BAZELE MECANICII APLICATE

4 NIULAE MANAFI BAZELE MEANIII APLIATE PARTEA IV-a DINAMIA PUNTULUI MATERIAL ONȚINUT 3. ANALIZA DINAMIĂ A PUNTULUI MATERIAL 4 3. Genealiăți 4 3.. Obieciul analiei dinamice 4 3.. Paameii dinamici geneali 4 3..3 Funcția de foță. Foțe conseaie. 43 3..4 Teoemele geneale ale Dinamicii în caul puncului maeial 46 3. Dinamica puncului maeial libe 47 3.. Ecuațiile geneale de mişcae în difeie siseme de coodonae 47 3.. Inegaea numeică a ecuațiilo de mişcae 49 3..3 Mişcaea puncului maeial geu în id 5 3..4 Mişcaea puncului maeial geu în mediu eisen 5 3..5 Mişcaea puncului maeial acționa de o foță cenală. aul geneal. 56 3..6...Mişcaea puncului maeial sub acțiunea foței de aacție uniesală. 6 3.3 Dinamica puncului maeial supus la legăui 66 3.3. Ecuațiile mişcăii 66 3.3. Mişcaea pe planul înclina 67 3.3.3 Pendulul sfeic 7 3.3.4 Pendulul maemaic 75 3.3.5 Micile oscilații ale pendulului maemaic 76 4. DINAMIA MIŞĂRII OSILATORII A PUNTULUI MATERIAL 8 4. Genealiăți 8 4. Oscilații libee făă amoiae 83 4.3 Oscilații libee cu amoiae 85 4.4 Oscilații foțae făă amoiae 88 4.5 Oscilații foțae cu amoiae 9 5. DINAMIA MIŞĂRII RELATIVE A PUNTULUI MATERIAL 94 5. Genealiăți 94 5. Ecuația geneală a mişcăii elaie 94 5.3 Mişcaea unei culise pe o baă oblică în oație 97 5.4 Mişcaea unei paicule pe supafața ineioaă a unui cilindu înclina 3

4 Paea IV-a DINAMIA PUNTULUI MATERIAL 3. ANALIZA DINAMIĂ A PUNTULUI MATERIAL 3. Genealiăți 3.. Obieciul analiei dinamice Dinamica ae ca obieci geneal sabiliea legii de mişcae a unui cop sau a unui sisem de copui aunci când se cunosc foțele cae le acționeaă. La aces obieci se adaugă şi deeminaea foțelo de legăuă dine copuile afla în mişcae. Legea fundamenală a Dinamicii, conținuă în cel de al II-lea pincipiu al Mecanicii newoniene, sipuleaă că o foță aplicaă unui punc maeial îi impimă acesuia o acceleație pe diecția şi în sensul ei de acțiune; legea ese epimaă de elația clasică: ma F (3.) În caul puncului maeial, poae fi o foță unică sau eulana unui sisem de foțe concuene aplicae acesuia. O foță poae fi consană sau aiabilă în funcție de poiția şi iea puncului şi, în unele aplicații, în mod eplici de imp. u noațiile din inemaică elația de mai sus mai poae fi pusă sub foma geneală: m F(,, ) (3.) Se ecunoaşe o ecuația difeențială de odinul II sub foma ecoială, pin inegaea căeia se deemină legea de mişcae a puncului maeial: ( ) ( ) (3.3) cae înglobeaă legea ieei şi especi legea spațiului. 3.. Paameii dinamici geneali F Un pim gup de paamei, numiți paamei de sae, caaceieaă mişcaea mecanică a copuilo în-o poiție daă; în acesa se includ impulsul, momenul cineic şi enegia cineică. Un paameu de poces, cae caaceieaă ansfeul de enegie îne două poiții ale copuilo, ese lucul mecanic al foțelo cae le acționeaă. În caul puncului maeial paameii menționați au definițiile epuse în coninuae. a) Impulsul măime fiică ecoială cae epimă (m) caniaea de mişcae pe cae o ae un punc maeial la un momen da. Relația de definiție H m (3.4) Fig.3. pune în eidență coliniaiaea impulsului cu iea (fig.3.). Impulsul ese uil în sudiul aiației mişcăii mecanice a puncului maeial.

4 În coodonae caeiene iea ae deolaea: i j (3.5) asfel că penu impuls se poae scie: H H i H j H ( m ) i( m ) j ( m (3.6) ) b) Momenul cineic măime fiică, deasemenea ecoială, epeenând momenul impulsului în apo cu un punc, de eemplu puncul O (fig.3.). Relația de definiție ese: K O H m (3.7) O aaceisicile momenului cineic se ealueaă după egulile cunoscue ale podusului ecoial. Diecția lui ese pependiculaă pe planul (m) ecoilo şi. În coodonae caeiene momenul cineic ae epesia: Fig.3. KO Ki K j K (3.6) Poiecțiile lui se calculeaă cu elațiile: i j K m ( ) K O m K m ( ) (3.7) m m m K m ( ) Poiecțiile epeină momenul cineic al puncului față de aele de coodonae. c) Enegia cineică măime scalaă, caaceiând deasemenea mişcaea mecanică a puncului maeial, definiă pin elația: E m (3.8) În impul mişcăii enegia cineică poae fi ansfomaă din şi în ale fome de enegie (de eemplu enegie poențială, enegie emică, ec.). În funcție de poiecțiile ieei ea se mai poae scie: +d H E m( ) (3.9) d) Lucul mecanic măime scalaă de poces cae măsoaă aiația enegiei ansfeae sub acțiunea foțelo. În-un ineal de imp infinieimal d o foță efecueaă un lucu mecanic elemena defini pin podusul scala: O Fig.3.3 dl Fd F d cos (3.) în cae d ese deplasaea elemenaă efecuaă în aces imp (fig.3.3). În funcție de aloaea unghiului dine foță şi deplasae, se pecieaă:, cos, dl lucu mecanic moo;, cos, dl lucu mecanic nul;, cos, dl lucu mecanic eisen.

