Variabilný vstup: vstup, ktorého množstvo je možné ľubovoľne meniť Fixný vstup: vstup, ktorého množstvo nie je možné v rámci daného časového obdobia ľubovoľne meniť (náklady na túto zmenu by boli neúnosne vysoké).

Výroba v krátkom období jednofaktorová produkčná funkcia v krátkom období možno meniť prácu, ale kapitál je fixný Uvažujeme výrobný proces, ktorý využíva dva výrobné faktory: prácu (L) a kapitál (fixovaný na úrovni K 0 ), na výrobu výstupu (Q). Vzťah medzi K,L a Q môžeme vyjadriť produkčnou funkciou v tvare: TPP Q = f K, L

Vzťah medzi výstupom a použitým vstupom (počet zamestnaných pracovníkov) vieme popísať pomocou troch súvisiacich konceptov: Celkový produkt TP(Q) (Total Product) Hraničný produkt MP (Marginal Product) Priemerný produkt AP (Average product)

Celkový produkt (TP(Q)) celkové množstvo výstupu, ktoré je možné vyprodukovať počas daného časového obdobia, s použitím daného množstva výrobných faktorov a danej technológie.

Množstvo výstupu (TP(Q)) Krivka celkového produktu krivka prechádza počiatkom, pridávaním jednotiek variabilného vstupu sa výstup zo začiatku zvyšuje rastúcim tempom, od určitého bodu dodatočné jednotky variabilného vstupu prinášajú čoraz menšie prírastky výstupu 50 40 30 20 10 0 M TP B ΔTP(Q) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ΔL počet pracovníkov (L)

Zákon klesajúcich výnosov: Ak pridávame rovnaké množstvá variabilného vstupu a všetky ostatné vstupy sú konštantné, výsledné prírastky výstupu budú od určitej hranice klesať.

Priemerný produkt variabilného vstupu (AP L ) celkový produkt delený množstvom variabilného vstupu TP( Q) AP L L AP L 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Počet pracovníkov (L) AP L

Hraničný produkt variabilného zmena celkového produktu, ktorá nastane v dôsledku zmeny variabilného vstupu o jednotku, pričom ostatné vstupy zostávajú konštantné TP( Q) f ( K, L) MP L L L K = košt. vstupu (MP L ) MP L 14 12 10 8 6 4 2 0-2 -4 B MP L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Počet pracovníkov (L) M MP L = 0 pri takej úrovni vstupu, pri ktorej je celkový produkt maximálny

MPL, APL Množstvo výstupu (TP(Q)) Vzťah medzi TP, MP L a AP L 50 40 30 M TP 20 10 0 ΔTP(Q ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Δ B počet pracovníkov (L) 15 B 10 AP L 5 0-5 MP L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Počet pracovníkov (L)

Výroba v dlhom období dvojfaktorová produkčná V dlhom období sú všetky vstupy variabilné Pre zjednodušenie budeme uvažovať dva variabilné vstupy: prácu (L) kapitál (K) funkcia

Predpokladajme produkčnú funkciu Q = f K, L = 3KL Hľadáme všetky možné kombinácie K a L, pomocou ktorých chceme vyrobiť napr. 18 jednotiek výstupu. Dvojice (K,L), ktoré vyhovujú tomuto vzťahu predstavuje krivka na nasledujúcom obrázku.

K Izokvanta znázorňuje množinu všetkých dvojíc 3,5 vstupov K a L, ktoré 3 dávajú rovnakú úroveň 2,5 výstupu. 2 Jednotlivé úrovne 1,5 výstupu potom 1 môžeme znázorniť 0,5 pomocou mapy 0 izokvant Izokvanta 0 5 10 15 L Q

Substitúcia vstupov Hraničná miera technickej substitúcie (MRTS - Marginal Rate of Technical Substitution) pomer, v ktorom je možné nahradzovať jeden vstup druhým bez toho, aby sa zmenil výstup. MRTS = K L K K MRTS A = K/ L L A MRTS = MP L MP K L

