004, Pēteris Daugulis ATTIECĪBAS Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme). Bināra attiecība - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt kopas (vai divu dažādu kopu) sakārtotiem elementu pāriem. x, y piemīt šī īpašība, tad Ja elementu pārim teiksim, ka tie ir saistīti ar attiecību (kuru nosauksim vārdā ρ ) un pierakstīsim to formā x ρ y, pretējā gadījumā - x ρ/ y. Tātad attiecība definē kādu apakškopu kopā A B (ja x ρ y, tad ( x, y) ir šajā apakškopā, pretējā gadījumā - nav) DEFINĪCIJA Bināra attiecība starp kopu A un B elementiem ir kāda apakškopa R kopā A B. Ja A = B attiecību kopā A., tad bināru attiecību sauc par bināru Biežāk tiek izmantotas attiecības vienā kopā.
004, Pēteris Daugulis R A Attiecību ρ, kas atbilst apakškopai ( R A A ) apzīmēsim ar pierakstu ρ = ( A, R) ( ρ = ( A, R) ). B Kopu R sauksim par attiecības grafiku. Kopu A ar tajā uzdotu attiecību ρ var apzīmēt ar pierakstu ( A, ρ), šis apzīmējums ir izdevīgs, ja attiecību uzdod ar attiecības aprakstu, nevis ar kopu R. ρ un x, y) R Ja = ( A, R) (, tad saka, ka elementi x un y ir saistīti ar attiecību ρ, atrodas attiecībā ρ vai ir salīdzināmi attiecībā ρ (apzīmē ar x ρ y ). Strādājot ar konkrētām attiecībām, burta ρ vietā izmanto dažādus atdalošos simbolus, piemēram <, =,, p, un citus.
004, Pēteris Daugulis 3 PIEMĒRI a) reālu skaitļu vienādība (=), šajā gadījumā ρ = ( A, R), kur A ir reālo skaitļu kopa un R = {[ x, y] A x = y} ; b) reālo skaitļu sakārtojums ( ), jeb attiecība mazāks vai vienāds, A ir reālo skaitļu kopa un R = {[ x, y] A x y} ; c) veselo skaitļu dalāmības attiecība ( ), A = Z un R = {[ x, y] A y dalās ar x }; c) kopu ietilpšanas attiecība ( ), A ir visu kopu kopa un R = {[ x, y] A x y} ; d) apakšprogrammu izsaukšanas attiecībair visu dotā programmas apakšprogrammu kopa, R = {( x, y) A y izsauc x} e) cilvēku radniecības attiecība, A ir visu cilvēku kopa, R = {[ x, y] A x un y uzskata sevi par radiniekiem }; f) trijstūru līdzība, A ir visu plaknes trijstūru kopa, R = {[ x, y] A x un y ir līdzīgi }. Jebkuram sakārtotam kopu pārim ( A, B) ir definētas divas speciālas attiecības:
004, Pēteris Daugulis 4 a) tukšā attiecība λ = ( A, ) ; b) pilnā attiecība ω = ( A, A B). Jebkurai kopai A ir vēl papildus speciāla attieksme - vienības attiecība kur ε = ( A, diag( A)), diag ( A) = {( x, y) A x = y} ir A apakškopa, ko sauc par A diagonāli. Attiecību var interpretēt kā attēlojuma grafiku, tāpēc pastāv savstarpēji viennozīmīga atbilstība starp attiecībām un attēlojumiem. Attiecībām un attēlojumiem ir dažādas psiholoģiskas nianses, kuras ir lietderīgi izmantot dažādās situācijās: - apakškopu tiešajā reizinājumā A B ir ērti uzskatīt par attēlojuma grafiku, ja iet runa par kopas A elementu pārveidojumiem par kopas B elementiem vai apakškopām;
