Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο της πόστσης των δύο σηµείων. Τ δύο υτά σηµεί, το Ε κι το Ε, τ ονοµάζουµε εστίες κι τη µετξύ τους πόστση, εστική πόστση κι τη συµολίζουµε µε γ. Το άθροισµ των ποστάσεων του τυχίου σηµείου της έλλειψης πό τις δύο εστίες το συµολίζουµε µε κι ποτελεί το µήκος του µεγάλου άξον της έλλειψης. Είνι (ΜΕ) + (ΜΕ ) = Η εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστηµ συντετγµένων Ο µε άξον την ευθεί που διέρχετι πό τ Ε κι Ε κι άξον την µεσοκάθετο του ΕΕ είνι: + = (σχήµ ) όπου = γ. O µικρός άξονς BB της έλλειψης έχει µήκος. Η εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστηµ συντετγµένων Ο µε άξον την ευθεί που διέρχετι πό τ Ε κι Ε κι άξον την µεσοκάθετο του ΕΕ είνι: + = (σχήµ 3)

40. Έλλειψη Εξίσωση εφπτοµένης Έστω η έλλειψη C µε εξίσωση + =, >. H εξίσω- ση της εφπτοµένης της έλλειψης C στο σηµείο της Μ(, ) είνι + = Έστω η έλλειψη C µε εξίσωση + =, >. H εξίσω- ση της εφπτοµένης της έλλειψης C στο σηµείο της Μ(, ) είνι + = Μνηµονικός κνόνς γι την εξίσωση της εφπτοµένης της έλλειψης: Έστω ότι νζητούµε την εξίσωση της εφπτοµένης της έλλειψης στο σηµείο (, ) Μ. + =. Γράφουµε την εξίσωση της έλλειψης: + = (). Επειδή = κι = έχουµε πό την (): + = γ. Στο δεύτερο κι θέτουµε κι ντίστοιχ κι έχουµε + =, που είνι κι η ζητούµενη εξίσωση.οµοίως εργζόµστε κι γι την έλλειψη µε εξίσωση Ιδιότητες έλλειψης + =, >. Έστω η έλλειψη C µε εξίσωση + =.. Έχει άξονες συµµετρίς τους κι. Κέντρο συµµετρίς την ρχή των ξόνων Ο(0,0).

Έλλειψη 4. ηλδή ν το σηµείο (, ) τ σηµεί Μ (, ), Μ (, ), (, ) Μ νήκει στην έλλειψη τότε νήκουν στην έλλειψη κι 3 Μ. 4. Τέµνει τον άξον στ σηµεί Α(,0) κι Α (-,0) κι τον άξον στ σηµεί Β(0,) κι Β (0,-). Το ευθύγρµµο τµήµ ΑΑ λέγετι µεγάλος άξονς της έλλειψης κι το ευθύγρµµο τµήµ ΒΒ λέγετι µικρός άξονς της έλλειψης. Το Ο λέγετι κέντρο της έλλειψης. Κάθε ευθύγρµµο τµήµ ΚΛ του οποίου τ άκρ Κ, Λ, νήκουν στην έλλειψη κι διέρχετι πό το κέντρο Ο λέγετι διάµετρος της έλλειψης. γ. Η έλλειψη C περιέχετι στο ορθογώνιο πρλληλόγρµµο το οποίο ορίζουν οι ευθείες: =, = -, = κι = -. Γενικά γι τις συντετγµένες (, ) οποιουδήποτε σηµείου της έλλειψης ισχύει : δ. Ανκλστική ιδιότητ Η κάθετη στην εφπτοµένη µις έλλειψης στο σηµείο επφής Μ διχοτοµεί τη γωνί της έλλειψης. Ε Μˆ Ε, όπου Ε, Ε οι εστίες Χρήσιµη πρτήρηση: Ας δούµε τι πριστάνει η εξίσωση C: + =, όπου µ, λ µ λ θετικοί πργµτικοί ριθµοί.. Αν µ >λ, τότε η C είνι έλλειψη µε εστίες στον άξον κι στθερό άθροισµ µ.. Αν µ < λ, τότε η C είνι έλλειψη µε εστίες στον άξον κι στθερό άθροισµ λ. γ. Αν µ = λ, τότε C : + =µ κι πριστάνει κύκλο. Εκκεντρότητ έλλειψης Έστω η έλλειψη C µε εξίσωση + =. Ονοµάζουµε εκκεντρότητ της έλλειψης C το λόγο της εστικής πόστσης προς το µήκος του µεγάλου άξον κι τη συµολίζουµε µε ε = =. Είνι 0 < ε < γ γ

