Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω της μέτρηης του όγου της θερμικής αγωγιμότητας προς την αντίτοιχη ηεκτρική. Οι μετρήεις θα γίνουν τον χακό που αντιπροωπεύει τους καούς αγωγούς θερμότητας και ηεκτρικού ρεύματος και το νικέιο που αντιπροωπεύει τους κακούς αγωγούς. 38. Γενικά Είναι γνωτό ότι η θερμική αγωγιμότητα των μετάων είναι εκατοντάδες φορές μεγαύτερη από αυτήν των διηεκτρικών υικών. Αυτό οφείεται το γεγονός ότι τα εεύθερα ηεκτρόνια που είναι υπεύθυνα για την ηεκτρική αγωγιμότητα των μετάων είναι υπεύθυνα και για τη θερμική τους αγωγιμότητα. Έτι, όο μεγαύτερη είναι η ηεκτρική αγωγιμότητα του μετάου, τόο μεγαύτερη είναι η θερμική του αγωγιμότητα. Στα μέταα, η ομοιότητα τους μηχανιμούς διάδοης του ηεκτρικού φορτίου και της θερμότητας βρίκει την έκφραή της τον αρχικά πειραματικά διαπιτωμένο νόμο των Widmann-Franz (1853), ύμφωνα με τον οποίο, ε θερμοκραία δωματίου (ωτότερα, ε θερμοκραίες όχι πού χαμηές, άνω της θερμοκραίας Dby), τα μέταα, η θερμική αγωγιμότητά () είναι ανάογη προς την αντίτοιχη ηεκτρική (). Δηαδή, ~ ή / ταθ. Παρατηρήθηκε ακόμη ότι ο όγος / εξαρτάται από τη θερμοκραία και η εξάρτηη αυτή είναι της μορφής: L (38.1) όπου Τ ( > Dby ) είναι η απόυτη θερμοκραία του μετάου και L είναι ένας ταθερός αριθμός, ίδιος για όα τα μέταα και ονομάζεται ταθερά του Lorntz. Συνεπώς, τα μέταα, ο όγος /Τ αναμένεται να είναι ταθερός. Πίνακας 38.1 Μέταο (10 7 Ω -1 m -1 ) (W m -1 K -1 ) L (10-8 W Ω Κ - ) Ag 6,15 43,45 Cu 5,8 387,7 Al 3,55 10,0 Na,1 135,18 Cd 1,3 10,64 F 1,00 67,31 Ni 1,46 91,5,14 Pb 0,45 34,56 Στον Πίνακα 38.1 δίνονται οι τιμές της ηεκτρικής, () και θερμικής () αγωγιμότητας μερικών μετάων τους 93 Κ (Τ Τ δομ ) καθώς και η πειραματική τιμή του αριθμού Lorntz τα υικά αυτά. 1
38..1 Η ταθερά του Lorntz.ε καική και κβαντομηχανική προέγγιη Ο νόμος των Widmann-Franz έπαιξε μεγάο ρόο τη διαμόρφωη της θεωρίας των μετάων αφού αποτέεε την πειραματική βάη και τήριγμα της υπόθεης περί του αερίου των εεύθερων ηεκτρονίων τα υικά. Σύμφωνα με την υπόθεη αυτή, τα ηεκτρόνια τα οποία οφείεται η ηεκτρική αγωγιμότητα των μετάων, παρά το ότι είναι εγκωβιμένα εντός του τερεού, είναι κατά τα άα απούτως εεύθερα και έχουν ιδιότητες όμοιες με αυτές που έχει ένα ιδανικό αέριο. Έτι, η ηεκτρική και η θερμική αγωγιμότητα των μετάων αποδίδονται ε φαινόμενα μεταφοράς όταν, για κάποιον όγο, το ιδιόμορφο αυτό αέριο ηεκτρονίων δημιουργείται βαθμίδα θερμοκραίας ή ηεκτρικού δυναμικού. Για το όγο / η χετική ανάυη δίνει 8 π (38,3) όπου είναι η ταθερά του Boltzmann και είναι του φορτίο του ηεκτρονίου. Επομένως, την καική προέγγιη η ταθερά Lorntz έχει την τιμή L 8 π 1,9 10 8 WΩK (38.4) Στην κβαντομηχανική προέγγιη, το μοντέο του αερίου Frmi, ο όγος / είναι ενώ για τη ταθερά Lorntz προκύπτει η τιμή π 3 (38,5) 8 L π,45 10 WΩK - (38.6) 3 που είναι πιο κοντά τις πειραματικές τιμές. Στο μοντέο αυτό, η