EPΓΣTHPIO MHXNIKHΣ KI NTOXHΣ TΩN YΛIKΩN Λεωφόρος θηνών Πεδίον Άρεως 84 όλος Πρόβλημα Π N E Π I Σ T H M I O Θ E Σ Σ Λ I Σ TMHM MHXNOΛOΓΩN MHXNIKΩN MHXNIKH ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Ι Σειρά Ασκήσεων Διευθυντής: Kαθηγητής N ράβας Tηλ: 4-074 00 X: 4-074 009 e-mail: aravas@uthgr Εαρινό εξάμηνο 07 Η πλάκα του σχήματος κρέμεται από τρία καλώδια στα σημεία Α, Β και C Τα καλώδια στα Α και Β είναι από αλουμίνιο και έχουν διάμετρο mm και ισαπέχουν από το καλώδιο στο C To καλώδιο στο C είναι χαλύβδινο και έχει διάμετρο mm Το μέτρο ελαστικότητας του αλουμινίου είναι Ea 7 GPa και του χάλυβα Es 00 GPa Η μέγιστη επιτρεπόμενη τάση στο αλουμίνιο είναι 95 MPa και στον χάλυβα 5 MPa Να υπολογιστεί το μέγιστο επιτρεπόμενο φορτίο P 7 N Πρόβλημα Στον μηχανισμό του σχήματος το οριζόντιο απολύτως στερεό μέλος έχει μήκος L, στηρίζεται με άρθρωση στο Α και φορτίζεται στο Β με το κατακόρυφο φορτίο P Τα κατακόρυφα μέλη CD και E έχουν μήκος L, είναι παραμορφώσιμα και έχουν εμβαδόν διατομής και μέτρο ελαστικότητας E Να βρεθεί η κατακόρυφη μετατόπιση δ του σημείου Β 9 PL 5 E
Πρόβλημα Η ράβδος CD αποτελείται από τρία μέρη, όπως φαίνεται στο σχήμα, και τα άκρα της είναι στερεωμένα στα τοιχώματα Τα δύο ακραία τμήματα έχουν μήκος L 00 mm και εμβαδόν διατομής 840 mm Οι αντίστοιχες τιμές για το μεσαίο τμήμα είναι L 50 mm και 60 mm Τα φορτία έχουν τις τιμές P 55 kn και PC 7 kn i) Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις ii) Να υπολογιστεί η αξονική δύναμη στο μεσαίο τμήμα της ράβδου i) R 05 kn προς τα αριστερά, RD kn προς τα δεξιά, ii) C 50 kn θλιπτική Πρόβλημα 4 Σε θερμοκρασία δωματίου (0 ο C), υπάρχει ένα μικρό κενό μήκους 05 mm ανάμεσα στα δύο άκρα των ράβδων του σχήματος Εάν η θερμοκρασία των ράβδων αυξηθεί στους 40 ο C, να υπολογιστούν η αξονική τάση και η μεταβολή του μήκους στην ράβδο αλουμινίου 6 MPa θλιπτική, 06 mm l l
Πρόβλημα 5 Μία ελαφριά, απολύτως στερεά σανίδα μήκους L στηρίζεται σε δύο ίδια ελατήρια στα σημεία C και D, και βρίσκεται σε απόσταση h από το έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήμα Τα ελατήρια είναι γραμμικά, με σταθερά ελαστηρίου k και συνδέονται με τη σανίδα Ένα άτομο βάρους W ανεβαίνει στο κέντρο της σανίδας και αρχίζει να περπατάει αργά προς το άκρο της Έστω b η απόσταση του ατόμου από το κέντρο της σανίδας για την οποία το άκρο της σανίδας θα ακουμπήσει το έδαφος i) Να υπολογιστεί η τιμή του b συναρτήσει των a, L, h, k και W Επειδή το h είναι σημαντικά μικρότερο του L, μπορεί να υποτεθεί ότι, όταν η σανίδα βυθίζεται, η οριζόντια θέση των σημείων της δεν αλλάζει, σε πρώτη προσέγγιση ii) Να υπολογιστεί η τιμή του b όταν a 45cm, L m, h 0cm, k 05KN/cm και W 76 N (75 κιλά) a hk W i) b, ii) 758 cm LW
