Συναρτήςεισ Όριο Συνέχεια Πεδίο οριςμού ςυνάρτηςησ 1) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 2) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 3) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) ε) ςτ) Τιμή ςυνάρτηςησ
4) Δίνεται η ςυνάρτηςη α) Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ β) Να λύςετε την εξίςωςη γ) Να εξετάςετε εαν ο αριθμόσ 1 ανήκει ςτο ςύνολο τιμών τησ 5) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει (1) α) Να βρείτε τη τιμή του β) Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ γ) Να λύςετε την ανίςωςη 1 Συνδιαςτικέσ θεωρητικέσ Αςκήςεισ 1) Δίνεται η ςυνάρτηςη τησ οποίασ η γραφική παράςταςη διέρχεται από την αρχή των αξόνων α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ γ) Να εξετάςετε αν η είναι άρτια η περιττή δ) Να βρείτε τα ςημεία τομήσ τησ με την ευθεία 2) Δίνεται άρτια ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει για κάθε α) Να βρείτε το τύπο τησ για β) Να ςχεδιάςετε τη γραφική παράςταςη τησ γ) Να βρείτε το ςύνολο τιμών τησ δ) Να λύςετε την εξίςωςη 3) Δίνεται ςυνάρτηςη { για την οποία ιςχύει και ( ) α) Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ
β) Να βρείτε τουσ αριθμούσ α και β γ) Να λύςετε την εξίςωςη δ) Να βρείτε για ποιεσ τιμέσ του ιςχύει ότι ( 1) [Απ. (, και 1, ή, ή ] Ίςεσ Συναρτήςεισ 4) Εξετάςτε αν τα παρακάτω είναι ζεύγη ίςων ςυναρτήςεων. Σε αντίθετη περίπτωςη να βρεθεί το ευρύτερο υποςύνολο του ςτο οποίο οι ςυναρτήςεισ αυτέσ είναι ίςεσ α) και β) ( 1 ) και ( 1 ) γ) και δ) και ε) και ςτ) 1 και 1
ζ) 1 και η) και 1 θ) και ι) και 1 ια) και 1 ιβ) και ιγ) και ιδ) και ιε) και ιςτ) και ιζ) και 1 ιη) 1 και 1 5) Να προςδιορίςετε το ώςτε οι ςυναρτήςεισ f, g να είναι ίςεσ
α) β) f(x)= 3λx+λ+2 και g(x)= x+4λ-1 x-λ-4 3x+λ (3-2λ)x 2+2λ (2λ2-1)x 2+2 f(x)= και g(x)= x+3-λ x+2λ γ) και [ ] Πράξεισ με Συναρτήςεισ 6) Να οριςτούν οι ςυναρτήςεισ,,,,. Όταν α) 1 και β) 1 και γ) και 1 δ) και ε) και 7) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ και α) Να βρείτε τα κοινά ςημεία των, β) Να ορίςετε τισ ςυναρτήςεισ,,,, γ) Να ςχεδιάςετε τισ γραφικέσ παραςτάςεισ των ςτο ίδιο ςύςτημα αξόνων 8) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ και 1 α) Να ορίςετε τισ ςυναρτήςεισ και β) Να βρείτε τα ςημεία τομήσ τησ με την ευθεία 9) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ και α) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων και να απλοποιήςετε τουσ τύπουσ τουσ.
