Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή για την μεταβλητή αυτή γνωρίζουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας () και τη συνάρτηση κατανομής F (). Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή για την μεταβλητή αυτή γνωρίζουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας () και τη συνάρτηση κατανομής F (). Έστω συνάρτηση =() της μεταβλητής, η οποία είναι και αυτή τυχαία μεταβλητή. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 3 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή για την μεταβλητή αυτή γνωρίζουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας () και τη συνάρτηση κατανομής F (). Έστω συνάρτηση =() της μεταβλητής, η οποία είναι και αυτή τυχαία μεταβλητή. Πρόβλημα: Εύρεση της κατανομής της μεταβλητής Υ, δηλ, να βρούμε την σ.π.π. () ή/και σ.κ.π. F (). Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 4 )
Μελέτη συνάρτηση τυχαίας μεταβλητής =() A. Περίπτωση διακριτής τ.μ. Χ Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 5 )
Μελέτη συνάρτηση τυχαίας μεταβλητής =() A. Περίπτωση διακριτής τ.μ. Χ Έστω τυχαία μεταβλητή Χ με πεδίο τιμών,,, n και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας P i i i Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 6 )
Μελέτη συνάρτηση τυχαίας μεταβλητής =() A. Περίπτωση διακριτής τ.μ. Χ Έστω τυχαία μεταβλητή Χ με πεδίο τιμών και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Τότε η τ.μ. =() έχει πεδίο τιμών,,, n P i i i,,,,,, k n Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 7 )
A. Περίπτωση διακριτής τ.μ. Χ (συν.) Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας συνάρτησης =() υπολογίζεται κάνοντας αναγωγή στις τιμές της μεταβλητής που αντιστοιχούν στις τιμές της μεταβλητής. Έτσι: j i i j i i i i j i i j j P P P ) ( : ) ( : : Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 8 )
A. Περίπτωση διακριτής τ.μ. Χ (συν.) Παρατήρηση: Καθώς γνωρίζουμε ότι τότε είμαστε βέβαιοι ότι ισχύει γιατί ) ( : i j j i i j i i j Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 9 ) i i j j j i i i j ) ( :
Παραδείγματα Υποθέστε το επόμενο παιχνίδι. Ένα κουτί έχει 5 λευκές και 8 μαύρες σφαίρες. Αφαιρείται σφαίρες από το κουτί. Αν οι σφαίρες έχουν το ίδιο χρώμα τότε κερδίζετε ευρώ, ενώ αν έχουν διαφορετικό χάνετε ευρώ. Να υπολογίσετε την μέση τιμή και την διακύμανση του κέρδους. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 0 )
Εφημεριδοπώλης αγοράζει 0 εφημερίδες προς 0 λεπτά την κάθε μία και τις πουλά προς 5 λεπτά. Ωστόσο, δεν επιτρέπεται να επιστρέψει τις απούλητες εφημερίδες. Αν η καθημερινή ζήτηση είναι μια Διωνυμική τυχαία μεταβλητή Χ με n=0 και ρ=0.6, ποιο είναι το αναμενόμενο κέρδος και η διακύμανσή του? Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( )
Ένα βιβλιοπωλείο αγοράζει 0 αντίτυπα ενός βιβλίου προς 0 ευρώ το ένα και τα πουλάει προς 30 ευρώ. Αν υποθέσουμε ότι μετά από ένα έτος υπάρχει η δυνατότητα επιστροφής των απούλητων βιβλίων προς 5 ευρώ το ένα και ότι η κατανομή του αριθμού των αντίτυπων Χ που πουλιούνται δίνεται από τον τύπο: () = (+)/0, ={,, 3,, 0}, να υπολογιστεί η μέση τιμή του κέρδους του βιβλιοπωλείου σε ένα έτος από τις πωλήσεις του συγκεκριμένου βιβλίου. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( )
B. Περίπτωση συνεχής τ.μ. Χ Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 3 )
B. Περίπτωση συνεχής τ.μ. Χ Αναγκαίες συνθήκες: Η () είναι - (γνησίως μονότονη) και παραγωγίσιμη Υπάρχει η αντίστροφος - () Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 4 )
B. Περίπτωση συνεχής τ.μ. Χ Αναγκαίες συνθήκες: Η () είναι - (γνησίως μονότονη) και παραγωγίσιμη Υπάρχει η αντίστροφος - () Τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.μ. Υ είναι: d d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 5 )
Απόδειξη η περίπτωση: Η () είναι γνησίως αύξουσα Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 6 )
Απόδειξη η περίπτωση: Η () είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή (i) θετική παράγωγο και (ii) ( ) ( ) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 7 )
Απόδειξη η περίπτωση: Η () είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή (i) θετική παράγωγο και (ii) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P P F ) ( ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 8 ) ) ( ) (
Απόδειξη η περίπτωση: Η () είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή (i) θετική παράγωγο και (ii) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P P F ) ( ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 9 ) ) ( ) (
Απόδειξη η περίπτωση: Η () είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή (i) θετική παράγωγο και (ii) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P P F ) ( ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 0 ) ) ( ) (
Απόδειξη η περίπτωση: Η () είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή (i) θετική παράγωγο και (ii) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P P F ) ( ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) ) ( ) ( F F
Απόδειξη η περίπτωση: Η () είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή (i) θετική παράγωγο και (ii) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P P F ) ( ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) ) ( ) ( F F Πως θα πάρουμε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ()?
