ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Σωστό. Σωστό. Σωστό 4. Λάθος 5. Σωστό 6. Λάθος 7. Σωστό 8. Λάθος 9. Σωστό 0. Λάθος. Λάθος a. Σωστό b. Λάθος c. Λάθος d. Λάθος. Σωστό. Σωστό 4. Σωστό 5. Σωστό 6. Σωστό 7. Σωστό 8. Σωστό 9. Σωστό 0. Λάθος. Σωστό. Λάθος. Λάθος 4. Λάθος 5. Σωστό 6. Σωστό []

7. Σωστό 8. Σωστό 9. Λάθος 0. Σωστό ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. α. Έχουμε: - ( y ) ( y) ( y) y 4 ( y) 4 - A = : = y y y y : y 6-8 4 - - = 8 y 5-4 y : y 5 8 = 5-4 - y : y -6 = y = ( y) () β. Για = 07 και y = 07 αντικαθιστώντας την () έχουμε:. æ ö A = ç 07 = = è 07 ø - - 4 æy ö æ z yz ö A = ç : : ç - = è z ø è y z ø - - 4 - y æ z z ö : 4 ç = z è y yz ø y z z : y - - - = 4 5 y z y = z - 5 y z 4 - - = []

æy ö ç è z ø Για = -6, y =5, και z =9 αντικαθιστώντας έχουμε:. æy ö æ-6 5, ö A= ç = ç = (-) = - è z ø è 9 ø α. Έχουμε: ( a -b) + ab A = = a -b a -ab+b +ab = ( a-b)( a +ab+b ) a +ab+b = ( a-b) a +ab+b a-b () β. Για a = 06 και b = 07 αντικαθιστώντας την () έχουμε: A = = = - 06-07 - 4. α) ( y ) ( y) ( y ) a +b + = a +b + a -b a +a y +b +b y =a +aby +b y +a y -aby +b a +a y +b +b y =a +b y +a y +b a a-b -b b-a = a -b a+b a a - 6a b +ab - 8b - b b - 6b a +ba -8a = a -b a + ab + b a 4-6a b +a b 4-8ab -b +a b - ab = +a b - ab +6ba-ba 4 +8ab=a +ab+ab -ab 4 - ab -b []

5. α) a. a + b - ab = a +ab b. a -b + ab = a -ab +b -ab +b +ab =a +b =a +b γ) c. δ) d. a+b -ab a+b = a +ab a +b + ab a-b +ab a-b = a -ab a -b + ab +b -ab-ab -b +ab-ab = = 6. 7. 8. æ ö æ ö ç + -ç - = è ø è ø æ ö + + - ç - + = è ø ++ - +- =4 Αφού - y= = y- τότε έχουμε: - - y +8y -0 y= y- - y- - y +8y -0 y= y -6-6y + y -8-y +8y-8-y +8y - 0 y= 9. Από ταυτότητα του Euler ισχύει ότι αν a +b +g a b g A = = = a b g a b g α) a. + + - + + = + - + a+b+g=0þa +b +g =abg. Τότε ( -)( +) ( -)( + +) = b. y - y+ y y- + y- y- = = = y- y- y- y- y- y- y- [4]

γ) c. 0. w - w +w ( w-)( w+) w ( w+) ( w-) : = = w +w w +6w w( w+) w ( w+) w Έχουμε: a( a+6 ) =b( -b) -0 a + 6a = b - b -0 a +6a+b -b+0=0 a +6a+b -b+9+=0 ( a +6a+9 ) + ( b -b+) =0 ( a+ ) + ( b- ) =0. a+=0ü ý b-=0þ a = - και b= a( a+6b ) ³b( 4a-b) a + 6ab ³ 4ab -b a +6ab-4ab+b ³0 a +ab+b ³0( a+b ) ³0, που ισχύει για κάθε a, bî.. 4 a>0 α) a. a+ ³4a +4³4aa -4a+4³0( a- ) ³0 a b. Από ερώτημα (α) έχουμε æ 4ö ü ç a+ ³4 ola ta melh qetika ara a pollaplasiazw kata melh è ø ï æ 4 öæ 4ö ý ç a + ç b + ³ 6 æ 4ö ï è aøè b b+ ³4 ø ç b è ø ïþ που ισχύει [5]

