ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-. ΜΠΑΛΟ ΗΜΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΜΠ.ΣΤΑΘΑΣ ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘΗΓ. ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ 6
. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Ευρώπη εώ και αρκετά χρόια έχει ααπτυχθεί ο τοµέας ελέγχου της ποιότητας τω παραγοµέω προϊότω και τω υκευώ µέω τω οποίω παράγοται τα προϊότα αυτά. Οι ατίτοιχες υκευές παραγωγής προϊότω για τη εργαία του Τοπογράφου Μηχαικού είαι προφαώς τα πάης φύεως γεωαιτικά και φωτογραµµετρικά όργαα µαζί µε το ααγκαίο βοηθητικό εξοπλιµό τους. Τα τελευταία χρόια, µε τη ψήφιη ειικού όµου, ειήχθη και τη Ελλάα ο υποχρεωτικός έλεγχος ποιότητας τω προϊότω. Το γεγοός αυτό βέβαια έχει ως αποτέλεµα αάµεα τα υπό έλεγχο προϊότα α υµπεριληφθού και οι µετρήεις µεγεθώ όπως : γωίες, µήκη, υψοµετρικές ιαφορές και εικοουτεταγµέες. Αυτό ηµαίει ότι τα όργαα µε τα οποία γίοται οι µετρήεις θα πρέπει α είαι ελεγµέα ως προς το τρόπο λειτουργίας τους και τη ποιότητα τω αποτελεµάτω τω µετρήεω που γίοται µε αυτά. ηλαή ελέγχεται η ακρίβεια και η αξιοπιτία τω µετρήεω που γίοται µε τα όργαα αυτά. Οι έλεγχοι αυτοί ακολουθού οριµέες ιεθείς προιαγραφές για το τρόπο µε το οποίο πρέπει α γίοται χωρίς α αποκλείεται και η περίπτωη α εφαρµόζοται και άλλου είους έλεγχοι αρκεί α έχου εγκριθεί από τους αρµόιους φορείς όπως π.χ. ο ΕΛ.Ο.Τ. Η Μετρολογία λοιπό είαι η επιτήµη της ακρίβειας τω µετρήεω και έχει ως ατικείµεο το θεωρητικό υπόβαθρο και τη εφαρµογή υγκεκριµέω ιαικαιώ ελέγχου αάλογα µε το ελεγχόµεο όργαο.
3 Στις παρούες ηµειώεις θα γίει ααφορά το θεωρητικό υπόβαθρο το οποίο τηρίζοται οι έλεγχοι τω οργάω που τη ουία είαι η εφαρµογή καόω και µεθόω της τατιτικής αάλυης. Πολλές έοιες είαι γωτές από τα ατίτοιχα µαθήµατα της Στατιτικής και της Θεωρίας Σφαλµάτω- Μεθόου Ελαχίτω Τετραγώω. Έτι τις επόµεες ελίες θα γίει µια ααφορά ε βαικές έοιες (ορολογία) που χρηιµοποιείται τη Μετρολογία καθώς επίης και ε κεφάλαια της τατιτικής χετικά µε τις βαικές υαρτήεις τω καταοµώ και τους τατιτικούς ελέγχους υποθέεω που κυρίως χρηιµοποιούται για α ελέγχοται τα τοπογραφικά όργαα τόο για τα υτηµατικά τους φάλµατα όο και για τη αξιοπιτία τους.