43 Dacă mişcaea puncului ese apoaă la un sisem de efeință caeian în cae: F F i F j F (3.) d d i d j d (3.) lucul mecanic elemena ia foma: dl F d F d F d (3.3) La eceea îne două poiții disince A şi B aflae pe aiecoia puncului se calculeaă un lucu mecanic oal pin inegala cubilinie: L AB dl Fd ( F d F d F d) (3.4) AB Penu calculul lucul mecanic efecua de un cuplu de foțe (fig.3.4) se obseă că deplasaea infinieimală: d ds Rd (3.5) şi cos. Lucul mecanic elemena ese: dl F Rd M d (3.6) în cae M ese momenul cuplului ia d unghiul de oație elemena. Lucul mecanic oal podus de un cuplu îne două poiții A şi B se ealueaă pin inegala: L M d (3.7) AB 3..3 Funcția de foță. Foțe conseaie. AB Eisă câmpui de foțe în cae un punc maeial afla în epaus posedă o enegie, fie în sae laenă, fie acumulaă pin ansfomaea unei caniăți de enegie cineică în uma efecuăii unui lucu mecanic. Aceasă enegie înmagainaă, noaă V, poaă numele de enegie poențială şi poae fi cedaă în anumie condiții pin eansfomaea ei în enegie cineică. Vaiația enegiei poențiale la eceea din-o poiție A în-o poiție B în aces câmp de foțe se epimă pin elația: VA VB LAB (3.8) Spațiului în cae ese aci un asfel de câmp de foțe i se poae aaşa o funcție poițională scalaă U U(,, ), unifomă şi deiabilă. Dacă penu foțele câmpului se poae scie elația geneală: U U U F gad U i j Fi F j F (3.9) aunci U ese o funcție de foță ia foțele cae deiă din aceasa se numesc foțe conseaie. Poiecțiile pe ae ale unei asfel de foțe sun: U U U F F F (3.) Se eamineşe din Analia maemaică popieaea că la deiaea pațială a unei funcții implicie în apo cu două aiabile eulaul nu ese influența de odinea deiăii: AB R Fig.3.4

44 U U U (3.) În consecință, îne poiecțiile pe ae ale unei foțe conseaie eisă elațiile: F F F F F F (3.) Lucul mecanic elemena al unei foțe conseaie ese: U U U dl Fd Fd Fd d d d du (3.3) especi ese egal cu difeențiala oală a funcției U. La eceea din-o poiție A în-o poiție B se inegeaă disinc cei doi emeni, eaminind că funcția U ese dependenă de poiție în imp ce lucul mecanic L ese o măime de poces. B dldu LAB U BU A (3.4) AB A ompaând aceasă elație cu (3.8) se consaă că eisă egaliaea: U V (3.5) especi că funcția de foță nu ese alcea decâ enegia poențială cu semn schimba. Foțele conseaie înâlnie în Mecanică sun peenae în coninuae. La sabiliea epesiei funcției de foță penu fiecae ca în pae se o uilia inegalele nedefinie, fap cae a conduce la deeminaea aceseia cu apoimație de o consană. (m) B a) Geuaea puncului maeial. Poiecțiile pe aele unui sisem de efeință caeian cu aa O eicală în sus sun: A F F F Gmg (3.6) O Reulă funcția de foță: U Fd mg (3.7) onsideând consana, enegia poențială a fi: Fig.3.5 V U mg (3.8) Lucul mecanic efecua de geuae la eceea din A în B ese: LAB UBU Amg( B A) mgh (3.9) Se deduce că lucul mecanic al unei geuăți ese dependen eclusi de difeența de niel dine cele două poiții, indifeen de dumul pe cae se face deplasaea. În elația de mai sus semnul + se a lua la coboâe ia la ucae. O Fig.3.6 b) Foța elasică. Acul din fig. 3.6 ae în sae libeă lungimea l ; în aceasă sae el nu eeciă nici-o foță asupa puncului maeial de cae ese lega. Alungi sau compima cu o caniae l, el a aplica acesuia o

45 foță elasică popoțională cu defomația, facoul de popoționaliae fiind consana acului ; diecția foței ese coliniaă cu aa acului ia sensul îndepa căe poiția de echilibu O. Făă a educe din genealiae, se alege un sisem de coodonae cu aa O supapusă aei acului: F F F F (3.3) e Funcția de foță a fi în aces ca: U F d d (3.3) onsideând consana, eulă enegia poențială: V U Fe l (3.3) Îne două poiții A şi B pe diecția acului, lucul mecanic ese: LAB U BU A ( B A) (3.33) c)foța de aacție uniesală. Două mase M şi m (m) siuae la disanța (fig.3.7) se aag ecipoc pin-o foță: Mm F f (3.34) în cae f ese consana aacției uniesale. Alegând un sisem de efeință caeian cu oiginea în cenul masei M, foța (M) aplicaă masei m a fi: Mm Mm F f u f (3.35) Fig.3.7 3 în cae u ese esoul ecoului de poiție al masei m. Poiecțiile acesei foțe pe ae o depinde de coodonaele masei m: fmm fmm fmm F F F 3 3 3 ( ) ( ) ( ) (3.36) În baa elației (3.3) se calculeaă funcția de foță: fmm fmm U du ( Fd Fd Fd) ( ) (3.37) Luând consana de inegae se găseşe penu enegia poențială foma: f Mm V U (3.38) Îne două poiții A şi B lucul mecanic ese: L AB U BU A f Mm (3.39) B A

46 3..4 Teoemele geneale ale Dinamicii în caul puncului maeial a) Teoema impulsului. Se deieaă în apo cu impul impulsul defini de elația (3.4): dh d( m) d m ma F (3.4) d d d Sub foma concenaă: H F (3.4) aceasă elație pemie enunțaea eoemei impulsului deiaa în apo cu impul a impulsului unui punc maeial ese egală cu eulana foțelo aplicae acesuia. u ale cuine, acțiunea foțelo deemină o aiație a caniății de mişcae a puncului maeial. Teoema impulsului ese echialenă legii fundamenale a Dinamicii (3.). La nielul poiecțiilo elația de mai sus ia foma: H ma F H ma F H ma F (3.4) Dacă puncul maeial se află în mişcae da asupa lui nu acționeaă nicio foță (sau eulana foțelo ese nulă), aunci: dh H m (3.43) d unde ese o consană ecoială. Se spune că în aces ca impulsul se conseă, especi că puncul maeial ămâne cu aceeaşi caniae de mişcae. Viea puncului a fi consană şi el îşi a coninua deplasaea ecilinie şi unifomă (pincipiul ineției). onseaea impulsului poae aea loc şi numai după o diecție. Dacă, de eemplu: F H m cons. (3.44) aunci iea pe aceasă diecție ămâne consană. b) Teoema momenului cineic. Demonsația umeaă aceeaşi cale: dko d ( H ) H H F M O ( F ) (3.45) d d deoaece ese colinia cu H, podusul lo ecoial fiind nul; H F confom eoemei impulsului. Din foma concenaă: K O M O (3.46) se enunță eoema momenului cineic deiaa în apo cu impul a momenului cineic al unui punc maeial față de un punc oaecae O, ese egală cu momenul eulanei foțelo aplicae lui, în apo cu acelaşi punc O. Alfel spus, momenul unei foțe aplicaă unui punc maeial a deemina aiația momenului cineic al acesuia. În coodonae caeiene: M M i M j M (3.47) O asfel că elația (3.46) se mai poae scie la nielul poiecțiilo: K M K M K M (3.48)