. 4. 5. 6. 7. y<0 y + + y ³y - y + y ³0( - y) ³0 που ισχύει y α) a. b. -6 +0³y-y + -6 +0- y+ y ³0 - y+ y + -6 +9+³0 ( y) ( ) - + - +³0 αριθμών. + y ³ y - y+ y ³0 - y+ y ³0 + - y+ y + y ³0 + - y + y ³0 ( ) y ( y ) + + 4 - + + ++ y -4 +6 y+9 0 - ++ y +6 y+9 0 ( ) ( y ) - + + 0 ì-=0 ì = í í îy+ = 0 îy= - α) Από υπόθεση είναι 0< < άρα >0 ü < < ï >0 ý Þ < < Þ < < < ï þ Από υπόθεση είναι 0< < << που ισχύει ως άθροισμα θετικών που ισχύει ως άθροισμα θετικών αριθμών :>0 0< << και απο ερώτημα (α) έχουμε τελικά: Είναι : ( ) Þ Þ 9Þ 7 () [6]

Ομοίως: (-) - y 0Þ4³- y³0þ0 - y 4 Από τις σχέσεις () και (), προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε: - y 8. α) a. Είναι : < <4Þ < < 6 () Ομοίως: (-) < y<þ-4>- y>-6þ-6<- y<-4 Από τις σχέσεις () και (), προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε: -5 - y b. Είναι: < <4 () < y< 4 Από τις σχέσεις () και (4), πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη αφού όλα είναι θετικά, έχουμε: γ) -4 < y <-< y -4<8 c. Είναι: < <4Þ > > Þ < < ( 5) 4 4 Από τις σχέσεις () και (5), προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε: -6< - y<-4- < - y<- 4 4 [7]

9. α) a. Είναι: () < a < b. Είναι : - < b < -Þ > -b > Þ < -b < ( ) Από τις σχέσεις () και (), πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη αφού όλα είναι θετικά, έχουμε: <-ab<6þ->ab>-6þ-+>ab+>-6+þ-<ab+< ( ) <a<þ< a < 9Þ < a < 8 ( ) Ομοίως: (-) -<b<-þ>b>þ4>b >Þ-<-b <- 4 0. Είναι Από τις σχέσεις () και (4), προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε: -0 < a - b < 5 ì +³0 - Þí. Άρα η παράσταση γίνεται î - 0Þ -6 0 A= +-( - + ) + (- +6 ) = ++ -- +6=4. Είναι ì4- >0Þ8- >0 ï <4< yþíy-4>0. Άρα η παράσταση γίνεται ï î - y <0 A=8--( y-4 ) + (- + y) =8-- y+4- + y=-. Από τριγωνική ανισότητα + y+ z + y + z + y + z +5+9=6 [8]

. 4. α) a., + + + ì an ³0 A = = = = =í + + + î -, an <0-9 + - + B= + = + = -9 +6 +9 - + + + = + 4 5 4 4 6 5 6 6 9 9 9 9 9 9 9 4- α) a. A = = = = 9 = 8 4 4 9 9 4 9 9 9 b. 4 4 4 4 B = 8 = = = = = = 4 4 4 4 4 6 4 4 6 4 9 5. 4 4 a. A 4 α) = = = = 7 b. B 4 7 4 7 7 = = = = = 84 = 8 4 7 4 8 7 4 5 48 5 6 6. 7 7 7+ 4+ - = - = 7-4- 7-7+ 4-4+ 7 + 7 4 + 7 + 4 4 + 7 + 4-4 - 4 - = - = = 7-4 -9 7-4-9 5 5 7. ( ) + - - + - + A= - = = = = - + - + - - - Για = γίνεται : A = = - - [9]