4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Οι έοιες που θα οριθού παρακάτω ααφέροται και το όµο που αφορά ε θέµατα µετρολογίας τη Ελλάα. Βαθµοόµηη: είαι η ααγραφή, τη κεή κλίµακα του οργάου, τω εείξεω µε βάη έα γωτό και καθοριµέης ακρίβειας µέγεθος της φυικής ιιότητας τη οποία µετρά το όργαο. Για παράειγµα το θεοόλιχο που µετρά γωίες (φυική ιιότητα) ααγράφοται οι βαθµοί και η απόοη του (κλίµακα µέτρηης αά cc ή 5 cc κ.λπ.). ιακρίβωη: είαι η ύγκριη µεταξύ υο οργάω ή υκευώ µέτρηης, από τα οποία το έα είαι το εθικό πρότυπο ή πρότυπο γωτής ακρίβειας η οποία έχει µεταφερθεί ε αυτό από τα εθικά πρότυπα. Με τη ύγκριη αυτή βαθµοοµείται το υπό έλεγχο όργαο και ιαπιτώεται, επαληθεύεται ή επααφέρεται µε ρύθµιη η ακρίβεια του. ιαπίτευη: είαι η ιαικαία κατά τη οποία έας εξουιοοτηµέος φορέας χορηγεί επίηµη ααγώριη για τη ικαότητα άλλου φορέα ή ατόµου α εκτελεί υγκεκριµέα καθήκοτα. Πιτοποίηη: είαι η πράξη του Εθικού Ιρύµατος Μετρολογίας (Ε.Ι.Μ.) ή οποιουήποτε άλλου ιαπιτευµέου φορέα µε τη οποία πιτοποιείται η τεκµηρίωη της ακρίβειας ύµφωα µε προκαθοριµέες απαιτήεις. Συµµόρφωη: είαι η ικαοποίηη προιαγεγραµµέω απαιτήεω από προϊό ιαικαίας ή υπηρεία. Πρότυπο: είαι η υλοποιηµέη µοάα µέτρηης, τα υλικά ααφοράς ή υτήµατα µέτρηης, προοριµέα α ορίου, α πραγµατοποιήου, α υτηρήου ή α ααπαραγάγου µια µοάα ή µια ή και περιότερες αξίες εός µεγέθους για α χρηιµεύου ως βάη ααφοράς.
5 Εθικό πρότυπο: είαι το εθικά ααγωριµέο πρότυπο προκειµέου α χρηιµοποιείται ε µια χώρα ως βάη για το καθοριµό τιµώ ε άλλα πρότυπα του µεγέθους που αφορά. Πρωτεύο πρότυπο: είαι το πρότυπο το οποίο έχει καθοριθεί ή ααγωρίζεται ευρέως ότι έχει τις υψηλότερες µετρολογικές ιιότητες και η τιµή του είαι αποεκτή χωρίς α γίεται ααφορά ε άλλα πρότυπα του ίιου µεγέθους. ευτερεύο πρότυπο: είαι το πρότυπο του οποίου η τιµή καθορίζεται µέω ύγκριης µε έα πρωτεύο πρότυπο για το ίιο µέγεθος. Πρότυπα εργαίας: είαι οι πιτοποιηµέες µοάες, υκευές ή ιατάξεις που χρηιµοποιούται για τη ιακρίβωη υκευώ οκιµώ, µετρήεω ή ιαγώεω καθηµεριής χρήης. Για παράειγµα τέτοιου είους όργαα που θα µπορούα α χρηιµοποιηθού κλιµακωτά ως πρότυπα για το έλεγχο τω οργάω µέτρηης µηκώ είαι: Συµβολόµετρο χετικής ακρίβειας -8 (π.χ. εθικό πρότυπο). EDM (όπως π.χ. το Μεκόµετρο) χετικής ακρίβειας από -6 έως -7 (π.χ. πρωτεύο πρότυπο). Ταιίες invar χετικής ακρίβειας -6 ( π.χ. ευτερεύο πρότυπο). EDM χετικής ακρίβειας.5-5 (π.χ. πρότυπο εργαίας). Για τα θεοόλιχα ατίτοιχα θα µπορούε α χρηιµοποιηθεί κατάλληλα ιαµορφωµέο ύτηµα ελέγχου (όπως αυτό που χρηιµοποιείται από τη εταιρεία παραγωγής γεωαιτικώ οργάω Leica) το οποίο βαίζεται ε θεοόλιχο υψηλής ακρίβειας.