β) Να ορίςετε τισ ςυναρτήςεισ,,, γ) Να βρείτε τα διαςτήματα ςτα οποία η βρίςκεται κάτω από την ευθεία δ) Να βρείτε τα διαςτήματα ςτα οποία η δεν βρίςκεται πάνω από την ευθεία 10) Οι γραφικέσ παραςτάςεισ των ςυναρτήςεων και, όπου τέμνονται πάνω ςτην ευθεία α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να ορίςετε τισ ςυναρτήςεισ,,, γ) Να βρείτε τα διαςτήματα ςτα οποία η γραφική παράςταςη τησ βρίςκεται κάτω από τον άξονα 11) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ με περιττέσ ςυναρτήςεισ.να αποδείξετε ότι α) Η ςυνάρτηςη είναι περιττή β) Η ςυνάρτηςη είναι άρτια 12) Δίνεται η ςυναρτήςη.να αποδείξετε ότι α) Η ςυνάρτηςη είναι άρτια β) Η ςυνάρτηςη είναι περιττή γ) Οποιαδήποτε ςυνάρτηςη μπορεί να γραφεί ωσ άθροιςμα μιασ άρτιασ και μιασ περιττήσ ςυνάρτηςησ. Σύνθεςη Συναρτήςεων 10) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ και α) Να οριςτούν οι ςυναρτήςεισ και ( ιςχύει ;) β) Να ςχεδιαςτούν οι και ςτο ίδιο ςύςτημα αξόνων γ) Να αποδειχθεί ότι 1 για κάθε 1 1
11) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ : 1 [ και [ α) Να οριςτούν οι ςυναρτήςεισ και ( ιςχύει ;) β) Να ςχεδιαςτούν οι και ςτο ίδιο ςύςτημα αξόνων 12) Να ορίςετε τη α) και β) και γ) 1 και ( 1) δ) και ε) και 1 13) Να ορίςετε τη α) 1 και β) και 1 γ) και δ) και ε) και 1 14) Δίνεται η ςυνάρτηςη. Να αποδείξετε ότι για κάθε 15) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ και Να ορίςετε τισ ςυναρτήςεισ και
16) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ με [ 1 Και με [ α) Να ορίςετε τισ και β) Ποιο γενικό ςυμπέραςμα επαληθεύεται; 17) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ και α) Να βρείτε τισ ςυναρτήςεισ και β) Να ςχεδιάςετε τη γραφική παράςταςη τησ γ) Να βρείτε τα ςημεία τομήσ τησ με τουσ άξονεσ 18) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ και 1 α) Να βρείτε τισ ςυναρτήςεισ και β) Να εξετάςετε εαν η είναι άρτια ή περιττή γ) Να ςχεδιάςετε τη γραφική παράςταςη τησ 19) Δίνεται η ςυνάρτηςη α) Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ και να απλοποιήςετε το τύπο τησ β) Να ορίςετε τη γ) Να εξετάςετε αν ο αριθμόσ ανήκει ςτο ςύνολο τιμών τησ 20) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ και α) Να ορίςετε τισ και β) Να εξετάςετε αν ιςχύει = γ) Να αποδείξετε ότι εαν οι, τέμνονται πάνω ςτην ευθεία 1, τότε 1 21) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ με την ιδιότητα για κάθε. Να αποδείξετε ότι 22) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ με την ιδιότητα
[ για κάθε. Να αποδείξετε ότι 23) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ. Αν ορίζονται οι ςυνθέςεισ και ςτο να αποδείξεται τισ παρακάτω προτάςεισ α) Αν η άρτια τότε και η είναι άρτια β) Αν οι είναι περιττέσ τότε και οι και είναι περιττέσ γ) Αν η είναι άρτια και η περιττή τότε οι και είναι άρτιεσ 24) Δίνεται η ςυνάρτηςη με τησ οποίασ η γραφική παράςταςη διέρχεται από το ςημείο α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να ορίςετε τη γ) Να εξετάςετε εαν οι ςυναρτήςεισ και είναι ίςεσ 25) Αν η ςυνάρτηςη έχει πεδίο οριςμού το διάςτημα να βρεθεί το πεδίο οριςμού τησ ςυνάρτηςησ, όπου 1 26) Έςτω ςυνάρτηςη με την ιδιότητα για κάθε. Να βρεθεί το 27) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ με την ιδιότητα για κάθε. Nα αποδειχθεί ότι 28) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ { 1 1
