1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p) b) Aflaţi umărul elemetelor mulţimii A1 A3 A5 A99 (p) c) Calculaţi suma elemetelor mulţimii A 99 3 (7p) Demostraţi pri metoda iducţiei matematice egalitatea: [ 1 ] + [ 3] + + [ ( + 1) ] + 1+ + + = ( + 1), N 4 Se cosideră segmetul A B de lugime L Fie 1 1 B mijlocul segmetului A B, 1 1 B 3 mijlocul segmetului A 1B,, B 010 mijlocul segmetului A B 1 009 (3p) a) Exprimaţi lugimea segmetului A B 1 6 î fucţie de L 1 1 1 L (4p) b) Arătaţi că: A1 B + A 1B3 + + A 009 1B010 < 3 Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sut obligatorii
Clasa a IX-a 1 (4p) a) Se cosiderã mulţimea A = { p + 5q, p, q N} 1 A, 13 A, 11 A 4 Arătaţi că (4p) b) Stabiliţi valoarea de adevãr a urmãtoarei propoziţii, justificâd alegerea fãcutã: Se cosiderã progresia aritmeticã ( ) 1 4 4 6 6 8 p: + + R Q 8 4 48 a cu termeul geeral a = 5 (p) a) Determiaţi a 1, primul terme al progresiei aritmetice (p) b) Calculaţi raţia progresiei ( ) 1 a (p) c) Determiaţi al 11-lea terme al progresiei aritmetice ( ) 1 (p) d) Verificaţi dacã 010 este terme al progresiei ( ) 1 a (p) e) Aflaţi suma primilor 0 de termei ai progresiei ( ) 1 a a 3 Fie ABCDEF u hexago regulat, O cetrul hexagoului, iar M mijlocul lui OB Arătaţi cã: (p) a) AF + FE = AB + BE (p) b) OA + ED = OC + EF (p) c) AO + DE + EF = CB + BD 3 (p) d) 4 EM = 3CB + 3FA + FC (p) e) Puctele A, M şi C sut coliiare Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sut obligatorii
1 Fie umerele raţioale a) Să se arate că: b) Să se demostreze: a) Fie ( ) 1 1 1 1 a = 1 + + + + şi 3 3999 a < b, şi apoi să se calculeze: 1 3 3998 b = 1+ + + + 3 4 3999 a + b (5p) ab < 000 (5p) a o progresie geometrică, a =, a 96 Să se calculeze suma: 1 3 6 = 1 1 1 S = + + + a1 a a (5p) b) Îtr-u şir oarecare suma primilor termei este dată de formula 3 S = 6 + 8, N 1) Să se determie formula termeului geeral al şirului ) Este acest şir o progresie aritmetică? (5p) f : R R, f x = x m, m 3 Se dă fucţia: ( ) R a) Să se determie valoarea parametrului m, astfel îcât puctul A(, 3m) graficului fucţiei 1 să aparţiă b) Petru m = 1 reprezetaţi graficul fucţiei (p) c) Petru = 1 ax + 1 = x 1, m rezolvaţi ecuaţia: f ( ) x R { } a R 4 Se dă patrulaterul covex ABCD î care E, F sut mijloacele diagoalelor [AC] şi [BD] Să se arate că Notă:, (3p) (5p) AB + AD + CB + CD = 4EF (10p) Toate subiectele sut obligatorii Fiecare problemă se puctează cu 10 pucte Se acordă 10 pucte di oficiu Timp de lucru 3 ore
CLASA a IX-a 1 Fie ( a ) 1 o progresie aritmetica si ( b ) 1 o progresie geometrica, cu a = b 3, a = b si a + a a = Determiaţi raţia fiecărei progresii 1 1 = 4 3 4 6 b4 a + b a) Dacă a, b > 0, atuci arătaţi ca ab b) Dacă a1, a,, a > 0 şi a 1 1 a a Nota: a1 a a 1+ 1 + 1+ =, arătaţi că ( ) ( ) ( ) x 3; daca x ( ; 1] 3 Fie fucţia f : R R, f ( x) = ; daca x ( 1;1) 3x 6; daca x [1; + ) 1 a)calculaţi f ; f (1); f ( 3) ; f ( 10) b)determiaţi N f 1 + f + f 3 + + f = 105 4 Fie a, b, x R astfel icat ( ) ( ) ( ) ( ) a b a + b = a b a)demostraţi ca ( )( ) 008 x 4 b)calculaţi ( 1)( x + 1)( x + 1)( x + 1 ) ( x + 1) Toate subiectele sut obligatorii Fiecare subiect este puctat cu 7 pucte Timp de lucru: ore
