ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 7-2278101 Φαξ: 7-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ -ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία: Τρίτη, 2/0/2016 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΡΟΣ A : Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με μονάδες. 1. Στο πιο κάτω ραβδόγραμμα παρουσιάζονται οι βαθμοί, σε ακέραιες μονάδες, που πήραν οι φοιτητές ενός τμήματος του ΤΕΠΑΚ, στην εξέταση του μαθήματος της Τεχνολογίας. Με βάση το πιο πάνω ραβδόγραμμα: (α) Να βρείτε πόσοι φοιτητές πήραν βαθμό 9. (β) Να βρείτε τον συνολικό αριθμό των φοιτητών που παρακάθισαν στην εξέταση. (γ) Αν ένας φοιτητής για να περάσει το μάθημα πρέπει να πάρει στην εξέταση βαθμό τουλάχιστον, να βρείτε πόσοι φοιτητές πέρασαν το μάθημα. (α) 6 φοιτητές πήραν βαθμό 9. (β) Συνολικός αριθμός φοιτητών που παρακάθισαν στην εξέταση: Σ + 1 + + + 10 + 8 + 6 + + 6 + + 6 + 2 0 (γ) Αριθμός φοιτητών με βαθμό τουλάχιστον : Σ 10 + 8 + 6 + + 6 + + 6 + 2 7 1
2. Να βρείτε την παράγωγο dy dx της συνάρτησης y x + x 2 1, όπου x R. Είναι: dy dx x + 10x. Ένας μαθητής της Θεωρητικής Κατεύθυνσης, στο μάθημα των Μαθηματικών, πήρε σε πέντε διαγωνίσματα τους εξής βαθμούς: 1, 17, 1, 18 και 16. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των βαθμών του. Είναι: x 1+17+1+18+16 80 16 2x. Να υπολογίσετε το όριο: 2 x + x 2 x + (2x2 ) + Είναι: { (x 2 ) + x + Συνεπώς, το όριο Επομένως, έχουμε: 2x 2 x + x 2 2x 2 x + x 2 είναι απροσδιόριστης μορφής + +. x + x 2 (2 x 2) 2 0 x 2 (1 x2) 1 0 2. Δίνεται η λέξη ΜΕΤΑΝΑΣΤΗΣ. Να βρείτε: (α) Το πλήθος των αναγραμματισμών της. (β) Το πλήθος των αναγραμματισμών που αρχίζουν και τελειώνουν σε Α. (α) Μ 10 ε 10! 628800 600 2!2!2! 8 (β) Τοποθετούμε τα δύο Α στα άκρα του κάθε αναγραμματισμού. Συνεπώς: Μ 8 ε 8! 2! 2! 020 10080 6. Να βρείτε το ολοκλήρωμα: (συνx 2x)dx Είναι: (συνx 2x)dx ημx 2 x2 2 + c ημx x2 + c 2
7. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και το μήκος της ακτίνας του κύκλου που έχει εξίσωση x 2 + y 2 + 2x y 20 0. Α τρόπος Είναι: { 2g 2 g 1 2f f 2 c 20 Επομένως, Κ( g, f) K( 1, 2) και R g 2 + f 2 c 1 2 + ( 2) 2 ( 20) 2 μον. Β τρόπος Είναι: x 2 + y 2 + 2x y 20 0 (x + 1) 2 1 + (y 2) 2 20 0 (x + 1) 2 + (y 2) 2 2 Επομένως, Κ(a, β) K( 1, 2) και R 2 μον. 8. Η συνάρτηση f(x) ax 2 + 8x + 11 όπου x R, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο ( 2, β). Να βρείτε τις τιμές των a και β. Α τρόπος Το σημείο με συντεταγμένες ( 2, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Επομένως, f( 2) β. Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για x 0 2. Επομένως, f ( 2) 0. f( 2) β a 16 + 11 β β a (1) Είναι: { f ( 2) 0 2a( 2) + 8 0 a 8 a 2 (2) Από (1) και (2), έχουμε: β 2 β 8 β Β τρόπος Αν a 0, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με γενικό τύπο f(x) ax 2 + βx + γ παριστάνει παραβολή με άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση: x β 2a Επομένως, ο άξονας συμμετρίας της συνάρτησης με τύπο f(x) ax 2 + 8x + 11 είναι η ευθεία με εξίσωση: x 8 2a Η ακρότατη τιμή της συνάρτησης f παρουσιάζεται για x 0 2. Επομένως, ο άξονας συμμετρίας της είναι η ευθεία με εξίσωση x 2. Δηλαδή, 8 2 a 8 a 2 2a Το σημείο με συντεταγμένες ( 2, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Επομένως, f( 2) β. Δηλαδή, f( 2) β a 16 + 11 β β
9. Τα Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με P(A) 12, P(B) και P(A B) 1. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: (α) P(B ) (β) P(A B) (γ) P(A B) (δ) P(A/B) (α) P(B ) 1 P(B) 1 1 (β) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) 12 + 1 6 (γ) P(A B) P(A) P(A B) 12 1 1 12 (δ) P(A/B) P(A B) P(B) 1 9 10. Δίνεται η καμπύλη με εξίσωση x 2 y 2 1. Να δείξετε ότι: (α) dy dx x y (β) y d2 y dy dx2 y + (x + 1) 0 dx (α) Παραγωγίζουμε τον κάθε όρο ως προς x και παίρνουμε: 6x 2y dy dy dy 0 2y 6x dx dx dx 6x 2y x y (β) Παραγωγίζουμε την πιο πάνω σχέση ως προς x και παίρνουμε: d 2 dy y y x dx dx2 y 2 y x x y y 2 y2 9x 2 Επομένως, από την πιο πάνω σχέση παίρνουμε ότι: y d2 y dx 2 Είναι: y d2 y dy dx2 y + (x + 1) y x dx y (1) y (x2 y 2 ) y y + x + x + x + 0