004, Pēteris Daugulis 5 - šo pašu apakškopu ir ērti uzskatīt par attiecību, ja ir svarīgi domāt par šo apakškopu kā par sakārtotu elementu pāru kopu. Attiecības uzdošanas veidi: ) attiecību ρ = ( A, R) var uzdot definējot kopas A un B un pārskaitot visus kopas R elementus, šī metode der, ja kopas A un B ir mazas galīgas kopas, šajā gadījumā bieži izmanto attiecības uzdošanu matricas (tabulas) veidā: ja A = n un B = m, tad konstruē tabulu, kurā ir n kolonnas un m rindas, tabulas kolonnas tiek indeksētas ar kopas A elementiem un rindas ar kopas B elementiem, tabulas rūtiņā, x A un kolonnai y B kas atbilst rindai ieraksta, ja [ x, y] R un 0, ja [ x, y] R, ja ir uzdota attiecības matrica to var vizualizēt matricas grafa vai attiecības grafa veidā: grafa virsotnes ir kopu A un B elementi, starp virsotnēm x un y ir orientēta šķautne (bultiņa no x uz y ) tad un tikai tad, ja [ x, y] R ;
004, Pēteris Daugulis 6 ) attiecību var uzdot ar kādu kopas R A B raksturīgu īpašību; 3) attiecību var uzdot ar salīdzināmo elementu pāru raksturojošo īpašību. Attiecību vienādība un salīdzināšana DEFINĪCIJA Divas attiecības ( A, R ) un ρ = ( A, R ) sauc par vienādām ( ρ tad un tikai tad, ja R = R. R ρ = ρ = ) Ja, tad saka, ka attiecības nav vienādas ( ρ ρ ). R Saka, ka attieksme ρ ietilpst attiecībā ρ vai, ka attiecība ρ ir attiecības ρ apakšattiecība ( ρ ρ ), tad un tikai tad, ja R R. ρ un ρ ρ, tad saka, ka attiecība ρ Ja ρ stingri ietilpst attiecībā ρ vai, ka attiecība ρ ir attiecības ρ īsta apakšattiecība. PIEMĒRI
004, Pēteris Daugulis 7 Jebkura attiecība ietilpst pilnajā attiecībā un tukšā attiecībā ietilpst jebkurā citā attieksmē. Ja ρ ir attiecība mazāks vai vienāds ( ) un ρ ρ ; ir attiecība =, tad ρ ja ρ ir attiecība būt radiniekiem un ρ ir attiecība būt pazīstamiem, tad ρ ρ (mēs uzskatām, ka radinieki pazīst viens otru). DEFINĪCIJA Operācijas ar attiecībām Ja ir dotas divas attiecības ρ = A, ) un ρ = A, ) ( R ( R, tad par šo attiecību apvienojumu sauc attiecību ρ U ρ = A, R U ) ; ( R par attiecību šķēlumu sauc attiecību ρ I ρ = A, R I ) ; ( R par attiecību starpību sauc attiecību ρ ρ = ( A, R \ ). \ R
004, Pēteris Daugulis 8 Par attiecības ρ = ( A, R) papildinājumu jeb papildinošo attiecību sauc attiecību ρ ' = ( A, ( A B) \ R). Par attieksmes ρ = ( A, R) apvērsto attiecību sauc attiecību ρ = ( A, R ), kur R = {( y, x) B A ( x, y) R}. Ja ir dotas divas attiecību ρ = A, ) un ρ = ( C, ) R ( R, tad par šo attiecību kompozīciju vai reizinājumu sauc attiecību ρ ρ = R ( A, C, R ), kur R R = {( x, z) A C eksistē y B tāds, ka ( x, y) R un y, z) R }. ( Attiecību kompozīcija ir saistīta ar attēlojumu kompozīciju: attiecību ρ = ( A, R ) un ρ = C, ) kompozīcijai ( R ρ ρ = R ( A, C, R ) atbilst kopa R R, kas ir vienāda ar kopām R un R atbilstošo attēlojumu kompozīcijas grafiku.
