Άσκηση η α) Πώς θα µετρήσετε πρακτικά πόσο κοντά είναι ένα σήµα σε λευκό θόρυβο; Αναφέρατε 3 διαφορετικές µεθόδους (κριτήρια) για την απόφαση: "Ναι, πρόκειται για σήµα που είναι πολύ κοντά σε λευκό θόρυβο" ή "Όχι, πρόκειται για σήµα που απέχει από το λευκό θόρυβο". Για να εξηγήσετε το διάβηµά σας, να χαράξετε κάθε φορά και τα κατάλληλα πρόχειρα διαγράµµατα. β) Πώς θα συµπεριφερθούν τα 3 κριτήρια αν τύχει το εξεταζόµενο σήµα να είναι καθαρό ηµίτονο και πως αν είναι µείγµα ηµιτόνου µε λευκό θόρυβο; γ) Πότε έχουµε κίνδυνο να µην ανακαλυφθεί ότι υπάρχει στο σήµα µια κρυµµένη περιοδικότητα; Λύση α) Ένας τρόπος για να δούµε αν ένα σήµα είναι θόρυβος είναι από την φασµατική πυκνότητα ισχύος του σήµατος, και πιο συγκεκριµένα από το εύρος των τιµών αυτής. Αν S mx -S min <3dB τότε λέµε ότι πρόκειται για σήµα πολύ κοντά σε λευκό θόρυβο. - -4 5 Frequency (Hz) Μία άλλη µέθοδος είναι µέσω του αριθµού εξάρτησης του πίνακα αυτοσυσχέτισης του σήµατος, ο οποίος ορίζεται από την σχέση X( R) X ( R) R R τότε το σήµα πλησιάζει σε λευκό θόρυβο. = ή αλλιώς X( R) λ λ mx =. Όταν min
Κυκλικά και ασθενικά (ελλειπτικά) δεδοµένα Τέλος τον λευκό θόρυβο µπορούµε να τον εντοπίσουµε και από τους όρους της αυτοσυσχέτισης του σήµατος. Γενικότερα για να µπορεί ένα σήµα να χαρακτηρισθεί λευκός θόρυβος θα πρέπει r () >> r ( k), k >. xx xx Εικόνα : Αυτοσυσχέτιση λευκού θορύβου Εικόνα : Αυτοσυσχέτιση ηµιτονικού σήµατος
β) Αν το σήµα µας είναι καθαρό ηµίτονο τότε το πρώτο κριτήριο θα δώσει S S >> db, κάτι που θα ισχύει και στην περίπτωση του ηµιτόνου µε υπέρθεση mx min 3 λευκού θορύβου. Το δεύτερο κριτήριο θα δώσει τιµή xr ( ) = στην περίπτωση του καθαρού ηµιτόνου, ενώ στην περίπτωση του ηµιτόνου µε λευκό θόρυβο θα δώσει τιµή µικρότερη της µονάδας αλλά κοντά σε αυτήν. Το τρίτο κριτήριο, στην περίπτωση του καθαρού ηµιτόνου θα δώσει καθαρά περιοδική συνάρτηση, ενώ στην περίπτωση ηµιτόνου µε λευκό θόρυβο θα δώσει επίσης περιοδική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, η περιοδικότητα της οποίας όµως θα επηρεαστεί από τον λευκό θόρυβο. Εικόνα 3: Ηµιτονικό σήµα µε λευκό θόρυβο Εικόνα 4: Αυτοσυσχέτιση ηµιοτνικού σήµατος µε λευκό θόρυβο. 3
γ) Υπάρχει κίνδυνος να µην ανακαλυφθεί κρυµµένη περιοδικότητα στην περίπτωση που το περιοδικό σήµα έχει υπερκαλυφθεί από υψηλής ισχύος θόρυβο και ο σηµατοθορυβικός λόγος είναι σηµαντικά µικρός. Άσκηση η Ελέγξατε µε δυο τρόπους την ευστάθεια του προβλέπτη που θα προκύψει µε την µέθοδο της αυτοσυσχέτισης από τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης: {r,r,r } = {.353, -.44,.83 }. Με την υπόθεση ότι Ε(z)=, δώσατε τα πρώτα δείγµατα ενός συνθετικού σήµατος που θα περιέχει παρόµοιο περιεχόµενο συχνότητας και θα παράγεται από τον προβλέπτη. Επαληθεύεται