ΜΕΡΟΣ B : Να λύσετε και τις ασκήσεις. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο y. Να βρείτε το πεδίο ορισμού, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα x 2 διαστήματα μονοτονίας, τα τοπικά ακρότατα, τις ασύμπτωτες της συνάρτησης και στη συνέχεια να την παραστήσετε γραφικά. Πεδίο ορισμού: Α R { 2,2} Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: για x 0 έχουμε (0, 1 ) και για y 0 έχουμε (1,0) και ( 1,0). Μονοτονία-ακρότατα: Παραγωγίζοντας την συνάρτηση παίρνουμε f (x) 2x(x2 ) 2x(1 x 2 ) 6x (x 2 ) 2 (x 2 ) 2 Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. x 2 0 2 + f (x) 0 + + f(x) 1 min(0, 1 ) H f είναι: Γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [0,2) και (2, + ) Γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (, 2) και ( 2, 0]. Ασύμπτωτες: Η f έχει τοπικό ελάχιστο το f(0) 1, δηλαδή Τ.Ε(0, 1 ). Οριζόντια ασύμπτωτη: Κατακόρυφες ασύμπτωτες: Γραφική παράσταση: 1 x 2 x ± x 2 x 2 1, Άρα, y 1 οριζόντια ασύμπτωτη όταν x ±. x ± x 2 και +, άρα x 2 κατακόρυφη ασύμπτωτη. x 2 x 2 x 2 + x 2 + και, άρα x 2 κατακόρυφη ασύμπτωτη. x +2 x 2 x +2 + x 2
2. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει την κατανομή των 6 βουλευτικών εδρών που κατέχουν 8 πολιτικές παρατάξεις του Κοινοβουλίου μιας Ευρωπαϊκής χώρας. Αριθμός εδρών (x i ) 2 9 16 18 Αριθμός πολιτικών παρατάξεων (f i ) 2 1 1 1 Να βρείτε: (α) Την επικρατούσα τιμή (x ε ) των εδρών. (β) Τη μέση τιμή (x ) των εδρών. (γ) Την τυπική απόκλιση (σ) των εδρών. α) Επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής x είναι η τιμή με την μεγαλύτερη συχνότητα. Άρα, x ε. Συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα Αριθμός εδρών (x i ) Αριθμός πολιτικών παρατάξεων (f i ) x i f i (x i x ) 2 f i (x i x ) 2 2 2 (2 7) 2 2 0 9 ( 7) 2 16 8 9 1 9 (9 7) 2 16 1 16 (16 7) 2 81 81 18 1 18 (18 7) 2 121 121 Σf i 8 Σx i f i 6 Σf i (x i x ) 2 0 β) Η μέση τιμή των εδρών είναι x Σx if i Σf i 6 8 7. γ) Η τυπική απόκλιση των εδρών είναι σ Σf i (x i x ) 2 0 8 6,16 Σf i 8. Δίνεται η καμπύλη f(x) x 2 + ax + β. Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β, αν η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο Σ(0,1) είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση (ε): x y + 1 0. Το σημείο Σ(0, 1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, άρα f(0) 1 β 1. f (x) 2x + α και, επειδή η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της f είναι κάθετη στην ευθεία (ε), ισχύει λ εφ λ ε 1 f (0) 1 1 α 6
. Από τους 12 μαθητές ενός τμήματος μιας Τεχνικής Σχολής, οι επέλεξαν Ελεύθερο Σχέδιο και οι υπόλοιποι Διακόσμηση Εσωτερικού Χώρου. Επιλέγουμε τυχαία 2 από τους μαθητές αυτούς. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: «Και οι δύο μαθητές να έχουν επιλέξει Ελεύθερο Σχέδιο». Β: «Μόνο ένας μαθητής να έχει επιλέξει Ελεύθερο Σχέδιο». Γ: «Τουλάχιστον ένας μαθητής να έχει επιλέξει Διακόσμηση Εσωτερικού Χώρου». Αν Ω είναι ο δ.χ, τότε Ν(Ω) ( 12 2 ) 66. Επίσης, Ν(Α) ( 2 ) 6 και Ν(Β) ( 1 )(8 1 ) 2. Άρα Ρ(Α) Ν(Α) 6 1 και Ρ(Β) Ν(Β) 2 16 Ν(Ω) 66 11 Ν(Ω) 66 Τέλος, Ρ(Γ) 1 Ρ(Γ ) 1 Ρ(Α) 1 1 11 10 11. Χρησιμοποιώντας την αντικατάστασηu x 2 + 16, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 8x 0 dx x 2 +16 Έχουμε: u x 2 + 16 x 2 u 2 16 και 2xdx 2udu xdx udu. Επίσης, για x 0 u και για x u. Άρα 8x x 2 + 16 dx 8x2 x 2 + 16 xdx 8(u2 16 ) udu 8 (u 2 16 )du u 0 0 8 [ u 16u] 8 [( 10 16 ) ( 16 )] 7