Παράρτηµα Γ Eνότητα Γ.1 Απόδειξη θεωρήµατος 1.5 Kεφαλαίου 1.

Σχετικά έγγραφα
Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές

3.2 Τοπικά κυρτοί χώροι-βασικές ιδιότητες.

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

r p A n,m = {x X : f n (x) f m (x) f n f m }, sup f n (x) f m (x) f n f m

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

3.3 Το συναρτησοειδές του Minkowski και μετρικοποιησιμότητα σε τοπικά κυρτούς χώρους. x y E (υποπροσθετικότητα ) ) και p( x) p( x)

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Κεφάλαιο 1. Σειρές Fourier. είναι αναλυτική συνάρτηση, δηλαδή απειροδιαφορίσιµη στο και για κάθε x0. . Τότε η (1) µπορεί να ερµηνευθεί ως εξής:

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κεφάλαιο 3. Ολοκλήρωµα Fourier. ιαισθητικά το ολοκλήρωµα Fourier είναι οριακή περίπτωση των σειρών Fourier µε την ακόλουθη έννοια:

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Θετικών Σπουδών. Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

Λύσεις σετ ασκήσεων #6

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Συμπλήρωμα 2 εδαφίου 3.3: Το γενικό μεταβολικό πρόβλημα για συναρτησιακό ολοκληρωτικού τύπου με ολοκληρωτέα συνάρτηση F κατά 2

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Νικόλαος. Ατρέας Aρµονική Ανάλυση Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 2015

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )

c 2 b b Λύση Το δυναµικό οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης ε είναι V( x)

Χώροι L p. Κεφάλαιο Χώροι L p. L p (E) όλων των µετρήσιµων συναρτήσεων f : E [, ] για τις οποίες

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Νικόλαος. Ατρέας Aρµονική Ανάλυση Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 2015/2016

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση

AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z z 0 που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα. 2 Re z 4Im z R. x 2 y x y 2

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:

( ) y ) άγνωστη συνάρτηση, f (, )

Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

Κριτήριο Παρεμβολής. και. άρα από το παραπάνω κριτήριο παρεµβολής το l im f ( x) (x 1) 2 f (x) 2x (x 1) 2 2x (x 1) 2 f (x) 2x + (x 1) 2

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. (ii) f (x) = π. f (x)

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

(4) γενικής λύσης το x με το -x. και θα έχουμε : y ομ (x)=c 1 (-x) -1 +c 2 (-x) 3

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

ÏÌÉÊÑÏÍ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÄÅËÉÏ

1 + t + s t. 1 + t + s

4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έκτου φυλλαδίου ασκήσεων.

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

ιαγωνισµός στη µνήµη του καθηγητή: Βασίλη Ξανθόπουλου

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

w = f(z) = z + i C(0,4) 2πi z 2 (z 2) 3 dz = 1 8. f(z) = (z 2 + 1)(z + i). e z 1 e z 1 = 3 cos 2θ

Transcript:

Παράρτηµα Γ νότητα Γ. Απόδιξη θωρήµατος.5 Kφαλαίου. στω f ίναι συνχής και πραγµατική συνάρτηση στο κανονικοποιηµένη (αφαιρώντας µια σταθρά) ώστ f ( x) dx= u = Pr f αρµονική µ (,) v (,) =. Τότ η. στω u = και v συζυγής αρµονική της u µ h= u+ iv h =. Για φιξαρισµένο < r < και για ππρασµένο =,,..., από το Θώρηµα µέσης τιµής του Gauss έχουµ: ίναι αναλυτική στο D µ ( ) it it it h h re dt u re iv re dt = = = + = + + + it it it it u ( re ) dt i u ( re ) v( re ) dt... i v ( re ) dt. Αναδιατάσσουµ την παραπάνω ισότητα ως ξής: v re dt u re v re dt u re dt it it it it +... + και στον όρο φαρµόζουµ την ανισότητα Holder χρησιµοποιώντας τους συζυγίς κθέτς / /. Για /( ) και /( ) it απλότητα γράφουµ S = u ( re ) dt, it Τότ η παραπάνω γίνται: = v re dt. S + S +... + S + S στω U = S/. Τότ:. 9