διάδοη της θερμότητας αποδίδεται εξοοκήρου το αέριο των ηεκτρονίων. Ο ρόος του κρυταικού πέγματος αγνοείται, μια και τα μέταα η πεγματική υνιτώα της θερμικής αγωγιμότητας είναι περίπου 1% της οικής. Επιπέον, αγνοούνται οι ενεργειακές ζώνες και θωρείται ότι η μάζα του ηεκτρονίου είναι ίη με αυτήν το κενό. Είναι άξιο προοχής το γεγονός ότι για τη ταθερά του Lorntz η καική (8 /π ) και η κβαντική προέγγιη (π /3 ) δίνουν χεδόν την ίδια τιμή. 38.3 Η μέθοδος μέτρηης του όγου / Λόγω διαφορετικής φύεως των μεγεθών και, οι τεχνικές μέτρηης των μεγεθών αυτών διαφέρουν και η μέτρηή τους υνήθως γίνεται ε δύο ξεχωριτά πειράματα. Στη μέθοδο που ακοουθεί θα παρακαμφθεί αυτή η διαδικαία και η μέτρηη του όγου / θα γίνει άμεα ε ένα ενιαίο πείραμα. Για τον κοπό αυτό θεωρούμε μία μεταική ράβδο η οποία διαπερνάται από ηεκτρικό ρεύμα I 0 και τα δύο άκρα της οποίας διατηρούνται τη θερμοκραία περιβάοντος Τ 0 (Σχ. 38.1). Η ανάυη θα αποποιηθεί ε μεγάο βαθμό αν δεχτούμε ότι η θερμότητα, η οποία εκύεται εντός της ράβδου, άγεται μόνο προς τα ψυχρά της άκρα και υνεπώς, θεωρήουμε αμεητέες τις απώειες από την πευρική της
επιφάνεια. Σκοπός της ανάυης που ακοουθεί είναι να βρεθεί η κατανομή της θερμοκραίας τη ράβδο και, ακοούθως, η θερμοκραία το κέντρο της, υναρτήει των μεγεθών I 0, και. Η διατύπωη της μαθηματικής χέης που καθορίζει την αγωγή της θερμότητας τη ράβδο θα γίνει με τη βοήθεια ενός μικρού της τμήματος ή επτής φέτας, οι βάεις της οποίας βρίκονται τα ημεία και + d και η οποία έχει πάχος d. Το ημείο 0 επιέγεται το κέντρο της ράβδου. Το εμβαδόν της διατομής της ράβδου είναι s, και το μήκος της l. Έτω ότι τη χρονική τιγμή t τη θέη η θερμοκραία της ράβδου είναι (,t). Έτω ακόμα ότι η διέευη του ρεύματος Ι 0 προκαεί έκυη θερμότητας εντός της ράβδου με ένα ρυθμό ανά μονάδα όγκου ίο με (). Τ Τ + d 0 I 0 0 + d l/ 0 +l/ Σχήμα 38.1 Για το ιοζύγιο των ενεργειών που εκύονται, απορροφούνται ή διαχίζουν το τοιχείο της ράβδου μεταξύ και + d μπορούμε να πούμε ότι η θερμότητα Q 1 η οποία ειέρχεται ε αυτό από την αριτερή επιφάνεια (ημείο ), υν η θερμότητα Q που εκύεται εντός του τοιχείου όγκου ιούται με τη θερμότητα Q 3 που εξέρχεται από τη δεξιά επιφάνεια (ημείο +d) υν τη θερμότητα Q 4 που απορροφάται από το υικό, δηαδή Q 1 + Q Q 3 + Q 4 ή Q 4 Q + Q 1 Q 3 (38.7α,β) Η θερμότητα Q η ποία εκύεται εντός του τοιχείου όγκου dv είναι: Q () dv dt ή Q () s d dt. (38.8α,β) Η θερμότητα Q 4 η οποία απορροφάται από το τοιχείο όγκο είναι Q 4 C dm d ή Q 4 C ρ s d t dt, (38.9α,β) όπου ρ και C είναι η πυκνότητα και η ειδική θερμότητα του υικού της ράβδου και Τ/ t είναι ο ρυθμός μεταβοής της θερμοκραίας του τοιχειώδους όγκου με τον χρόνο. Ας εξετάουμε τώρα την διαφορά Q 1 Q 3 που υπάρχει την Εξ. (38.7). Η θερμότητα Q 1 που ειέρχεται το τοιχείο όγκο από αριτερά (ημείο ) ύμφωνα με τον νόμο της αγωγής θερμότητας, είναι Q 3 Τ s dt. (38.10) Η θερμότητα Q 3 που εξέρχεται από το τοιχείο όγκο από τη δεξιά της επιφάνεια (ημείο +d) είναι 3