η ευστάθεια από τα δείγµατα; Επαναλάβατε τους υπολογισµούς µε ένα δεύτερο σήµα το οποίο οδηγεί σε συντελεστές αυτοσυσχέτισης: {r,r,r } = { -.888, -.66, -.596 }. Αν κάποιο από τα δυο συστήµατα δεν είναι ευσταθές, προχωρήσατε στην διόρθωσή του, ώστε να γίνει ευσταθές και να µπορέσει να παραχθεί συνθετικό σήµα χωρίς να αλλάξει το περιεχόµενο συχνότητας. ηµιουργήσατε δείγµατα από το νέο συνθετικό σήµα. Λύση Με χρήση του αλγορίθµου Levinson-Durbin υπολογίζουµε τον προβλέπτη. r = r, b = r, k =, = k r =.353, b =.44, k =.7999, =.7999 = + bk =.35.44.7999 =. = = ( ) b = r + r =.7999.44 +.83 =.33 k b.3.7999.3.7999.5599 = + k = =. 3.3 Εφόσον τα ευσταθές. k, προκύπτουν σε απόλυτη τιµή µικρότερα της µονάδας, το σύστηµα είναι Ένας άλλος τρόπος ελέγχου της ευστάθειας του συστήµατος είναι ο υπολογισµός των πόλων του συστήµατος από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο Az ( ) = + z + z Az ( ) = z z + + = Εφόσον οι πόλοι προκύψουν εντός του µοναδιαίου κύκλου (µέτρο µικρότερο της µονάδας) το σύστηµα είναι ευσταθές. Η έξοδος του συστήµατος περιγράφεται από την σχέση: 4
xn ( ) = δ ( n) xn ( ) xn ( ) xn ( ) = δ ( n).5599 xn ( ) +.3 xn ( ) και οι πρώτες δέκα τιµές υπολογίζονται από την παραπάνω σχέση. x() = x() =.5599 x() =.635 x(3) =.55 x(4) =.474 x(5) =.468 x(6) =.3745 x(7) =.3347 x(8) =.997 x(9) =.68 και η έξοδος φαίνεται παρακάτω..8.6.4. -. -.4 -.6 3 4 5 6 7 8 9 n Από την έξοδο του συστήµατος παρατηρούµε ότι αυτή συγκλίνει και εποµένως είναι όντως ευσταθές. Για την δεύτερη σειρά αυτοσυσχετίσεων έχουµε: 5
r = r, b = r, k =, = k r = 888, b =.66, k =.75, =.75 = + bk =.36 < Κανονικάεδώσταµατ άµε! b = r + r =.48 k b = =.3 > Α.6 = + k =.3 Όµοια µε πρίν έχουµε: στ άθεια xn ( ) = δ ( n) xn ( ) xn ( ) xn ( ) = δ ( n) +.6 xn ( ).3 xn ( ) και οι πρώτες δέκα τιµές υπολογίζονται από την παραπάνω σχέση. x() = x() =.6 x() =.434 x(3) =.484 x(4) =.8479 x(5) =.8998 x(6) =.88 x(7) =.89 x(8) =.458 x(9) =.7 και η έξοδος φαίνεται παρακάτω..5.5.5 -.5 - -.5 - -.5 3 4 5 6 7 8 9 n Από όπου και φαίνεται ότι η έξοδος αποκλίνει λόγω αστάθειας του συστήµατος. Επιλύοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυµο υπολογίζουµε τους πόλους του συστήµατος. 6
Az ( ) = + z + z Az ( ) = z z z z, + + =.6z+.3 = =.8± j.7 το µέτρο των οποίων είναι µεγαλύτερο από την µονάδα και εποµένως το σύστηµα είναι ασταθές. Για να διορθώσουµε το σύστηµα ορίζουµε δύο νέους πόλους z', = x' ± j y' Ορίζουµε: Re{ z } = x,im{ z } = y Re{ z } = x',im{ z } = y' Im( z ) y Είναι γνωστό ότι rctn rctn Re( z) x y' y =, έτσι ώστε να µην αλλάξει το συχνοτικό περιεχόµενο και τότε έχουµε: x ' x ω = =, ενώ για τους δύο νέους πόλους θα ισχύει ( ) ( ) ( x ) ( y ) ( x ) ( x' ).94 ( x' ) ( ) z ' = x' + y' = z.63 ( x' ) y ' + ' =.94 ' + =.94 x x + y x.94 = = x z.94.8.84 x' = x' =.79 x' =.63.84 Η αρνητική τιµή απορρίπτεται γιατί ο πόλος βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο. Τότε έχουµε: yx '.7.84 y' = y' = y' =.736 x.8 z' =.84 ± j.736, Το νέο χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι A'( z) = z z' z z' = z z' + z' z+ z' z' ( )( ) ( ) A z z z '( ) =.68 +.94 Η έξοδος του συστήµατος πρειγράφεται από την σχέση: xn ( ) = ( n) xn ( ) xn ( ) αφού Ez ( ) =. δ n = x( ) = x( ) = Για και (αιτιατό) λαµβάνουµε τα επόµενα δείγµατα της εξόδου: 7
x() = δ () = x() = δ () +.68 x().94 x( ) =.68 x() =.88 x(3) =.5 x(4) =.75 x(5) =.5 x(6) =.957 x(7) =.459 x(8) =.5 x(9) =.35 και η έξοδος φαίνεται παρακάτω:.5.5 -.5 - -.5 3 4 5 6 7 8 9 n 8
Άσκηση 3 η Έστω σήµα x(n) µε πλήθος Ν δειγµάτων πραγµατικών αριθµών. Το σήµα αυτό φιλτράρεται µέσω ψηφιακού FIR φίλτρου µε απόκριση µοναδιαίου παλµού h(n), της οποίας η διάρκεια είναι Μ δείγµατα. Εξετάζουµε την υπολογιστική πολυπλοκότητα για τον υπολογισµό της συνέλιξης των x(n) και h(n) µε τις εξής µεθοδολογίες : α) Υπολογισµός κλασικής συνέλιξης µε βάση τον ορισµό της, β) Υπολογισµός µέσω ΜΦ χωρίς την χρήση του FFT, γ) Υπολογισµός µε χρήση του FFT. Όταν N=, για ποιες τιµές του Μ είναι υπολογιστικά συµφέρουσες οι ανωτέρω πράξεις; Τι συµβαίνει για M=; Καταλήξατε µε βάση τα προηγούµενα σε µια γενική συµβουλή στον χρήστη µιας µαθηµατικής βιβλιοθήκης, ο οποίος αποσκοπεί στην ταχύτερη δυνατή υλοποίηση του FIR φιλτραρίσµατος. Λύση H και θα έχει Ν+Μ- α) Η συνέλιξη βάση του ορισµού είναι yn ( ) = xk ( ) hn ( k) N k= N δείγµατα και εποµένως (Μ+Ν-). Μ πολλαπλασιασµούς. β) Με ΜΦ θα έχουµε ( ) L ( ( ) ( ( )) ) y = IDFT DFT x n DFT h n. Οι µετασχηµατισµοί θα είναι Ν+Μ- σηµείων (συµπλήρωση µε µηδενικά). Ο ΜΦ απαιτεί (Ν+Μ-) µιγαδικούς πολλαπλασιασµούς, όπως επίσης και ο αντίστροφος µετασχηµατισµός, ενώ απαιτούνται Μ+Ν- πολλαπλασιασµοί των σηµείων των µετασχηµατισµένων σηµάτων. Άρα συνολικά απαιτούνται 3((Ν+Μ-) )+Ν+Μ- µιγαδικοί πολλαπλασιασµοί ή 4[3((Ν+Μ- ) )+Ν+Μ-] πραγµατικοί πολλαπλασιασµοί. γ) Μέσω FFT θα έχουµε ανάλογα µε την προηγούµενη διαδικασία N + M 4 log ( N + M ) + ( N + M ) πραγµατικοί πολλαπλασιασµοί. Για Ν= έχουµε: α) + 99 = ( + 99) M M M M ( ) ( )( 4 3 M + 99 + M + 99 = 4 M + 99 3M + 598) β) ( ) 3 4 99 log 99 + γ) ( M + ) ( M + ) Στην περίπτωση που το Μ= έχουµε: α) 9,9 πολλαπλασιασµοί β),74,8 πολλαπλασιασµοί 9
γ) 8,784 πολλαπλασιασµοί Ως γενικό συµπέρασµα έχουµε ότι ο δεύτερος τρόπος είναι πάντα ο βραδύτερος και λιγότερο αποδοτικός, ενώ όσον αφορά την συνέλιξη και τον ταχύ µετασχηµατισµό fourier, ο FFT είναι προτιµότερος στην περίπτωση µεγάλων Μ και Ν αφού τότε ο παράγοντας log αυξάνει σηµαντικά αργότερα από τα Μ και Ν.