4. Έλλειψη Αποδεικνύετι ότι: = ε. Οπότε ότν το ε τείνει στο, το τείνει στο 0 κι η έλλειψη τείνει ν γίνει ευθύγρµµο τµήµ.αν το ε τείνει στο 0 τότε το τείνει ν γίνει ίσον µε το κι η έλλειψη τείνει ν γίνει κύκλος. Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κτηγορί - Mέθοδος Γι ν ρούµε την εξίσωση µις έλλειψης πρέπει ν προσδιορίζουµε τις τιµές των,. εδοµένου, ότι έχουµε τη σχέση γ =, ρκεί ν ρούµε άλλες δύο σχέσεις. Ότν µς δίνοντι οι εστίες, γνωρίζουµε το γ. Ότν µς δίνοντι ο µεγάλος κι ο µικρός άξονς, γνωρίζουµε τ κι ντίστοιχ. Ότν µς δίνετι η εκκεντρότητ γ ε = έχουµε µι σχέση νάµεσ στ, γ. Πράδειγµ Ν ρεθεί η εξίσωση της έλλειψης ότν:. Έχει µεγάλο άξον = 8 κι εστίες Ε(,0 ) κι Ε (,0). Έχει εκκεντρότητ ε 5 5 γ. ιέρχετι πό τ σηµεί ( ) είνι στον άξον. = κι εστίες Ε(,0 ),Ε (,0) 0, κι Ζ( ). Αφού έχει εστίες Ε(,0 ) κι Ε (,0) θ είνι γ =. Γι το µεγάλο άξον γνωρίζουµε ότι = 8 = 4.. 6,, έχει κέντρο Ο(0,0) κι οι εστίες της Ακόµ έχουµε γ = = γ = 6 4 = = 3. Έτσι, η εξίσωση της έλλειψης είνι + = 6 γ γ 5. Είνι ε = = (). Επιπλέον είνι γ = () 5 5, = = 5.Γι το έχουµε = γ = 5 =. 5 Από ( )( ) Εποµένως η έλλειψη έχει εξίσωση: + =. 5 4

Έλλειψη 43. γ. Η εξίσωση της έλλειψης είνι της µορφής + =, µε >. Οι συντετγµένες των σηµείων κι Ζ επληθεύουν την εξίσωση της. Εποµένως: 0 4 + = = 4 = 6 ( 6 ) + = 8 = + = 4 Άρ η εξίσωση της έλλειψης είνι: + =. 8 4 Κτηγορί - Mέθοδος Γι ν ρούµε την εξίσωση της εφπτοµένης έλλειψης σε σηµείο της Α, προσδιορίζουµε πο τ δεδοµέν τις συντετγµένες του σηµείου επφής Α. Πράδειγµ Ν ρείτε τις εφπτόµενες της έλλειψης C:9 + 6 = 44 (), που είνι πράλληλες στην ευθεί ε : + + 00 = 0. Μετσχηµτίζουµε την εξίσωση () της έλλειψης 9 + 6 = 44 + =. 6 9 Αν θεωρήσουµε M(, ) το σηµείο επφής της εφπτοµένης κι της έλλειψης τότε η εξίσωση της εφπτοµένης είνι : + = (δ) 6 9 9 6 Όµως δ//ε λδ = λε = = () 6 9 Το σηµείο Μ νήκει στην έλλειψη οπότε θ έχουµε: 9 + 6 = 44 (3) Από τις σχέσεις () κι (3) υπολογίζουµε τις τιµές των κι : 6 6 6 = = = 5 5 9... ή 9 9 9 6 44 + = = = 5 5