47 Dacă momenul, siuație în cae sau puncul O se află pe diecția foței (caul, de eemplu, al unei foțe cenale), aunci: dko KO m (3.49) d unde ese o consană ecoială. Momenul cineic al puncului se conseă ia mişcaea efeciă depinde de elația dine şi. Dacă momenul foței în apo cu o aă ese nul, se conseă momenul cineic față de aa especiă. M K m( ) cons. (3.5) M O F c) Teoema enegiei cineice. Enegia cineică se poae pune sub foma: E m m( ) (3.5) Se difeențiaă aceasă elație ținând con de popieățile podusului scala: d de m( d) m d m ad Fd dl ( ) d ( ) (3.5) Relația obținuă, especi: de dl (3.53) se inegeaă îne două poiții finie A şi B, ținând con că enegia cineică ese o măime de sae în imp ce lucul mecanic ese o măime de poces: B de dl EB EA LAB (3.54) A AB Teoema enegiei cineice, sub foma difeențială sau finiă, pecieaă că aiația enegiei cineice a unui punc maeial la eceea din-o poiție în ala ese egală cu lucul mecanic efecua de foțele aplicae puncului pe duaa acesei ecei. Dacă un punc maeial ese acționa numai de foțe conseaie, combinând elațiile (3.3) şi (3.53) se obține: de du d( EU) EU cons. (3.55) Şiind că V U, se defineşe enegia mecanică: E m EU EV cons. (3.56) ca suma dine enegia cineică şi cea poențială a puncului maeial. Relația de mai sus pune în eidență că enegia mecanică a unui punc maeial acționa numai de foțe conseaie ese inaiabilă. În impul mişcăii cele două fome de enegie se ansfomă una în cealală, suma lo ămânând consană. 3. Dinamica puncului maeial libe 3.. Ecuațiile geneale de mişcae în difeie siseme de coodonae Ecuația fundamenală a Dinamicii, pusă sub foma: m F(,, ) (3.57) poae fi poiecaă pe aele difeielo siseme de coodonae cunoscue.

48 Se obțin asfel siseme de ecuații difeențiale scalae pin inegaea căoa se deemină legea de mişcae. Find ecuații difeențiale de odinul II, dubla inegae inoduce câe două consane de inegae penu fiecae ecuație. Valoile aceso consane se deemină de egulă din condițiile inițiale ale mişcăii, especi la,,. a) În coodonae caeiene ecuațiile difeențiale sun: m F m F m F (3.58) Pin-o pimă inegae eulă legea ieei: ( ) ( ) ( ) (3.59) ia pin-o a doua inegae legea spațiului ( ) ( ) ( ) (3.6) ele 6 consane de inegae se calculeaă din condițiile inițiale:,,,, (3.6) Dacă mişcaea ae loc în-un plan, aunci număul ecuațiilo difeențiale se educe la ia cel al consanelo de inegae şi al condițiilo inițiale la 4. b) În coodonae polae ecuațiile difeențiale sun: ma m ( ) F ma m ( ) F (3.6) Se eamineşe că aces sisem de coodonae ese specific mişcăilo plane. Penu mişcăi în spațiu se uilieaă coodonaele cilindice, la ecuațiile de mai sus adăugându-se ulima ecuație (3.58). Pin inegae se obține legea ieei: ( ) ( ) (3.63) şi legea spațiului: ( ) ( ) (3.64) ondițiile inițiale cae se pun penu deeminaea consanelo de inegae sun: ( ) ( ) (3.65) b) În coodonae ininseci (iedul Fene) ecuațiile difeențiale sun: s ma ms F ma m F ma F (3.66) Legea ieei şi legea spațiului au foma: s ( ) s s( ) (3.67) ondițiile inițiale ale mişcăii sun: s s () s (3.68)

49 3.. Inegaea numeică a ecuațiilo de mişcae În mediile de pogamae pe calculao cu desinație maemaică eisă uine specialiae penu inegaea sisemelo de ecuații difeențiale. Maea majoiae a acesoa au la baă meoda Runge-Kua de odinul IV. Făă a ina în aspecele maemaice specifice, se pecieaă că pin algoimul meodei se eolă numeic oice sisem de ecuații difeențiale de odinul I. Ecuațiile difeențiale de odin supeio po fi pelucae şi, pin inoduceea uno ecuații inemediae, po fi ansfomae în asfel de siseme. Daă fiind simpliaea pogamăii pecum şi faciliățile gafice ofeie, în aplicațiile cae umeaă se a uilia mediul de pogamae MATLAB oiena pe opeațiuni cu maici. Se consideă un sisem de n ecuații difeențiale de odinul I: f(,,, n ) f(,,, n ) (3.69) n fn(,,, n ) Se alcăuieşe un eco linie al aiabilelo sisemului şi un eco coloană de al deiaelo, especi al funcțiilo din membul dep al acesui sisem : f(, ) n (3.7) f (, ) de (3.7) n fn(, ) Vaiabila independenă în apo cu cae sun definie deiaele (în majoiaea aplicațiilo din Dinamică aceasa ese impul) a căpăa în impul inegăii un şi de aloi discee, cupinse îne eemele min şi ma, aloi cae o fi depuse în-un eco coloană. Opeațiunea de inegae numeică ese apelaă în pogamul geneal pin-o insucțiune aând foma : [, ] ode45(' func', imp, ) (3.7) În aceasă insucțiune ode45 ese denumiea funcției din biblioeca MATLAB cae a face inegaea. Agumenele acesei funcții au umăoaea semnificație: func ese denumiea aibuiă unei file sepaae (de foma func.m) de ip funcție în cae se o calcula aloile deiaelo pe baa epesiilo din (3.7); Aceasă filă a fi apelaă de ode45 penu fiecae pas de inegae. Pima linie a filei func.m a fi de foma: funcion de func(, ) (3.73) în cae agumenele de inae şi ieşie au semnificațiile indicae mai sus. Simboliaea maicilo şi ecoilo se a face în eul de față pin caacee bold. Se peină foma cea mai simplă a acesei insucțiuni.