Απόδειξη η περίπτωση: Η () είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή (i) θετική παράγωγο και (ii) ( ) ( ) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P ( ) P ( ) F Παραγωγίζοντας την F () παίρνουμε την σ.π.π. (): df d df d df d d d d () ( ) d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 3 )
Απόδειξη η περίπτωση: Η () είναι γνησίως αύξουσα Δηλαδή (i) θετική παράγωγο και (ii) ( ) ( ) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P ( ) P ( ) F Παραγωγίζοντας την F () παίρνουμε την σ.π.π. (): df d df d df d d d d () ( ) d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 4 )
η περίπτωση: Η () είναι γνησίως φθίνουσα Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 5 )
η περίπτωση: Η () είναι γνησίως φθίνουσα Δηλαδή (i) αρνητική παράγωγο (ii) ( ) ( ) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 6 )
η περίπτωση: Η () είναι γνησίως φθίνουσα Δηλαδή (i) αρνητική παράγωγο (ii) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P P P F ) ( ) ( ) ( Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 7 ) ) ( ) (
η περίπτωση: Η () είναι γνησίως φθίνουσα Δηλαδή (i) αρνητική παράγωγο (ii) ( ) ( ) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P ( ) P ( ) P F ( ) Παραγωγίζοντας την F () παίρνουμε την σ.π.π. (): df d df d df d d d () d ( ) d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 8 )
η περίπτωση: Η () είναι γνησίως φθίνουσα Δηλαδή (i) αρνητική παράγωγο (ii) ( ) ( ) Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση κατανομής F (): F P P ( ) P ( ) P F ( ) Παραγωγίζοντας την F () παίρνουμε την σ.π.π. (): df d df d df d d d () d ( ) d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 9 )
Συνδυάζοντας τις (), () παίρνουμε τον γενικό τύπο: d d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 30 )
Συνδυάζοντας τις (), () παίρνουμε τον γενικό τύπο: d d Σε περίπτωση όπου η - () έχει περισσότερες από λύσεις (έστω m), τότε: m i d i i d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 3 )
Ειδικές περιπτώσεις κατανομής συνάρτησης μιας μεταβλητής Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 3 )
Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων (A). Περίπτωση γραμμικής συνάρτησης =+b Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 33 )
Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων (A). Περίπτωση γραμμικής συνάρτησης =+b o βήμα: Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 34 )
Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων (A). Περίπτωση γραμμικής συνάρτησης =+b o βήμα: Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση b b Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 35 )
Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων (A). Περίπτωση γραμμικής συνάρτησης =+b o βήμα: o βήμα: Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση b b Παίρνουμε την παράγωγό της Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 36 )
Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων (A). Περίπτωση γραμμικής συνάρτησης =+b o βήμα: o βήμα: Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση b b Παίρνουμε την παράγωγό της d d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 37 )
Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων (A). Περίπτωση γραμμικής συνάρτησης =+b o βήμα: o βήμα: 3o βήμα: Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση b Παίρνουμε την παράγωγό της d d b Εφαρμόζουμε τον γνωστό τύπο d d b Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 38 )
Ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων (A). Περίπτωση γραμμικής συνάρτησης =+b o βήμα: o βήμα: 3o βήμα: Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση b Παίρνουμε την παράγωγό της d d b Εφαρμόζουμε τον γνωστό τύπο d d b Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 39 )
Εφαρμογή στη περίπτωση της Κανονικής κατανομής Έστω τ.μ. ~ Ν(μ,σ ) Βρίσκουμε την κατανομή της =α+b e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 40 )
Εφαρμογή στη περίπτωση της Κανονικής κατανομής Έστω τ.μ. ~ Ν(μ,σ ) Βρίσκουμε την κατανομή της =α+b b Εφαρμόζοντας τον τύπο παίρνουμε: e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 4 )
Εφαρμογή στη περίπτωση της Κανονικής κατανομής Έστω τ.μ. ~ Ν(μ,σ ) Βρίσκουμε την κατανομή της =α+b Εφαρμόζοντας τον τύπο παίρνουμε: b e b b b e e e e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 4 )
Εφαρμογή στη περίπτωση της Κανονικής κατανομής Έστω τ.μ. ~ Ν(μ,σ ) Βρίσκουμε την κατανομή της =α+b Εφαρμόζοντας τον τύπο παίρνουμε: b e b b b e e e e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 43 )