004, Pēteris Daugulis 9 PIEMĒRI < TEORĒMA (attiecību īpašības) Ja ρ = ( A, R), σ = ( A, S) un τ = ( A, T ) ir attiecības kopā, tad ir spēkā šādas īpašības ) ερ ρε = ρ = ; λρ ρλ = λ ) ( ρ ') = ( ρ )' ; 3) ( ρ σ ) = ρ σ ; ( ρ σ ) = ρ σ ; 4) ρ( σ τ ) = ρσ ρτ ; ( σ τ ) ρ = σρ τρ ; 5) ρ( σ τ ) ρσ ρτ ; ( σ τ ) ρ σρ τρ ; = ; Attiecību speciālgadījumi
004, Pēteris Daugulis 0 DEFINĪCIJA Attiecību ρ = ( A, R) sauksim par refleksīvu, ja katram aρ a. a A izpildās nosacījums Attiecības ρ = ( A, R) refleksivitāte nozīmē, ka ε ρ vai arī, ka ρ = ρ ε, citos terminos, tās grafiks satur kopas A diagonāli, refleksīvas attiecības grafā katrai virsotnei a var atrast šķautni, kuras abi gali pieder a (šādu šķautni sauc par orientētu cilpu). Refleksīvu attiecību piemēri: skaitļu vienādība, ģeometrisku figūru vienādība un līdzība. DEFINĪCIJA Attiecību sauc par antirefleksīvu, ja ja katram a A izpildās nosacījums a ρ ' a. ρ ε' vai arī, ka Antirefleksivitāte nozīmē, ka ρ = ρ \ ε, antirefleksīvas attiecības grafā nav nevienas cilpas. Antirefleksīvu attiecību piemēri: skaitļu nevienādība, taišņu perpendikularitāte.
004, Pēteris Daugulis DEFINĪCIJA Attiecību sauksim par simetrisku, ja jebkuriem diviem nosacījums: ja aρ b, tad a A un b A izpildās šāds bρ a. Attiecības simetriskums nozīmē, ka ρ = ρ vai arī, ka ( ρ \ ε) = ( ρ \ ε ) ε, simetriskas attiecības grafā starp jebkurām divām dažādām virsotnēm vai nu nav nevienas šķautnes, vai arī ir divas šķautnes (vērstas pretējos virzienos). Simetrisku attiecību piemēri: skaitļu vienādība, figūru līdzība, cilvēku radniecība. Attiecību sauksim par antisimetrisku, ja jebkuriem diviem aρ b un a A un b A izpildās nosacījums: ja bρ a, tad a = b. Attiecību antisimetriskums nozīmē, ka ρ ρ ε vai arī, ka ( ρ \ ε) = ( ρ \ ε ) \ ε, antisimetriskas attiecības grafā nav virsotņu pāru, starp kuru elementiem ir divas šķautnes. Antisimetrisku attiecību piemēri: skaitļu attiecība mazāks vai vienāds, veselu skaitļu dalāmība.
004, Pēteris Daugulis Attieksmi sauc par asimetrisku, ja jebkuriem diviem aρ b, tad a A un b A izpildās nosacījums: ja b ' a ρ. Attieksmes asimetriskums nozīmē, ka ρ ρ = λ vai arī, ka ρ = ρ \ ε, asimetriskas attieksmes grafā nav cilpu un nav virsotņu pāru, starp kuru elementiem ir divas šķautnes. Asimetrisku attieksmju piemēri: skaitļu attieksme mazāks. Attieksmi sauc par tranzitīvu, ja jebkuriem trīs elementiem nosacījums: ja a A, b A un c A izpildās aρ b un bρ c, tad aρ c. Attieksmes tranzitivitāte nozīmē, ka arī, ka ( ρ ε ) = ρ ε. ρ ρ vai Ja ρ ir patvaļīga attieksme, tad attieksmi U = ρ i N sauc par attieksmes ρ tranzitīvo slēgumu (pierādīt patstāvīgi, ka τ ir tranzitīva attieksme!). τ i
004, Pēteris Daugulis 3 Tranzitīvu attieksmju piemēri: skaitļu attieksme mazāks (<), skaitļu dalāmības attieksme, ģeometrisku figūru līdzības attieksme. Attieksmi sauc par dihotomisku (aptverošu), ja a A un b A a b izpildās nosacījums: aρ b vai bρ a. jebkuriem diviem, tādiem, ka Attieksmes dihotomiskums nozīmē, ka ε ' ρ ρ. Dihotomisku attieksmju piemēri: skaitļu attieksme mazāks vai vienāds. Sakārtojumi DEFINĪCIJA Attiecību sauc par daļēju sakārtojumu, ja tā ir ) refleksīva, ) antisimetriska, 3) tranzitīva. Daļēju sakārtojumu sauc par pilnu (lineāru) sakārtojumu, ja tas ir dihotomisks. Attiecību sauc par stingru (pilnu) sakārtojumu, ja tā ir antirefleksīva, antisimetriska un tranzitīva (un dihotomiska).