5 imp =[min, ma] ese un eco linie cae conține limiele inealului de inegae; număul m de aloi în aces ineal se sabileşe auoma de căe pogam în funcție de anumiți paamei de acuaețe impliciți; ese un eco linie cae conține aloile inițiale, especi la, ale aiabilelo din. La eminaea inegăii se obține ecoul, cae conține oae cele m aloi pe cae la ia aiabila independenă în inealul da, şi o maice [m,n] cu aloile coespondene ale soluțiilo sisemului. Se obseă că aceasă maice ese o eindee pe coloane a ecoului linie inițial din (3.7). Ese eiden că denumiile aibuie aiabilelo din pogam sau filei func.m po fi difeie de cele epuse mai sus, fiind necesaă însă especaea sinaei şi a ipului ecoilo menționați. 3..3 Mişcaea puncului maeial geu în id (m) Se consideă un punc maeial de masă m aunca cu o ieă inițială sub un unghi G față de oională în-un mediu cae nu opune nicio eisență la deplasaea acesuia, O cum a fi, de eemplu, idul. Se alege un sisem de efeință caeian cu oiginea în Fig.3.8 puncul de lansae, aând aele dispuse în modul aăa în fig.3.8. Singua foță cae acționeaă asupa puncului pe aiecoie ese geuaea popie, asfel că se po scie umăoaele ecuații difeențiale ale mişcăii: m m Gmg g (3.74) m Se inegeaă succesi acese ecuații în apo cu impul: 4 g g 5 (3.75) 3 3 6 ondițiile inițiale, especi poiția şi iea în puncul de lansae, sun: ( ) cos ( ) sin (3.76) ( ) Se înlocuiesc acese condiții în elațiile (3.75) şi eulă consanele de inegae: cos 3 4 5 6 (3.77) sin min

5 Se inoduc acese aloi în elațiile (3.75) şi eulă legea de mişcae a puncului pe aiecoie: cos cos g sin (3.78) g sin (3.79) Se obseă că aiecoia puncului maeial ese conținuă în planul eical O; ecuația analiică a aceseia se obține eliminând impul îne ecuațiile (3.79): g cos sin cos g cos g (3.8) Sub foma a b se A ecunoaşe ecuația unei paabole cu aa de simeie eicală, ecând pin puncul O (fig.3.9). B Deoaece coeficienul, O concaiaea paabolei ese în jos. În puncul A, în cae se ainge Fig.3.9 înălțimea maimă, angena la aiecoie ese oională; iea, cae ae înodeauna diecția angenei, nu a aea poiecție pe diecția eicală. sin A ga sin A (3.8) g Reulă în coninuae coodonaele puncului A: A ( A) sin (3.8) A ma ( A) sin (3.83) g g şi iea: A A cos (3.84) Disanța OB ma poaă numele de băaie şi se deemină punând condiția : g a O sin sin (3.85) B g Se obseă că B A fap cae aaă că ucaea şi coboâea pe aiecoie au aceeaşi duaă. B ma ( B) sin (3.86) g Se obseă deasemenea că B A, confimându-se simeia paabolei. Penu iea în puncul B se fac calculele:

5 cos B B B B ( ) sin (3.87) B B B g g ( ) B Viea de impac ese egală cu iea inițială şi unghiul de incidență ese egal cu unghiul de lansae. Penu caul paicula în cae lansaea se face pe eicala puncului O se a lua ; se găsesc umăoaele eulae mai impoane: O ma A B B (3.88) g g g 3..4 Mişcaea puncului maeial geu în mediu eisen Fig.3. Asupa unui punc maeial geu lansa în condițiile aplicației pecedene da în-un mediu eisen, de eemplu în ae, pe lângă geuaea popie acționeaă şi o foță popoțională cu iea, în sens cona aceseia: G mg j (3.89) R m m( i j) în cae ese o consană de popoționaliae aând dimensiunea. Mişcaea a aea loc numai în planul O, asfel că ecuațiile difeențiale o fi: m m ( ) (3.9) m m mg g ( ) ele două ecuații difeențiale, independene îne ele, se inegaeaă sepaa. Ecuația () ese o ecuație difeențială omogenă de odinul II cu coeficienți consanți. Penu inegae se alege o soluție de foma: e e e (3.9) Se fac înlocuiile în () şi se găsesc ădăcinile ecuației caaceisice: e ( ) ( ) (3.9) u obseația că e, soluția ecuației () ese: e e e [ s (3.93) în cae şi sun consane de inegae. Ecuația (), aând în paea deapă un emen libe difei de, ese o ecuație difeențială neomogenă de odinul II cu coeficienți consanți. Soluția ese: om p (3.94) în cae om ese soluția ecuației omogene; la aceasa se adaugă o soluție paiculaă cae ebuie să eifice inegal ecuația neomogenă. p (m) ]

53 Ecuația omogenă ae aceeaşi fomă cu () asfel că soluția a fi: 4 3 om e (3.95) Soluția paiculaă ebuie să fie de aceeaşi fomă cu emenul libe. Făă a ina în dealii eoeice, se alege penu aceasa un polinom de aiabila, aând gadul cu o uniae mai mic decâ odinul ecuației difeențiale: a b a p p p (3.96) oeficienții acesuia se deemină pin idenificae: b g a g a g p p (3.97) Soluția paiculaă a aea în consecință foma: g p (3.98) Soluțiile sisemului de ecuații difeențiale (3.9) o fi: g e e g e e 4 4 3 (3.99) ele 4 consane de inegae se deemină punând condițiile inițiale: sin ) ( cos ) ( (3.) Efecuând calculele eulă: 4 3 g sin cos (3.) Se înlocuiesc acese consane în (3.99) şi se găseşe legea de mişcae: g e g e ) ( sin )cos ( (3.) g e g e sin cos (3.3) Penu sabiliea ecuației analiice a aiecoiei se elimină impul îne ecuațiile paameice (3.). Se fac umăoaele epliciăi: e cos ln cos (3.4) şi se obține: g g cos ln cos g (3.5)

54 Se obseă că aiecoia admie o asimpoă eicală (fig.3.) penu: A asimpoa cos (3.6) aloae cae anuleaă agumenul funcției logaimice O B. Penu înălțimea maimă se pune Fig.3. condiția A ( A) ; se deemină: A ln sin (3.7) g Se face înlocuiea în (3.) şi se obține: g A ma sin ln sin (3.8) g Eageea impului din ecuația ( ) nu ese posibilă, asfel B B B (ln ) încâ nu se poae sabili o elație analiică epliciă penu disanța B ma şi penu iea. Poblema se poae eola pe cale numeică în condițiile B cunoaşeii aloile paameilo,,. Se dau aloi succesie aiabilei, ponind de eemplu de la, şi se deemină pin inepolae aloaea lui penu cae funcția () schimbă semnul. u aloaea asfel obținuă se calculeaă apoi şi. Se po face ouşi unele obseații compaând mişcaea puncului maeial geu în mediu eisen şi în id (cele două aiecoii au fos epeenae în fig.3.). Asfel, în mediul eisen: impul de ucae şi cel de coboâe sun mai mici; înălțimea maimă ese mai edusă, băaia ese mai scuă; iea de impac B ese mai edusă; unghiul de incidență ese mai mae. Penu auncaea pe eicală a unui punc maeial geu în mediu eisen se inoduce în legea de mişcae şi se găsesc elațiile: ma B A g g ( e ) (3.9) g g e (3.) A ln g (3.) g ma ln g (3.) A