Εφαρμογή στη περίπτωση της Κανονικής κατανομής Έστω τ.μ. ~ Ν(μ,σ ) Βρίσκουμε την κατανομή της =α+b Εφαρμόζοντας τον τύπο παίρνουμε: b e b b b e e e e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 44 )
Εφαρμογή στη περίπτωση της Κανονικής κατανομής Έστω τ.μ. ~ Ν(μ,σ ) Βρίσκουμε την κατανομή της =α+b Εφαρμόζοντας τον τύπο παίρνουμε: b e b b b e e e e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 45 )
Συμπέρασμα: Γραμμικότητα της Κανονικής Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 46 ), ~, ~ αν b N b N «Οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός μιας Κανονικής είναι και αυτός Κανονική μεταβλητή»
Έτσι η αν Τότε: (τυπική κανονική) καθώς: Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 47 ), ~ N 0, ~ N 0 b () (b)
(B). Περίπτωση της συνάρτησης = Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 48 )
(B). Περίπτωση της συνάρτησης = o βήμα: Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση ( λύσεις) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 49 )
(B). Περίπτωση της συνάρτησης = o βήμα: Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση ( λύσεις) o βήμα: Παίρνουμε την παράγωγο d d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 50 )
(B). Περίπτωση της συνάρτησης = o βήμα: o βήμα: 3o βήμα: Βρίσκουμε την αντίστροφη συνάρτηση ( λύσεις) Παίρνουμε την παράγωγο d d Εφαρμόζουμε τον γνωστό τύπο ( λύσεις) i d i i d Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 5 )
Ειδική περίπτωση όπου Χ ακολουθεί την τυπική κανονική, δηλ. ~N(0,) και άρα e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 5 )
Ειδική περίπτωση όπου Χ ακολουθεί την τυπική κανονική, δηλ. ~N(0,) και άρα Αντικαθιστώντας στον τύπο: e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 53 )
Ειδική περίπτωση όπου Χ ακολουθεί την τυπική κανονική, δηλ. ~N(0,) και άρα Αντικαθιστώντας στον τύπο: και επειδή e e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 54 )
Ειδική περίπτωση όπου Χ ακολουθεί την τυπική κανονική, δηλ. ~N(0,) και άρα Αντικαθιστώντας στον τύπο: και επειδή παίρνουμε: e e / e e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 55 )
παίρνουμε: που είναι η σ.π.π. της Χ (ν=) (χι τετράγωνο) κατανομής με ν= βαθμό ελευθερίας Υπενθύμιση: η Χ (ν) έχει σ.π.π. / / / / e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 56 ) / / / / / e e
Πόρισμα: Η = της τυπικής κανονικής είναι χι-τετράγωνο με β.ε. δηλ. αν ~ N(0,) => = ~ Χ (v=) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 57 )
Πόρισμα: Η = της τυπικής κανονικής είναι χι-τετράγωνο με β.ε. δηλ. αν ~ N(0,) => = ~ Χ (v=) Γενίκευση: Το άθροισμα n τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν την τυπική κανονική, ακολουθεί την Χ (n), δηλ. χι-τετράγωνο με n βαθμούς ελευθερίας. i ~ N n 0, ~ ( n) i i Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 58 )
Ανισότητα του Jensen άνω φράγμα Συσχετίζει την E(()) με την (E()). Είδαμε ότι αν η () = +b, (γραμμική) τότε E(()) = (E()), καθώς E( + b) = E() + b Στη γενική περίπτωση ισχύει: Ανισότητα του Jensen: Αν η συνάρτηση είναι κυρτή (conve) τότε E E *** Μία διπλά διαφορίσημη συνάρτηση σε μία περιοχή Ι είναι κυρτή εάν () 0 I. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 59 )
Ανισότητα του Jensen (συν) Παράδειγμα Η ()= είναι κυρτή συνάρτηση καθώς ()=, έτσι Ανισότητα του Jensen: E E E E Το οποίο άλλωστε ισχύει από την γνωστή σχέση της διακύμανσης V E E γνωρίζοντας παράλληλα ότι V[] 0 Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 60 )
Παραδείγματα Έστω τ.μ. ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [0, ]. Να βρεθεί η κατανομή της = - ln και στη συνέχεια η μέση τιμή και η διακύμανσή της. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 6 )
Έστω τ.μ. με σ.π.π., >0. Να βρεθεί η κατανομή του Υ=Χ. e Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 6 )
Έστω τ.μ. Χ με σ.π.π. ()=, 0<<. Να βρεθεί η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής =e - και στη συνέχεια η μέση τιμή και η διακύμανσή της. Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 63 )
Έστω τ.μ. με σ.π.π. 3 0 4 0 ύ (α) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής F της τ.μ. Χ. (β) Να βρεθεί η συνάρτηση πυκνότητας της τ.μ. (με τρόπους) Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 64 )
Η ταχύτητα των μορίων ομογενούς αερίου το οποίο βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας περιγράφεται από τυχαία μεταβλητή V με συνάρτηση πυκνότητας: ) Να βρεθεί η σταθερά. V 4 v v v e, v 0 b) Να βρεθεί η κατανομή της κινητικής ενέργειας των μορίων που δίνεται από τον τύπο (m η μάζα των μορίων): E mv Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 65 )