004, Pēteris Daugulis 4 Refleksīvu un tranzitīvu attiecību sauc par pirmsakārtojumu vai kvazisakārtojumu. Kopu ar tajā uzdotu daļēju sakārtojumu sauc par daļēji sakārtotu kopu, kopu ar pilnu sakārtojumu sauc par pilnīgi sakārtotu kopu vai ķēdi. Daļēja un pilna sakārtojuma attieksmes parasti apzīmē ar izteikti nesimetriskiem, orientētiem atdalošiem simboliem, piemēram <,, p, <,,,, u un citiem. Mēs apzīmēsim vispārīgu sakārtojumu ar. Duālo DSK iegūst no dotās mainot uz pretējo salīdzināšanas kārtību. PIEMĒRS Vienības attiecība ε acīmredzami ir daļējs sakārtojums, to sauc par triviālo vai diskrēto sakārtojumu. Daži klasiski sakārtojumu piemēri: (, ),( N, ), ( P( A), ) N, Elementus x un y sauksim par salīdzināmiem, ja x y (x ir mazāks vai vienāds kā y) vai x y (x ir lielāks vai vienāds kā y), pretējā gadījumā tos sauksim par nesalīdzināmiem.
004, Pēteris Daugulis 5 Ja uzdota daļēji sakārtota kopa ( A, ), tad apakškopu B A sauc par ķēdi, ja ( B, ) ir pilnīgi sakārtota kopa, apakškopu B sauc par antiķēdi, ja ( B, ) ir triviāli sakārtota kopa. Ķēdi (attiecīgi, antiķēdi) B sauc par maksimālu, ja a A \ B apakškopa {a} jebkuram ķēde (attiecīgi, antiķēde). B nav Saka, ka daļēji sakārtotas kopas garums (attiecīgi, platums) ir n, ja tajā eksistē ķēde (attiecīgi, antiķēde), kas satur n elementus un neeksistē ķēde (attiecīgi, antiķēde), kas satur n + elementu. DSK, kuras garums ir, sauksim par divdaļīgu DSK. Elementu x A sauc par vislielāko (attiecīgi, a A izpildās a x x a ). vismazāko), ja katram (attiecīgi, Ja DSK eksistē vislielākais (vismazākais) elements, tad to sauc par ierobežotu no augšas (apakšas).
004, Pēteris Daugulis 6 x A sauc par maksimālu (attiecīgi, x a seko, ka x = a a x seko, ka x Elementu minimālu), ja no tā, ka (attiecīgi, no tā, ka a = ). Grafi sakārtojumu vizualizēšanai Salīdzināmības orientētais grafs grafs kā vispārīgai attiecībai. Salīdzināmības (neorientētais) grafs - dažādi elementi tiek savienoti ar neorientētu šķautni tad un tikai tad, ja tie ir salīdzināmi. Izmanto arī nesalīdzināmības grafu. Hasses grafs Vizualizējot daļējus sakārtojumus grafu veidā, ir lietderīgi nedaudz modificēt attieksmes grafa jēdzienu: ja ir dots daļējs sakārtojums ( A, ), tad no sākumā konstruē šī sakārtojuma grafu parastajā nozīmē un pēc tam izdzēš visas cilpas un visas šķautnes, kuru eksistence ir tranzitivitātes sekas. Šādu grafu sauc par sakārtojuma (vai Hasses) grafu.
