DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1) + ( 5 + 3) = 73 2)Ecuaţia dreptei determinate de două puncte este AB : =, x x, y y. Dacă x = x, atunci AB: x = xa (dreaptă verticală), iar dacă y = y, atunci AB: y = ya ( dreaptă orizontală). Ex. Aflaţi ecuaţia dreptei determinată de punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). AB :, AB: 8(x-1) = -3(y+3), AB: 8x + 3y +1 =0 = 3)Panta dreptei care trece prin punctele A,B este mab =, x x. Ex. Calculaţi panta dreptei AB, unde A( 1, -3) şi B( -2, 5). mab = = - 4)Ecuaţia dreptei determinată de un punct A şi o pantă m este d: y y = m (x x ). Ex. Să se scrie ecuaţia dreptei determinată de punctul A( -4, -1) şi panta m= 2. d: y + 1 = 2 (x + 4), d: 2x y + 7 = 0 5)Din ecuaţia generală a dreptei d: ax + by + c = 0, a,b,c R, a 2 + b 2 > 0 avem panta m = - (b 0). Ex. Aflaţi panta dreptei -4x + 2y -5 = 0. m = - = 2 6)Ecuaţia dreptei prin tăieturile A( a, 0), B( 0, b), a,b 0 este + - 1 = 0. Ex. Calculaţi aria triunghiului format de dreapta 5x 12y 60 = 0 cu axele Ox, Oy. Ecuaţia dreptei prin tăieturi este - - 1 = 0, atunci A( 12, 0) şi B( 0, - 5). AABC= = 30 7)Punctele A, B, C sunt coliniare C AB, adică =. Ex. Verificaţi dacă punctele A( 1, 1), B( -1, 5) şi C( 2, -1) sunt coliniare. C AB = = = 1 A, B, C coliniare
8)Condiţia de paralelism a două drepte d1 d2 m1 = m2 sau d1: a1 x + b1 y + c1 = 0, d2: a2 x + b2 y + c2 = 0 atunci d1 d2 = (d1 coincide cu d2 = = ) Ex. Determinaţi parametrul real m a.î. dreptele -4x + 2y -5 = 0, (m 1)x + y + 20 = 0 să fie paralele. d1 d2 m1 = m2 - = - 2 = - m + 1 m = -1 R, sau d1 d2 = = 2(m 1) = -4 m = -1 R 9) Condiţia de perpendicularitate a două drepte d1 d2 m1 m2 = -1 sau d1: a1 x + b1 y + c1 = 0, d2: a2 x + b2 y + c2 = 0 atunci d1 d2 a1a2 + b1b2 = 0 Ex. Determinaţi parametrul real m a.î. dreptele -4x + 2y -5 = 0, (m 1)x + y + 20 = 0 să fie perpendiculare. d1 d2 m1 m2 = -1 (- )( - ) = -1 2( - m + 1) = -1 m = R, sau d1 d2-4(m 1) + 2 = 0 m = R 10)m1 = tgφ, φ [ 0, 180 ] \ {90 } se numeşte coeficientul unghiular al dreptei sau panta dreptei d1 Ex. Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin A( 2, -3) şi face cu axa Ox un unghi de 60. d: y + 3 = m( x 2) m = tg60 = 3 d: 3 x y - 2 3-3 = 0 11)Unghiul dreptei d2 cu dreapta d1 este tgφ = tg(φ φ ) = =. Ex. Să se calculeze unghiul format de dreptele 2x + y 3 = 0, - x + y + 15 = 0. m1= - 2, m2= 1 tgφ = tgφ = = 3 12)M mijlocul [AB] xm =, ym = Ex. Aflaţi coordonatele mijlocului segmentului AB, unde A( 1, -3) şi B( -2, 5). M mijloc [AB] xm = xm = -, ym = 1, deci M(-, 1), ym = xm =, ym = 2
13)Distanţa de la punctul A (x0, y0) la dreapta d: ax + by + c = 0 este d(a,d) =. Ex. Calculaţi distanţa de la punctul A( 2, 3) la dreapta -4x + 2y -5 = 0. d(a,d) = = = () 14)Centrul de greutate G al triunghiului ABC xg =, yg = Ex. Fie punctele A ( 1, -3), B ( -2, 5 ) şi C ( -4, -1) în planul xoy. Determinaţi coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC. xg =, yg = xg =, yg = xg =, yg = G(, ) 15)ABCD paralelogram x + x = x + x, y + y = y + y Ex. Determinaţi coordonatele punctului D a.î. ABCD paralelogram, unde A ( 1, -3), B ( -2, 5 ) şi C ( -4, -1). ABCD paralelogram 1 4 = -2 + x, -3 1 = 5 + y x = - 1, y = - 9 D( - 1, - 9) 3