6 3. ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Για τη τατιτική επεξεργαία τω αποτελεµάτω βάει της οποίας ελέγχοται τα γεωαιτικά όργαα χρηιµοποιούται οι παρακάτω υαρτήεις πυκότητας πιθαότητας (καταοµές): Καοική καταοµή ή καταοµή του Gauss. Υπεθυµίζεται ότι για µοοιάτατα µεγέθη η υάρτηη πυκότητας της καοικής καταοµής ίεται από τη χέη: f ( ) = ( µ ) e π µ Η µεταβλητή z = z ~ Ν(,) ηλαή ακολουθεί τη τυποποιηµέη καοική καταοµή µε υάρτηη πιθαότητας: f ( z) = e π z Καταοµή του Student ή καταοµή t. Καταοµή Χ. Καταοµή F. Οι τρεις τελευταίες είαι υαρτήεις της καταοµής Γάµµα και ε έχει ιιαίτερη ηµαία α οθού οι χέεις που ιχύου γι αυτές αφού τις τιµές τους τις ατλούµε από κατάλληλους πίακες. 4. ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ. Είαι γωτό ότι τις µετρήεις εµφαίζοται τα παρακάτω φάλµατα: Χοροειή Συτηµατικά Τυχαία
7 Οι έλεγχοι τω γεωαιτικώ οργάω ετιάζοται τη ακρίβεια και τη αξιοπιτία τους (έλεγχος εξωτερικής και εωτερικής ακρίβειας ατιτοίχως). Αυτό ηµαίει, όπως είαι γωτό, ότι έχει ηµαία ο προιοριµός τω υτηµατικώ φαλµάτω και η υµπεριφορά τω οργάω τις επααληπτικές µετρήεις (ηλαή η καταοµή τω τυχαίω φαλµάτω) ατιτοίχως. Ο προιοριµός τω υτηµατικώ φαλµάτω γίεται υγκρίοτας τη µέη τιµή µιας ειράς µετρήεω µε τη τιµή του ίιου µεγέθους η οποία έχει προκύψει από µετρήεις µε έα όργαο που θεωρείται ως πρότυπο (ακριβής τιµή µεγέθους). Πρέπει α υπεθυµιθεί ότι το φάλµα είαι: Σφάλµα= µέτρηη ακριβής τιµή. Εώ η ιόρθωη είαι: ιόρθωη= ακριβής τιµή µέτρηη. Οι έλεγχοι τω υτηµατικώ φαλµάτω και της αξιοπιτίας βαίζοται ε τατιτικούς ελέγχους υποθέεω. Για α εφαρµοθού αυτοί οι έλεγχοι, όπως είαι γωτό από τη τατιτική, είαι ααγκαίος ο υπολογιµός της µέης τιµής X και του τυπικού φάλµατος της µιας µέτρηης (εποµέως και της µεταβλητότητας ) µιας ειράς µετρήεω. Σηµαία επίης έχει για τη εφαρµογή τους α το τυπικό φάλµα αφορά έα είγµα µετρήεω ή το πληθυµό. Η µεταβλητότητα θεωρείται ότι αφορά το πληθυµό ότα προέρχεται από µεγάλο αριθµό µετρήεω ή ότα είαι εοµέη (π.χ. η εοµέη από το κατακευατή ακρίβεια του EDM είαι ±5mm). Αάλογα µε το είος του ελέγχου α πρόκειται ηλαή για προιοριµό υτηµατικώ φαλµάτω ή για το έλεγχο της αξιοπιτίας του οργάου και
8 αάλογα µε τα εοµέα χρηιµοποιείται η κατάλληλη καταοµή για τη ιχύ εός ελέγχου υπόθεης. Έτι για τα υτηµατικά φάλµατα µε εοµέη ή όχι τη µεταβλητότητα τω µετρήεω χρηιµοποιούται η καοική ή η καταοµή του Student ατιτοίχως. Για το έλεγχο της αξιοπιτίας του οργάου ή για τη ύγκριη της αξιοπιτίας υο οργάω χρηιµοποιούται η Χ και η F. Σηµαία επίης έχει πρι από το έλεγχο µιας υπόθεης α οριθεί το ιάτηµα εµπιτούης που υέεται µε τη πιθαότητα του α περιέχεται µια τιµή µέα αυτό και µε τη καταοµή που θα χρηιµοποιηθεί για το έλεγχο. 5. ΙΑΣΤΗΜΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ- ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ Στους ελέγχους τω οργάω, εκείο που έχει ηµαία είαι α ιερευηθεί τατιτικά α η τιµή εός µεγέθους, που έχει προκύψει µετά από µετρήεις µε υγκεκριµέο όργαο, βρίκεται ε έα οριµέο ιάτηµα τιµώ (ηλ. ιχύει η αιότητα b b [ b, ] b ) µε µια προκαθοριµέη πιθαότητα P. Η προκαθοριµέη πιθαότητα λαµβάεται υήθως 95% ή 99%. ηλαή : π.χ. ( ) P b b = α =. 95 Το παραπάω ιάτηµα τιµώ οοµάζεται ιάτηµα εµπιτούης εώ η όλη ιαικαία ελέγχου οοµάζεται εκτίµηη ιατήµατος. Η πιθαότητα P = α οοµάζεται επίπεο ή τάθµη εµπιτούης εώ η τιµή του α οοµάζεται επίπεο ηµατικότητας. Για α γίει η εκτίµηη ιατήµατος είαι ααγκαίο: ) α υπολογιθεί η καλύτερη τιµή για το µέγεθος από το ύολο τω µετρήεω που είαι ιαθέιµες και ) α είαι γωτή η καταοµή που ακολουθού οι τιµές του µεγέθους. Για το ιάτηµα εµπιτούης η προκαθοριµέη πιθαότητα, όπως ελέχθη, λαµβάεται υήθως 95% ή 99%. Μικρότερες ή µεγαλύτερες τιµές µπορεί α προκαλέου λάθη τύπου Ι ή ΙΙ ατιτοίχως. ηλαή κατά το έλεγχο α απορριφθού (τύπος Ι) ή α γίου εκτές (τύπος ΙΙ) τιµές εώ ε πρέπει.
9 Πολλές φορές τίθεται το ερώτηµα α το αποτέλεµα από µια τατιτική επεξεργαία µπορεί α γίει αποεκτό ή όχι ή α υγκριθεί αυτό το αποτέλεµα µε άλλη τιµή για το µέγεθος που ατιπροωπεύει. Σε αυτή τη περίπτωη, ύµφωα µε τη τατιτική, πρέπει α γίει έλεγχος της υπόθεης που κάουµε αάλογα µε το πώς τίθεται το ερώτηµα. Κατά τη ιαικαία αυτού του ελέγχου υπάρχει πάτοτε η µηεική υπόθεη Η και η εαλλακτική υπόθεη Η α. Ο έλεγχος της υπόθεης είαι άµεα υεεµέος µε το καθοριµό του ιατήµατος εµπιτούης και εποµέως και µε τη καταοµή που ακολουθεί η µεταβλητή που εξετάζεται. Υπεθυµίζεται ότι το πρόβληµα υµβολικά ιατυπώεται ως εξής: Έτω ότι θέλουµε α ελέγξουµε π.χ. α η τιµή µ είαι ίη µε τη τιµή µ. Η µηεική υπόθεη είαι: Η : µ = µ Η εαλλακτική υπόθεη µπορεί α είαι : Η α : µ µ ή µ µ ή µ µ. Στη περίπτωη που για τη εαλλακτική υπόθεη ιχύει το τότε ο έλεγχος είαι αµφίπλευρος για τις άλλες ύο περιπτώεις ο έλεγχος είαι µοόπλευρος. Στα επόµεα θα ούµε πιο ααλυτικά, βαιζόµεοι τα παραπάω, µε ποιους τρόπους ελέγχοται τα υτηµατικά φάλµατα τω οργάω και πως ελέγχεται η αξιοπιτία τους. 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. Όπως ααφέρθηκε προηγουµέως ο έλεγχος τω υτηµατικώ φαλµάτω που γίεται τα όργαα χετίζεται µε τη ορθότητα τω µετρήεω. Ο έλεγχος αυτός µπορεί α αφορά: ) Στη ύγκριη της µέης τιµής, η οποία έχει προκύψει από µια ειρά µετρήεω µε το ελεγχόµεο όργαο, µε τη ακριβή τιµή του µεγέθους η οποία είαι εοµέη. ) Στη ύγκριη µεταξύ ύο µέω τιµώ µετρήεω οι οποίες έχου γίει µε ύο ιαφορετικά όργαα(χετικό υτηµατικό φάλµα).