004, Pēteris Daugulis 7 Ja kopa A ir galīga, tad šī definīcija nozīmē, ka starp dažādiem elementiem a un b ir šķautne ( a b ) tad un tikai tad, ja a b un neeksistē c A tāds, ka c a, c b, a c un c b. Saka, ka b nosedz a. Papildus DSK īpašības Par DSK ( A, ) apakšattiecību sauksim DSK ( B), kur B A un b B b tad un tikai tad, ja b b (kopā A). Par intervālu [x,y] sauksim apakšattiecību, kas satur visus z: x z y. A un ( B) tad Ja ir dotas divas DSK (, A) funkciju f : A B sauksim par izotonu (tādu, kas saglabā kārtību), ja no tā, ka f ( a) B f ( a'). a A a' seko, ka Divas DSK ( A, A) un ( B) sauksim par izomorfām, ja eksistē bijektīva funkcija
004, Pēteris Daugulis 8 f f : A B tāda, ka a a' ( a) f ( a') B. A tad un tikai tad, ja Var definēt arī antiizomorfisma jēdzienu, kad eksistē bijektīva funkcija f : A B tāda, ka a A a' tad un tikai tad, ja f ( a) B f ( a' ). Par DSK kēžu sadalījumu sauksim tās elementu kopas sadalījumu apakškopās, kurām atbilstošās apakšdsk ir ķēdes. TEORĒMA (Dilvorts) Galīgai DSK platums ir vienāds ar minimālo ķēžu sadalījuma elementu skaitu (minimālo skaitu ķēžu, kurās var sadalīt doto DSK). PIERĀDĪJUMS Patstāvīgi, izmantot matemātisko indukciju pēc platuma. Operācijas ar DSK: ) apvienojums - ja dotas DSK D = ( A, R ) un D = ( A, R) un A I A =, tad D + D = A U A, R U ) ( R ) lineārā summa - ja dotas DSK D = A, ) un D = A, ) un ( R ( R
004, Pēteris Daugulis 9 A I A =, tad D D = A A, R U R U A ) ( A U, visi viena kopas elementi ir mazāki nekā visi otrās kopas elementi; 3) Dekarta reizinājums - ja dotas DSK D = ( A, R ) un D = ( A, R), tad D D = ( A A, ), kur elementi S ( a, a ) un ( b, b ) a b a b R R ir salīdzināmi tad un tikai tad, ja un. PIEMĒRI Kēde ir viena elementa DSK iterētā lineārā summa. Antiķēde ir viena elementa DSK iterēts apvienojums. Ja ir dotas divas DSK D = ( A, R ) un D = ( A, R), tad var definēt leksikogrāfisko A sakārtojumu (kopu) Dekarta reizinājumā šādi: ( a, a) ( b, b ) tad un tikai tad, ja a b vai a = b un a b. A PIEMĒRS Ja ir dota pilnīgi sakārtota kopa ( A, ), n tad katram n N kopā A var definēt pilnu sakārtojumu, ko sauc par sakārtojumam atbilstošo leksikogrāfisko sakārtojumu, kuru mēs
004, Pēteris Daugulis 0 apzīmēsim ar p, šādā veidā: ( a,..., an ) p ( b,..., bn ) tad un tikai tad, ja mazākajam indeksam i, tādam, ka a i b i izpildās nosacījums ai bi. DSK sauc par graduētu, ja visām maksimālām ķēdēm ir vienāds garums. Par graduētas kopas rangu sauc jebkuras tās maksimālas ķēdes garumu. Par DSK ranga funkciju sauc funkciju r, kas katram elementam piekārto veselu skaitli tā, ka ja y nosedz x, tad r(y)=r(x)+. DSK, kurai eksistē ranga funkciju sauc par ranžētu DSK. Par k-tā ranga kopu sauc DSK apakškopu, kuras elementi rangs vienāds ar k. DSK ( B ) ir DSK ( A, A ) paplašinājums, ja ( A) ( B ). Ja B ir lineārs sakārtojums, to sauc par lineāru paplašinājumu. Topoloģiskās šķirošanas problēma: atrast dotās DSK lineāro paplašinājumu. Par DSK A realizatoru sauc visu tādu tās lineāro paplašinājumu kopu, kuru šķēlums ir A. Par DSK A dimensiju sauc minimāli iespējamo elementu skaitu tās realizatorā.