Výnosy z rozsahu Predstavujú technickú vlastnosť produkčnej funkcie, ktorá slúži na vyjadrenie vzťahu medzi rozsahom a efektívnosťou.

týkajú sa dlhého obdobia (t.zn. keď sú všetky vstupy variabilné) udávajú, ako sa mení výstup, keď sa všetky vstupy zvýšia rovnakou proporciou. Poznáme: Rastúce výnosy z rozsahu Konštantné výnosy z rozsahu Klesajúce výnosy z rozsahu

Rastúce výnosy z rozsahu: proporcionálne zvýšenie každého zo vstupov spôsobí viac než proporcionálne zvýšenie výstupu. Ide o odvetvie, kde na trh dodáva svoju produkciu len malý počet firiem K Q 3 =300 Q 2 =200 Q 1 =100 L

Konštantné výnosy z rozsahu proporcionálny rast každého zo vstupov spôsobí rovnako proporcionálny rast výstupu. V takomto odvetví nie je veľký počet malých firiem výhodou ani nevýhodou. K Q 3 =300 Q 2 =200 Q 1 =100 L

Klesajúce výnosy z rozsahu proporcionálny rast každého zo vstupov spôsobí menej než proporcionálne zvýšenie výstupu V tomto odvetví sú firmy s veľkým rozsahom výroby nevýhodou K Q 3 =300 Q 2 =200 Q 1 =100 L

K Príklady produkčných funkcií: Cobb-Douglasova produkčná funkcia: Q = f(k, L) = mk α L β Kde, sú čísla medzi 0 a 1 a m je akékoľvek kladné číslo Leontievova produkčná funkcia (produkčná funkcia so stálymi proporciami): Q = f(k, L) = min ak, bl obidva vstupy sú dokonalé komplementy 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Leontievova produkčná funkcia Q = 2 Q = 4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 L Q = 6 K = L Q = 8 Q = 10

K Príklady produkčných funkcií: Produkčná funkcia, ak sú vstupy dokonalé substitúty. Q = f K, L = K + L alebo Q = f K, L = ak + bl 5 4 3 2 1 0 Q 4 Q 3 Q 2 Q 1 0 1 2 3 4 5 L

NÁKLADY predstavujú peňažné vyjadrenie spotreby výrobných faktorov. ovplyvňujú: ekonomickú efektívnosť podniku konečný výsledok hospodárenia podniku

Náklady z hľadiska formy prejavu Explicitné náklady sú náklady vykazované pri peňažných platbách externým dodávateľom vstupov. Implicitné náklady sú náklady, ktoré nezahŕňajú priame peňažné platby pre tretie strany, ale predstavujú náklady alternatívneho využívania výrobných faktorov vlastnených firmou.

Náklady sa sledujú v dvoch časových horizontoch: v krátkom období v dlhom období

Náklady v krátkom období sledujeme ako sa menia náklady v závislosti od výstupu v krátkom období

Explicitné a implicitné náklady tvoria celkové náklady (TC), ktoré z hľadiska zmeny objemu výroby členíme na: Fixné náklady Variabilné náklady

Fixné náklady sú náklady, ktoré sa v rámci určitej výrobnej kapacity so zmenou objemu výroby nemenia. FC = rk K množstvo kapitálu r cena kapitálu za jednotku

Variabilné náklady sú náklady, ktoré sa so zmenou objemu výroby menia závisia na výstupe VC Q = wl w mzdová sadzba L množstvo práce

Celkové náklady sú súčtom fixných a variabilných nákladov TC = FC + VC = rk + wl

VC, FC, TC ( ) Grafické znázornenie fixných, variabilných a celkových nákladov 120 100 TC 80 VC 60 40 FC 20 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Q

Priemerné celkové náklady celkové náklady delené objemom výstupu ATC = TC Q = AFC + AVC

Priemerné fixné náklady sú fixné náklady, delené množstvom výstupu AFC = FC Q = rk Q AFC na rozdiel od FC, závisia na výstupe