Toate subiectele sut obligatorii Fiecare subiect este otat de la 0 la 7 CLASA A IX-A 1 Îtr-o progresie geometrică ( a ), N, a > 0, N se cuosc sumele: 1 1 1 a1 + a + + a007 = şi + + + = 1 a a a 1 007 Calculaţi produsul: P= a a a 1 007 Fie f : R R, o fucţie petru care avem: 1 1 5 5 f ( x) + f (007 x) = x +, x R 3 007 a) Arătaţi că f(x) + f(007 x) = 1, x R b) Determiaţi f 3 Cosiderăm mulţimea A = { x + y x, y N} a) Verificaţi idetitatea ( a + b )( c + d ) = ( ac bd ) + ( ad bc), a, b, c, d N b) Arătaţi că, dacă p, q A, atuci p q A c) Arătaţi că 050 A d) Arătaţi că A, oricare ar fi N e) Arătaţi că 007 A 4 U vas î formă de paralelipiped dreptughic cu lăţimea de 1m şi lugimea de m este umplut cu apă pâă la îălţimea de 0,5m Se aşează u cub metalic cu o faţă pe fudul vasului, iar apa di vas se ridică acum exact pâă la partea superioară a cubului Aflaţi latura cubului
Clasa a IX-a 1 Fie ABCD u patrulater covex Notăm cu O 1, mijlocul diagoalei [AC] şi cu AD BC O, mijlocul diagoalei [BD] Demostraţi că dacă OO 1 =, atuci patrulaterul 3 ABCD este u paralelogram Fie a Să se demostreze că există o sigură fucţie f: f (x) = ax + bx + c astfel îcât a,, P şi S, î această ordie să formeze o progresie aritmetică de raţie 1 (, P şi S sut respectiv discrimiatul, produsul şi suma rădăciilor ecuaţiei f(x) = 0) 3 Fie 1 1 1 1 = + + + 4 + 1 4 + 4 + 3 8 E(), Folosid iducţia matematică să se demostreze că ( ) Toate subiectele sut obligatorii Fiecare subiect este otat de la 1 la 7 5 E() >, 8 4 Se cosideră umerele reale pozitive a şi b astfel îcât a + b +ab = 1 Să se arate că: ab 0;3 şi a + b ;1
a lui A Clasa a IX-a 1 Se cosideră mulţimea { 1,, 3,,10} Toate subiectele sut obligatorii Fiecare subiect este otat de la 1 la 7 A = şi fie B o submulţime cu trei elemete a) Aflaţi câte submulţimi B au elemetele î progresie aritmetică b) Aflaţi câte submulţimi B au elemetele î progresie geometrică f x = x+ x x R Fie f : R R, ( ) 3cos3 4si 3, π 3π a) Dacă a, şi 3 si a =, să se calculeze f ( a ) 5 b) Demostraţi că f este periodică c) Aflaţi cel mai mic M R petru care f ( x) M, x R 3 Fie fucţia f :{ 1,,3,,007} { 1,,3,,007} defiită pri f ( x) = ax + b, ude a R, b R Aflaţi f ( 1004 ) 4 O placă triughiulară ABC are dimesiuile AB = 10 cm, AC = 7 cm, BC = 8cm şi A, B sut situate pe o dreaptă d Se mişcă placa de-a lugul dreptei d pâă câd ocupă poziţia,,, ABC A B d A [ AB], astfel îcât triughiurile ABC şi ABC să aibă ca itersecţie a iterioarelor o suprafaţă de arie egală cu jumătate di aria triughiului ABC Să se afle lugimea segmetului AA
Clasa a IX-a 1 a) Fie f :,f (x) = 007 x Calculaţi ( f f f )( 007) Toate subiectele sut obligatorii Fiecare subiect este otat de la 1 la 7 007 ori f : 1,,, 007 1,,, 007,f (x) = ax + b,a,b b) Fie { } { } Demostraţi că f(1004) = 1004 Fie ( a ) şi ( ) 1 b două progresii aritmetice cu a 1 = şi raţia r 1 = 5, respectiv 1 b1 = 7şi raţia r = 3 a) Găsiţi primii trei termei comui ai acestor progresii b) Aflaţi suma primilor 100 termei comui 3 a) Fie f :,f(x) = x + ax,a > 0 Determiaţi valoarea maximă a fucţiei f b) Ditr-o bucată triughiulară de tablă otată ABC avâd laturile 10cm, 4cm şi 6 cm, să se decupeze o bucată dreptughiulară cu pierdere miimă de material Determiaţi aria materialului pierdut 4 Fie ABCDEF u hexago regulat şi G 1, G, G 3, G 4 cetrele de greutate ale triughiurilor AFB, ABC, CED şi FED Demostraţi că G 1 G G 3 G 4 e dreptughi
