2. VAJA IZ TRDNOSTI. Napetostno stanje valja je določeno s tenzorjem napetosti, ki ga v kartezijskem koordinatnem. 3xy 5y 2

Σχετικά έγγραφα
3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

7. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES. (tenzor deformacij II) (tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji)

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Tretja vaja iz matematike 1

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

diferencialne enačbe - nadaljevanje

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Kotne in krožne funkcije

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

VEKTORJI. Operacije z vektorji

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

1.4 Glavne normalne napetosti v nosilcu 145. Vzdolž nevtralne osi oklepajo normale ravnin glavnih napetosti s smerjo x naslednje kote

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

8. VAJA IZ MEHANIKE TRDNIH TELES (linearizirana elastičnost)

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

4. VAJA IZ TRDNOSTI (linearizirana elastičnost, plastično tečenje)

1. Trikotniki hitrosti

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

1 3D-prostor; ravnina in premica

Kotni funkciji sinus in kosinus

vezani ekstremi funkcij

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II

Reševanje sistema linearnih

Afina in projektivna geometrija

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I

Tehniška mehanika 1 [N]

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Funkcije več spremenljivk

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

386 4 Virtualni pomiki in virtualne sile. A 2 x E 2 = 0. (4.99)

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

Slika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Osnove matematične analize 2016/17

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Čas reševanja je 75 minut. 1. [15] Poišči vsa kompleksna števila z, za katera velja. z 2 +2 z +2 i 2 = Im. 1 2i

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah:

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

6.1.2 Togostna matrika linijskega elementa z ravno osjo po teoriji II. reda

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Osnove elektrotehnike uvod

Elementi spektralne teorije matrica

8. Diskretni LTI sistemi

Navadne diferencialne enačbe

Splošno o interpolaciji

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

8. Posplošeni problem lastnih vrednosti

Lastne vrednosti in lastni vektorji

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

Koordinatni sistemi v geodeziji

UVOD V ENERGIJSKE METODE V MEHANIKI KONSTRUKCIJ

Naloge iz vaj: Sistem togih teles C 2 C 1 F A 1 B 1. Slika 1: Sile na levi in desni lok.

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

Funkcije dveh in več spremenljivk

Rešeni primeri iz elastomehanike

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK


Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

1.(a) Kdaj ima A R 2 mero 0? (b) Naj bo D enotski krog in f : D R taka, da je f ds = 0. Kaj lahko rečeš o funkciji f?

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

3.letnik - geometrijska telesa

IZRAČUN MEHANSKIH LASTNOSTI IN DEFORMACIJ ENOSTRANSKO IN DVOSTRANSKO VPETEGA NOSILCA

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

Univerza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE

OTPORNOST MATERIJALA

Osnove linearne algebre

Transcript:

. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor napetosti) (napetostni vektor, transformacija koordinatnega sistema, glavne normalne napetosti, strižne napetosti, ravninsko napetostno stanje, Mohrovi krogi, ravnotežne enačbe) Opomba: Pri obravnavi napetostnega tenzorja ne smemo pozabiti na enote. V nalogah, kjer enote niso posebej navedene, so vse komponente napetostnih tenzorjev kot tudi vse komponente napetostnih vektorjev podane v (Pascalih) [Pa]. NALOGA 1: Napetostno stanje v točki P je podano s komponentami σ i j tenzorja napetosti, glede na kartezijski koordinatni sistem (x,y,z). Skozi točko P položimo dve nekomplanarni ravnini: Γ q z enotsko normalo e a in Γ b z enotsko normalo e b. Določi vektorja napetosti σ a in σ b, ki v točki P pripadata ravninama Γ a in Γ b. Dokaži, da je projekcija napetostnega vektorja σ a na smer e b enaka projekciji napetostnega vektorja σ b na smer e a. NALOGA : Trikotna streha z oglišči A( m,0,0), B(0, m,0) in C(0,0,1 m) je obtežena s snegom itenzitete q S = kn, ki pada v smeri e m z. Izračunaj vektor specifične površinske obtežbe zaradi delovanja snega v poljubni točki strehe. Privzemi enakomerno razporeditev obtežbe po strehi. NALOGA : Napetostno stanje valja je določeno s tenzorjem napetosti, ki ga v kartezijskem koordinatnem sistemu (x, y, z) podaja matrika xy 5y 0 [σ i j ] = 5y 0 z MPa. 0 z 0 Skozi točko P(,1, ) položimo tangentno ravnino na površino cilindra y + z = 4. Določi vektor napetosti σ n (P) v tej točki glede na tangentno ravnino. Rešitev: Normala na ravnino v točki P je e n (P) = 1 e y + ( 5 e x + e y + e z ) MPa. NALOGA 4: Napetostno stanje v točki P je podano s tenzorjem napetosti [ ] σ aσ bσ σi j = aσ σ cσ, bσ cσ σ x 1 e n z P e z. Napetostni vektor σ n (P) = kjer so a, b in c realne konstane, σ pa poljubna napetost. Določi konstate a, b in c, tako da bo napetostni vektor σ n (P) v ravnini z normalo e n = 1 (e x + e y + e z ) skozi točko P enak 0. Rešitev: Konstante so a = b = c = 1. NALOGA 5: Telo iz linearno elastičnega, izotropnega, homogenega materiala v točki T (0, 0, 0) prerežemo s tremi ravninami. Normale ravnin so podane z vektorji: e n1 = 1 (e x + e y + e z ), e n = 1 (e x e y + e z ), e n = 1 (e x + e y e z ). Znani so napetostni vektorji v točki T, ki pripadajo tem trem ravninam: σ n1 = y