44. Έλλειψη Τ ζεύγη τιµών που ρήκµε γι τ κι τ ντικθιστούµε στην () κι προκύπτουν οι ζητούµενες εξισώσεις των εφπτοµένων: + 5= 0 κι + + 5= 0. Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Ν ρείτε την εκκεντρότητ κι τις εστίες στις πρκάτω ελλείψεις:. 4 + =. 9 + 5 = 5. Από την εξίσωση της έλλειψης προκύπτει ότι =, =, Οπότε οι εστίες είνι Ε( γ,0) = ( 3,0) κι Ε ( γ,0) ( 3,0) γ 3 ε = = γ = = 3. = κι η εκκεντρότητά της. Μετσχηµτίζουµε την εξίσωση της έλλειψης: 9 + 5 = 5 + = 5 9 Είνι = 5, = 3, γ = 4. Οπότε οι εστίες είνι Ε(4, 0) κι Ε (-4,0) κι η εκκεντρότητ γ 4 ε = = 5 Άσκηση Ν ρείτε συνρτήσει του, την εξίσωση της έλλειψης εκκεντρότητ ε = C: + = () που έχει Έχουµε: ε= γ = = = () = = ( ) = Η εξίσωση () µε τη οήθει της () γίνετι: + =, που είνι κι το ζητούµενο. Άσκηση 3 Έστω κύκλος µε εξίσωση + =. Αν θέσουµε = κι =κ ν ποδείξετε ρ ότι το σηµείο (, ) νήκει σε έλλειψη.

Έλλειψη 45. Έχουµε + = ρ + κ = + =. κ Η τελευτί εξίσωση είνι εξίσωση έλλειψης. Άσκηση 4 Ν ρεθεί η οξεί γωνί των εφπτοµένων οι οποίες άγοντι πό το σηµείο Μ ( 0, 4) προς την έλλειψη 3 + = 4. Θ υπολογίσουµε τις εφπτόµενες οι οποίες άγοντι πό το σηµείο Μ. Η εξίσωση της εφπτοµένης της έλλειψης στο σηµείο ( ) A, είνι 3 + = 4. Αφού διέρχετι πό το Μ(0, 4) είνι: 3 0+ 4 = 4 = () Επειδή το Α νήκει στην έλλειψη ισχύει : () 3 + = 4 3 + = 4 3 = 3 = ±. Εποµένως, τ σηµεί επφής είνι A, ( ) κι Α (-, ) κι οι εξισώσεις των εφπτοµένων στ Α κι Α είνι : ε :3+ = 4 κι ε : 3+ = 4, ντίστοιχ. Θ υπολογίσουµε τη γωνί των δύο υτών ευθειών, των ε, ε. Είνι λ = 3 κι λ = 3. Θεωρούµε δύο δινύσµτ πράλληλ στις ε κι ε τ : δ = (, 3) κι δ (,3 ) δ//ε κι δ //ε. Είνι δ δ 3 3 8 συν( δ,δ) = συνφ = = =. δ 0 δ + 3 + 3 8 Επειδή η γωνί φ έχει συνφ = < 0, είνι µλεί ( 0 0 γωνί είνι η πρπληρωµτική της φ δηλδή 36. ( ) = µε 0 φ 44 ). Άρ η ζητούµενη Άσκηση 5 ίνετι η έλλειψη + = κι η ευθεί = +. Ν υπολογισθούν οι συντετγµένες του µέσου Μ της χορδής ΑΒ που ορίζετι πό την ευθεί κι την 9 4 έλλειψη.

46. Έλλειψη Η επίλυση του συστήµτος των εξισώσεων της έλλειψης κι της ευθείς θ µς δώσει τις συντετγµένες των σηµείων Α κι Β. Είνι: ( + ) + = + = 4 + 9 + 8 + 9 = 36 9 4 9 4 = + = + = + 3 + 8 7 = 0 () = + Επειδή το ζητούµενο της άσκησης δεν είνι οι συντετγµένες των Α κι Β λλά το ηµιάθροισµ τους (οι συντετγµένες του Μ), πό τη δευτεροάθµι εξίσωση (), υπολογίζου- µε πό τον τύπο του Vieta, το άθροισµ των ριζών της (). 8 + 9 Έτσι + =, συνεπώς M = =. Το σηµείο Μ νήκει στην ευθεί 3 3 = +, οπότε οι συντετγµένες του επληθεύουν την εξίσωσή της. 9 4 ηλδή M = + M =. Εποµένως 3 3 9 4 M, 3 3. Άσκηση 6 Έστω η έλλειψη 4 + =. Ν ρεθεί η γρµµή στην οποί κινούντι τ µέσ των ε =λ. χορδών της έλλειψης, οι οποίες είνι πράλληλες προς την ευθεί (): Έστω A(, ),B(, ) µε τ άκρ τυχίς χορδής η οποί είνι πράλληλη προς την ευθεί (ε). Επειδή νήκουν στην έλλειψη οι συντετγµένες τους θ επληθεύουν την εξίσωσή της δηλδή ισχύουν : + = 4 + = 4 Αφιρούµε τις πρπάνω κτ µέλη κι έχουµε : + = 0 ( )( ) + + ( )( + ) = 0 4 4 4 + + ( ) ( ) 0 + = (διιρούµε µε ( ) )