1 και α) Να ορίςετε τη ςυνάρτηςη β) Να ορίςετε τη ςυνάρτηςη γ) Να ορίςετε τη ςυνάρτηςη δ) Να βρείτε τα κοινά ςημεία τησ γραφικήσ παράςταςησ με τον άξονα 29) Δίνεται η ςυνάρτηςη ( 1) α) Να αποδείξετε ότι η έχει πεδίο οριςμού το β) Να αποδείξετε ότι αν, τότε οι ςυναρτήςεισ και είναι ίςεσ 30) Να βρείτε τη ςυνάρτηςη ςτισ παρακάτω περιπτώςεισ α) και β) και γ) ( 1) 1 και 1 δ) 1 και ε) ( ( )) και 31) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ με 1 και. Να ορίςετε τη ςυνάρτηςη 32) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ με και 1 α) Να βρείτε τη ςυνάρτηςη β) Να βρείτε ςε ποια διαςτήματα η βρίςκεται πάνω από τη 33) Δίνεται η ςυνάρτηςη και η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει α) Να βρείτε τη ςυνάρτηςη
β) Δίνεται ςυνάρτηςη τέτοια ώςτε.να βρείτε το 34) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ και με. Η γραφική παράςταςη τησ διέρχεται από το ςημείο α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να ορίςετε τη ςυνάρτηςη γ) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή Θεωρητικέσ Αςκήςεισ 35) Δίνεται ςυνάρτηςη. Να βρείτε το όταν α) και 1 β) και 1 γ) και 1 δ) και 36) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ για τισ οποίεσ ιςχύει για κάθε. Να αποδείξετε ότι οι ςυναρτήςεισ είναι ίςεσ. Μονοτονία Ακρότατα 37) Να μελετηθούν ωσ προσ τη μονοτονία οι παρακάτω ςυναρτήςεισ α) β) γ), [ δ) 38) Μια ςυνάρτηςη είναι γνηςίωσ μονότονη με (1) α) Να βρεθεί το είδοσ τησ μονοτονίασ τησ β) Να λυθεί η ανίςωςη 39) Να λυθούν οι εξιςώςεισ
α) 1 β) 1 40) Να λυθούν οι ανιςώςεισ α) β) ( 1) 41) Μια γνηςίωσ φθίνουςα ςυνάρτηςη έχει την ιδιότητα για κάθε α) Να λυθει η εξίςωςη β) Να λυθει η ανίςωςη 42) Δίνεται η ςυνάρτηςη α) Να μελετηθεί ωσ προσ τη μονοτονία η ςυνάρτηςη β) Να λυθεί η ανίςωςη 43) Δίνεται η ςυνάρτηςη + 1 α) Να λυθεί η εξίςωςη β) Να λυθεί η ανίςωςη 44) Η ςυναρτήςη είναι γνηςίωσ αύξουςα. Να λύςετε τισ παρακάτω ανιςώςεισ α) ( 1) β) 45) Δίνεηαι η γνηζίωρ αύξοςζα ζςνάπηηζη. Να λύζεηε ηιρ ανιζώζειρ α) β) (1) γ) δ) ( ( 1)) 46) Η ςυναρτήςη είναι γνηςίωσ μονότονη ςτο.να λύςετε τισ παρακάτω εξιςώςεισ α) β) 47) Μια ςυνάρτηςη είναι γνηςίωσ μονότονη και (1) α) Να βρείτε τη μονοτονία τησ β) Να λύςετε την ανίςωςη γ) Να λύςετε την εξίςωςη (1) 48) Δίνεται η ςυνάρτηςη, α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνηςίωσ φθίνουςα ςτο β) Να λύςετε την εξίςωςη