8. α) a. www.thetiko.gr - + - + -- - A= + = = -- + - -- + - + -+ -- - - = = - + -- - b. B 07 06 = + = - 07 + = -40 06-07 07 + 06 9. α) a. Πρέπει -4³0 και 6- ³0 Τελικά Î46 [, ] ³4 6 b. Για =5 έχουµε A = 5-4+ 6-5 =+= άρα A + A-6= +-6=0 Κεφαλαιο ο εξισώσεις ου βαθµού. Σωστό. Σωστό. Λάθος 4. Σωστό 5. Λάθος 6. Σωστό ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. a. b. 5-4 = - - =0 ( - ) =0 =0 ή = - - +=0 ( -) -( - ) =0 ( -)( -) =0 = ή =Þ =± [0]

c. d. ( +) -( + ) = +6 + +8---= 0 +6 --6=0 ( +6) -( +6 ) =0 ( +6)( -) =0 = -6 ή = ± ( -5 ) =9 ( +) -0 + 5 = 9 + 6 + 6 0 = 8 + 46 + 0 = 8 + 44 + + 0 = ( 4 + ) +( 4 +) 0= ( 4 +)( +) =- ή =- 4. a. prέpei ¹ - kai ¹ - -7 ( +)( -) -( +)( - ) =0 + - ( -)( -) -( +)( -7 ) =0 ( - -9 +- -7 +9- ) =0-0 + - - + = 0 = 7 = = 4 b. prέpei ¹- kai ¹- 4-8 - + - - + = - + + -( -) ( - )( + ) 4( - ) + ( + ) = -8 4-8+ +6 = -8 0 =0 =0 []

. α) prέpei ¹-5 kai ¹ -5 kai ¹0 - = +5 ( +5)( -5 ) ( +5) ( )( ) ( )( ) +5-5 - +5-5 = +5-5 +5 ( +5 )( -5 ) +5-5-=( -5) -6=-0 4= +- =6 +- =6 ή +- =-6 += +6 πρέπει +6³0Þ ³- +=-6 πρέπει -6³0Þ ³ += +6 ή +=--6 +=-6 ή +=- +6 7 5-5= apor. =- =7 = απορ. 4. a. b. --5= -=8 ì 9 = ì -=8 ï í í î -= -8 ï 7 =- ïî + 6 + =4 ++=4 + = + = +=5, =95, + = -, 5 = -, 5 []

c. 4-6 + = -4-4 +=6-4 =-4 5. = -4 ì ì 4-4= = ï ï í í ï 0-4=- ï = ïî ïî a. b. +4--5 =0 +4=-5 ì 9 = ì+4=-5 ï 4 í í î+4=- +5 ï = ïî 4 -= +,πρέπει +³0Þ ³- ì-= + í î - = - - ì =4 ï í ï = î 6. l + - = ì +-= c. í î + - = - ì +=4 = ï+ =4 í +=-4 =-6 ï î + = -,αδύνατη ( - ) =( -l) l -l =4-l l -4 =l -l ( l-)( l+ ) =l( l-) []

An ( l-)( l+ ) ¹0l¹ kail¹- l( l-) l = = ( l-)( l+) ( l+) 7. 8. An ( l-)( l+ ) =0l= ή l=- gial=: 0 = 0 aόristh gia l = - : 0 = 8 adύnath l ( + ) =+l l +l =+l l -l =-l l( l- ) = ( +l)( -l) l( l -) = -( + l)( l -) prέpei l ( l -) ¹ 0 l ¹ 0 kai l ¹ a. -( +l)( l-) -( +l) = = l( l-) l prέpeil( l- ) =0l=0 ή l= b. c. kai -( +l)( l- ) =0l=-ή l= άra l= prέpeil( l- ) =0l=0 ή l= kai -( +l)( l- ) ¹0l¹-ή l¹ άral=0 + ( l+ ) +l - + ( l+ ) +l - D= ( l+) -4 ( l -) =4l +4l+-4l +4l=8l+ a. b. AnD>0Þ8l+>0Þl>- tό te: 8, -l+± 8l+ = AnD=0Þ8l+=0Þl=- tό te: 8 -l+ = [4]

9. c. An D < 0 Þ 8l +< 0 Þ l < - tόte h eίswsh eίnai adύnath 8 l +l =6 +4l l -6 = 4l - l ( l-4)( l+4 ) =-l( l-4) prέpei ( l-4)( l+4 ) =0l=4 ή l=-4 kai -l( l-4 ) =0l=0 ή l=4 άral=4 prέpei ( l-4)( l+4 ) =0l=4 ή l=-4 kai -l( l-4 ) ¹0l¹0 kail¹4 άra l = -4 Επιµέλεια: Βασιλάτος Κοσµάς [5]

