ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνεται η συνάρτηση f με f() s όπου η μέση τιμή και s η διακύμανση ενός δείγματος ν παρατηρήσεων μιας μεταβλητής Χ. Η εφαπτομένη της Α 1, f ( 1) έχει εξίσωση ψ 4 6 γραφικής παράστασης της f στο σημείο της α) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διακύμανση s. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να βρείτε το όριο f() δ) Να δείξετε ότι το δείγμα των ν παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ δεν είναι ομοιογενές. ε) Να βρείτε τον μικρότερο αριθμό c που πρέπει να προσθέσουμε σε κάθε μια από τις ν παρατηρήσεις της μεταβλητής Χ ώστε το δείγμα των αριθμών που θα προκύψουν να είναι ομοιογενές. α) Οι συντεταγμένες του σημείου Α 1, f ( 1) επαληθεύουν και την Cf και την ψ 4 6 f( 1) 4 και f ( 1) 4( 1) 6 18 όπου f () ( s ) s f ( 1) 4 ( 1) ( 1) s 4 s 1 6 f( 1) 18 ( 1) ( 1) s ( 1) 18 s 15 s 9 β) Η συνάρτηση παίρνει τη μορφή f() 6 9 τότε f () 1 9 f () 1 9 με ρίζες 1, Τότε από τον πίνακα μονοτονίας Για,1 και, ηf γνησίως φθίνουσα. Για 1, η f γνησίως αύξουσα. Για 1 η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f (1) 16 9 Για η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f() 1 f f γ) T.E. f () 1 9 και f() 6 1. Τότε το όριο γίνεται : f() 6 9 ()( 41) 1 lm lm lm f () 6 1 6( ) 6 1

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ δ) s 1 Από s 9 s. Τότε CV 5 6 Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. ε) Αν προσθέσουμε κάθε όρο με το c θα προκύψουν οι αριθμοί ψ c όπου 1,,..., ν Ισχύει : ψ χc ψ 6c και sψ s Άρα ο νέος συντελεστής μεταβλητότητας CVψ γίνεται s s ψ ψ 6c 6c ψ CV ψ,1 1 6 c c 4 άρα c 4. 1 1 1 1 1 E : α-lm α lm 1 1 1 4. Να λυθεί η παρακάτω εξίσωση: 1 1 Για να υπολογισθεί η εξίσωση Ε πρέπει να υπολογισθούν τα όρια που περιέχει α) lm 1 1 1 1 1 πρέπει Π.Ο 1 1,,1 1 1και 1 Παρατηρούμε ότι 1όπου 1 Π.Ο. Τότε 1 1 1 1 1 1 1 1 lm lm lm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 lm lm lm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 β) lm 4 Πρέπει 4 1 και Άρα:.O 1, Επίσης 1 τελικά 1 1 1 1 1 1 1 1 Τότε lm lm lm lm 1 4 1 1 Τότε (1),() 1 1 1 1(α 1) α 1 α-1 α 1 (E) α- ( α 1) 1 4 α 1α α α 15α 4 α 5

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ f (). Δίνεται η συνάρτηση Π.Ο= ) Δείξτε ότι f 1 f 1 e ) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ) f 1 1 1 1 e 1 e e 1 f 1 e e e f 1 f e e f () [( ) ] 1 ( ) ( 1) (e ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ) ( ) ( 1) ( ) ( ) [( 1) ] ( ) ( ) ( ) ( ) Βρίσκω τις ρίζες και το πρόσημο της f : ή Τότε: f,,, f,[,], f, Επίσης παρουσιάζει: τοπικό μέγιστο στο το f 4 e και τοπικό ελάχιστο στο το f e f f T.M. T.E. 4. Δίνεται η συνάρτηση τα ακρότατα. Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και f() e ( ) Το πεδίο ορισμού της f είναι Df 1 f () (e ) ( ) e ( ) ( ) () e ( ) e e e e () () ()(e 1) f () ( )(e 1) e 1 e 1 e e Κάνουμε τον πίνακα μονοτονίας της f.