Έλλειψη 47. + + + = 0 + + (). Όµως M, κι λ = (φού η χορδή ΑΒ είνι πράλληλη στην ευθεί (ε) ). Οπότε η () γίνετι M + λ M = 0. Εποµένως το µέσον Μ της ΑΒ, κινείτι επάνω στην ευθεί 0 4 0 + λ = + λ =. Άσκηση 7 Ν δείξετε ότι οι ελλείψεις C : + = κι C : + =, >, έχουν + k + k τις ίδιες εστίες γι κάθε τιµή του k R. Γι την έλλειψη C έχουµε γ = κι εστίες Ε( γ,0) κι Ε ( γ,0). Θέτουµε Α = + k κι B = + k κι Γ την εστική πόστση της έλλειψης C. Είνι: Γ = Α Β = + k k = = γ δηλδή Γ = γ. Οπότε η C έχει τις ίδιες εστίες µε τη C. Άσκηση 8 ίνοντι οι κύκλοι C : + = κι C : + = µε < κι η µετλητή ευθεί ΟΛΚ (Ο η ρχή των ξόνων, Λ το σηµείο τοµής της ευθείς µε τον κύκλο C κι Κ το σηµείο τοµής µε τον C ).Από το Λ φέρνουµε ευθεί κάθετη στον άξον κι πό το Κ ευθεί κάθετη στον, οι οποίες τέµνοντι στο Μ. Ν ρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του Μ. Λ,λ κι Κ( κ ),. Το σηµείο Μ έχει συντετγµέ- κ,λ. Επειδή τ σηµεί Κ κι Λ νήκουν στους κύκλους, οι συντετγµένες τους επληθεύουν τις εξισώσεις των κύ- Έστω ( ) νες ( ) + λ = = λ κλων, δηλδή (). κ + = = κ Τ σηµεί Ο, Λ, Κ είνι συνευθεικά, εποµένως λολ = λ (όπου λ ΟΛ κι λ ΟΚ οι συντελεστές διεύθυνσης των ΟΛ κι ΟΚ). (). Οπότε λ λ λ κ λολ = λοκ = = = κ κ λ κ κ λ κ λ+ κλ = κλ κ + λ = + = ΟΚ

48. Έλλειψη Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου Μ( κ, λ ) είνι η έλλειψη : + =. Άσκηση 9 Έστω η έλλειψη + = µε >, µεγάλο άξον Α Α κι έν σηµείο της Μ (διφορετικό πό τις κορυφές). Ν δείξετε ότι το γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης των ευθειών ΜΑ κι ΜΑ είνι στθερό, νεξάρτητο της θέσης του σηµείου Μ. Έστω Μ (, ) σηµείο της έλλειψης. Οι συντελεστές διεύθυνσης των ΜΑ κι ΜΑ είνι: λ ΜΑ = κι λμα = +. Εποµένως ΜΑ ΜΑ = = + λ λ Επειδή το Μ νήκει στην έλλειψη, οι συντετγµένες του επληθεύουν την εξίσωση της δηλδή + = + = Από (), () έχουµε: ( ) ( ) ( ) ΜΑ ΜΑ λ λ (). ( ) = = () ( ) = = = = = στθερό. ( ) Άσκηση 0 Από σηµείο A( 0, 0) εκτός της έλλειψης + = φέρνουµε δύο εφπτόµενες προς την έλλειψη κι έστω Β, Γ τ σηµεί επφής. Ν δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείς ΒΓ είνι: + = () 0 0 Έστω B(, ) κι Γ (, ). Η εφπτοµένη στο Β έχει εξίσωση ε : + =.