Q 1 + d sdt (38.11) Επομένως, η διαφορά Q 1 Q 3 είναι Q 1 Q 3 sdt dsdt d. (38.1) + Αντικαθιτώντας την Εξ. (38.1β) και απαείφοντας τον κοινό όρο s d έχουμε ρ C t +. (38.13) Η Εξ. (38.13) είναι γνωτή ως εξίωη αγωγής της θερμότητας ε μία διάταη. Στη μόνιμη κατάταη, η θερμοκραία δεν μεταβάεται με τον χρόνο και υνεπώς t 0. (38.14) Η Εξ. (38.13) γίνεται + ( ) 0. (38.15) Στην περίπτωη που το κέντρο της ράβδου είναι θερμότερο μόνο κατά 0 C, μπορεί να θεωρηθεί ότι οι ιδιότητες του υικού της είναι ίδιες ε όα της τα ημεία και υνεπώς η υνάρτηη () είναι ένας ταθερός αριθμός, η τιμή του οποίου είναι: W I 0 R (38.16) V sl όπου R είναι η ηεκτρική αντίταη της ράβδου και V sl είναι ο οικός της όγκος. Οοκηρώνοντας την Εξ.(38.15) έχουμε d d + A, (38.17) όπου Α είναι μία ταθερά. Προφανώς, η θερμοκραία έχει τη μέγιτή της τιμή τη μέη της ράβδου, δηαδή τη θέη 0. Στο ημείο αυτό έχουμε, επομένως, d d 0, (38.18) που ημαίνει ότι η ταθερά Α την Εξ.(38.17) είναι μηδέν. Η οοκήρωη της Εξ. (38.17) δίνει: ( ) + B. (38.19) 4
Τη ταθερά Β θα την βρούμε θέτοντας Τ( l/) (l/) 0. Η υνθήκη αυτή οδηγεί τη χέη: l + 4 ( ) 0. (38.0) () Τ 0 l/ 0 + l/ Σχήμα 38. Συνεπώς, τη ράβδο θα διαμορφωθεί μία παραβοική κατανομή θερμοκραίας το μέγιτο της οποίας βρίκεται το κέντρο (Σχ. 38.). Την τιμή της μέγιτης θερμοκραίας τη βρίκουμε θέτοντας 0, Η Εξ. (38.16) μπορεί να τροποποιηθεί και να γραφτεί ως: l (0) 0 +. (38.1) 4 U (38.) Rsl όπου U I 0 R είναι η πτώη τάης που δημιουργεί το ρεύμα I 0 τα άκρα της ράβδου. Από την άη πευρά, η χέη που ορίζει την αντίταη μιας μεταικής ράβδου είναι: 1 l R. (38.3) s Έτι, αμβάνοντας υπόψη τις Εξ. (38.1) και (38.3), μπορούμε να γράψουμε: ( 0) U 8 0 ή 8 U. (38.4α,β) Η ΔΤ δείχνει κατά πόο το κέντρο της ράβδου είναι θερμότερο από τα άκρα του, που έχουν τη θερμοκραία του περιβάοντος. Είναι βοικότερο η Εξ.(38.4β) να γραφτεί ε άη μορφή: 5
U 8 (38.5) Βέπουμε οιπόν ότι για τη μέτρηη του όγου / πρέπει να μετρήει κανείς την πτώη τάης τη ράβδο υναρτήει της θερμοκραίας που αναπτύεται το κέντρο της. Συνεπώς, ο όγος / μπορεί να μετρηθεί άμεα ως το 1/8 της κίης της πειραματικής ευθείας (38.5) που προκύπτει από τη μέτρηη των μεγεθών U και ΔΤ. Το ρεύμα I 0 δεν εμφανίζεται την τεική χέη και για τον όγο αυτό η μέτρηή του δεν είναι απαραίτητη. Όταν η διαφορά ΔΤ Τ(0) Τ 0 είναι της τάξης 1 0 C, τότε η μέη θερμοκραία της ράβδου μπορεί να υποογιτεί από τη χέη (Τ(0) + Τ 0 )/. Τεικά, η ταθερά του Lorntz υποογίζεται από τη χέη: όπου είναι η μέη θερμοκραία της ράβδου. 38.3 Η πειραματική διάταξη L (38.6) Για τις μετρήεις χρηιμοποιούνται δυο ράβδοι ή ωτότερα ύρματα, ένα από χακό και ένα από νικέιο, η διάμετρος και το μήκος των οποίων είναι,00 και 80,0 mm αντίτοιχα. Θερμόμετρο Ι 0 Πηγή ρεύματος (0 0 A) Γη V Ni + Βοτόμετρο Σχήμα 38. 