γ) Να λύςετε την ανίςωςη 1 49) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ 1 α) Να αποδείξετε ότι οι είναι γνηςίωσ μονότονεσ β) Να λύςετε τισ ανιςώςεισ και 50) Έςτω μια γνηςίωσ μονότονη ςυνάρτηςη με α) Να ςυγκρίνετε τισ τιμέσ (1) β) Να λύςετε την ανίςωςη γ) Να αποδείξετε ότι 51) Δίνεται η ςυνάρτηςη 1 α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνηςίωσ αύξουςα ςτο β) Να λύςετε την εξίςωςη γ) Να λύςετε την ανίςωςη 1 δ) Να βρείτε το πρόςημο τησ 52) Έςτω μια γνηςίωσ μονότονη ςυνάρτηςη με την ιδιότητα και (1) α) Να λύςετε την εξίςωςη β) Να λύςετε την ανίςωςη Συνάρτηςη 1-1 53) Να εξεταςτεί ποιεσ από τισ παρακάτω ςυναρτήςεισ 1 1 και ποιεσ όχι α) β) γ) δ) ε) 1 ςτ) ( 1) 1 ζ) η) 54) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω ςυναρτήςεισ είναι 1 1
α) β) γ) δ) ε) ςτ) ζ) η) θ) ι) 55) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω ςυναρτήςεισ είναι 1 1 α) β) γ) δ) 56) Να αποδείξετε ποιεσ από τισ παρακάτω ςυναρτήςεισ είναι 1 1 και ποιεσ όχι α) ( 1) β) 1 γ) 1 δ) ( 1) 1 ε) ( 1 ) ( 1 ) 1 ςτ) 57) Να αποδείξετε ότι η ςυνάρτηςη είναι 1 1 ςτισ παρακάτω περιπτώςεισ α) ( ) β) ( )
γ) δ) 58) Να αποδείξετε ότι η ςυνάρτηςη είναι 1 1 ςτισ παρακάτω περιπτώςεισ α) ( ) β) γ) 59) Να αποδείξετε ότι η ςυνάρτηςη δεν είναι 1 1 ςτισ παρακάτω περιπτώςεισ α) ( ) 1 β) ( ) 1 γ) 1 60) Να αποδείξετε ότι η ςυνάρτηςη είναι 1 1 ςτισ παρακάτω περιπτώςεισ α) ( ) 1 β) ( ) γ) ά δ) ( ) ε) ( ) ςτ) 61) Μια ςυνάρτηςη έχει την ιδιότητα, για κάθε και.να αποδειχθεί ότι α) Η ςυνάρτηςη είναι 1 1 β) Λύςη εξιςώςεων/ανιςώςεων και ςυνάρτηςη
62) Μια ςυνάρτηςη έχει την ιδιότητα: 1 για κάθε α) Να αποδειχθεί ότι η ςυνάρτηςη είναι 1 1 β) Να λυθεί η εξίςωςη 63) Αν η είναι γνηςίωσ μονότονη να λύςετε τισ εξιςώςεισ α) β) (1) γ) δ) ( 1) 64) Δίνεται η ςυνάρτηςη α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1 1 β) Να λύςετε την εξίςωςη 1 65) Δίνεται η ςυνάρτηςη 1 α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνηςίωσ αύξουςα β) Να λύςετε την εξίςωςη 66) Δίνεται η ςυνάρτηςη α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνηςίωσ αύξουςα β) Να λύςετε την εξίςωςη γ) Να λύςετε την ανίςωςη 67) Δίνεται η ςυνάρτηςη α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνηςίωσ φθίνουςα β) Να λύςετε την εξίςωςη 1 γ) Να λύςετε την ανίςωςη 1
68) Δίνεται η ςυνάρτηςη α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1 1 β) Να λύςετε την εξίςωςη γ) Να λύςετε την ανίςωςη 69) Δίνεται η ςυνάρτηςη ( 1) η οποία είναι γνηςίωσ αύξουςα ςτο. Να λύςετε την εξίςωςη: [ 1 1 70) Δίνεται η ςυνάρτηςη 1 α) Να αποδείξετε ότι η αντιςτρέφεται ( δηλαδή ότι είναι 1 1 ) β) Να λύςετε την εξίςωςη 71) Μια ςυνάρτηςη έχει την ιδιότητα: ( ) για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1 1 β) Να λύςετε την εξίςωςη 72) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ με 1 για κάθε Να λύςετε την εξίςωςη 73) Δίνεται η ςυνάρτηςη α) Να αποδειχθεί ότι η ςυνάρτηςη είναι 1 1 β) Να λυθεί η ανίςωςη 1 γ) Να λυθεί η εξίςωςη 1