Πρόβλημα 6 Το δικτύωμα του σχήματος αποτελείται από δύο ράβδους και φορτίζεται με το κατακόρυφο φορτίο P στο Οι ράβδοι είναι γραμμικώς ελαστικές με μέτρο ελαστικότητας E και εμβαδόν διατομής Το μήκος της οριζόντιας ράβδου είναι L και γωνία μεταξύ των ράβδων στο είναι Να υπολογιστεί η μετατόπιση του σημείου και η τιμή της γωνίας που ελαχιστοποιεί την κατακόρυφη μετατόπιση του Ποιά είναι η τιμή της ελάχιστης αυτής μετατοπίσεως; PL 60, max E Πρόβλημα 7 Η απολύτως στερεά δοκός CD στηρίζεται με άρθρωση στο σημείο Β και στα γραμμικά ελατήρια στα σημεία και D Οι σταθερές των ελατηρίων στα Α και D είναι k 0 KN/m και k 5 KN/m αντιστοίχως και οι διαστάσεις της δοκού είναι a 50 mm, b 500 mm και c 00 mm Το σημειακό φορτίο P εφαρμόζεται στο σημείο C Να υπολογιστεί η μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του φορτίου P max, ώστε η γωνία περιστροφής της δοκού να μην υπερβεί τις Pmax 800 N 4
Πρόβλημα 8 Η οριζόντια απολύτως στερεή δοκός C στηρίζεται με άρθρωση στο Α και με δύο καλώδια D και CD στα σημεία και C Ένα κατακόρυφο φορτίο Ρ εφαρμόζεται στο άκρο C Η δοκός έχει μήκος b και τα καλώδια D και CD έχουν μήκη L και L αντιστοίχως Το καλώδιο D έχει διάμετρο d και μέτρο ελαστικότητας E, ενώ το καλώδιο CD έχει διάμετρο d και μέτρο ελαστικότητας E i) Να βρεθούν οι εκφράσεις για το μέγιστο επιτρεπτό φορτίο P, εάν οι μέγιστες επιτρεπόμενες τάσεις στα καλώδια D και CD είναι και Το βάρος της δοκού και των καλωδίων είναι αμελητέο ii) Να βρεθεί το μέγιστο επιτρεπτό φορτίο Ρ όταν το καλώδιο D είναι από αλουμίνιο με μέτρο ελαστικότητας E 7 GPa και διάμετρο d 4 mm και το καλώδιο CD είναι από μαγνήσιο με μέτρο ελαστικότητας E 45 GPa και διάμετρο d mm Οι μέγιστες επιτρεπόμενες τάσεις στο αλουμίνιο και το μαγνήσιο είναι 00 MPa και 7 MPa αντιστοίχως Οι διαστάσεις στο πρόβλημα είναι a 8 m και b m L L sin 4 sin C E E Pmax min P, P, όπου P, L sin E i) L L sin 4 sin C E E P, D, C CD, ii) Pmax 780 N 4 L sinc E 5
Πρόβλημα 9 Η απολύτως στερεά δοκός στηρίζεται με άρθρωση στο σημείο και συνδέεται με τα σύρματα C και D όπως φαίνεται στο σχήμα Το βάρος της δοκού ανά μονάδα μήκους της είναι w Τα σύρματα είναι γραμμικώς ελαστικά με μέτρο ελαστικότητας E και εμβαδόν διατομής Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στα σύρματα και η απειροστή γωνία στροφής της δοκού Σημείωση: Οι παραμορφώσεις των συρμάτων είναι μικρές, οπότε η μετατόπιση του σημείου μπορεί να θεωρηθεί, σε πρώτη προσέγγιση, κάθετη στη δοκό και ίση με το μήκος τόξου που διαγράφει το σημείο, δηλαδή ίση με a C wa D tan, bw tan Ecos Πρόβλημα 0 Τα σύρματα του σχήματος έχουν εμβαδόν διατομής, μήκος, μέτρο ελαστικότητας E, συντελεστή θερμικής διαστολής και ψύχονται κατά θερμοκρασία T Το μέγεθος του T είναι τέτοιο ώστε οι παραμορφώσεις στα σύρματα να είναι απειροστές Να υπολογιστούν οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στα σύρματα και η απειροστή γωνία περιστροφής της απολύτως στερεάς ράβδου h h h E T h h h, h, h h h h T αντιωρολογιακά 6