55 Poblema 3. Să se compae aiecoiile descise de un punc aunca în aceleaşi condiții inițiale în-un mediu eisen şi în id. Dae numeice:,, 6m / s, 45,, 5 s Reolae: Ecuațiile sisemului (3.9), sabilie penu mişcaea în mediu eisen, se dispun sub foma: (3.3) g Penu mişcaea în id o fi uiliae aceleaşi ecuații în cae se a lua, asfel că se o efecua două opeațiuni de inegae. Vaiabila independenă ese impul. Inealul (, ) se sabileşe pin încecăi penu a acopei îneaga aiecoie. ele două ecuații difeențiale de odinul II po fi pelucae eulând un sisem de pau ecuații difeențiale de odinul I. Se alcăuieşe un eco cu aiabilele acesui sisem şi ecoul de al deiaelo acesoa. Penu claiaea epuneii ecoii linie şi se anspun sub fomă de coloană. (3.4) de (3.5) 3 4 g ondițiile inițiale sun cele dae de elațiile (3.): (3.6) cos sin După efecuaea fiecăei inegăi se eag din maicea coloanele şi cae se depun în ecoii coloană e, e şi especi id, id; aceşia o sei apoi la asaea aiecoiilo cu ajuoul funcțiilo gafice MATLAB. Penu compaație, cele două aiecoii o fi epeenae în cadul aceleiaşi diagame (fig.3.). Pogamul geneal ese conținu în fila P3_.m ia funcțiile de ealuae a deiaelo sun incluse în fila eid.m. min ma P3_.m % TRAIETORIA PUNTULUI MATERIAL % IN MEDIU REZISTENT SI IN VID clea; close all; global G K % DATE NUMERIE G=9.8665; K=.5; =6; alfa=pi/4; % INTERVALUL DE INTEGRARE min=; ma=; imp=[min, ma]; % ONDITIILE INITIALE =; =; =*cos(alfa); =*sin(alfa); =[,,, ]; % INTEGRAREA PENTRU AER [,]=ode45('eid',imp,); e=(:,); e=(:,); clea ;

56 % INTEGRAREA PENTRU VID K=; [,]=ode45('eid',imp,); id=(:,); id=(:,); % DIAGRAME plo(id,id,'-',ae,ae,'-'); gid; ais equal; ile('traietorii PUNT ARUNAT'); aeid.m funcion de=eid(,) global G K p=(3); p=(4); pp=-k*p; pp=-k*p-g; de=[p; p; pp; pp]; TRAIETORII PUNT ARUNAT 5 în mediu eisen în id 5-5 - -5 5 5 5 3 35 4 Fig.3. 3..5 Mişcaea puncului maeial acționa de o foță cenală. aul geneal. (m) Se consideă un punc maeial de masă m acționa de o foță al căei supo ece pin-un punc fi O, numiă foță cenală (fig.3.3). Se aplică acesui punc maeial eoema momenului cineic: K O O MOF F (3.7) Reulă că o impul mişcăii momenul cineic al puncului se conseă: Fig.3.3 K O m (3.8) unde ese o consană ecoială de foma: i j (3.9) 3 F

57 Se înmulțeşe elația (3.8) scala cu ecoul de poiție : m (3.) deoaece la deapa se află un podus mi cu doi emeni idenici. Se deolă podusul scala al emenilo din paea sângă: 3 (3.) S-a obținu ecuația unui plan în coodonae caeiene, plan cae ece pin puncul fi O. (m) Reulă de aici că mişcaea puncului maeial P acționa de o foță cenală se a efecua în-un plan cae conține cenul aceseia. Pe baa acesei demonsații se uilieaă în coninuae O sisemul de coodonae polae, specific, după Fig.3.4 cum s-a mai aăa, mişcăilo plane (fig.3.4). Ponind de la ecuațiile geneale (3.6) se sciu ecuațiile difeențiale ale mişcăii puncului pe diecțiile definie de esoii şi : m ( ) F m ( ) u u F m ( ) ( ) (3.) Se analieaă mai înâi ecuația () cae se înmulțeşe cu : d d (3.3) Se consaă că emenul din paaneă ese consan: cons. (3.4) În cap. 9.., el. 9.47, s-a defini iea aeolaă dep aiația în apo cu impul a aiei acopeie de aa ecoae OP. Făcând legăua îne elații se obține: cons. (3.5) Se deduce de aici că sub acțiunea unei foțe cenale puncul maeial se deplaseaă cu ieă A D aeolaă consană, especi că aa ecoae OP O "măuă" aii egale în ineale de imp egale. Pe aiecoia din fig.3.5 acele AB şi D, sun B pacuse în acelaşi ineal de imp, aiile Fig.3.5 coespondene fiind egale. Lungimile acelo şi ieele de pacugee o fi însă difeie. onsana din elația (3.4) poaă numele de consana aiilo. Ecuația difeențială () epeină o elație îne () şi (). Idenificaea aiecoiei în coodonae polae pesupune găsiea unei elații de foma ( ) în cae să nu mai ineină aiabila. În aces scop ea a fi eliminaă diec din ecuația (). Se eage din (3.4) şi se înlocuieşe în (): (3.6) F (3.7) 3 m

58 Se peluceaă în coninuae deiaele coodonaei polae : d d d d d d d d d d d d d d d d (3.8) d d d d d d (3.9) d d d d d d Se face înlocuiea în (3.7) şi se odoneaă elația: d F d F (3.3) d 3 m (3.3) d m Relația (3.3) ese cunoscuă în Mecanică sub denumiea de ecuația lui Bine. Inegaea ei penu obțineea aiecoiei se face în funcție de foța aplicaă puncului maeial. Poblema 3. Un punc maeial de masă m ese lansa din poiția, siuaă pe aa polaă la disanța de polul O, cu iea inițială (m) P cae face unghiul cu aceasă aă (fig.3.6). Asupa puncului maeial acționeaă pemanen o foță de aacție F cons. Să se deemine aiecoia puncului. Dae numeice : O m, m/ s, 45, Fig.3.6 m g, F N Reolae: onsana aiilo se poae ealua ponind de la elația de definiție (3.4): ( ) ( ) sin (3.3) În ecuația lui Bine (3.3) se inoduc subsiuțiile: F u (3.33) A cons. m (3.34) Se obține ecuația difeențială de odinul II: A u u (3.35) u în cae aiabila independenă poae lua aloi inealul [ θ min, θ ma ]. Penu inegaea numeică (cap.3.) se definesc ecoii u u u u u u (3.36) de u A u u (3.37) u Din elația (3.8) se deduce: d u (3.38) d P