Priemerné variabilné náklady sú variabilné náklady delené množstvom výstupu AVC = VC Q = wl Q

Hraničné náklady zmena celkových nákladov, ktorá je spôsobená produkciou dodatočnej jednotky výstupu MC = TC Q Q = zmena výstupu TC = zmena celkových nákladov

pretože sa fixné náklady s úrovňou výstupu nemenia, zmena celkových nákladov, keď produkujeme Q dodatočných jednotiek výstupu, je tá istá ako zmena variabilných nákladov. MC = VC Q Platí len v krátkom období.

Ak poznáme funkciu celkových (variabilných) nákladov, môžeme na výpočet hraničných nákladov použiť derivácie: MC = TC Q VC alebo MC = Q

Vzťahy medzi nákladovými krivkami TC VC FC /Q Q MC ATC AVC AFC Q

Náklady v dlhom období všetky náklady sú variabilné IZOKOSTA priamka rovnakých nákladov K TC/r = 100 TC = rk + wl Rovnica izokosty: TC = rk + wl Pr.: TC=200, r=2, w=4 Smernica = - w/r = -2 TC/w = 50 L

Technologické optimum firmy Výber optimálnej kombinácie vstupov, tak aby sme vyrobili danú úroveň produkcie s minimálnymi nákladmi. minimálne náklady sa nachádzajú v bode dotyku izokosty (priamky rovnakých nákladov) a izokvanty.

K MP w L MP r K Náklady sú minimálne, ak dodatočný výstup získaný z poslednej peňažnej jednotky vydanej na jeden vstup je ten istý pre všetky vstupy. K * 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Q TC 1 TC 2 TC 3 0 10 L * 20 30 40 L

Vzťah medzi voľbou optimálnych vstupov a nákladmi v dlhom období. EP krivka rastu výstupu alebo nákladová cesta expanzie množina kombinácií K a L, pri ktorých firma minimalizuje náklady pri výrobe rôznych úrovniach výstupu.

K Krivka rastu výstupu (EP Expansion Path) Body E, F a G predstavujú pri pevných cenách vstupov r, w najmenej nákladný spôsob produkcie príslušných úrovní výstupu. K * 3 K * 2 K * 1 80 70 60 50 40 30 20 10 0 F E TC 1 0 L * 1 10 L * 3 20 30 40 L * 2 EP G Q 1 L Q 3 Q 2 TC 2 TC 3

LTC ( ) Krivka dlhodobých celkových nákladov 1200 1000 LTC 800 LTC 3 LTC 2 LTC 1 600 400 200 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Q 1 Q 2 Q 3 Q

Krivky dlhodobých nákladov LTC, LAC, LMC LTC Q /jednotka vystupu LMC LAC Q

Vzťah medzi nákladovými krivkami v dlhom a v krátkom období Dlhodobá krivka priemerných nákladov (LAC) v tvare U je obalovou krivkou krátkodobých priemerných nákladov (SAC)

/Q Vzťah medzi nákladovými krivkami v dlhom a v krátkom období SMC 1 SMC 3 SAC 1 SAC 3 SAC 3 LAC SMC 2 LMC Q 1 Q 2 Q 3 Q

KONTROLNÉ OTÁZKY 1. Čo vyjadruje produkčná funkcia? 2. V čom spočíva rozdiel medzi priemerným a hraničným produktom z variabilného vstupu? 3. V čom spočíva rozdiel medzi krátkym a dlhým obdobím vo vzťahu k produkcii. 4. Vysvetlite rozdiel medzi zákonom klesajúcich výnosov a výnosmi z rozsahu. 5. Čo znázorňujú izokvanty? 6. Vysvetlite rozdiel medzi nákladmi v krátkom a v dlhom období. 7. Čo znázorňuje izokosta (priamka rovnakých nákladov)? 8. Čo vyjadruje hraničná miera technickej substitúcie a ako sa vypočíta? 9. Kedy sa firma nachádza na úrovni technologického optima? 10. Čo vyjadruje krivka rastu výstupu? 11. Aký vzťah platí medzi krivkami dlhodobých celkových, priemerných a hraničných nákladov?