Και τις ύο περιπτώεις ακολουθείται η ίια ιαικαία µε µια ιαφορά, ότι ηλαή κατά το έλεγχο της υπόθεης µπορεί α χρηιµοποιηθεί η καοική καταοµή ή η καταοµή του Student (t καταοµή) αάλογα µε τα εοµέα. η Περίπτωη: Σύγκριη µέης τιµής µε ακριβή τιµή (εοµέη τιµή τυπικού φάλµατος της µέης τιµής). Το πρόβληµα ε αυτή τη περίπτωη µπορεί α τεθεί µε ύο µορφές. Α) ίεται η ακριβής τιµή µ εός µεγέθους, η µέη τιµή από µια ειρά µετρήεω και το τυπικό φάλµα της µέης τιµής. Το τυπικό φάλµα της µέης τιµής θεωρείται ότι προκύπτει από το πληθυµό (ηλαή το είαι πολύ µεγάλο >) ή ότι είαι εοµέη ηλαή το Μηεική υπόθεη: Η : µ = που ηµαίει µ = = Εαλλακτική υπόθεη: Η α : µ που ηµαίει µ = Σε αυτή τη περίπτωη ο έλεγχος γίεται ως εξής: ) ηµιουργείται η ιαφορά = µ είαι του πληθυµού. ) Υπολογίζεται το τυπικό φάλµα της ιαφοράς = + = µ ιότι η ακριβής τιµή µ θεωρείται ότι ε έχει φάλµα. 3) Λόγω τω παραπάω προϋποθέεω θα χρηιµοποιηθεί η καοική καταοµή για αµφίπλευρο έλεγχο, οπότε επιλέγεται βάει του επιπέου εµπιτούης από τους πίακες η τιµή z α /. 4) Ελέγχεται η ικαοποίηη ή µη της αιότητας: z α / 5) Α ιχύει τότε ικαοποιείται η µηεική υπόθεη, πράγµα που ηµαίει ότι ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα, άλλως η εαλλακτική οπότε πιτοποιείται η ύπαρξη υτηµατικού φάλµατος. ο Παράειγµα: µ = 45.67 m, = 45.66 m, =± 4mm για επίπεο εµπιτούης 95% α ελεγχθεί η ύπαρξη υτηµατικού φάλµατος ότα =5. Καοική καταοµή άρα z α / =.96 (αµφίπλευρος έλεγχος), = mm, / =.5. Άρα.5>.96 εποµέως υπάρχει υτηµατικό φάλµα.
ο Παράειγµα: 545.67 m, 545.66 m, ( 5mm 5ppm) µ = = οργ =± + για επίπεο εµπιτούης 95% α ελεγχθεί α υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο. Πάλι καοική καταοµή (εοµέο το τυπικό φάλµα από το κατακευατή) άρα z α / =.96, = mm, = ± 5.7mm, / =.76 <.96 άρα ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο. η Περίπτωη: Σύγκριη µέης τιµής µε ακριβή τιµή (µη εοµέη η τιµή του τυπικού φάλµατος). Σε αυτή τη περίπτωη ίοται όπως και τη προηγούµεη τα ίια τοιχεία µε τη ιαφορά ότι το τυπικό φάλµα της µέης τιµής προέρχεται από µικρό αριθµό παρατηρήεω. Εποµέως αφορά ε είγµα και όχι το πληθυµό και άρα αποτελεί εκτίµηη του τυπικού φάλµατος της µέης τιµής. Οι υποθέεις είαι ίιες όπως και τη η περίπτωη Και εώ επίης ηµιουργείται ο λόγος t = / αλλά αυτός θα πρέπει α ελεγχθεί µε τη καταοµή Student. Για το επιλεγµέο επίπεο εµπιτούης (για αµφίπλευρο έλεγχο) και µε τοιχείο ειόου, τους κατάλληλους πίακες, τους βαθµούς ελευθερίας, που είαι, βρίκεται το ηµείο t α /,. Προφαώς ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα ότα t t α /,. Παράειγµα: µ = 45.67 m, = 45.66 m, =± 6 mm, = 5, για επίπεο εµπιτούης 95% α ελεγχθεί α υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο. Υπολογίζεται ο λόγος mm t = = = =.667. 6mm Και αυτή τη περίπτωη το µ = άρα =. Από τους πίακες της καταοµής Student επειή πρόκειται για αµφίπλευρο έλεγχο και για 4 βαθµούς ελευθερίας βρίκεται το εκατοτιαίο ηµείο t.5,4 =.64. Είαι φαερό ότι ιχύει t =.667 <.64 και εποµέως ε υπάρχει υτηµατικό φάλµα το όργαο.