σe x σe z, σ n = 6σe y +σe z, σ n = 4σe x +4σe y 9σe z. Izračunaj komponente napetostnega tenzorja v točki T v kartezičnem koordinatnem sistemu. Kakšne so komponente napetostnega tenzorja v točki T, če vektor σ n zamenjamo z vektorjem σ n = 4σe x + 4σe y + 9σe z? Ali rešitev takrat obstaja? Odgovor utemelji. Podatki: σ = 5 MPa. Rešitev: Ovedemo okrašave σ a = σ n1, σ b = σ n, σ c = σ n in e a = e n1, e b = e n, e c = e n. Komponente tenzorja napetosti dobimo iz ravnotežnih enačb σ a = σ x e ax + σ y e ay + σ z e az, σ b = σ x e bx + σ y e by + σ z e bz, σ c = σ x e cx + σ y e cy + σ z e cz. Enačbe lahko zapišemo tudi v matrični obliki σ ax σ xx σ xy σ xz σ ay = σ yx σ yy σ yz σ az σ zx σ zy σ zz σ bx σ xx σ xy σ xz σ by = σ yx σ yy σ yz σ bz σ zx σ zy σ zz σ cx σ xx σ xy σ xz σ cy = σ cz σ yx σ yy σ yz σ zx σ zy σ zz ali vse skupaj z eno samo matrično enačbo σ ax σ bx σ cx σ xx σ xy σ xz e ax e bx e cx σ ay σ by σ cy = σ yx σ yy σ yz e ay e by e cy, σ az σ bz σ cz σ zx σ zy σ zz e az e bz e cz ki se v konkretnem primeru glasi σ 0 4σ σ xx σ xy σ xz 0 6σ 4σ = σ yx σ yy σ yz 1 1 1 1 1 1 1. σ σ 9σ σ zx σ zy σ zz 1 1 1 Iz zadnje enačbe lahko neposredno izračunamo komponente tenzorja napetosti. Dobimo 1 σ xx σ xy σ xz σ 0 4σ σ yx σ yy σ yz = 0 6σ 4σ 1 1 1 1 10 5 15 1 1 1 = 5 15 10 MPa. σ zx σ zy σ zz σ σ 9σ 1 1 1 15 10 0 Tenzor napetosti je simetričen, torej je to iskana rešitev. V drugem primeru dobimo 1 σ xx σ xy σ xz σ 0 4σ σ yx σ yy σ yz = 0 6σ 4σ 1 1 1 1 10 5 15 1 1 1 = 5 15 10 MPa. σ zx σ zy σ zz σ σ 9σ 1 1 1 0 10 5 Tokrat rešitve v okviru omenjene teorije nimamo, saj tenzor napetosti ni simetričen. V drugem primeru zato vektorji σ a, σ b in σ c niso napetostni vektorji. NALOGA 6: Za podani napetostni tenzor (komponente tenzorja so dane v kartezičnem koordinatnem sistemu) 0 1 [σ i j ] = σ 0 0 1 0 1 e ax e ay e az e bx e by e bz e cx e cy e cz,,

