ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Τρίτη, Μαΐου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) f(β) δείξτε ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουάχιστον o (α, β) τέτοιος, ώστε f(o) η. Μονάδες 9 Α.. Πότε η ευθεία y β έγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f στο ; Μονάδες 4 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακοουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη έξη Σωστό ή Λάθος δίπα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] µε f(α) < και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ), τότε κατ ανάγκη f(β) >. Μονάδες β. Αν υπάρχει το (f() g()), τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα f() και o o g(). o Μονάδες γ. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f - και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σηµείο Α µε την ευθεία y, τότε το σηµείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f -. Μονάδες δ. Αν f() και f() > κοντά στο στο ο, τότε. o ( ) o f Μονάδες ε. Αν η f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα Δ και α είναι ένα ( ) α σηµείο του Δ, τότε ισχύει f () t dt f() f(α) για κάθε Δ. Μονάδες στ. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ και δε µηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηαδή διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα Δ. Μονάδες
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Α.. Σχοικό βιβίο σε. 94 Α.. Σχοικό βιβίο σε. 8 Β. α. Λ β. Λ γ. Σ δ. Σ ε. Λ στ. Σ ΘΕΜΑ o Δίνονται οι µιγαδικοί,, µε. α. Δείξτε ότι : 9. β. Δείξτε ότι ο αριθµός είναι πραγµατικός. γ. Δείξτε ότι: Μονάδες 9 Μονάδες 9 α. 9 9 9 Οµοίως 9 και 9. β. Αρκεί να δείξουµε ότι Im 9 9 Είναι ( α ) 9 9 οπότε η () ισχύει. ()
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 γ. 9 ΘΕΜΑ o 9 9 9 9 9 9 Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f()e, >. α. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες β. Δείξτε ότι η εξίσωση εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η ψe. Βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου επαφής Μ. γ. Δείξτε ότι το εµβαδόν Ε() του χωρίου, το οποίο περικείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφαπτοµένης της στο σηµείο Μ και του άξονα e y y, είναι Ε(). Μονάδες 8 Ε() δ. Υποογίστε το. ηµ f() e, Df R α. Είναι f () (e ) e >, R άρα f γνησίως αύξουσα στο R. β. Έστω Μ(, y) το σηµείο επαφής τότε y f() e και f () e οπότε η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι ε: y f() e ( ) Το Ο(, ) ε οπότε θα ισχύει e e ( ) > άρα y e άρα Μ,e Εποµένως η εφαπτοµένη γίνεται e
ε: y e e ε: y e e e ε: y e γ. Είναι f () ( e ) ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 e > άρα f κυρτή οπότε Cf πάνω από την εφαπτοµένη (ε) άρα f() e () ( ) οπότε Ε() f ( ) e d ( ( ) e) ( e e) d [ e ] e e e d e f d d e (e ) e e e e Ε() δ. ηµ Ισχύει ηµ ηµ e ηµ e 4 ηµ > ηµ, αφού ηµ, > ( ) 4 e ηµ ηµ, οπότε από κριτήριο παρεµβοής έχουµε.επίσης ηµ ηµ Επειδή τώρα >, γιατί ηµ και > ηµ και, άρα, ηµ επιπέον έχουµε e> e >, εποµένως το L. e ηµ L ΘΕΜΑ 4o Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση f () e -f() για κάθε R και f(). e α. Να δειχθεί ότι : f()ln. Μονάδες 6 4
β. Να βρεθεί το: f( t)dt ηµ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 5 γ. Δίνονται οι συναρτήσεις: h() t f(t)dt και g(). 7. Δείξτε ότι h()g() για κάθε R. δ. Δείξτε ότι η εξίσωση t 5 f(t)dt 8 7 έχει ακριβώς µία ύση στο (,) Μονάδες 6 α. Από f ()e -f() e έχουµε f () f ()e f() e (e f() ) (e ), R άρα f() e e f() e c επειδή f() έχουµε e f() e c c. e e e Άρα e f() e e f() και αφού >, R, έχουµε ότι f() ln. β. Έχουµε f ( t)dt, οπότε θέτοντας u t έχουµε du dt dt du και νέα άκρα f (u)( du) Η f (u)du f (t)dt. οπότε ισοδύναµα έχουµε f (t)dt είναι παραγωγίσιµη στο R αφού η f είναι συνεχής στο R οπότε f( t)dt ηµ t u f(t)dt ηµ f() συν f() συν f(). 5 γ. Έχουµε h() t f(t)dt και g(). 7 7 H t 5 f(t) συνεχής στο R οπότε επιέγοντας R, έχουµε h() 5 t f(t)dt t 5 5 f(t)dt t f(t)dt t 5 5 f(t)dt, δηαδή 5 5 h() t f(t)dt t f(t)dt που είναι παραγωγίσιµη µε h () ( ) 5 f( )( ) 5 f() 5 f( ) 5 f() 5 (f() f( ))
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 e 5 e e (ln ln ) 5 ln e e 5 ln 5 ln e e e e ( e ) 5 ln 5 lne 5 6. e Επίσης g παραγωγίσιµη µε g () 6, οπότε h ()g (), R Οπότε h()g()c. Αφού h() και g() έχουµε ότι h()g()c c, άρα h()g(). δ. Η εξίσωση όγω του (γ) γράφεται ισοδύναµα: 7 8 7 7. 7 8 Θεωρώντας φ()8 7 7 που είναι συνεχής στο [, ]. Έχουµε φ() 7< και φ()8 7>, άρα φ()φ()< οπότε σύµφωνα µε το Θεώρηµα Bolano υπάρχει o (,) ώστε φ(o), δηαδή η εξίσωση φ() έχει τουάχιστο µία ρίζα. Επειδή φ ()8 7 6 >, (,), η φ είναι γνήσια αύξουσα, οπότε η ρίζα είναι µοναδική. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ α) Τα σηµερινά θέµατα καύπτουν ευρύ φάσµα της ύης και διακρίνονται για τη σαφήνεια των ζητουµένων τους. Απαιτούσαν από τους υποψήφιους εκτός από την καή αναπαραγωγή της διδαχθείσας ύης, συνθετική και κριτική ικανότητα για την αντιµετώπιση αρκετών ερωτηµάτων. Χαρακτηριστικό των θεµάτων είναι ότι παρατηρείται διαφορά επιπέδου δυσκοίας µεταξύ τους χωρίς αυτή να είναι κιµακούµενη. β) Οι παραπάνω ύσεις είναι ενδεικτικές. 6