Ασκήσεις στα Ολοκληρώματα, Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Πολλαπλά Ολοκηρώματα για τα Γενικά Μαθηματικά ΙΙ, Τμήματος Χημείας Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : menos@cc.uoi.gr Μαρτίου. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: () cos, () sin Απάντηση: () sin + + c, () 4 sin + c. 4. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: () sin, () cos + cos + cos Απάντηση: () cos + c, () (tan + ) + c.. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: () cos, () Απάντηση: () sin + cos + c, () tan + ln cos + c. cos 4. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: () a +, () a

Απάντηση: () a + a + c, () a arcsin a a + c. 5. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: () ( + 5)e, () (4), (5) cos e, () + 6. e + e, Απάντηση: () e ( + 5) + c, () e ( sin cos 5) + c, () + e 4 + e ln +e +e + c, (4) arcsin + + + + c, (5) + + 6 + c. 6. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: cos () + sin, (), () + sin Απάντηση: () 5 + 4 sin arctan( tan ) + c, () ln + sin + c, () arctan [ ( ( 5 tan ) )] + 4 + c. 7. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: () + +, () Απάντηση: () arctan( + ) + c, () 8. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: Απάντηση: () () + 8 ++5 + 6 ( + + 5), () + + 4 + 5 ln ( + 4 + 5 ) arctan( + ) + c. arctan + + c, () ln + ( ) ( ) + c. 9. Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα: () sin, () tan, () ( ) cos Απάντηση: () {( ) cos + sin }+c, () tan +ln cos +c, () sin + 9 cos sin + c. 7

. Να υπολογιστούν με τη βοήθεια του ορισμού τα ολοκληρώματα: I =. Να δειχθεί ότι:, I = ( + 5), I = ( ) +, < + 5 + < 5. Να δειχθεί ότι: π π/ < + sin < π, π <. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: π/ e sin < eπ 4, π/ + cos, + 4. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: π/ e a sin, ln( + ), arcsin + 5. Εστω η συνάρτηση f() =. Να λυθεί στο διάστημα [, 4] η εξίσωση ως προς ξ: 4 f() = f(ξ) (4 ) 6. Αν f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [α, β], ώστε: β α f() = β α να δειχτεί ότι υπάρχει ξ [α, β] τέτοιο ώστε f(ξ) = α + β. 7. Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ [, π/] για το ολοκλήρωμα π/ sin και να βρεθεί ποιο είναι αυτό το ξ. 8. Να δειχτεί ότι το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις παραβολές ay = και y = 4a είναι a, a >.

9. Να βρεθούν τα εμβαδά των χωρίων που περικλείονται από τις παρακάτω καμπύλες: + 4y 8 =, = y, = y, y =.. Να βρεθεί το εμβαδό του χωρίου που αποκόπτει η υπερβολή y = από την έλλειψη + 4y = 8.. Θα λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ορθογώνιες σε ένα διάστημα [α, β] αν β f()g() =. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις sinm και sink είναι α ορθογώνιες σε ένα διάστημα μήκους π, αν m, k Z και m k.. Εστω ο κύκλος με εξίσωση + y = r, όπου r =. Ο μετασχηματισμός από καρτεσιανές συντεταγμένες σε πολικές είναι = rcosθ, y = rsinθ. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα, π/ sin θ dθ. Με τη βοήθεια του μετασχηματισμού, να δείξετε τη μετάβαση από το ολοκλήρωμα στις καρτεσιανές στο ολοκλήρωμα στις πολικές, τι παρατηρείτε από τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων (εξηγήστε γιατί);. Υπολογισμός εμβαδού με διπλή ολοκλήρωση. Σχεδιάστε την περιοχή που φράσσεται από τις ευθείες και τις καμπύλες που δίνονται παρακάτω. Κατόπιν εκφράστε το εμβαδό της περιοχής ως διπλό ολοκλήρωμα και υπολογίστε το. (α) Η παραβολή = y y και η ευθεία y =. (β) Οι καμπύλες y = ln και y = ln και η ευθεία = e. (γ) Οι παραβολές = y και = y. 4. Τα ολοκληρώματα και το άθροισμα ολοκληρωμάτων των παρακάτω υποερωτημάτων εκφράζουν τα εμβαδά περιοχών του επιπέδου Oy. Σχεδιάστε κάθε περιοχή, ονομάστε κάθε συνοριακή καμπύλη της περιοχής με την εξίσωση της και βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των καμπυλών. Στη συνέχεια, βρείτε το εμβαδό κάθε περιοχής. π/4 cos sin 4 dy, dy + 4 ( ) dy. dy, 5. Υπολογισμός πολικών ολοκληρωμάτων, μετατροπή καρτεσιανών σε πολικά ολοκληρώματα. 4

y ( + y ) dy, y/ y/ y + y dy, (d) / e ( +y ) dy, + y dy. 6. Υπολογισμός τριπλού ολοκληρώματος, υπολογίστε τα παρακάτω ολοκληρώματα: y 8 y 4 y dzdy, +y 4 cos( ) dydz, (d) z ( + y + z ) dzdy, ze zy dydz. 7. Υπολογισμός όγκων μέσω τριπλών ολοκληρωμάτων. (α) Να υπολογιστεί ο όγκος του τετραέδρου που ανήκει στο πρώτο οκτημόριο και φράσσεται από τα επίπεδα που ανά δύο ορίζουν οι άξονες συντεταγμένων, καθώς και από το επίπεδο + y/ + z/ = (Σχήμα ). (β) Να υπολογιστεί ο όγκος του χωρίου που αποκόπτουν από τον κύλινδρο + y = τα επίπεδα z = y και z = (Σχήμα ). (αʹ) Σχήμα (βʹ) Σχήμα Οι ασκήσεις πρέπει να επιστραφούν μέσω email (menos@cc.uoi.gr) μέχρι την Δευτέρα Απριλίου στις 5μμ. 5