poišči normali ravnin e a in e b, da bosta napetostna vektorja v teh ravninah σ a in σ b med seboj oklepala pravi kot. Ali je rešitev več? Če je rešitev več, poišči vsaj eno. poišči normali ravnin e a in e b, da bosta napetostna vektorja v teh ravninah σ a in σ b med seboj oklepala kot 0. Ali je rešitev več? Če je rešitev več, poišči vsaj eno. Podatki: σ = 5 kn cm. Rešitev: Normali ravnin e a in e b, v katerih napetostna vektorja σ a in σ b med seboj oklepata pravi kot sta e a = e x in e b = e y. Rešitev je več. Za vektor e a bi npr. lahko izbrali poljuben enotski vektor v ravnini y = 0. Normali ravnin e a in e b, v katerih napetostna vektorja σ a in σ b med seboj oklepata kot 0 sta npr. e a = 0.87e x + 0.99e z in e b = 0.897e x + 0.9571e z. Pripadajoča napetostna vektorja sta σ a = σ (0.41e x + 0.541e z ) in σ b = σ ( 0.0879e x + 0.667e z ). Tudi tu je rešitev neskončno mnogo. NALOGA 7: Tenzor napetosti v kartezijskem koordinatnem sistemu (x,y,z) z bazo {e x,e y,e z } opišemo z matriko 1 1 0 [σ i j ] = 1 1 0 MPa. 0 0 1 Določi komponente tenzorja napetosti [σ αβ ], izražene v novi bazi {e ξ,e η,e ζ }. Privzemi sledeče zveze med baznimi vektorji: e ξ = e y, e η = e x in e ζ = e z. Fizikalno gledano, lahko novo bazo dobim z rotacijo stare okrog osi e z za kot 90. Rešitev: 1 1 0 [σ αβ ] = 1 1 0 MPa. 0 0 1 Opomba: Potek reševanja je prikazan na prosojnicah. NALOGA 8: Tenzor napetosti v kartezijskem koordinatnem sistemu (x,y,z) z bazo {e x,e y,e z } opišemo z matriko 1 1 0 [σ i j ] = 1 1 0 MPa. 0 0 1 Določi komponente tenzorja napetosti [σ αβ ], izražene v novi bazi {e ξ,e η,e ζ }, ki jo dobim z rotacijo prvotne baze okrog osi e n = 1 (e x + e y + e z ) za kot α = 0. Pri rotaciji vektor e x preide v e ξ vektor e y v e η in vektor e z v e ζ. NALOGA 9: Tenzor napetosti v kartezijskem koordinatnem sistemu (x,y,z) v bazi {e x,e y,e z } opišemo z matriko 1 1 0 [σ i j ] = 1 1 0 MPa 0 0 1 Pokaži, da obstaja takšna baza {e ξ,e η,e ζ } v kateri lahko tenzor predstavimo z matriko 1 1 0 [σ αβ ] = 1 1 0 MPa 0 0 1