ή + +... + + U U U U U + U +... + U + U + +. Αν U η απόδιξη παραλίπται (ύκολη). Για U έχουµ U + +... + +. Αρα S και για r έχουµ Hf L ( ) L ( ) f διότι h= u+ iv f + i Hf, r. Εφόσον το σύνολο των συνχών συναρτήσων ίναι πυκνό στον L ( ), ο H πκτίνται µ L. µοναδικό τρόπο σ ένα φραγµένο τλστή πάνω στον Εφόσον τώρα ο H ίναι φραγµένος στυς L, L,... 4, µ φαρµογή του θωρήµατος Ries-hori θα ίναι φραγµένος στον L ( ) <. Τότ λόγω δυϊκότητας ίναι φραγµένος και στον L ( ), < < µ την ξής έννοια: όπου g L συζυγής κθέτης του. Σηµιώνουµ ότι στω f L (βλ. Παράρτηµα Β). Αλλά: < < και όπου ίναι ο < <. Τότ { L } Hf = su Hf x g x dx : g L = σφ π ( ) Hf x g x dx f y x y dy g x dx σφ π = g x y x dx f y dy 9

και Αρα H = Hg( y ) f ( y) dy L L L L L Hg y f y dy Hg f H f. H και το αποτέλσµα προκύπτι άµσα. L L L L 9

Ενότητα Β Απόδιξη θωρήµατος Ries-hori (θώρηµα.6, Κφάλαιο ). Πριν την απόδιξη του θωρήµατος Ries-hori χριαζόµαστ δυο λήµµατα. Λήµµα Α Εστω, και αν ίναι συζυγίς κθέτς. Αν g L ( µ ), ( ) τότ g L ( ) και g su ( ) απλη και f L f = M. fg dµ = M <,, µ < Απόδιξη. (α) <. Ορίζουµ το συναρτησιακό g Λ f = fg dµ. Τότ η απόδιξη προκύπτι ύκολα από την πρόταση Γ.6 και το θώρηµα Γ. του κφαλαίου. (β) =, =. Προφανώς fg g L L h= sig g. Τότ η h ίναι απλή, h = και hg = g = M. Λήµµα Β (Τριών γραµµών). Εστω Εστω Φ: ίναι συνχής και φραγµένη στην κατακόρυφη Re και αναλυτική στο σωτρικό της λωρίδας λωρίδα αυτής. Αν Φ( ) M πάνω στη συνοριακή υθία Φ( ) M πάνω στη συνοριακή υθία Re κάποις θτικές σταθρές M, M, τότ Re = και = αντιστοίχως για x x Φ ( x + iy) M M, για κάθ y και (,) x. 93

Απόδιξη. Εστω Re( ) = τότ > και ( ) Φ M M e =Φ. Αν ( ) log ( / ) iy iy iy M M Φ iy M M e = e e e = e. Οµοίως, αν Re( ) = έχουµ iy iy y iy y ( + iy )( + iy ) iy log ( M / M ) iy iy y iy y iy M M e e e e e Φ + = =. έχουµ Απ την άλλη µριά για κάθ y, x (,) Φ x+ iy = Φ x+ iy M M e x+ iy x iy ( x+ iy)( x+ iy ) ( x+ iy log ) M ( ) x+ iy logm x x y iy x x iy e e e e =Φ + x x x x y y x iy M M e e =Φ + Ce, διότι τόσο η Φ όσο και η x x e ίναι φραγµένς στη λωρίδα y Re, αντιστοίχως. Εφόσον e, y, < < και στο έχουµ, Φ y +. Αρα µπορούµ να πιλέξουµ αρκούντως µγάλο Φ πάνω στο σύνορο A > έτσι ώστ του ορθογωνίου { : Re( ), A Im( ) A} µγίστου προκύπτι Φ ( ) Εφόσον το A ίναι αρκούντως µγάλο, ισχύι Φ ( ) λωρίδα Re( ). Αφήνοντας, παίρνουµ. Από την αρχή και στο σωτρικό του ορθογωνίου. x x x x σ όλη τη lim Φ = Φ M M Φ M M. Απόδιξη θωρήµατος Ries-hori: Η απόδιξη χωρίζται στα ακόλουθα βήµατα: (α) Κατασκυάζουµ συνάρτηση Φ που ικανοποιί το Λήµµα τριών 94