Έλλειψη 49. Επειδή διέρχετι πό το A( 0, 0), ισχύει + = (). 0 0 Η ισότητ () µς δίνει την πληροφορί ότι η εξίσωση () είνι εξίσωση ευθείς, η οποί διέρχετι πό το Β (φού οι συντετγµένες του Β την ικνοποιούν). Η εφπτοµένη στο Γ έχει εξίσωση ε : + =. Επειδή διέρχετι πο το 0 0 A( 0, 0) : + = (3). Η ισότητ (3) µς λεει ότι η () είνι εξίσωση ευθείς η οποί διέρχετι πό το Γ. Επειδή πο δυο σηµεί διέρχετι µόνο µί ευθεί η εξίσωση () πριστάνει την ευθεί ΒΓ. (Η ΒΓ λέγετι πολική ευθεί του σηµείου Α ως προς την έλλειψη κι το Α λέγετι πόλος). Άσκηση ίνετι η έλλειψη + =, > κι µι χορδή της ΜΝ η οποί διέρχετι πό την εστί Ε( γ,0 ).Ν δείξετε ότι οι εφπτόµενες της έλλειψης στ άκρ της χορδής, τέµνοντι σε σηµείο της ευθείς =. (Η ευθεί = λέγετι δευθετούσ της γ γ έλλειψης). Έστω Ζ (, 0 0) το σηµείο τοµής των δύο εφπτόµενων. Από το σηµείο Ζ λοιπόν, άγοντι δύο εφπτόµενες προς την έλλειψη. Η χορδή (πολική ευθεί) η οποί ενώνει τ σηµεί επφής έχει εξίσωση: 0 0 MN : + = (). Επειδή η χορδή ΜΝ διέρχετι πό την εστί Ε( γ,0) η εξίσωση () επληθεύετι πό τις συντετγµένες της. Εποµένως 0γ 00 0 + = = γ κι συνεπώς το σηµείο Ζ ρίσκετι επάνω στην ευθεί µε εξίσωση : =. γ Άσκηση ίνετι η έλλειψη 9 6 η χορδή της έλλειψης η οποί έχει το Μ ως µέσο. + = κι το εσωτερικό της σηµείο Μ (, ). Ν προσδιοριστεί

50. Έλλειψη Έστω Ζ (, ) κι ( ) H, τ άκρ της ζητούµενης χορδής. Είνι. (Αν ήτν = λόγω συµµετρίς το µέσο τους Μ θ ήτν σηµείο του άξον ). Αφού τ σηµεί Ζ, Η νήκουν στην έλλειψη, οι συντετγ- µένες τους επληθεύουν την εξίσωση της. Εποµένως: + = 6 + 9 = 44 () 9 6 κι + = 6 + 9 = 44 () 9 6 Αφιρούµε τις σχέσεις () κι (): ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6 + 9 = 0 διιρο ύµε κιτ δυο µληµε έ 6 + + 9 + = 0 + + 6( ) + 9( ) = 0 (3) + + Οι συντετγµένες του µέσου Μ της ΖΗ είνι: M, 6 + 9 = 0. Εποµένως η (3) γίνετι: ( ) M ( ) M Όµως Μ(, ), έτσι έχουµε 6( ) 8( ) 0 8( ) 6( ) + = = 6 = (4). 8 Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΖΗ είνι λ ΖΗ =. 8 Έτσι πό τη σχέση (4) έχουµε λ ΖΗ =. Συνεπώς ZH : = 8 ( ) 9 9 Άσκηση 3 3 ( κ) 3κ Γι το σηµείο Λ του επιπέδου το διάνυσµ θέσης είνι OΛ = ι+ j, 3 + κ 3+ κ όπου, θετικοί κι κ R. Ν δείξετε, ότι κθώς το κ µετάλλετι το σηµείο Λ κινείτι σε έλλειψη. Όπως γνωρίζουµε οι συντελεστές των ι κι j είνι οι συντετγµένες του δινύσµτος ΟΛ. Επειδή Ο είνι το σηµείο νφοράς (η ρχή των ξόνων), υτοί οι συντελεστές είνι οι