in jo poišči. Rešitev: Takšna baza obstaja, ker imata matriki [σ i j ] in [σ αβ ] enake invariante in s tem enak karakteristični polinom. Rešitev je več. Tule podajamo dve rešitvi: e ξ = e x, e η = e y, e ζ = e z (novo bazo dobimo z rotacijo baze {e x,e y,e z } okrog osi e x za 180 ). e ξ = e y, e η = e x, e ζ = e z (novo bazo dobimo z rotacijo baze {e x,e y,e z } okrog osi e z za 90 ). Opomba: Potek reševanja je prikazan na prosojnicah. NALOGA 10: invariante. NALOGA 11: Dokaži, da so količine I σ 1, Iσ, Iσ Pokaži so vse lastne vrednosti tenzorja napetosti realne. neodvisne od izbire koordinatega sistema, torej NALOGA 1: Pokaži, da je množica ekstremnih normalnih napetosti podmnožica množice glavnih normalnih napetosti. NALOGA 1: Izhajajoč iz Gaussovega integralnega izreka izpelji ravnotežne pogoje za delec trdnega telesa izražene z napetostmi v kartezijskih koordinatah. Upoštevaj, da je zunanja obtežba telesa v ravnotežju. NALOGA 14: Določi glavne normalne napetosti in smeri glavnih normalnih napetosti za napetostni tenzor, ki je v kartezijskem koordinatnem sistemu (x,y,z) podan z matriko τ τ τ [σ i j ] = τ τ τ. τ τ τ Kakšno napetostno stanje opisuje tenzor napetosti? Rešitev: Glavne normalne napetosti so σ 11 = τ, σ = 0, σ = 0. Smeri glavnih normalnih napetosti so: e 1 = 1 (e x + e y + e z ), e = 1 6 ( e x + e y + e z ), e = 1 ( e y + e z ). Tenzor napetosti opisuje enoosno napetostno stanje. Smer osi se ujema z vektorjem e 1. NALOGA 15: Pokaži, da lahko strižno napetost v oktaederski ravnini τ o zapišemo z enačbo τ o = 1 (σ 11 σ ) + (σ σ ) + (σ σ 11 ). NALOGA 16: Napetostno stanje v točki P je podano s komponentami σ i j tenzorja napetosti glede na kartezijski koordinatni sistem (x,y,z) Določi 8 5 [σ i j ] = 5 Pa. 4 (a) normalno in strižno komponento, ter velikost vektorja napetosti, ki v točki P pripada ravnini z normalo e ξ = 1 (e x + e y + ) e z,

(b) komponente podanega tenzorja napetosti v desnosučnem koordinatnem sistemu (ξ,η,ζ ), ki ga tvori, dana smer e ξ z dvema pravokotnima smerema e η = (c) velikosti in smeri glavnih normalnih napetosti, e x + e y + e η z e z in e ζ, (č) velikosti in ravnine ekstremnih strižnih napetosti ter pripadajoče normalne napetosti v teh ravninah, (d) hidrostatični in deviatorični del tenzorja napetosti ter velikosti in smeri glavnih deviatoričnih napetosti, (e) normalno in strižno napetost v oktaedrski ravnini skozi točko P. Rešitev: (a) σ ξ = 4.79e x + 4.914e y.8e z, σ ξ ξ =.9Pa, σ ξ t = 7.010Pa. (b) e ηz = 0, e ζ = 1 ( e x e y + ) e z,.9 0.79 7 [σ αβ ] = 0.79 0 4.61 Pa. 7 4.61.707 (c) σ 11 = 11.018Pa, σ = 1.098Pa, σ = 6.116Pa, e 1 = 0.879e x + 0.46e z 0.114e z. e = 0.47e x 0.786e z 0.51e z. e = 0.6e x + 0.411e z 0.85e z. (č) Ekstremna strižna napetost: τ II = 1 (σ σ 11 ) = 8.567Pa, Pripadajoče normalne napetosti: σ II II = 1 (σ + σ 11 ) =.451Pa, Smeri ravnin z ekstremnimi strižnimi napetostmi: (e ± e 1 ). e II = ± Spodnja slika prikazuje prikaz delovanja teh napetosti na elementarnih prizmi izrezani iz telesa v okolici obravnavane točke P.

(d) Hidrostatični del tenzorja napetosti: 0 0 [σi H j ] = 0 0 Pa. 0 0 Deviatorični del tenzorja napetosti: 6 5 [s i j ] = 5 0 Pa. 6 Glavne deviatorične napetosti: s 11 = 9.018Pa, s = 0.90Pa, s = 8.116Pa. (e) Normale oktaedrskih ravnin e 0 = ± (e 1 ± e ± e ). Normalna napetost v oktaedrski ravnini σ oo = Pa. Strižna napetost v oktaedrski ravnini τ o = ±7.04Pa. NALOGA 17: Napetostno stanje v točki P je podano s komponentami σ i j tenzorja napetosti, glede na kartezijski koordinatni sistem (x,y,z). 5 0 0 [σ i j ] = 0 6 1 Pa. 0 1 1 Določi velikost po aboslutni vrednosti največje strižne napetosti τ max in normalo ravnine v kateri deluje. Rešitev: Glavne normalne napetosti so σ 11 = 10Pa, σ = 5Pa, σ = 15Pa. τ max = (σ σ 11 )/ = 1.5Pa. NALOGA 18: Napetostno stanje v točki P je podano s komponentami σ i j tenzorja napetosti v kartezijskem koordinatnem sistemu (x,y,z) z matriko σ 11 0 0 [σ i j ] = σ 0 11 +σ 0. 0 0 σ Določi normalo ravnine, v kateri je normalna napetost σ N enaka σ 11+σ, strižna τ N pa σ 11 σ Rešitev: e N = 1 e x + e y + 1 e z. NALOGA 19: Napetostno stanje v točki P je podano s komponentami σ i j tenzorja napetosti, glede na kartezijski koordinatni sistem (x,y,z). 5 0 0 [σ i j ] = 0 6 1 Pa. 0 1 1 Določi napetostni vektor σ n v ravnini z normalo e n = 1 (e x + e y + e z ). Mohrovimi krogi. Rešitev: σ n = 10 Pae x 10Pae y 10 Pae z. 4. Rezultate preveri z NALOGA 0: Na stranske ploskve tanke trikote prizme deluje samo normalna enakomerna površinska obtežba. Privzemimo, da so napetosti po celotni prostornini prizme enake. Določimo napetosti v poljubni ravnini AB, ki je glede na negativno os nagnjena za kot β. Normalna obtežba na robu BC z normalo e ξ je p BC = Pa.