Úloha 1. Priraďte k nasledujúcim pojmom príslušné definície: a) Krátke obdobie b) Produkčná funkcia c) Fixný vstup d) Hraničné náklady e) Priemerné fixné náklady f) Zákon klesajúcich výnosov z variabilného vstupu g) Variabilný vstup h) Izokosta (priamka rovnakých nákladov) i) Hraničná miera technickej substitúcie j) Mapa izokvant k) Hraničný produkt variabilného vstupu l) Dlhé obdobie m) Technologické optimum firmy n) Variabilné náklady o) Zákon klesajúceho hraničného produktu p) Priemerný produkt variabilného vstupu q) Izokvanta r) Priemerné variabilné náklady s) Fixné náklady t) Celkový produkt

Úloha 1. - pokračovanie 1. Rôzne kombinácie vstupov znázorňujúcich rovnakú úroveň výstupu. 2. Najdlhšie časové obdobie, v ktorom nemožno meniť veľkosť minimálne jedného zo vstupov použitých vo výrobnom procese. 3. Celkové množstvo produkcie vyrobené určitým množstvom vstupov merané vo fyzických jednotkách. 4. Zvyšovaním variabilného vstupu rovnakou proporciou, za podmienky konštantných ostatných vstupov, budú od určitej úrovne prírastky celkovej produkcie klesať. 5. Náklady, ktoré sa so zmenou objemu produkcie menia. 6. Vstup, ktorého veľkosť nie je možné meniť v rámci daného časového obdobia. 7. Pomer, v ktorom je možné nahrádzať jeden vstup druhým bez zmeny výstupu. 8. Vzťah medzi celkovým množstvom výstupu a použitými vstupmi. 9. Celkový produkt delený množstvom variabilného vstupu.

Úloha 1. - pokračovanie 10) Fixné náklady delené množstvom výstupu. 11) Zmena celkového produktu, ktorá nastane v dôsledku zmeny variabilného vstupu, za podmienky konštantných ostatných vstupov. 12) Nájdenie optimálnej kombinácie vstupov, prostredníctvom ktorých vyrobíme danú úroveň produkcie s minimálnymi nákladmi. 13) Zmena celkových nákladov, vyplývajúca z produkcie dodatočnej jednotky výstupu. 14) Najkratšie časové obdobie nevyhnutné k zmene veľkosti všetkých vstupov použitých vo výrobnom procese. 15) Variabilné náklady delené množstvom výstupu. 16) Grafické znázornenie rôznych úrovní výstupu. 17) Grafické znázornenie rôznych kombinácií vstupov, ktoré je možné kúpiť pri určitej danej celkovej peňažnej sume. 18) Náklady, ktoré sa nemenia so zmenou objemu produkcie v rámci určitej výrobnej kapacity. 19) Zvyšovanie variabilného vstupu rovnakou proporciou spôsobí pokles hraničného produktu. 20)Vstup, ktorého veľkosť je možné ľubovoľne meniť v rámci danej výrobnej kapacity.

Úloha 2. Uvažujme krátkodobý výrobný proces výroby kosačiek, ktorý môžeme vyjadriť funkciou TPP Q = f K, L = 3KL Q je počet kosačiek/týždeň, L je počet človekohodín/týždeň Predpokladáme, že kapitál (K) je v krátkom období fixovaný na úrovni K 0 =1 strojhod./týždeň. a) Nakreslite túto produkčnú funkciu. b) Ako sa zmení táto produkčná funkcia, ak bude kapitál fixovaný na úrovni K 1 =3 strojhod/týždeň?

Úloha 3. Nakreslite produkčnú funkciu výroby kosačiek v krátkom období. Produkčná funkcia je daná vzťahom Q = f K, L = K L Kapitál (K) je v krátkom období fixovaný na úrovni K=4 strojhod./týždeň.