59 Vecoul aloilo inițiale, coespunăoae poiției θ min, se inițialieaă cu aloile aiabilelo din momenul lansăii: u u (3.39) u în cae: ( ) cos (3.4) u (3.4) Penu a aea o imagine mai cupinăoae asupa aiecoiei se dau aloi aiabilei independene îne şi 4. Pogamul MATLAB ese conținu în fila P3_.m ia funcțiile deiaelo în fila focon.m. Diagama în coodonae polae ese peenaă în fig.3.7. u P3_.m % PROBLEMA 3. % PUNTUL MATERIAL ATIONAT DE O % FORTA ONSTANTA clea; close all; global A; % DATE NUMERIE =; =; alfa=pi/4; m=; F=-; % ONSTANTE =**sin(alfa); A=F/(m**); % INTERVALUL DE INTEGRARE eamin=; eama=4*pi; ine=[eamin, eama]; % ONDITIILE INITIALE u=/; u=-*cos(alfa)/; u=[u, u]; % INTEGEAREA [ea,u]=ode45('focon',ine,u); % REZULTATE =./u(:,); pola(ea,); focon.m funcion de=focon(,); global A; u=(); up=(); upp=-u-a/(u*u); de=[up; upp]; ( ) 9 5 6 5 5 3 8 33 4 7 Fig.3.7 3

6 Poblema 3.3 Un punc maeial de (m) masă m ese pins la eemiaea unui ac cae P ae cealală eemiae fiaă în cenul O (fig.3.8); consana acului ese. Puncul ese lansa din-o poiție aflaă pe aa polaă cu iea inițială şi sub unghiul ; în poiția de lansae acul ese elaa şi ae lungimea. Să se deemine aiecoia puncului maeial. O Dae numeice:,, Fig.3.8, 5 m/ s,, Reolae: Se pocedeaă la fel ca în poblema pecedenă, cu ecepția definiției foței cae în aces ca ese popoțională cu defomația esoului: Fe ( ) (3.4) Ecuația lui Bine ia foma: P m 5 g 45 m 5 N / m d ( ) (3.43) d m Se inoduc subsiuțiile: u (3.44) A cons. m (3.45) şi se obține: u u A (3.46) 3 u u Aceasă ecuație difeențială se peluceaă în modul umăo: u u u u u u (3.47) de u u A (3.48) u 3 u u ondițiile inițiale sun aceleaşi ca în poblema pecedenă (el.3.39 3.4) ia aiabila ia aloi în inealul (, ). Pogamul MATLAB ese conținu în fila P3_3.m ia funcțiile deiaelo în fila foel.m. Diagama ( ) în coodonae polae ese peenaă în fig.3.9. P3_3.m % PROBLEMA 3.3 % PUNTUL MATERIAL % ATIONAT DE O % FORTA ELASTIA global A R; % DATE NUMERIE m=5; R=; =.5; alfa=pi/4; =5; % ONSTANTE =R**sin(alfa); A=/(m**); % INTERVALUL DE INTEGRARE eamin=; eama=*pi; ine=[eamin, eama]; % ONDITIILE INITIALE u=/r; u=-*cos(alfa)/; ini=[u, u]; % INTEGEAREA [ea,u]=ode45('foel',ine,ini); % REZULTATE =./u(:,); pola(ea,); foel.m funcion de=foel(,); global A R; u=(); up=(); upp=-u+a*(/u-r)/(u*u); de=[up; upp];

6 9.5 6 5.5 3 8 33 4 7 3 Fig.3.9 3..6...Mişcaea puncului maeial sub acțiunea foței de aacție uniesală. Se alege polul sisemului de coodonae în cenul masei aacoae M (fig.3.) Asupa masei aase m a acționa foța: Mm F f (3.49) F (m) 3 în cae f 6, 664 m ( g s ) ese (M) consana aacției uniesale. Se inoduce aceasă foță în ecuația lui Bine (3.3) şi se O obține ecuația difeențială: Fig.3. d d Penu o inegae comodă se face subsiuția: u u f M (3.5) f M u (3.5) Soluția acesei ecuații difeențiale de odinul II, neomogenă, ae foma geneală: u u om u p (3.5) Ecuația omogenă: u u (3.53) se inegeaă alegând o soluție de foma: u e u e u e (3.54) Se deemină ădăcinile ecuației caaceisice: e, i (3.55)

6 şi eulă foma înâia a soluției ecuației omogene: i i u e e (3.56) în cae, om sun consane de inegae complee. Uiliând elațiile lui Eule: i e cos i sin e cos i sin (3.57) se obține: uom cos i sin (3.58) Se noeă în coninuae: B i ( ) (3.59) şi se obține foma a doua a soluției ecuației omogene: u om Acos Bsin (3.6) în cae A şi B sun noile consane de inegae eale. Eisă şi o a eia fomă a soluției cae se găseşe făcând subsiuțiile: A Dcos B Dsin (3.6) în cae D şi u A i sun o consane de inegae eale: om D(cos cos sin sin ) Dcos (3.6) D A B g B A (3.63) Soluția paiculaă a ecuației difeențiale ese: f M u p cons. (3.64) Se obseă că aceasă soluție eifică ecuația (3.5). Penu analia cae umeaă sun uile umăoaele fome ale soluției ecuației difeențiale: fm u Acos Bsin (3.65) fm u Dcos (3.66) a) Recunoaşeea fomei aiecoiei. Relația (3.66) se peluceaă în modul umăo: f M p (3.67) f M D cos( ) D e cos( ) cos( ) f M Epesia obținuă, în cae s-au inodus noațiile: D p (3.68) e A B (3.69) f M f M f M epeină ecuația unei conice în-un sisem de coodonae polae, la cae polul O coincide cu focaul conicei ia aa polaă ese aa ei de simeie. Se poae enunța concluia că sub acțiunea unei foțe cenale, un punc maeial se a înscie pe o aiecoie plană, cuba especiă apaținând familiei conicelo.