Toate subiectele sut obligatorii Fiecare subiect este otat de la 0 la 7 CLASA A IX-A I Se cosideră umerele reale a, a,, a, a, î această ordie, î progresie 1 007 008 aritmetică şi II Fie S = a a + a a + + a a 1 3 4 007 008 1004 = 007 Să se arate că: S ( a1 a008 ) a 1 = 3, N a) Să se arate că şirul ( a ) N este o progresie geometrică 130 b) Determiaţi N astfel îcât suma a1 + a + + a = 7 III Fie ecuaţia de gradul al doilea î ecuoscuta x: x + 1 x 1 = 0, N, arbitrar Să se arate că rădăciile ecuaţiei sut ( ) reale, disticte şi iraţioale IV Se dă familia de parabole : y = m 1 x 8m 3 x + 15m + 6, m R ( ) ( ) a) Să se arate că toate parabolele familiei trec pri două pucte ale căror coordoate u depid de m b) Să se arate că dreapta determiată de cele două pucte coţie o ifiitate de pucte cu coordoatele umere îtregi
Toate subiectele sut obligatorii Fiecare subiect este otat de la 0 la 7 CLASA A IX A 1 Asupra uui puct material acţioează două forţe F 1şi F, ambele de modul N şi formâd ître ele u ughi de mărime ϕ Determiaţi modulul forţei rezultate F1 + F î fiecare di cazurile: o o o o o a) ϕ = 0 ; b) ϕ = 60 ; c) ϕ = 90 ; d) ϕ = 10 ; e) ϕ = 180 ; Să se demostreze că umerele, 3şi 5 u pot fi termei ai aceleiaşi progresii aritmetice 3 a) Dacă x R, să se demostreze că x x + 1 > 0 ; b) Să se rezolve ecuaţia x x + 1 = x ; c) Să se rezolve ecuaţia x x + 1 = x 4 Doi curieri pleacă di A, respectiv di B, uul î îtâmpiarea celuilalt, cu viteze costate dar diferite ître ele După îtâlire, petru a ajuge î puctul termius, uuia i-au mai trebuit 16 ore, iar celuilalt 9 ore De câte ore a avut evoie fiecare petru a parcurge îtregul traseu ditre A şi B?
Toate subiectele sut obligatorii Fiecare subiect este otat de la 0 la 7 CLASA A IX-A I 1 1 a) Să se demostreze că < + 1 <,( ) 1 + 1 1 1 1 1 1 1 b) Dacă a = 1 + + + + 007, iar b = 1 + + + + 008, 3 007 3 008 să se compare umerele a şi b II Fie f : R R o fucţie verificâd codiţia: () xf(x)+(1-x)f(-x)=x+1, ( ) x R a) Să se calculeze f(1) şi f(-1) b) Să se determie fucţiile de gradul al doilea ce verifică relaţia () x III Se cosideră şirul de umere reale ( ) 0 x x x ( ) = + 1 1 + + 4 + 1, 0, iar x 0= defiit pri relaţia a) Dacă y = 4x + 1, să se arate că şirul y este progresie aritmetică b) Să se găsească formula termeului geeral al şirului y c) Să se arate că toţi termeii şirului x sut umere aturale IV O echipă de baschet se află îaitea ultimului meci al uui tureu Dacă marchează 4 de pucte, atuci media puctelor pe meci este de 16 pucte, iar dacă marchează 51 de pucte, atuci media puctelor pe meci este de 19 pucte Câte meciuri va disputa echipa î cadrul tureului?
Toate subiectele sut obligatorii Fiecare subiect este otat de la 0 la 7 CLASA A IX-A 1 Determiaţi mulţimile A şi B care satisfac simulta codiţiile: a) A B = {0,1,,3, 4,5}; b) A B = { }; c) ( ) a A ( ) b B astfel îcât a + b = 5; d) ( ) b B ( ) a A astfel îcât b a = 1 Determiaţi fucţia liiară a cărei grafic coţie puctele A(, 3) şi B (3,7) Arătaţi apoi că: f ( a) f ( b) a) N ( ) a, b R, a b; a b x[1 + f ( x)] + 1 > 0, x R b) demostraţi că ( ) 3 Se dă fucţia de gradul al doilea f R R f x = ax a + b x + a :, ( ) ( ) a) Petru b = să se determie a Z astfel îcât vârful parabolei asociată fucţiei să aibă coordoate îtregi b) Petru a = 1 să se determie b Z petru care ecuaţia f ( x ) = 0 are ambele soluţii umere îtregi 4 La bursă valoarea uei acţiui a firmei A este de 400 de lei, dar această valoare scade luar cu 40 de lei Firma B are valoarea uei acţiui de 00 de lei dar această valoare creşte luar cu 10 lei După câte lui acţiuile celor două firme au aceeaşi cotaţie? După câte lui firma A va fi falimetară?