Έλλειψη 5. ( ) 3 κ 3κ συντετγµένες του σηµείου Λ. Εποµένως Λ, 3 + κ 3+ κ Έχουµε: ( ) 3 κ 3 κ = = 3 + κ 3 + κ 3κ 3κ = = 3 + κ 3 + κ Υψώνουµε τις δύο σχέσεις στο τετράγωνο κι τις προσθέτουµε κτ µέλη: ( 3 κ ) ( ) ( 3κ) ( ) = 3 + κ ( ) 3 κ κ ( 3+ κ ) + = + = = ( 3 + κ ) ( 3+ κ ) ( 3+ κ ) = 3 + κ Οι συντετγµένες του Λ ικνοποιούν την εξίσωση της έλλειψης + =. Εποµένως το σηµείο Λ κινείτι επάνω σε υτήν την έλλειψη. Άσκηση 4 π 3π Το σηµείο Μηµθ,συνθ ( ), θ ( 0,π), µε θ,,π νήκει στην έλλειψη C: + = µε >.. Ν δείξετε, ότι η κάθετη στην εφπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο Μ έχει εξίσωση : ( ) ( ) = ( ) ε : συνθ ηµθ ηµθ συνθ. Αν η (ε) διέρχετι πό το σηµείο (, 0) ν δείξετε ότι ισχύει η σχέση ηµθ =, όπου ε η εκκεντρότητ της ε έλλειψης.. Η εξίσωση της εφπτοµένης της C στο σηµείο της Μ(, ) + = + =. είνι

5. Έλλειψη Ο συντελεστής διεύθυνσης υτής της ευθείς είνι λ =. Αφού Μ( ηµθ,συνθ ), ο συντελεστής διεύθυνσης της εφπτοµένης στο Μ είνι ηµθ ηµθ λ = = π 3π, θ, θ. συνθ συνθ Εποµένως η κάθετη στην εφπτοµένη στο σηµειο Μ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε συνθ συνθ =, θ 0, θ π κι εξίσωση συνθ = ( ηµθ) ηµθ ηµθ ηµθ ηµθ συνθ = συνθ ηµθσυνθ ( ) ( ) ( ) συνθ ηµθ = ηµθ συνθ. Οι συντετγµένες του σηµείου (,0) επληθεύουν την εξίσωση της (ε). Εποµένως έχου- µε: ( συνθ) ( ηµ ) 0 = ( ) ηµθ συνθ ( ) συνθ 0 συνθ = ηµθ συνθ ( ) = ηµθ ηµθ = () Όµως ισχύουν οι σχέσεις: γ = κι γ ε =. Οπότε η () γίνετι: ηµθ = = = = γ γ ε ε. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση 6 + 5 = 400 είνι εξίσωση έλλειψης κι ν ρεθούν τ µήκη των ξόνων της, οι εστίες της κι η εκκεντρότητ. 3 (Απ.: = 0 κι = 8 κι γ = 3 κι ε= ) 5. Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτοµένων της έλλειψης C:4 + = 0, οι οποίες M 0,0. διέρχοντι πό το σηµείο ( ) (Απ.: = 4 + 0 ή = 4 + 0 )

Έλλειψη 53. 3. Ν ρείτε την εξίσωση της έλλειψης µε κέντρο την ρχή των ξόνων, κορυφή το E8,0. σηµείο M7,0 ( ) κι µί εστί το σηµείο ( ) (Απ.: + = 7 5 ) 4. Ν ρείτε τη σχετική θέση της ευθείς = 4 + 9 ως προς την έλλειψη + = 9. (Απ.: Εφάπτετι στο σηµείο M(,) )) 5. ύο ελλείψεις έχουν εξισώσεις 5 + 3 = 64 κι 3 + 5 = 64. Ν δειχθεί ότι τ κοινά σηµεί τους νήκουν στον κύκλο µε εξίσωση + = 6. 6. Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφπτοµένων της έλλειψης C:4 + = 0 οι οποίες:. Είνι πράλληλες προς την ευθεί ε :4+ + 4= 0. Είνι κάθετες στην ευθεί ε :+ 4 + = 0. (Απ.:. = 4 + 0 ή = 4 0,. = 4 + 0 ή = 4 0 )) 7. ίνετι η έλλειψη + =.. Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο Ε ΒΕΒ είνι ρόµος (Ε κι Ε οι εστίες, Β κι Β τ άκρ του µικρού άξον).. Ν ρεθεί το εµδόν του ρόµου. 8. Ν συγκριθούν οι εκκεντρότητες των ελλείψεων : (Απ.:. )) C : + = κι C : + =, µε >. 4 4 (Απ.: ( ε > ε )) 9. Αν είνι η εφπτοµένη της έλλειψης C: Μ ότι η κάθετη στην (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ =. + = στο (, ), ν ποδείξετε 0. ίνετι η έλλειψη C: + =. Ν ποδείξετε ότι κι η έλλειψη µε εξίσωση κ κ C : + = έχει την ίδι εκκεντρότητ µε τη C.