APLICAŢII 1)Să se scrie ecuaţia dreptei MN, M( 4, 2) şi N( - 2, 6). R. MN: 2x + 3y -14 = 0 2)Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, unde A( 0, 2), B( 5, - 1) şi C( 7, 4). PABC= AB + BC + CA AB = (x x ) + (y y ) R. PABC= 29 + 34 + 53 3)Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin punctul A( 3, 2) şi este paralelă cu dreapta de ecuaţie d :2x - 3y + 8 =0. d: y y = m (x x ) m = m = - = - = R. d: 2x 3y = 0 4
4)Să se determine coordonatele punctului D a.î. ACBD paralelogram, A( 3, 2), B( - 4, 0) şi C( 8, - 5). R. D( -9, 7) 5)Să se calculeze lungimea înălţimii duse din A în triunghiul ABC, A( 3, 2),B( - 4, 0) şi C( 8, - 5). Ecuaţia dreptei BC este Distanţa de la A la BC este d( A, BC) =. R. d( A, BC) = 6)Să se determine simetricul punctului A( 3, -2) faţă de punctul B( -4, 1). A...B...C xb =, yb = R.C( -11, 4) 5
7)Se consideră dreapta variabilă d : x + 2y λ( 3x 4y + 1) = 0. Să se determine λ R a.î. a) d d: - x + 2y + 3 = 0, b) d d: 2x + y 15 = 0, c) punctul A( 2, 1) d. a)d:( 1-3 λ)x + ( 2 + 4 λ)y - λ = 0 d d = = λ = 2 R, b) d d a1a2 + b1b2 = 0 2( 1-3 λ) + 2 + 4 λ = 0 λ = 2 R, c) A( 2, 1) d ( 1-3 λ) 2+ ( 2 + 4 λ) 1- λ = 0 λ = R. 8)Fie punctele A( 2, 4), B( - 4, - 2), C( 6,- 4). Să se afle: a)ecuaţia dreptei BC, b)ecuaţia înălţimii duse din A, c)lungimea înălţimii duse din A, d)ecuaţia mediatoarei segmentului [AC], e)ecuaţia medianei duse din B, f)ecuaţia dreptei care trece prin B şi e paralelă cu AC, g)coordonatele centrului de greutate al Δ ABC, h)coordonatele ortocentrului Δ ABC, i)coordonatele punctului D a.î. ABCD paralelogram, j)măsura unghiului A, k)ecuaţia bisectoarei unghiului A. 6
a)bc: = R.BC: x + 5y + 14 = 0 b) ecuaţia înălţimii duse din A A h h: y y = m (x x ) h BC mmbc = - 1 m = 5 R.h: 5x y -6 = 0 c) lungimea înălţimii duse din A d(a,bc) = R. d(a,bc) = d) ecuaţia mediatoarei segmentului [AC] M mijlocul [AC]... M( 4, 0) M d d: y y = m (x x ) d AC mmac = - 1 m =... mac = = R.d: x 2y 4 = 0 7
e)ecuaţia medianei duse din B BM: Profesor Blaga Mirela-Gabriela R.BM: x 4y -4 = 0 f) ecuaţia dreptei care trece prin B şi e paralelă cu AC B a a: y y = m (x x ) a AC m = mac = - 2 R.a: 2x + y + 10 = 0 g)coordonatele centrului de greutate al Δ ABC R.G(, - ) h)coordonatele ortocentrului Δ ABC i) coordonatele punctului D a.î. ABCD paralelogram R.D( 12, 2) 8
j)măsura unghiului A tga = R.tgA = 3 k)ecuaţia bisectoarei unghiului A Bisectoarea este locul geometric a punctelor egal depărtate de laturile unghiului... P(x0,y0) b d(p,ab) = d(p,ac)... AB: AC: = 9)Să se calculeze distanţa dintre dreptele d1: - 3x + y 5 = 0 şi d2: 6x 2y - 10 = 0. m1 = m2 d1 d2 Considerăm un punct pe d1, astfel x = 1-3 + y 5 = 0 y =... A( 1, şi calculăm d( A, d2 ) =... ) d1 R. d( A, d2 ) = 10 9
10)Să se determine a R a.î. dreptele de ecuaţii d1: - 3x + y 5 = 0, d2: 4x y + 4 = 0 şi d3: ax 2y + 21 = 0 să fie concurente. d1 d2 = A(, ) prin rezolvarea sistemului... d1 d2 d3 = A(, ) A d3... R. a = - 5 10