Úloha 4. Pre každú z nasledujúcich produkčných funkcií je kapitál fixovaný na úrovni K=4 strojhod./týždeň. a) Q = f K, L = 2K + 2L b) Q = f K, L = 3K 2 L c) Q = f K, L = K L Určite, či vyhovujú tieto produkčné funkcie zákonu klesajúcich výnosov.

Úloha 5. Firma produkuje v krátkom období pri stálom kapitálovom vybavení a meniacom sa variabilnom vstupe. Tabuľka ukazuje, ako sa mení množstvo práce pri jednotlivých úrovniach výstupu a) Vypočítajte hraničný produkt práce (MP L ) a priemerný produkt práce (AP L ) b) Graficky znázornite MP L a AP L (môžete použiť EXCEL) c) Približne od akej úrovne pracovného vstupu sa začína výnos zmenšovať? d) Približne pri akej úrovni pracovného vstupu MP L pretne AP L? Práca L (Pracovníc i/týždeň) Výstup (výrobky/ týždeň) MP L 0 0 ----- 1 35 2 80 3 122 4 156 5 177 6 180 AP L

Úloha 6. Aký bude MP L v produkčnej funkcii Q = f K, L = 2K 1 3L 1 3 ak je kapitál fixovaný na úrovni K = 27 strojhod./t.

Úloha 7. Produkčná funkcia v dlhom období zodpovedajúca úrovni výstupu Q = 24 je daná rovnicou Q = f K, L = 2KL. Pre túto produkčnú funkciu doplňte do tabuľky chýbajúce údaje vstupu kapitálu a hraničnej miery technickej substitúcie pre príslušné dvojice K a L. L K MRTS 1 2 3 4 5 6 7 8

Úloha 8. Nakreslite mapu izokvant pre produkčnú funkciu Q = min (2K, 3L) O aký typ produkčnej funkcie ide?

Úloha 9.:doplňte definície 1. Produkčná funkcia vyjadruje vzťah medzi množstvom vstupov a príslušným... 2. Zákon klesajúcich výnosov znie: Od určitého bodu rastie výstup..., než sa zvyšuje variabilný vstup. 3. Priemerný produkt variabilného vstupu vypočítame tak, podelíme......... vstupom. že 4. Hraničná miera technickej substitúcie vyjadruje pomer, ktorom je možné nahrádzať jeden vstup druhým bez zmeny... 5. Ak sú obidva vstupy v danej výrobe dokonalými substitútmi, hraničná miera technickej substitúcie medzi týmito vstupmi bude... 6. Výnosy z rozsahu udávajú, ako sa bude meniť výstup, ak sa... vstupy zmenia... proporciou. 7. Cobb-Douglasova produkčná funkcia má tvar... Staníková

Úloha 9. - pokračovanie 8. Variabilné náklady vypočítame ako... 9. Hraničné náklady vypočítame ako... 10. Izokosta vyjadruje rôzne kombinácie..., pomocou ktorých vyprodukujeme... úroveň... 11. Firma dosiahne technologické optimum pri takej kombinácii K a L, pri ktorej sa rovnajú... 12. Ak sú nákladové krivky v tvare U, môžeme povedať, že krivka dlhodobých priemerných nákladov je...... kriviek krátkodobých priemerných nákladov. 13. Náklady, ktoré sa menia s rozsahom produkcie sa označujú ako...

Úloha 10. Máme danú produkčnú funkciu pre krátke obdobie Q = 6KL, kde kapitál (K) je pevne určený vo výške 2 strojhod./čas, cena kapitálu je 2 /strojhod a cena práce je 6 /človekohod.. Pre túto produkčnú funkciu nakreslite krivky a) fixných, variabilných a celkových nákladov (FC, VC, TC) b) priemerných fixných, priemerných variabilných, priemerných celkových nákladov a hraničných nákladov (AFC, AVC, ATC a MC)

Úloha 11. Predpokladajme produkčnú funkciu: Q = min (K, L) a) Nakreslite mapu izokvant pre túto produkčnú funkciu. b) Ak je cena práce 5 a cena kapitálu 10, aké budú najnižšie náklady na produkciu 10 jednotiek výstupu? c) Aké výnosy z rozsahu vykazuje táto produkčná funkcia?