Rešitev: σ xx = σ yy = Pa, σ xy = 0, σ µµ = Pa, σ µν = 0. NALOGA 1: Napetostno stanje je podano s komponentami tenzorja napetosti v koordinatnem sistemu x, y: σ xx = N/cm, σ yy = 1N/cm, σ xy = N/cm. Določi napetosti σ ξ ξ in σ ξ η v ravnini z normalo e ξ, α =.5 z uporabo Mohrovih krogov. Rešitev: NALOGA : Podane so napetosti σ xx, σ yy in σ xy (σ xx = N/cm, σ yy = 4N/cm, σ xy = 4N/cm ). Z Mohrovo krožnico določi velikosti glavnih normalnih napetosti in pripadajoče smeri ravnin. Določi tudi največje strižne napetosti, pripadajoče normalne napetosti ter smeri ravnin za te napetosti. Rezultate prikaži na kvadratih, katerih robovi imajo smeri ravnin za iskane napetosti. Rešitev:

NALOGA : Ravninsko napetostno stanje je podano s komponentami napetostnega tenzorja [σ i j ] v koordinatnem sistemu x, y: σ xx = σ yy = 0 Pa, σ xy = 50 Pa. Določi naklon ravnin glede na os x, v kateri delujejo le strižne napetosti σ ξ η, normalne pa so enake nič (σ ξ ξ = 0). Določi tudi vrednosti teh strižnih napetosti. Rešitev: Napetostno stanje telesa je podano s tenzorjem napetosti v kartezijskem koordi- 0 C z 0 [σ i j ] = C z 0 C x Pa, 0 C x 0 NALOGA 4: natnem sistemu kjer je C poljubna konstanta. (a) Pokaži, da mora volumska obtežba enaka nič, če hočemo zadostiti ravnotežnim enačbam.

(b) V točki P(4, 4,7) izračunaj napetostni vektor σ r, ki pripada ravnini x + y z = 7. (c) V točki P(4, 4,7) izračunaj napetostni vektor σ s, ki pripada sferi x + y + z = 9. (d) Izračunaj glavne normalne napetosti, po absolutni vrednosti največjo strižno napetost, in glavne deviatorične napetosti. (e) Določi Mohrove kroge, ki ustrezajo napetostnemu stanju v točki P. Rešitev: (b) Napetostni vektor σ r = C (14e x + 18e y 8e z ). (c) Napetostni vektor σ s = C 9 ( 8e x + 0e y + 16e z ). (d) Glavne normalne napetosti σ 11 = 65Pa, σ = 0Pa, σ = 65Pa. Največja strižna napetost τ max = ± 65Pa. Glavne deviatorične napetosti s 11 = 65Pa, s = 0Pa, s = 65Pa. NALOGA 5: Na rob tanke stene deluje enakomerna zvezna površinska obtežba p S = 6e x [MPa]. V prerezu I I je normalna komponenta napetosti enaka nič. Določi strižno napetost v prerezu I I. Predpostavi, da so napetosti po celotni steni konstantne. Rešitev: σ xx = 5.5MPa, σ yy =.5MPa, Strižna napetost znaša 5.196MPa. σ xy =.8971MPa. NALOGA 6: Na rob stene (RNS) deluje enakomerna zvezna obtežba q kot kaže skica. Določi komponente tenzorja v koordinatnem sistemu (x,y,z) tako, da bosta glavni normalni napetosti nasprotno enaki med seboj (σ 11 = σ )! Določi ravnini obeh glavnih normalnih napetosti. Podatki: q = 10MPa, α = 60, β = 0. Rešitev: σ xx = σ yy = 0MPa, σ xy = q = 10MPa. Normali glavnih ravnin oklepata kota α g1 = 45 in α g = 15 z osjo x.