Για, και, ηf γνησίως φθίνουσα. Για, η f γνησίως αύξουσα. Η f για παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f () Η f για παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ f() e e 1 f f T.E. T.M. 5. Μία βιομηχανία πουλάει έναν αριθμό προϊόντων την εβδομάδα και η συνάρτηση είσπραξης K 1.. Ευρώ των είναι E 4, Ευρώ και κόστους προϊόντων. ) Να βρείτε την συνάρτηση κέρδους ) Πόσα προϊόντα χρειάζεται να πουλήσει για να έχει μέγιστο κέρδος σε μια εβδομάδα και ποιο είναι αυτό; ) Να βρείτε το ετήσιο μέγιστο κέρδος που μπορεί να έχει η βιομηχανία. ) Η συνάρτηση κέρδους Ρ προκύπτει από την διαφορά της συνάρτησης είσπραξης Ε και της συνάρτησης κόστους Κ, δηλαδή : Ρ() E()-Κ() 4, (1.) 4, 1.,., ) Έχουμε P () (,.), 4,, 4 οπότε P (), 4, 4 75, 4, 4 7.5 ρ ρ O.M. Η βιομηχανία για να έχει μέγιστο κέρδος σε μια εβδομάδα πρέπει να πουλήσει 75 προϊόντα και το μέγιστο κέρδος της θα είναι : 4

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ P7575,75..5. 11.5.. 1.95.Eυρώ ) Ετήσιο μέγιστο κέρδος η εταιρεία θα έχει αν παράγει κάθε εβδομάδα του χρόνου 75 προϊόντα. Αν θεωρήσουμε ότι ο χρόνος έχει 5 εβδομάδες τότε το μέγιστο ετήσιο κέρδος θα είναι 5 75 51.95. 569.4. Eυρώ 6. Δίνεται μια ομάδα τιμών: 1,,,,, y, 7, 7, 8 που έχει διάμεσο δ 6 και Εύρος R 8 Υπολογίστε: ) τη μέση τιμή του δείγματος. ) την διακύμανση ) την τυπική απόκλιση v) τον συντελεστή μεταβλητότητας. Επειδή το Εύρος =μεγαλύτερη τιμή μικρότερη τιμή τότε μία από τις τιμές χ ή ψ ισούται με 9 Έστω ψ=9 τότε η σειρά των αριθμών είναι 1,,,, χ, 7, 7, 8, 9.Επίσης δ = 6 τότε επειδή το πλήθος των τιμών είναι περιττό μια από τις τιμές είναι το 6.Επομένως χ=6 και οι αριθμοί γραμμένοι κατ αύξουσα σειρά είναι 1,,,, 6, 7, 7, 8, 9 ν 1 167789 45 ) Ισχύει t 5 ν 1 9 9 n 1 ) s (t ) ν 1 (1 5) ( 5) ( 5) ( 5) (6 5) (7 5) (7 5) (8 5) (9 5) 9 16994144916 7 8 9 9 ) Ισχύει s 8 s 8 s v) Ισχύει CV.56 56,5% 5 7. Δίνεται η συνάρτηση f με f 11 α) Να βρεθεί η παράγωγος της f β) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα γ) Βρείτε τα f(), f(1) και δείξτε ότι 1 11 για κάθε f () 11 11 6 α) f() 11 1 1 1 β) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ενώ δεν παρουσιάζει ακρότατα f f 5 1

γ) ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ f () 11 11, f (1) 1 1 111 1 για, 1 έχω : f 1f () f (1) 11 1 για κάθε R 8. Ένα σφαιρικό μπαλόνι με αρχική ακτίνα R 1 cm αρχίζει να χάνει αέρα και η ακτίνα του ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο Rt 1 t, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρεθούν: α) Πόση θα είναι η ακτίνα του μπαλονιού μετά από sec; β) Το ρυθμό μεταβολής του όγκου του μπαλονιού σε συνάρτηση με το χρόνο t. 4 Υπόδειξη: Όγκος σφαίρας V πr α) Η ακτίνα του μπαλονιού μετά από t sec θα είναι: R 1 14 6 cm β) Ο ρυθμός μεταβολής του όγκου του μπαλονιού σε συνάρτηση με το χρόνο t θα είναι: 4 4 4 V (t) R (t) 1 t 1 t 1 t 4 1 t t 8t 1 t 6