Úloha 12. bonusová (2 body) Produkčná funkcia firmy je daná vzťahom Q = 2KL K a L sú jej vstupy kapitálu a práce. Cena práce je 1 /oshod. a cena kapitálu 4 /strojhod. a) Aké množstvo kapitálu a práce by mala táto firma používať za predpokladu, že je jej cieľom vyrábať 3 200 jednotiek výstupu s minimálnymi nákladmi? b) Aké budú dlhodobé celkové náklady tejto firmy? c) Výsledky zakreslite do grafu.

Úloha 13. Sú nasledujúce tvrdenia správne? ÁNO/NIE a) Rozdiel medzi dlhým a krátkym obdobím spočíva v tom, že v krátkom období existuje aspoň jeden fixný vstup, zatiaľ čo v dlhom období sú všetky vstupy variabilné? b) Hraničný produkt variabilného vstupu vyjadríme ako celkový produkt delený množstvom tohto vstupu. c) Medzi hraničným a priemerným produktom platí vzťah: krivka hraničného produktu pretína krivku priemerného produktu v jej minimálnej hodnote. d) Ak produkčná funkcia vykazuje klesajúce výnosy z rozsahu, tak pre ňu súčasne platí aj zákon klesajúcich výnosov. e) Izokvanta vyjadruje kombináciu výrobných faktorov, ktoré prinášajú rovnaký zisk. f) V podmienkach konštantných výnosov z rozsahu platí, že zdvojnásobenie každého zo vstupov povedie k zdvojnásobeniu výstupu? g) Zákon klesajúcich výnosov hovorí, že ak zvyšujeme variabilný vstup rovnakou mierou, pričom ostatné vstupy zostávajú konštantné, od určitej úrovne bude celkový produkt klesať. h) Explicitné náklady sú náklady, ktoré firma reálne uhrádza. i) Ak sú nákladové krivky v tvare U, potom krivka krátkodobých hraničných nákladov (SMC) pretína krivku AFC v jej minime.

Zdroje: STANÍKOVÁ, Z.: Ekonómia - cvičebnica, 1. vydanie, EDIS vydavateľské centrum ŽU, Žilina 2015 LISÝ, J. a kol.: Ekonómia v novej ekonomike, 1. vydanie, IURA EDITION, Bratislava 2005 PARKIN, M.: Microeconomics, 11 th edition, Pearson Education Limited, UK, 2014 SCHILLER, B. R.: Mikroekonomie, 1. vydanie, Computer Press, Brno 2004 SLOMAN, J., HINDE, K., GARRATT, D.: Economics for Business. 6 th edition, Pearson Education Limited, UK, 2013 FRANK, R. H.: Mikroekonomie a chování. 1. vydanie, Nakladatelství Svoboda, Praha 1995 MACÁKOVÁ, L. A KOL.: Mikroekonomie (základní kurs), 3. vydanie, MELANDRUM, Slaný, 1994 MACÁKOVÁ, L., SOUKUPOVÁ, J.: Mikroekonomie (pro inženýrske studium), REPETITORIUM, 1. vydanie, MELANDRUM, Slaný, 1995 STANÍKOVÁ, Z.: Úvod do ekonómie, 1. vydanie, EDIS vydavateľské centrum ŽU, Žilina 2015 Tento študijný materiál vznikol v rámci riešenia projektu: Kvalitné vzdelávanie s podporou inovatívnych foriem, kvalitného výskumu a medzinárodnej spolupráce úspešný absolvent pre potreby praxe ITMS: 26110230090 Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