NALOGA 7: Tanka stožčasta lupina je prilepljena na vodoravno podlago. Srednji polmer osnovne ploskve je R, višina stožca pa h. Vrh stožca je obtežen z navpično silo P. Določi normalno napetost σ ξ ξ v steni lupine v odvisnosti od koordinate z ter normalno napetost σ zz = σ zy v osnovni ploskvi (z = 0)! Ker gre za tanko lupino (δ << R), lahko predpostaviš enakomeren potek napetosti po debelini. Lastne teže lupine ni potrebno upoštevati. NALOGA 8: Poševna mejna ploskev ABCD majhne homogene trikote prizme je obtežena s navpično enakomerno površinsko obtežbo q, kot kaže skica. Rezultanta enakomerne površinske obtežbe mejne ploskve OGAB je P = P y e y + P z e z. Komponento P z poznamo: P z = 0 kn. Mejni ploski OBC in GAD nista obteženi. Pri katerih vrednostih zunanje obtežbe q je normalna napetost v mejni ploskvi OGDC i) natezna, ii) enaka nič, iii) tlačna? Določi normalno in strižno napetost v mejni ploskvi OGDC pri q = 170 MPa! Določi komponento P y in kontroliraj ravnotežje prizme kot celote! Dolžini sta a = 0mm, b = 10mm. NALOGA 9: Poševna mejna ploskev ABCD majhne homogene trikote prizme je obtežena s navpično enakomerno površinsko obtežbo q, kot kaže skica. Rezultanta enakomerne površinske obtežbe mejne ploskve OGAB je P = P y e y + P z e z. Komponento P z poznamo: P z = 0 kn. Mejni ploski OBC in GAD nista obteženi.

4(y + z) 5z 5zx [σ i j ] = 5z zx 5z xy Pa. 5zx 5z xy 10x NALOGA 0: Iz okolice točke P izrežemo infinitezimalno majhen trapez, prikazan na spodnji sliki. Slika prikazuje potek napetosti na stranskih ploskvah (nevrisane napetosti so enake 0). Iz meritev poznamo vrednost normalne napetosti σ xx. Določi vrednosti preostalih neznanih napetosti na sliki. y σ nt σ nn θ σ xy σ xx x σ yx NALOGA 1: Določi normalne napetosti σ ξ ξ v tankem prstanu, ki je z notranje strani obtežen z enakomerno normalno natezno obtežbo q. Privzemi konstanten potek normalnih napetosti po debelini prstana. NALOGA : Napetostno stanje telesa je podano s komponentami σ i j tenzorja napetosti glede na kartezijski koordinatni sistem (x,y,z) x y (1 y )x 0 [σ i j ] = (1 y )x (y y)/ 0 Pa 0 0 z

Določi: a) volumsko obtežbo telesa, ki zadošča ravnotežnim enačbam, b) glavne normalne napetosti v točki P(a,0, a), c) po absolutni vrednosti največjo strižno napetost τ max v točki P, d) glavne deviatorične napetosti v točki P. NALOGA : V telesu vlada homogeno ravninsko napetostno stranje v ravnini z = 0. Telo prerežemo z ravnino z normalo e a = e ax e x + e ay e y, ki oklepa z osjo x kot α in nato še z ravnino z normalo e b = e bx e x + e by e y, ki oklepa z osjo x kot β. Znani sta normalni in strižni komponenti napetosti v teh ravninah. Konkretno σ ξ ξ (α) = 10MPa, σ ξ η (α) = MPa, σ ξ ξ (β) = 9MPa, σ ξ η (β) = 1MPa. Določi glavni normalni napetosti σ 11 in σ, ter največjo strižno napetost τ max. Namig: Pri reševanju si pomagaj z Mohrovimi krogi.