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ ) Λάθος ) Λάθος ) Σωστό 4) Σωστό 5) Σωστό 6) Λάθος 7) Λάθος 8) Σωστό 9) Σωστό 0) Σωστό ) Σωστό ) Σωστό ) Λάθος 4) Σωστό 5) Λάθος ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. α) - 5 + 6> 0-5 + 6 > 0 > >, < - και < - < <, γ) - + - < 0 - + -< 0 ( ) 0, ΑΔΥΝΑΤΗ - - - + < - -- + < 0 < -< < και > <, < -. α) -50<0 ( - 50) < 0 0 < < 50 γ) δ) - ³ ( - ) ³ 0 0 < < 0 + 4 5 + 4-5 0-5 < < + 5+ 7 0 ΑΔΥΝΑΤΗ ε) στ) + 64-6 + 6 + 64 0 = -8 6 + ³ + ( + )(5- ) 0 [6] 5 -, ³.

5-5 + ζ) - + 0-0, ³. -. α) -(l-) - l+ = 0. Πρέπει Δ>0 l, l ³. ( l ) l l + - = + ( l + ) -l-( l + ) = 0 Πρέπει Δ>0 l Î Â. 4. α) γ) δ) + 5³ 0 ( + 5) ³ 0 < -5, > 0. - 4< 0 ( -4) < 0 0 < < 4. < <. - + 5- ³ 0 4 5 0 - + > ΑΔΥΝΑΤΗ. ε) στ) ζ) + 49 > 4-4 + 49 > 0 Î Â. - - ( -)( - 6) > 0 <, >. ( ) 5( ) 4-7+ 0 0 7 70 <, >. 84 84 5. α) -( l+ ) + l - = 0 Δύο άνισες αν 0 - < l <, µία αν l =, l = - καµµία αν 5 5 l- - l- + l =, l ¹- - > l, l >, 5 Δύο άνισες αν - < l <, µία αν l =, l = καµµία αν - > l, l >, 6. A = Â, A = [-,5] g 7. Πάντα θετικό όταν 0 < l < Πάντα αρνητικό όταν 0 > l, l >. 8. Να δειχθεί ότι για κάθεa Î R οι παρακάτω εξισώσει έχουν ρίζες πραγµατικές και άνισες. α) a a -( + ) + - = 0 Δ= a - a + 4 > 0, " a Î Â 4 (4 ) 4 y - - a y + a = Δ>0, "a ÎÂ 9. (λ-) -(λ-)-λ=0, l < και > l, l > από συναλήθευση l <. [7]

0. α) ( 8) 0 - + k - k + < Δ= + k + k, Δ <0 άρα αληθεύουν για κάθε k Î Â (a- ) + 4+ a> 0 αληθεύουν για κάθε a Î Â. a ¹, Δ= - 4( a - a - 4) δεν συναληθεύουν,άρα. (λ-) -λ+λ-, πρέπει λ->0 και Δ<0, τότε l >.. α) 8 - + -, πρέπει α>0 και Δ<0, τότε α>. 5 a a ( a ) a a ( a ) - + - <0, πρέπει α<0 και Δ<0, τότε α<0.. a a -( - ) + - = 0, α) Δ= ( a -)(a + ) i) έχει δυο άνισες ρίζες - > a, a >, ii) έχει διπλή ρίζα - = a, a =, iii) είναι αδύνατη στο - < a <. 4. 5. 0 - + l- + l + l- = l + l - Έχει ετερόσηµες ρίζες για - < 0 - > l, l >. 5 0 + l + l+ + + l λ < - και Δ = -4(λ +) < 0. Άρα λ < -. 6. α) l - - + > 0, πρέπει Δ<0, τότε l < 0. 0 l- - - < πρέπει λ->0 και Δ<0, τότε l < 0. 7. 5 6 0, k - + k - + k - > k ¹ κ > () και Δ = -4( k -4k + ) < 0 k >, k < () Από συναλήθευση (), ():κ>. 8. 0 - + l- + l + l+ =. Δ = (8l + 5) > 0.Άρα ρίζες πραγµατικές και άνισες. + + ³ 0 + ) + 0 (l -) + l + l + ³ 0 l ÎÂ ( ³ [8]