3 Περίπτωη: Έλεγχος για χετικό υτηµατικό φάλµα. Η περίπτωη αυτή εµφαίζεται ότα υγκρίοται υο όργαα µεταξύ τους. Τα εοµέα είαι: για το πρώτο όργαο,, για επίπεο εµπιτούης α.,, και για το εύτερο Η µηεική υπόθεη είαι: Η = = και η εαλλακτική υπόθεη είαι: Η α = Αµφίπλευρος έλεγχος και εώ. Το πρόβληµα ατιµετωπίζεται αάλογα µε τις υθήκες ως εξής: Α) Ότα θεωρούται γωτές (ή εοµέες) οι µεταβλητότητες, άρα και τα τυπικά φάλµατα, τότε για το έλεγχο του λόγου / προφαώς χρηιµοποιείται η καοική καταοµή, όπως και τη η περίπτωη, υπολογίζοτας το από τη χέη: = + Β) Ότα θεωρούται άγωτες οι µεταβλητότητες (είαι εκτιµήεις) επειή προέρχοται από έα είγµα και όχι το πληθυµό τότε για το έλεγχο του λόγου / χρηιµοποιείται η καταοµή του Student. ηλαή υπολογίζοται: t = = + και για εοµέο επίπεο εµπιτούης βρίκεται το t α /, από τους πίακες της καταοµής Student. Όπου οι βαθµοί ελευθερίας είαι : = + Στη βιβλιογραφία υατώται ύο υποπεριπτώεις: ) ότα τα όργαα είαι ιαφορετικά (π.χ. από άλλο κατακευατή ή ιαφορετικής ακρίβειας ) άρα έχου άγωτες µε αλλά ιαφορετικές µεταβλητότητες. Σε αυτή τη περίπτωη προεγγιτική χέη: ( + ) 4 4 + οι βαθµοί ελευθερίας υπολογίζοται από τη
3 ) ότα τα όργαα θεωρητικά έχου τη ίια ακρίβεια (π.χ. είαι ο ίιος τύπος οργάω από το ίιο κατακευατή) οπότε) άρα έχου τις ίιες µε αλλά άγωτες µεταβλητότητες. Σε αυτή τη περίπτωη υπολογίζεται ιαφορετικά η τιµή του χέη: από τη = + όπου το υπολογίζεται από τη χέη: = ( ) + ( ) + όπου = και = ηλαή είαι οι µεταβλητότητες όπως αυτές προκύπτου από τα τυπικά φάλµατα της µιας µέτρηης. Παράειγµα: ίοται = 5.663 m, =± 8 mm, = 5 και = 5.69 m, =± mm, = Ζητείται α ιερευηθεί α υπάρχει υτηµατικό χετικό φάλµα µεταξύ τω ύο οργάω υποπεριπτώεις: ) ιαφορετικής ακρίβειας: Υπολογίζουµε: = 7mm, ( 8 + ) =.4 4 4 8 + 4 9 για επίπεο εµπιτούης 95% εξετάζοτας και τις ύο = 8 + =±.6mm άρα 7mm t = =.3.6mm Από τη καταοµή Student για 95% επίπεο εµπιτούης, για αµφίπλευρο έλεγχο και = λαµβάεται η κρίιµη τιµή t.5, =.74 Όπως φαίεται t < t.5, άρα ε υπάρχει χετικό υτηµατικό φάλµα µεταξύ τω ύο οργάω.