54. Έλλειψη. ίνετι η έλλειψη + = κι το σηµείο A(,3 ). Φέρουµε πό το Α τις εφπτόµενες της έλλειψης κι έστω Β, Γ τ σηµεί επφής. Ν υπολογίσετε την πόστση του Α πό τη χορδή ΒΓ. ( Απ. : 0 ) ο. ίνετι η έλλειψη + = κι τ σηµεί της Α, Β τέτοι ώστε η γωνί ΑΟΒ ˆ = 90. (Ο είνι η ρχή των ξόνων). Αν οι εφπτόµενες της έλλειψης στ Α, Β τέµνοντι στο σηµείο Μ, ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο του σηµείου Μ ότν η γωνί ΑΟΒ στρέφετι γύρω πό το Ο. Απ. : + = 3. ίνετι η έλλειψη µε εξίσωση + =. Ν ρεθεί ο κύκλος µε διάµετρο το τµήµ 9 8 Ε Ε, όπου Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης. (Απ.: + = ) 4. Ν ρεθεί η εξίσωση της έλλειψης µε κέντρο την ρχή, εστική πόστση 4 κι εκκε ντρότητ. Απ. : + = ή + = 6 6 5. Ν ρείτε τη σχετική θέση της ευθείς = + ως προς την έλλειψη + 4 = 6. (Απ.: Τέµνει την έλλειψη) 6. Ν ρεθεί η εξίσωση της κµπύλης στην οποί κινείτι σηµείο Μ του επιπέδου, γι το οποίο ισχύει ( MA) + ( MB) = 4, µε A(,0) κι B,0 ( ). Απ. : + = 4 3 7. Ν ποδείξετε ότι τ σηµεί M(, ) µε = 4συνθ, = 3ηµθ, θ [ 0,π] νήκουν σε έλλειψη της οποίς ν ρείτε την εξίσωση. Απ. : + = 4 3

Έλλειψη 55. 8. ίνετι έλλειψη () c :4 + 7 = 36. Ν ποδείξετε ότι η ευθεί που διέρχετι πό το σηµείο M3,4 ( ) κι είνι πράλληλη προς την ευθεί + 7= 0 εφάπτετι της () c. 9 8 (Απ.:, είνι το σηµείο επφής) 5 5 9. Η εξίσωση µις χορδής της έλλειψης + 4 = 00 είνι + 6 = 40. Ν ρεθούν οι συντετγµένες του µέσου Μ της χορδής. ( Απ. : Είνι Μ( 4,6) ) 0. Η έλλειψη + 4 = 6 τέµνει τον άξον στ σηµεί Β, Β κι τον ρνητικό ηµιάξον Ο στο Α. είξτε ότι ο κύκλος που διέρχετι πο τ σηµεί Β, Β κι Α έχει εξίσωση + + 3 4 = 0.. Ν ρεθεί η χορδή της έλλειψης + = που έχει µέσο το σηµείο M(, ). 6 9 ( Απ. : 8 + 9 5 = 0 ). ίνετι η έλλειψη + 4 = 6. Ν ρεθούν οι εφπτόµενες της έλλειψης που διέρχοντι πό το σηµείο ( 4,4). 8, 4 Απ. : = + = 3. Ν ρεθούν οι εφπτόµενες της έλλειψης ευθεί = + 4. + = που είνι πράλληλες στην 6 4 ( Απ. : = + 0, = 0 ) 4. Ν ρεθούν οι εφπτόµενες της έλλειψης + 4 = 6 που είνι κάθετες στην ευθεί + + 5= 0. ( Απ. : = + 0, = 0 )

56. Έλλειψη Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ ίνετι η έλλειψη + =, > µε εστίες Ε,Ε. Η κάθετη στο σηµείο Ρ της έλλειψης τέµνει το µικρό άξον στο Α. είξτε ότι το τετράγωνο της πόστσης του Α πό µι πό τις εστίες ισούτι µε: ( ΕΡ )( Ε Ρ) (Yπ.: είξτε ότι ( ) Ε Ρ = ( ΕΡ)( Ε Ρ). Υποθέστε ότι Ρσυνφ,ηµφ ( ) κι υπολογίστε τις ποστάσεις Ε Ρ κι ΕΡ. Είνι ( Ε Ρ) = γσυνφ + κι ( ΕΡ) = γσυνφ ).