Πρόβλημα Η απολύτως στερεά δοκός του σχήματος στηρίζεται με άρθρωση στο σημείο () και σε δύο γραμμικά ελατήρια σταθεράς k στα σημεία () και () Η δοκός φορτίζεται με μία δύναμη σε απόσταση a από το σημείο () Να υπολογιστούν οι δυνάμεις στα ελατήρια και η αντίδραση στο σημείο () a b L b L ab b L, al b L, Πρόβλημα Ο τροχός του συστήματος προσγείωσης ενός αεροπλάνου στηρίζεται με άρθρωση στο σημείο C και συνδέεται με ένα γραμμικό ελατήριο σταθεράς k στο D και ένα γραμμικό στρεπτικό ελατήριο σταθεράς k στο C Τα σημεία C και D είναι σταθερά και το μέλος C θεωρείται σε πρώτη προσέγγιση ως απολύτως στερεό Η κατακόρυφη αντίδραση στον τροχό είναι γνωστή και έχει μέγεθος Ζητείται να υπολογιστούν η μεταβολή του μήκους του ελατηρίου στο D και η απειροστή περιστροφή κατά γωνία του μέλους C περί το σημείο C μείωση μήκους ελατηρίου στο D b a b, b k k a b b k k ωρολογιακά Παρατήρηση: Η απειροστή μετατόπιση του σημείου Β είναι κάθετη στην κατεύθυνση C και ίση με C Η μείωση του μήκους του ελατηρίου στο D ισούται με την προβολή του στην κατεύθυνση του ελατηρίου 7
Πρόβλημα Η συνδεσμολογία του σχήματος συναρμολογείται σε θερμοκρασία δωματίου C χωρίς προένταση (χωρίς σφίξιμο του κοχλία) Eάν η θερμοκρασία αυξηθεί ομοιόμορφα στους 80 C, να υπολογιστεί η τάση που αναπτύσσεται στον κοχλία Υπενθύμιση: in 54 mm, χάλυβας: ορείχαλκος: 00 GPa, s 00 GPa, b 6 s 0 / C, 6 b 8 0 / C b s T s MPa s E E s b b Πρόβλημα 4 Θεωρούμε την υπερστατική παραμορφώσιμη δοκό του σχήματος, η οποία στηρίζεται με πάκτωση στο Α, κύλιση στο Β και φορτίζεται με την δύναμη Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Σημείωση: Στη δοκό του σχήματος, εάν δεν υπάρχει στήριξη στο Β, η βύθιση της δοκού στο δεξιό L 6 EI άκρο θα ήταν L L L L L, L M L L L L L L L L, L L 8
Πρόβλημα 5 Η απολύτως στερεά δοκός του σχήματος στηρίζεται σε τρία γραμμικά ελατήρια σταθεράς k Η δοκός φορτίζεται με το ομοιόμορφα κατανεμημένο βάρος της q ανά μονάδα μήκους της και με το συγκεντωμένο φορτίο W στο σημείο Β Να υπολογιστούν οι δυνάμεις στα ελατήρια C a b W b q a a b b 4a a b b a b W a q a a b b 4a abb, a b 4a ab b W a b q, Πρόβλημα 6 Ο παραμορφώσιμος πρόβολος του σχήματος στηρίζεται στο αριστερό του άκρο με ένα καλώδιο μέτρου ελαστικότητας E και εμβαδόν διατομής Το υλικό της δοκού είναι ίδιο με το υλικό του καλωδίου Η ροπή επιφανειακή ροπή αδρανείας της διατομής της δοκού είναι I Η δοκός φορτίζεται με ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο w ανά μονάδα μήκους της Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις στην πάκτωση η δύναμη στο καλώδιο w IL 8 και M w L στο καλώδιο IL w IL 8 στην πάκτωση, 9