4 Εά οι βαθµοί ελευθερίας υπολογίζοτα από τη χέη = + = 33 το κρίιµο ηµείο θα ήτα t.5,33 =.36 το οποίο µικρή ιαφορά έχει από το ατίτοιχο για = και το αποτέλεµα είαι το ίιο. ) ίιας ακρίβειας: Υπολογίζοται : = 7mm, = 8 5 = 69.7mm, = = 44.7mm 4 69.7 + 9 44.7 = = 56.7mm 5 + Το πλέο υπολογίζεται από τη χέη: = 56.7 9.4mm + = 5 + = εποµέως 7mm t = =.39 το κρίιµο ηµείο είαι t.5,33 =.36 9.4mm ε υπάρχει χετικό υτηµατικό φάλµα µεταξύ τω ύο οργάω. Εά το υπολογιθεί από τη χέη = 8 + =.6mm τότε το παραµέει το ίιο t.5,33 =.36 7mm t = =.3, το κρίιµο ηµείο.6mm και ιχύει πάλι η µη ύπαρξη χετικού υτηµατικού φάλµατος. Από τα παραπάω φαίεται ότι ε υπάρχει ουιατική ιαφορά τους ελέγχους α αγοηθού οι υο υποπεριπτώεις. Πιθαό ιαφορές α εµφαίζοται ε οριακές κατατάεις για τις τιµές του t ή ότα έχουµε πολύ µικρό αριθµό παρατηρήεω. 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΉΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ Ο έλεγχος ε αυτή τη περίπτωη έχει α κάει µε τη αξιοπιτία τω οργάω ηλαή µε τη ακρίβεια που αυτά παρέχου. Εώ ιακρίουµε ύο περιπτώεις:
5 ) Έλεγχος τω αποτελεµάτω εός οργάου ε χέη µε τη εοµέη ακρίβεια που αυτό θεωρητικά παρέχει (π.χ. ακρίβεια από το κατακευατή). ) Έλεγχος της χετικής ακρίβειας που ύο όργαα παρέχου υγκρίοτας τα αποτελέµατά τους. η Περίπτωη: Έλεγχος ακρίβειας εός οργάου. Τα εοµέα που ιατίθεται για το έλεγχο της αξιοπιτίας εός οργάου ε χέη µε τη εοµέη ακρίβεια που αυτό µπορεί α ώει είαι: Η µέη τιµή από µια ειρά µετρήεω, το τυπικό της φάλµα, ο αριθµός τω µετρήεω και η εοµέη ακρίβεια γι αυτό, που εκφράζεται µε το τυπικό φάλµα. Η µηεική υπόθεη είαι: Η = : Η εαλλακτική υπόθεη είαι: Ηα : Για επίπεο εµπιτούης -α ζητείται ο έλεγχος αυτώ τω υποθέεω. Το πρόβληµα ατιµετωπίζεται ως εξής: Υπολογίζεται το τυπικό φάλµα της µιας µέτρηης: = και ηµιουργείται ο λόγος: i χ = ( ) i Χρηιµοποιείται η χ καταοµή και βέβαια λόγω της εαλλακτικής υπόθεης ο έλεγχος θα είαι αµφίπλευρος. Επιλέγοται τα εκατοτιαία ηµεία ( α /) χ και ( α /) χ. Η µηεική υπόθεη ιχύει ότα : χ ( α /) χ ( α /) χ Παράειγµα: Μετά από 6 µετρήεις µε έα EDM πρόκυψε για έα µήκος τω 5.65m έα τυπικό φάλµα της µέης τιµής =± 7mm. Ο κατακευατής ίει γι αυτό το όργαο ( mm ppm) το όργαο ακολουθεί τη ακρίβεια του κατακευατή. = ± 5 ± 5. Να ελεγχθεί α