Άσκηση 4 η Έστω µια σειρά συντελεστών ανάκλασης k i µε k i <= και τις ακόλουθες τιµές: {k,k,k 3,k 4,k 5 } = {.8, -.4, -.7, -.,. }. α) Υπολογίσατε τους όρους της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήµατος {r,r,r 3,r 4,r 5 }, θεωρώντας r =. β) Έστω επέκταση τώρα των συντελεστών k i µε είτε k 6 =, είτε k 6 =. Υπολογίσατε άλλον ένα συντελεστή αυτοσυσχέτισης. Τί σηµαίνει από φυσικής απόψεως πως ο συντελεστής πήρε τέτοιες ακραίες τιµές; γ) Αν οι τιµές των k i διαλεχθούν µε τυχαίο τρόπο αλλά µε k i <=, οι συντελεστές αυτοσυσχέτισης που θα προκύψουν από την τυχαία αυτή επιλογή, θα µπορούν να είναι συντελεστές αυτοσυσχέτισης σήµατος; Λύση α) Ισχύει : r r... rm m r r r... m r = : : : : rm rm... r mm rm από την εκφώνηση έχουµε r = m rm ( ) = r i= im m i
Άρα = = k =.8 r = r =.8 ( + k).48 = k =.4 r = r r =.784.48.4.76 3 = + k 3 =.4.7.48 =.736.7 r =.485 3 = 3r 3r 33r 3 33.76.7.9 3 3.736.736.589 4 = + k 4 =. = 33 3.7.76.85. r = r r r r =.46 4 4 3 4 34 44 4 44.9..88 4 34.589.85.674 5 = 34 + k5 4 =.85+..589 =.9 44 4..9.. r = r r r r 55r =.67 5 5 4 5 3 35 45 β) Αν k 6 = τότε 5.88.674 5 35.9 6 = = 45. 55. r = r r r r r r =.5 6 6 5 6 4 36 3 46 56 66 Αν k 6 =
5 55.98.784 5 45 35 35.8 6 = + = 45 5.784 55 5.98 r = r r r r r r =.54 6 6 5 6 4 36 3 46 56 66 Στην περίπτωση που k = 6 ισχύει 6 5( k6 ) 5 = = δηλαδή περαιτέρω αύξηση της τάξης του µοντέλου δεν επιφέρει καλύτερο αποτέλεσµα στην πρόβλεψη του σήµατος. Στην περίπτωση k 6 = ισχύει = ( k ) = 6 5 6 det( R ) = = det( R ) = 7 6 7 det( R6 ) δηλαδή είµαστε στο όριο όπου η µήτρα της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης παύει να είναι θετικά ορισµένη και επιπλέον η ενέργεια του σφάλµατος γίνεται µηδέν. Έτσι είµαστε αναγκασµένοι να διακόψουµε την αναδροµή. γ) Η συνθήκη ki είναι ικανή συνθήκη για να αποτελούν τα αυτοσυσχέτισης σήµατος. r i συντελεστές 3
Άσκηση 5 η Ελέγξατε µε δυο τρόπους την ευστάθεια του προβλέπτη που θα προκύψει µε την µέθοδο της αυτοσυσχέτισης από τους συντελεστές αυτοσυσχέτισης: {r,r,r } = {.374,.97,.47 }. Με την υπόθεση ότι η είσοδος στο ανωτέρω σύστηµα πρόβλεψης είναι Ε(z)=, υπολογίσατε τα πρώτα δείγµατα και σχεδιάσατε την έξοδο που θα αντιστοιχεί στην διέγερση του προβλέπτη από την είσοδο αυτή. Τί παρατηρείτε από τα δείγµατα της εξόδου που υπολογίσατε σχετικά µε την ευστάθεια; Προχωρήσατε στην διόρθωσή του συστήµατος, ώστε η έξοδος να µην αποκλίνει και να µπορέσει να παραχθεί συνθετικό σήµα χωρίς να αλλάξει το συχνοτικό περιεχόµενο. ηµιουργήσατε δείγµατα από το νέο συνθετικό σήµα µετά την διόρθωση και σχεδιάσατε την νέα έξοδο. Λύση Για να ελέγξουµε την ευστάθεια του προβλέπτη θα χρησιµοποιήσουµε είτε τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου, είτε το κριτήριο Schur-Cohn. Αρχικά εκτελούµε τον αλγόριθµο Levinson-Durbin. = r =.374 b = r =.93 k = = r m = r.783 = k =.783 Άφιξη του r = + bk =.45 > b = Jr + r =.89 k T b = =.3.8 = k + =. 