γραµµών. (β) Μέσω της Φ και µ τη βοήθια των Ληµµάτων A και B : L X, µ L Y, ν ίναι φραγµένος δίχνουµ ότι ο τλστής για κάθ απλή συνάρτηση φ L ( X, µ ). (γ) Επκτίνουµ το αποτέλσµα σ κάθ στοιχίο f L ( X, µ ) λόγω πυκνότητας. Εφόσον ( ) νόρµα φ = φ φ, όπου φ = φφ, αρκί να δίξουµ ότι η φ ίναι φραγµένη για κάθ απλή συνάρτηση φ L µ φ =. Ξκινούµ µ την υπόθση <. Βήµα (α): Εστω i a a e θ = = φ = χ = χ φ =, όπου { } ίναι απλή συνάρτηση µ ίναι µια ακολουθία µτρήσιµων συνόλων ξένων µταξύ τους ανά δύο µ ένωση το X. Οµοίως, έστω m m i ψ = b χ = b e θ χ ίναι απλή συνάρτηση στον L ( Y ) = = µ ψ =, όπου ίναι ο L συζυγής κθέτης του. Ορίζουµ δυο µιγαδικές συναρτήσις α και β ως ξής: α ( ) = + και β ( ) = +. Αν (,) t τότ α () t = και β () t = (βλέπ κφώνηση). Φιξά- t και ορίζουµ τις συναρτήσις ρουµ (,) και ψ = / α α t iθ a e χ = φ = ( ) /( ()) m β β t i b e θ χ β t =. ψ β () () t = 95

Τέλος, ορίζουµ Τότ: φ ψ dν Φ =. / ( β( ) ) /( β() t ) ( χ ) χ β() ( χ ) χ β() m α α t iθ iθ a, e b e t = = Φ ( ) = m α( ) / α( t) i( θ+ θ ) a b e t = = = Η Φ ίναι ολόµορφη και φραγµένη στη λωρίδα Re( ). Θα δίξουµ ότι Φ( ) M για Re( ) = και Φ( ) M για Re( ) = και για κάποις θτικές σταθρές M, M. Πράγµατι, για x έχουµ φ i log a ( ) x a α α e a α α θ = χ = = e e / t / t iy log a iy log / / a = e = a = φ x. Μ παρόµοιο τρόπο έχουµ ( ) ( ψ ψ ) ψ / / = =, iy x x x όπου, ίναι οι συζυγίς κθέτς των., Τότ / / Φ = =. iy φiy ψ M iy φiy ψ M iy φ ψ M Μ την ίδια λογική προκύπτι ότι φ + iy = / φ, / ψ iy ψ + = και ( ) / / Φ + φ ψ φ ψ = φ ψ =. iy + iy + iy M iy iy M M + + Αρα η Φ ικανοποιί το Λήµµα τριών γραµµών και έτσι t t ( t iy) ( φ ) ψ M M t Φ + =,,. (β) Εφόσον η ψ ίναι τυχαία απλή συνάρτηση στον Λήµµα A προκύπτι άµσα ότι φ L και L, από το 96

t t φ M M t,,, φ απλή µ φ =. (γ) Για να πκτίνουµ την παραπάνω σ όλο τον L, απλά θυµόµαστ ότι ο χώρος των απλών συναρτήσων ίναι πυκνός στον L. Ετσι αν f L και g = f τότ f = limφ, όπου { φ } ίναι µια αύξουσα ακολουθία απλών συναρτήσων µ f f ως προς τη νόρµα. Από το Λήµµα Fatou έχουµ f lim φ M M lim φ M M f. t t t t Αν = =, τότ από την Πρόταση Γ.5 και για < < έχουµ t t t t f f f M M f. 97