74) Έςτω μια γνηςίωσ φθίνουςα ςυνάρτηςη α) Να λυθεί η εξίςωςη β) Να λυθεί η ανίςωςη γ) Να λυθεί η εξίςωςη δ) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνηςίωσ μονότονη 75) Δίνονται ςυναρτήςεισ ώςτε και για κάθε. Να αποδειχθεί ότι α) β) Η ςυνάρτηςη δεν είναι 1 1 76) Έςτω ότι μια ςυνάρτηςη είναι γνηςίωσ μονότονη ςτο και η γραφική τησ παράςταςη διέρχεται από τα ςημεία (1 ) και α) Να δείξετε ότι η είναι γνηςίωσ φθίνουςα β) Να δείξετε ότι η ςυνάρτηςη είναι γνηςίωσ αύξουςα γ) Να λύςετε την ανίςωςη ( ) δ) Αν, να λύςετε την ανίςωςη ( ) 77) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ με γνηςίωσ φθίνουςα ςτο και g γνηςίωσ αύξουςα ςτο και για κάθε. α) Να βρείτε ότι ορίζεται η β) Να βρείτε τη μονοτονία τησ γ) Να λύςετε την ανίςωςη 78) Δίνεται η ςυνάρτηςη, για την οποία ιςχύει ( 1). Αν η είναι γνηςίωσ αύξουςα να λύςετε τισ ανιςώςεισ α) β) ( ( 1)) Συνάρτηςη 1-1 και ςύνθεςη ςυναρτήςεων
79) Έςτω δύο ςυναρτήςεισ και η ςυνάρτηςη είναι 1-1. α) Να δείξετε ότι η ςυνάρτηςη είναι 1-1 β) Να λύςετε την εξίςωςη (1 ), ςτο διάςτημα [ 80) Έςτω οι ςυναρτήςεισ όπου για την ιςχύει για κάθε α) Να δείξετε ότι η ςυνάρτηςη είναι 1-1 β) Να βρείτε το γ) Αν ιςχύει ( ), να βρείτε τη ςυνάρτηςη 81) Έςτω δύο ςυναρτήςεισ και η ςυνάρτηςη είναι 1-1. α) Να δείξετε ότι η ςυνάρτηςη είναι 1-1 β) Αν για κάθε ιςχύει ( (1 ) 1) i) Να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε το πεδίο οριςμού τησ ςυνάρτηςησ Συνδιαςτικά Θέματα Θέματα Εξετάςεων 82) Δίνεται η ςυνάρτηςη 1 α) Να αποδείξετε ότι η ςυνάρτηςη είναι 1 1 β) Να λύςετε την εξίςωςη γ) Να λύςετε την ανίςωςη δ) Να βρείτε τον αριθμό για τον οποίο ιςχύει 83) Θεωρούμε τη ςυνάρτηςη με α) Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1 β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίςτροφη ςυνάρτηςη τησ και να βρείτε το τύπο τησ γ) Να βρείτε τα κοινά ςημεία των γραφικών παραςτάςεων των ςυναρτήςεων και με την ευθεία
δ) Να ςχεδιάςετε ςτο ίδο ςύςτημα αξόνων τισ γραφικέσ παραςτάςεισ των και 84) Δίνεται γνηςίωσ φθίνουςα ςυνάρτηςη και η ςυνάρτηςη ώςτε για κάθε να ιςχύει η ςχέςη ( ) α) Να δείξετε ότι η ςυνάρτηςη είναι γνηςίωσ αύξουςα ςτο β) Να βρείτε το είδοσ τησ μονοτονίασ τησ ςυνάρτηςησ γ) Έςτω με. Να δείξετε ότι οι γραφικέσ παραςτάςεισ των τέμνονται ςε ένα μόνο ςημείο δ) Να λύςετε την εξίςωςη ( ) ε) Να λύςετε την ανίςωςη ( ( 1)) 1 85) Δίνεται η ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει 1 για κάθε α) Να βρείτε το β) Να αποδείξετε ότι η αντιςτρέφεται γ) Να βρείτε το δ) Να λύςετε την εξίςωςη ( 1) 86) Δίνονται οι ςυναρτήςεισ 1 και α) Να ορίςετε τη ςυνάρτηςη β) Να αποδείξετε ότι η αντιςτρέφεται και να βρείτε την γ) Να βρείτε το είδοσ τησ μονοτονίασ τησ ςυνάρτηςησ 87) Δίνεται ςυνάρτηςη για την οποία ιςχύει 1 για κάθε και έχει ςύνολο τιμών α) Να αποδείξετε ότι η αντιςτρέφεται και να βρείτε την β) Να αποδείξετε ότι η είναι γνηςίωσ αύξουςα
γ) Να βρείτε τα κοινά ςημεία των γραφικών παραςτάςεων των ςυναρτήςεων και εαν γνωρίζεται ότι αυτά βρίςκονται πάνω ςτην ευθεία δ) Να λυθεί η εξίςωςη 88) Έςτω η ςυνάρτηςη 1 α) Να μελετήςετε την ωσ προσ τη μονοτονία β) Να λύςετε την εξίςωςη 1 γ) Θεωρούμε τη γνηςίωσ μονότονη ςυνάρτηςη η οποία για κάθε ικανοποιεί τη ςχέςη 1. Να αποδείξετε ότι η είναι γνηςίωσ αύξουςα δ) Να αποδείξετε ότι ε) Να λύςετε την ανίςωςη Αντίςτροφη Συνάρτηςη