3 Η πειραματική διάταξη αποτεείται από μία ρυθμιζόμενη πηγή ταθερού ρεύματος (0 0Α), δυο θερμόμετρα και ένα βοτόμετρο, για τη μέτρηη της τάης που αναπτύεται τα ύρματα. Η θερμοκραία μετράται το κέντρο των υρμάτων όπου βρίκονται δυο επτά μεταικά <<ταυ>> ο προοριμός των οποίων είναι να βετιώουν τη θερμική επαφή των υρμάτων με τους αιθητήρες των θερμομέτρων. Στο Σχ. 38.3 δίνεται μόνο το μιό μέρος της πειραματικής διάταξης την οποία γίνονται περάματα με το νικέιο. Όμοιο κύκωμα υναρμοογείται για τις μετρήεις το χακό. Βιβιογραφία 1. M.A. Omar. Elmntary Solid Stat Physics: Principl and Applications. ( Addison Wsly, London 1975). 6
. C. Kittl. Introduction to Solid Stat Physics,7 th. Edn.. (J. Wily, N.Yor 1995). 3. Ε.Ν. Οικονόμου. Φυική Στερεάς Κατάταης. (Πανεπιτημιακές Εκδόεις Κρήτης, Ηράκειο 1977). 4. Σ.Κ. Παπαδόπουος. Ειαγωγή τη Φυική Στερεάς Κατάταης. (Ε.Μ. Πουτεχνείο, Αθήνα 1990). 38.5 Εκτέεη του πειράματος Πρώτα μεετάται το νικέιο. Για τον κοπό αυτό: 1) Θέατε ε ειτουργία την πηγή ρεύματος και το ψηφιακό βοτόμετρο και περιμένετε 5 επτά έως ότου ταθεροποιηθούν οι ειτουργίες τους. Σημειώτε τη θερμοκραία Τ 0 των ψυχρών άκρων του νικείου ή ιοδύναμα, την αρχική θερμοκραία του νικείου το κέντρό του, όταν αυτό δεν διαρρέεται από το ηεκτρικό ρεύμα. ) Συναρμοογήτε το κύκωμα όπως το Σχ. 38.3. Η πηγή ρεύματος το βήμα αυτό πρέπει να είναι ρυθμιμένη το μηδέν. 3) Αυξήτε την τιμή του ρεύματος το κύκωμα τόο ώτε να προκηθεί πτώη τάης 1 mv το νικέιο. Περιμένετε ένα επτό και κατόπιν ημειώτε την τιμή της θερμοκραίας το κέντρο του ύρματος. 4) Επαναάβατε το βήμα (3) για πτώη τάης, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10, 11 και 1 mv. 5) Ρυθμίτε την πηγή ρεύματος το μηδέν και υναρμοογήτε το κύκωμα ξανά προκειμένου να εκτεέετε μετρήεις το χακό. Σημειώτε τη θερμοκραία Τ 0 το κέντρο του χάκινου ύρματος όταν αυτό δεν δια από το ηεκτρικό ρεύμα. 6) Αυξήτε την τιμή του ρεύματος το κύκωμα τόο ώτε να προκηθεί πτώη τάης 1 mv το χακό. Περιμένετε ένα επτό και κατόπιν ημειώτε την τιμή της θερμοκραίας που αναπτύεται το κέντρο του χάκινου ύρματος. 7) Επαναάβατε το βήμα (6) για πτώη τάης, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 και 10 mv. Πτώη τάης U (mv) Πίνακας 38. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Ni: Δ ( 0 C) Cu: Δ ( 0 C) 8) Ρυθμίτε την πηγή ρεύματος το μηδέν και κείτε τα όργανα. 38.6 Επεξεργαία των μετρήεων 1) Από τις τιμές του Πίνακα, υποογίτε τις τιμές U. Με τη μέθοδο των εάχιτων τετραγώνων, υποογίτε την κίη της πειραματικής ευθείας U a + bδ, όπου ΔΤ Τ(0) Τ 0, και τη υνεχεία τον όγο /, το νικέιο και τον χακό. Υποογίτε επίης τα φάματα των τιμών αυτών. ) Σχεδιάτε ε γραφική παράταη τα πειραματικά ημεία και τη βέτιτη ευθεία της χέης U a + bδ, 3) Υποογίτε τη ταθερά Lorntz και το φάμα της, το νικέιο και τον χακό. Ποιοι είναι οι κυριότεροι παράγοντες που θα μπορούαν να προκαέουν ααγή της μετρούμενης τιμής. 7