63 onsanele de mai sus poaă denumiile: p paameul conicei, e eceniciaea conicei. onicele se depaajeaă îne ele pin aloaea eceniciății: penu cec, penu elipsă, e e penu hipebolă. e e penu paabolă şi b) Analia mişcăii în funcție de condițiile inițiale. În definiea eceniciății (3.69) ină consanele de inegae A şi B. Penu deeminaea lo se uilieaă foma a doua a soluției ecuației difeențiale: fm Acos Bsin (3.7) la cae se adaugă deiaa ei în apo cu (m) impul: P (M) Asin B cos (3.7) u obseația că, aceasa se mai poae scie: O Asin Bcos (3.7) Fig.3. Se consideă că puncul maeial ese lansa din poiția afla chia pe aa polaă (fig.3.), asfel că se po defini condițiile inițiale: ( ) cos (3.73) ( ) sin Pe baa acesoa se poae face deeminaea consanei aiilo: ( ) ( ) sin (3.74) Se eține penu neoile demonsației şi elația: sin (3.75) Se inoduc condițiile inițiale în elațiile (3.7) şi (3.7) f M f M f M A A A (3.76) cos B B sin B În coninuae se uilieaă acese consane de inegae în elația (3.69) a eceniciății şi, efecuând calculele, se obține elația finală: fm e A B f M (3.77) fm Se poae obsea că aloaea eceniciății depinde de aloaea ieei de lansae. Asfel, penu: P

64 f M e aiecoia ese o elipsă, f M e aiecoia ese o paabolă, f M e aiecoia ese o hipebolă. Din elația (3.77) nu se poae sabili condiția ca aiecoia să fie ciculaă. Penu aceasa se poae folosi diec ecuația (3.5) de la cae s-a poni analia, în cae se inoduc condițiile specifice unei mişcăi ciculae aa consană ( cons ) şi iea pependiculaă pe aă ( ): d d în cae s-a lua: Se găseşe iea: f M f M (3.8) f M f M (3.78) sin (3.79) Se obseă că dacă se inoduce aceasă aloae în elația (3.77) se obține eceniciaea fap eplicabil pin aceea că cecul epeină un ca paicula al elipsei. c) alculul ieelo cosmice. R h În condițiile în cae masa aacoae M ese masa Pămânului ia masa aasă m apaține unui Fig.3. obiec sau ehicul lansa în spațiul eaeesu, ieele deeminae mai sus poaă numele de iee cosmice. alculul lo ese uşo de efecua paabolă dacă se pune în eidență fapul că la nielul supafeței eese foța de aacție uniesală se manifesă pin geuaea copuilo: Mm mg f fm gr (3.8) R R h în cae g 9, 8m/ s ese acceleația gaiațională ia R 637 m ese aa Pămânului. Fig.3.3 Pima ieă cosmică, numiă şi iea de saeliae şi noaă, ese iea minimă necesaă înscieii unui obiec lansa în spațiul eaeesu pe o aiecoie ciclică în juul Pămânului. oespunăo aceseia aiecoia a fi ciculaă (fig.3.). onsideând că lansaea se face la o înălțime h deasupa Pămânului, din elația (3.8) se deduce: e, cec

/ 65 f M f M gr gr 7, 9 m s (3.8) R h R h În mod pacic h R şi poae fi neglija. Dacă iea de lansae ese mai mică decâ aunci puncul pacuge un ac de elipsă eenind la supafața eesă. A doua ieă cosmică, noaă, ese iea minimă necesaă penu ca mobilul să se înscie pe o aiecoie neciclică, especi să nu mai eină în spațiul din poimiaea Pămânului. Aceasă ieă coespunde unei aiecoii paabolice penu cae e (fig.3.3). onfom analiei de mai înaine: f M, m s (3.83) / Peenaea compaaiă a aiecoiilo unui mobil lansa din acelaşi punc da cu iee inițiale difeie, ese daă în fig.3.4. A eia ieă cosmică, noaă, se defineşe ca fiind iea cu cae a ebui lansa un mobil diec de pe supafața eesă, în sensul de oație al Pămânului, asfel încâ mobilul să se înscie pe o aiecoie de păăsie a sisemului sola. Analia efecuaă mai sus poae fi einsă la nielul sisemului sola consideând că aiecoia Pămânului în juul Soaelui ese apoimai ciculaă. Fig.3.4 Asfel, iea necesaă înscieii pe o aiecoie paabolică în apo cu soaele se 3 obține în mod analog ieei, ponind de aceasă daă de la iea Pămânului: P (3.84) RP P 3 m/ s T (3.85) 8 unde RP, 5 m ese aa aiecoiei Pămânului în juul Soaelui ia F T 365 4 36 sec. ese peioada de (m) eoluție. Pe poțiuni compaabile cu (M) dimensiunea Pămânului se poae R considea aiecoia ecilinie (fig.3.5). Fig.3.5 Deplasaea mobilului a aea loc în lungul aei polae supapusă acesei poțiuni de aiecoie. Asupa lui a acționa aacția Pămânului epimaă pin foța de aacție uniesală, asfel că ecuația de mişcae se inegeaă în modul umăo: Mm fm m f fm (3.86) onsana de inegae se deemină obseând că penu iea elaiă ese. Reulă legea ieei elaie a mobilului față de Pămân: P

66 În puncul de lansae 3 fm ( P ) (3.87), R, fm gr şi eulă: 3 P / gr ( ) 6, 6 m s (3.88) 3.3 Dinamica puncului maeial supus la legăui 3.3. Ecuațiile mişcăii Aioma legăuilo, enunțaă în Saică penu puncul maeial, sipuleaă că oice legăuă poae fi supimaă şi înlocuiă pin foțe coespunăoae, acesa puând fi aa în coninuae ca şi cum a fi libe. În aceasă siuație, pe lângă foțele eeioae dae, asupa puncului maeial o acționa şi foțele de legăuă (eacțiunile). Teoemele geneale demonsae în cap.3..4 se compleeaă după cum umeaă: H F (3.89) K O F leg MO ( F ) MO ( Fleg ) (3.9) de dl (3.9) dl leg Ecuațiile scalae cae se obțin pin uiliaea difeielo siseme de coodonae o aea ca necunoscue, pe lângă legea de mişcae, şi eacțiunile din paea legăuilo. Dacă legăuile sun cu fecae, la ecuațiile scalae menționae se adaugă şi elația de definiție a foței de fecae de alunecae *) : F f N (3.9) Penu eolaea poblemelo de Dinamică se conueaă două meode: meoda impulsului, baaă pe eoema impulsului şi pe cea a momenului cineic, cae pemie o eolae inegală pin deeminaea aâ a legii de mişcae câ şi a eacțiunilo; meoda enegiei, baaă pe eoema enegiei cineice, cae pemie deeminaea numai a legii de mişcae; compleaea eolăii, especi calculul eacțiunilo, se face apelând la ecuațiile meodei impulsului. Se eaminesc din Saică eacțiunile specifice puncului maeial: punc maeial pe o supafață - N după diecția nomalei la supafață, F în planul angen la supafață, în sens ines mişcăii; f punc maeial pe o cubă - N în-un plan nomal la cubă, F f pe diecția angenei la cubă, în sens ines mişcăii; punc maeial suspenda de un fi - ensiunea T pe diecția fiului înins. *) Spe deosebie de Saică, în Dinamică se pefeă noaea foței de fecae pin F f.