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΖΗΤΗΜΑ 1 ο 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Δίνεται η συνάρτηση : f() (1)( 1) 1 α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο 1,. β. Να βρείτε τα ακρότατα της f. γ. Να αποδείξετε ότι : 16( 1)( 1) 1, για κάθε. ΖΗΤΗΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις: f() 5 6 και g() Να βρείτε : f() α) το όριο lm g() β) την τιμή της παράστασης K f (7) g (16) f() g() γ) το όριο lm 1 4 ΖΗΤΗΜΑ ο e Δίνεται η συνάρτηση f () e ( 1) ) βρείτε το πεδίο ορισμού της ) δείξτε ότι f f ) να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ΖΗΤΗΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f() 6 α 7 όπου α για την οποία ισχύει : f () f () 15 οπου χ α) Να δείξετε ότι α=9 f() β) Να υπολογίσετε το όριο lm 1 1 γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ψ χ 16 7

ΖΗΤΗΜΑ 1 ο α. Df f () ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) f () (1) (1)(1) ( 1) ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ f() (1)(11) (1)(4) 6(1)( 1) 1 ( 1) f() 1 1 1 β. Στο η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f 1 1 8 16 1 1 1 1 f f γ. Η f έχει ολικό ελάχιστο το 1 1 1 16 1 16 1 1 16 16 1 f O.E.. Άρα 1 f f για κάθε. 16 1 1 1 16 1 1 1 ΖΗΤΗΜΑ ο α) β) f() 5 6 ( )( ) lm lm lm 1 g() άρα f (7) 9 g() () 1 άρα g (16) 1 f() ( 5 6) 5 8

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Τότε K f (7) g (16) 9 1 1 f () g () 51 4 ( 4)( 1 4) γ) lm lm lm lm 14 14 14 ( 14)( 14) ( )( 1 4) ( )( 1 4) ( 4 1 4 16 lm lm 4 4 ( )( ) 4 ΖΗΤΗΜΑ ο f () e ( 1) e ) Πρέπει 1 1.O {1} e ) f () e e e e 1 ( 1) (e ) ( 1) [( 1) ] e e ( 1) ( 1) ( 1) e f (e ) 4 [( 1) ] ( 1) e ( 1) ( 1)e e ( 1) ( 1 ) e ( 1) ( ) 4 4 4 ( 1) ( 1) ( 1) e ( 1) ( ) τότε f () e 4 ( 1) τότε f () f () e e ) εφόσον f() e ( 1) e( 1)( ) 4 και 4 του γινομένου 1 f,,1, f 1,, f, Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο το 1 για κάθε R {1} το πρόσημο της f εξαρτάται από το πρόσημο e e e f() e e e 1 1 4 4 1 1 f f 9 T.E.

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΖΗΤΗΜΑ 4 ο α) β) f() 6 α 7 f () 1 α f() 6 1 Τότε f () f () 15 (6 ) ( 1 α) 15 1 4 1 α 15 α 9 f () 1 9 ( 1) ) (1 ) lm lm lm 1 1 1 1 1 1)(1) 11 γ) Η εφαπτομένη που είναι παράλληλη στην ευθεία ψ 16 στο σημείο επαφής M,f( ) έχει κλίση λε Άρα f() και f ( ) 16 και η μορφή της είναι ψ f() f()( ) Ισχύει : f() 1 9 1 1 4 4 ( ) Άρα ψ f () f ()( ) οπουf() 6. 9. 7 5 και f (). 1. 9 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : ψ ( 5) () ψ 1 1

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΖΗΤΗΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f() όπου 1 Να βρείτε : α) το ρυθμό μεταβολής της f ως προς χ όταν : ) 1 ) 1 β) την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A1,f( 1) γ) τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. δ) f() f () το όριο lm 1 ΖΗΤΗΜΑ ο Δίνεται συνάρτηση f() α β 7 για την οποία ισχύουν f (1) 5, f () 1 α) Να βρείτε τις τιμές των α,β β) Να λύσετε την ανίσωση f() f() γ) Να βρείτε το όριο lm 1 ΖΗΤΗΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() 5 6 με α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. β) Να βρείτε σε ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της f η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης με τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. f() δ) Να βρείτε το όριο lm 1f() 6 11