9. 0. æ -0 - ö -( - ) + - > 0, ¹ 0, πρέπει λ>0 και Δ<0, τότε l Î ç 0,. è - 6 ø l l l l -( l+ ) + l +, Δ < 0 καιl Î R.. 0 l+ - l + >, είναι λ>- ()και Δ < 0 l -4l -8< 0 l Î( -,+ ) (). Από συναλήθευση (), (): l Î ( -, + ). α) Αν l =, τότε ρίζα. 0 Αν l =, λ=0, τότε διπλή ρίζα. æ Αν l Î ç0, è 0 ö, τότε ρίζες. ø 0 Αν Î (-, 0) È (, + ) l Για χ=, l =. 5 g. α) Πρέπει P = 0 < 0 a <, τότε ρίζες. b Πρέπει S = + 0 < 0 a <, l Î( -,) 4. Πρέπει D < 0 ( + ) - 4l( l -) < 0, Î (-,) l. l Î (-, ) È (5, + ) l. g 5. Πρέπει P = 0 < 0 a < l - < l 0, Î( 0,) l. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ )Σωστό ) Σωστό ) Σωστό 4) Σωστό 5) Σωστό 6) Λάθος 7) Σωστό 8) Σωστό 9) Σωστό 0) Σωστό [9]

) Σωστό ) Λάθος ) Σωστό 4) Λάθος 5) Λάθος 6) Σωστό 7) Λάθος 8) Λάθος 9) Σωστό 0) Λάθος ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ. (0)=-, (- ) =-, (a+) = a - a -, () = 4-6 -, ((0))=(- )=.. α) Την χ=, χ=. æ 7-89 7 + 89 ö Î ç, è 0 0 ø. α) Î Â (0)=0, ()=, (π)=π-, = -. 4. α) Î (-,) α =, β=0. æ 4 ö 5. α) A = Â - (-, ) A = Â - ç -, γ) A = Â è 5 ø δ) A = Â - (,) ε) A = [, + ) στ) A = [,) È (, + ) ζ) A = Â η) A = (,) È (, + ) θ) A = Â - (-,) 6. α) Την χ=0, χ= ±. Την χ=0, χ= 6 γ) Την Î (-, 0) È (, + ). 5 7. α) =5 =- γ) = 8. α) A = Â - (0,6), A = Â - (6) χ=4, χ= 7 -. 9. α) A = [-, + ). λ=. g [0]

0. A = Â - (). α) Τα Α(0,-) και Β(,0). Î (-,-) È (, + ) * A = Â και g = Â A. α) Πρέπει : () = g() = -, = +. Πρέπει : () > g() Î ( -, + ).. α) Tέµνει χ χ για χ< : = 0 = - A( -, 0 ) Tέµνει χ χ για χ³ : = 0 = -, = 0 B( 0, 0), Γ( -, 0) Tέµνει y y για χ< : ( 0) = Δ( 0, ) Tέµνει y y για χ³ : ( 0) = 0 B( 0, 0). (-) = - ¹, άρα το σηµείο Α(-,) δεν ανήκει στην C. γ) (())=5. 7. α) Πρέπει : () = g() =, y = Άρα A( æ ö Πρέπει : () < g() Î ç, +. è ø 4. α) A = Â. Tέµνει χ χ : = 0 =, = A(, 0), Β(, 0 ). Tέµνει y y : ( 0) = Γ( 0, ). γ) > 0 Î (-,) È (, + ). 5. α) Πρέπει : () = g() =, =, y =, y = 6. Άρα A(, ), Β(, 6 ). Πρέπει : () > g() Î (-,) È (, + ). 6. α) A = [-, ) και A = (-, ]. g, Πρέπει : () = g() = 0, y =. Άρα A( 0, ). γ) Πρέπει : () > g() Î (-,-) È (0, ). δ) Πρέπει 4 Î A Aδύνατο. 9. α) y =, y = - +, γ) y= - +. 7 ). www.thetiko.gr Επιµέλεια: Κατέχος Γιώργος []