004, Pēteris Daugulis PIEMĒRS DSK pielietojumi šķirošanā. Šķirošanas uzdevuma mērķis ir sakārtot dotos skaitļus (vispārīgā gadījumā, lineāri sakārtotas kopas elementus) pieaugošā kārtībā veicot vairākkārtīgi divu elementu salīdzināšanas operācijas. Tādējādi, jebkurā laika momentā uzkrāto zināšanu apjoms ir DSK, kas apraksta visu salīdzināšanu rezultātus. Algoritms ir jāizstrādā tā, lai katra nākamā salīdzināšana pēc iespējas samazinātu DSK dimensiju. Ekvivalence DEFINĪCIJA Attiecību sauc par ekvivalenci, ja tā ir ) refleksīva; ) simetriska; 3) tranzitīva. Ekvivalences parasti apzīmē ar simboliem, kas ir izteikti simetriski attiecība pret vertikālo asi, piemēram, =,,. Klasiski ekvivalenču piemēri: skaitļu un, vispārīgāk, matemātisku objektu vienādība vai izomorfisms, ģeometrisku figūru līdzība.
004, Pēteris Daugulis TEORĒMA Jebkurai kopai A pastāv bijekcija starp ekvivalencēm, kas uzdotas kopā A un kopas A sadalījumiem. PIERĀDĪJUMS Ja ir dots kopas A sadalījums AI = { A } α α I, tad definēsim tam atbilstošu ekvivalenci šādā veidā: a b tad un tikai tad, ja a un b pieder vienai un tai pašai sadalījuma apakškopai A x, apzīmēsim šo attēlojumu no kopas A sadalījumu kopas uz kopas A attieksmju kopu ar ϕ. Pierādīsim, ka katram sadalījumam definētā attieksme tiešām ir ekvivalence: refleksivitāte - katram a A izpildās a a, a b, tad { a, b} A x kādai b a, a un b c, tad simetrija - ja apakškopai A x un tranzitivitāte - ja b { a, b} A x un { b, c} Ay, tātad A x = Ay un a c. No otras puses, pieņemsim, ka ir dota ekvivalence un parādīsim, ka šādai attieksmes var viennozīmīgi piekārtot kopas A sadalījumu,
004, Pēteris Daugulis 3 apzīmēsim šo attēlojumu no kopas A ekvivalenču kopas uz kopas A sadalījumu kopu ar ψ. a A definēsim A a { x A x a} a A a Aa, tātad a Katram =. Katram A un U Aa = A, tātad kopa { Aa } a A ir kopas A a A pārklājums. Pierādīsim vēl, ka ja Aa Ab, tad Aa I A b =. Ja Aa I A b, tad eksistē c A tāds, ka c A, c, no kā seko, ka a c c b a b. a A b, un x tāds, ka Pieņemsim, ka eksistē A x A, x, tad iegūstam, ka a a A b x 'b. Tā kā a b x b tranzitivitātes seko, ka x un, tad no attieksmes, kas ir pretruna. Līdzīgā veidā iegūsim pretrunu, ja pieņemsim, ka eksistē x A tāds, ka x Ab, x Aa. No funkciju ϕ un ψ konstrukcijām seko, ka to kompozīcijas jebkurā kārtībā ir vienādas ar
004, Pēteris Daugulis 4 vienības attēlojumiem attiecīgajās kopās, tātad abas šīs funkcijas ir bijekcijas.