3 Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι: A ( z) = + z + z =.8z +.3z A z z z z ( ) =.8 +.3= = =,.8 4.3.96,8 ± j.4 z = z =.9 + j.7 =.9 j.7 4
z z Τα και βρίσκονται εκτός του µοναδιαίου κύκλου αφού z = z =.9 +.7 =.4 Εποµένως ο προβλέπτης είναι ασταθής. Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε και από το κριτήριο του Schur-Cohn σύµφωνα µε το οποίο ο έλεγχος της ευστάθειας ανάγεται στον έλεγχο της σχέσης k p < για όλα τα p. Στην περίπτωση µας k =.3 >, δηλαδή το κριτήριο δεν ικανοποιείται και ο προβλέπτης είναι ασταθής. Για να υπολογίσουµε τα πρώτα δείγµατα από το συνθετικό σήµα έχουµε: X( z) A( z) = E( z) X( z) + z + z = xn ( ) + xn ( ) + xn ( ) = δ ( n) xn ( ) =.8 xn ( ).3 xn ( ) + δ ( n) Θεωρώ αιτιατό σήµα, δηλαδή xk ( ) =, k< x() = δ () = x() =.8 x() =.8 x() =.8 x().3 x() =.94 x(3) =.8 x().3 x() =.5 x(4) =.8 x(3).3 x() =.448 x(5) =.8 x(4).3 x(3) =.35 x(6) =.8 x(5).3 x(4) = 3.566 x(7) =.8 x(6).3 x(5) = 3.4 x(8) =.8 x(7).3 x(6) =.55 x(9) =.8 x(8).3 x(7) =.75 x(n) - - -3-4 3 4 5 6 7 8 9 n Παρατηρούµε, όπως άλλωστε περιµέναµε και από την ευστάθεια του προβλέπτη, ότι το σήµα αυξάνει σε απόλυτη τιµή µε τον χρόνο (απόκλιση). 5
Θα διορθώσουµε το σύστηµα, ώστε να γίνει ευσταθές, διατηρώντας τη συχνότητα στην χαρακτηριστική του πλάτους: Ορίζουµε: Re{ z } = x,im{ z } = y Re{ z } = x',im{ z } = y' Είναι γνωστό ότι ω = Im( z ) y rctn rctn Re( z) = x, ενώ για τους δύο νέους πόλους θα ισχύει y' y =, έτσι ώστε να µην αλλάξει το συχνοτικό περιεχόµενο και τότε έχουµε: x ' x ( ) ( ) ( x ) ( y ) ( x ) ( x' ).877 ( x' ) ( ) z ' = x' + y' = z.4 ( x' ) y ' + ' =.877 ' + =.877 x x + y x.877 = = x z.9.877.789 x' = x' =.789 x' =.4.789 Η αρνητική τιµή απορρίπτεται γιατί ο πόλος βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο. Τότε έχουµε: yx '.7.789 y' = y' = y' =.63 x.9 z' =.789 ± j.63, Το νέο χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι ( )( ) ( ) A'( z) = z z' z z' = z z' + z' z+ z' z' A z z z '( ) =.578 +.877 Η έξοδος του συστήµατος πρειγράφεται από την σχέση: xn ( ) = δ ( n) xn ( ) xn ( ) αφού Ez ( ) =. n = x( ) = x( ) = Για και (αιτιατό) λαµβάνουµε τα επόµενα δείγµατα της εξόδου: 6
x() = δ () = x() = δ () +.578 x().877 x( ) =.578 x() =.65 x(3) =.66 x(4) =.4 x(5) =.354 x(6) =.93 x(7) =.54 x(8) = x(9) =.566.5.5 -.5 - -.5 3 4 5 6 7 8 9 n 7