6 Υπολογίζεται το : =± 5.6mm Υπολογίζεται το τυπικό φάλµα της µιας µέτρηης: = = 7. i mm ηµιουργείται ο λόγος : ( ) χ = i = 46.6 Βρίκοται τα εκατοτιαία ηµεία: ( ).975 χ = και 5.83 ( ).5 χ = 5.83 Είαι φαερό.ότι η τιµή του χ είαι έξω από τα όρια τω ύο εκατοτιαίω ηµείω άρα ε ακολουθείται η προιαγεγραµµέη ακρίβεια του κατακευατή. η Περίπτωη : Σύγκριη ακριβειώ ύο οργάω (χετική ακρίβεια). Τα εοµέα αυτή τη περίπτωη είαι τα τυπικά φάλµατα της µέης τιµής (ή και της µιας µέτρηης) για κάθε όργαο καθώς και ο αριθµός τω µετρήεω για κάθε έα. ηλαή : ο όργαο:, (ή, ) και για το ο όργαο:, (ή, ). Ζητείται α ελεγχθεί α τα ύο όργαα έχου τη ίια ακρίβεια για εοµέο επίπεο εµπιτούης -α. Η µηεική υπόθεη είαι: Η = % : Η εαλλακτική υπόθεη είαι: Το πρόβληµα λύεται ως εξής: Ηα : ηµιουργείται ό λόγος : f = (το αριθµητή µπαίει η µεγαλύτερη από τις ύο ηλ. ότα > ). Χρηιµοποιείται η καταοµή F και ο έλεγχος θα είαι αµφίπλευρος λόγω της εαλλακτικής υπόθεης. Προιορίζοται τα κρίιµα ηµεία : F α /, / F α., και Η µηεική υπόθεη ιχύει α υµβαίει: F α /, / F α., f Επειή η τιµή του επιπέου ηµατικότητας α είαι µικρή, γι αυτές τις περιπτώεις, ιχύει η χέη: F α / = / <. F α /,,
7 Έτι αρκεί α ελεγχθεί η αιότητα: f F α /., Παράειγµα: Οι µετρήεις του ίιου µήκους µε ύο όργαα έωα τα εξής αποτελέµατα: ο όργαο: ο όργαο: = ± mm, = 5 = ± 6 mm, = Να ελεγχθεί για επίπεο εµπιτούης 95% α αυτά έχου τη ίια ακρίβεια. Υπολογίζοται τα τυπικά φάλµατα της µιας µέτρηης: =± 5 =± 38.7mm και =± 6 =± 9mm ηµιουργείται ο λόγος : 38.7 f = = = 4.49 9 Από τη F καταοµή ετοπίζεται το εκατοτιαίο ηµείο:.5 F 4,9 = 3.83 και φαίεται ότι : f = 4.49 > F.5 4,9 = 3.83. Άρα τα ύο όργαα ε έχου τη ίια ακρίβεια. 5.3 ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΕΩ ΑΙΤΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ Οι έλεγχοι τω θεοόλιχω και τω χωροβατώ ε ότι αφορά τις βαικές υθήκες που πρέπει α πληρούται για τη καλή τους λειτουργία καθώς και ο έλεγχος για τα υτηµατικά φάλµατα που εµφαίζοται τις µετρήεις µε τα EDM ααπτύοται τα βιβλία και τις ηµειώεις : ) «Γεωαιτικά όργαα και µέθοοι µέτρηης γωιώ και µηκώ».-. Μπαλοήµος και.σταθάς, 993, 3 ο Εξαµ. ΣΑΤΜ. ) «Υψοµετρία».-. Μπαλοήµος, Ο.Αραµπατζή, 4, 3 ο Εξαµ.ΣΑΤΜ. Ειικές µέθοοι ελέγχου που εφαρµόζοται κατά το πρότυπο DIN ε όλα τα παραπάω όργαα εξηγούται και ααπτύοται τις ατίτοιχες πειραµατικές και υπολογιτικές ακήεις που γίοται τη ιάρκεια του µαθήµατος.
8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ) «Γεωαιία Ι» Σηµειώεις, Α.Μ. Αγατζά Μπαλοήµου, Χ. Μητακάκη, Χ. Μπιλήρης,.Σταθάς, Μ.Τακίρη,5. ) «Τοπογραφία». Βλάχος, ος τόµος, Θεαλοίκη 987 3) «Θεωρία Σφαλµάτω και Συορθώεις Ι» Α.Μ. Αγατζά - Μπαλοήµου Αθήα,. 4) «Συορθώεις τω παρατηρήεω και Θεωρία Εκτίµηης», Α. ερµάης, ος τόµος, Εκόεις Ζήη Θεαλοίκη 986.