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΖΗΤΗΜΑ 4 ο Το παρακάτω ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων αναφέρεται στην ηλικία των υπαλλήλων μιας εταιρίας. N 8 75 7 65 5 18 6 4 4 5 58 66 κλάσεις α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : Κλάσεις Κεντρική τιμή v N V ΣΥΝΟΛΟ β) Να βρεθούν : ) η μέση τιμή η διακύμανση και η τυπική απόκλιση. ) o συντελεστής μεταβολής CV. Είναι το δείγμα ομοιογενές ; ) o αριθμός και το ποσοστό των ατόμων που είναι: α) το πολύ 4 χρονών, β) τουλάχιστον 58 χρονών 1

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΖΗΤΗΜΑ 1 ο α) (1 ) (1 ). 4 f() (1 ) (1 ) (1 ) ) Ο ρυθμός μεταβολής της f ως προς για 4.1 1 είναι το f(1) (11) 1 4.( 1) ) Για χ = -1 έχουμε f( 1) 1 (11) ψ f ( 1) f ( 1)( 1) οπου f( 1) 1 και f(1) 11 11 1 Τότε ψ 11( 1) Άρα (ε): ψ 4 f () (1 ) και f () 4 4 Όταν 4 (1 ) f () 4 Όταν 4 (1 ) f () β) γ) δ) Για, η f γνησίως αύξουσα Για, η f γνησίως φθίνουσα Για η f παρουσιάζει μέγιστο το f() 1 4 (1 ) 4 f() f () 4 1 (1 ) (1 ) lm lm lm lm (1)( ) (1 ) (1)(1)() 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 lm lm (1 ) ( 1)( 1)( ) (1 ) ( 1) ( ) (11) ( 1) 4( ) 6 1 1 ΖΗΤΗΜΑ ο α) β) και f() α β 7 9α β 15 αβ 5 f() 1 α β 7 1 9 9α β 7 1 f() α β και f(1) 51αβ5αβ 6 αβ6 αβ6 α 1 Τότε αβ5 αβ5 β 8 Άρα f() 87 και f() 8 f () 8 ( )( 4) 4 1

ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ γ) f () ( 8) f () ( 1)( ) ( 1)( ) lm lm lm lm 1 1 1 1 1 ( )( ) 1 ( 1)( ) 4 6 lm ( 1)( 1) 11 ΖΗΤΗΜΑ ο α) f () 5 6, f () 5 για κάθε Επειδή η f() η f γνησίως αύξουσα σε όλο το. Άρα η f δεν έχει ακρότατα. β) Έστω σημείο M,f( ) της C f στο οποίο η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή για το οποίο η f() γίνεται ελάχιστη. διεύθυνσης. Ισχύει λε f() Θα βρούμε το f() ( 5) 6 Τότε f() 6 Ο πίνακας μονοτονίας της f δίνεται δίπλα. Άρα για η f παρουσιάζει ελάχιστο το f() 5 Επομένως στο σημείο M,f() ή M,6 η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. ψ f() f()( ) όπου,f () 6, f () 5 Τότε ψ 65() ψ 5 6 γ) δ) f() 5 6 ( 1)( 6) 8 4 lm lm lm f() 6 66 6(1) 6 1 1 1 14

ΖΗΤΗΜΑ 4 ο α) Έχουμε: v N 1 1 v N N 5 1 v N N 655 15 v N N 765 5 4 4 v N N 757 5 5 5 4 v N N 875 5 6 6 5 v v v v v v 15 5 5 5 8 1 4 5 6 Κλάσεις Κεντρική τιμή v ΕΠΑΛ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ N V [18-6) -1 144.88 [6-4) 5-4 16 48 [4-4) 65 15 8 4 16 4 [4-5) 7 5 46 1 144 7 [5-58) 75 5 54 4. [58-66) 8 5 6 8 784.9 ΣΥΝΟΛΟ - 8 - - - 1.4 β) Έχουμε : ) ν 1 1ν1 ν ν4ν4 5ν5 6ν6 815 465 545 65 ν ν 8.7 4 Επίσης 8 n ( ) ν 1 1.4 s 18 ν 8 s s 18 11, ) Ισχύει : s 11 CV, Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. 4 ) α) Ο αριθμός των ατόμων που είναι το πολύ 4 χρονών είναι V1 V V 15 65 και το ποσοστό τους 65 1% 81,5% 8 β) Ο αριθμός των ατόμων που είναι τουλάχιστον 58 είναι v6 5 και το ποσοστό τους 5 1% 6,5% 8. 15