3.3. Mişcaea pe planul înclina 67 Un punc maeial de masă m ese lansa pe un plan înclina cu unghiul față de oională; iea inițială face unghiul cu baa planului (fig.3.6). Îne puncul maeial şi supafața planului înclina eisă fecae cu coeficienul. Se doeşe sabiliea ecuațiilo difeențiale ale mişcăii. Apaen, mişcaea acesui punc maeial ese asemănăoae cu cea dinun mediu eisen (cap.3..4) unde s-a considea că eisența ese aiabilă aâ (m) ca măime câ şi ca diecție în funcție de ieă. În caul de față însă, foța de fecae ese consană ca măime, numai diecția ei ese aiabilă odaă cu cea a Fig.3.6 ieei. Penu ecoul foței de fecae se poae sabili elația de definiție: F f N (3.93) în cae iea puncului în coodonaele caeiene din fig.3.7 ese: i j i j (3.94) ( ) ( ) (3.95) Penu scieea ecuațiilo difeențiale ale mişcăii ese suficienă uiliaea eoemei impulsului: H ma G N F f (3.96) N din cae se obțin ecuațiile: m N m N G sin (3.97) G N G cos u obseația că G mg acese ecuații dein: g cos (3.98) g cos g sin Fig.3.7 ele două ecuații difeențiale de odinul II, neomogene, sun cuplae îne ele. ondițiile inițiale sun: cos (3.99) sin Inegaea acesui sisem penu a găsi o soluție analiică ese dificilă.

68 În caul paicula în cae auncaea se face pependicula pe baa planului înclina, şi. Relațiile (3.98) se educ la o singuă ecuație: g(sin cos ) cons. (3.) cae se inegeaă diec: g(sin cos ) (3.) g(sin cos ) u condițiile inițiale şi se găsesc consanele de inegae şi. Legea de mişcae ia binecunoscua fomă: g(sin cos ) g(sin cos ) (3.) în cae semnul + se a lua la ucae ia la coboâe. Acese elații sun alabile penu sudiul pe poțiuni al mişcăii deoaece eisă un punc de opie după cae foța de fecae îşi schimbă sensul. În caul unei mişcăi coninue, ucae umaă de coboâe, ebuie inegaă ecuația (3.). Poblema 3.4 Să se inegee pe cale numeică ecuațiile de mişcae ale unui punc maeial pe un plan înclina cu fecae în caul geneal. Dae numeice:,, 5m/ s, 3, 6,,, g 9, 8665 Reolae: Se noeaă consanele: a g cos bgsin (3.3) asfel că ecuațiile (3.98) o lua o fomă simplificaă: a a b (3.4) Se ansfomă acese două ecuații difeențiale cuplae de odinul II în-un sisem de pau ecuații de odinul I cae se inegeaă numeic în modul descis în cap.3... Se alcăuiesc ecoul soluțiilo şi cel al deiaelo de: (3.5) 3 4 a de (3.6) a b

69 Vecoul a conține condițiile inițiale (3.99): (3.7) cos sin Vaiabila independenă ese impul cae a lua aloi în inealul sec. După efecuaea inegăii numeice se eag din maicea coloanele şi cae o conține aloile şi ; cu acesea se aseaă o diagamă cae a epeena aiecoia puncului pe planul înclina. Pogamul MATLAB ese conținu în fila P3_4.m ia funcțiile de ealuae a deiaelo sun incluse în fila plan.m; diagama ese peenaă în fig.3.8. () () P3_4.m % PROBLEMA 3.4 % MISAREA PE UN PLAN % INLINAT U FREARE clea; close; global A B; % DATE NUMERIE =5; alfa=pi/6; bea=pi/3; miu=.; g=9.8665; % ONSTANTE A=-miu*g*cos(alfa); B=-g*sin(alfa); % INTERVALUL DE INTEGRARE min=; ma=; imp=[min, ma]; % ONDITIILE INITIALE =; =; =*cos(bea); =*sin(bea); =[,,, ]; % INTEGEAREA [,]=ode45('plan',imp,); % REZULTATE =(:,); =(:,); plo(,); gid; ile('traietoria PE PLANUL INLINAT ); plan.m funcion de=plan(,); global A B; p=(3); p=(4); =sq(p*p+p*p); pp=a*p/; pp=a*p/+b; de=[p; p; pp; pp]; TRAIETORIA PE PLANUL INLINAT.5.5 -.5 - -.5.5.5.5 3

7 Fig.3.8 3.3.3 Pendulul sfeic Un punc maeial de masă m ese suspenda la eemiaea O unui fi de lungime l aând cealală eemiae în puncul fi O. Dacă N l fiul ămâne pemanen înins, aiecoiile descise de punc sun conținue pe supafața unei sfee M cu cenul în O şi aa egală cu (m) P lungimea fiului. Penu poiționaea pendulului, sisemul de ae n caeian se dispune în modul aăa în fig.3.9. Mişcaea pendulului pe sfeă Fig.3.9 poae fi sudiaă mai comod dacă pin puncul P se duc două plane mobile pependiculae unul pe celălal un plan meidian eical cae face unghiul cu planul fi O şi un plan oional. În planul eical fiul pendulului face unghiul cu aa O. Unghiuile şi sun alese dep paamei poiționali independenți ai pendulului. Penu sabiliea ecuațiilo difeențiale ale mişcăii se consideă adecaă apoaea paameilo cinemaici (iea şi acceleația) pecum şi a foțelo la un iedu mobil cu oiginea în puncul P; aa a acesuia ece pin puncul de suspendae O ia aele n şi sun angene la cecuile eulae din inesecaea sfeei cu cele două plane menționae mai sus. Se obseă că iea puncului P a fi conținuă în planul angen la sfeă deemina de diecțiile n şi. Penu deeminaea poiecțiilo ieei şi acceleației pe aele acesui iedu ese mai comod să se calculee mai înâi epesiile lo în coodonae cilindice (cap.9..3) noae în aces ca,,, în cae: ON MP lsin OM l cos (3.8) În acese coodonae ieele N O M sun: O l cos l l sin (3.9) P P l M sin n În fig.3.3 acese iee sun a) b) Fig.3.3 epeenae în sensuile lo poiie. Ponind de la aceese elații se deemină poiecțiile pe

aele locale O M l,n, : N P n O M n cos sin l sin P a) b) Fig.3.3 sin cos l 7 (3.) În coodonaele cilindice,, acceleațiile au epesiile : a l sin l cos l sin a l sin l cos a l cos l sin (3.) În fig.3.3 acese iee sun epeenae în sensuile lo poiie. În coodonaele locale,n, poiecțiile acceleației sun: cos sin a a a l l sin sin cos a a a l l sin cos (3.) an a l sin l cos a) Mişcaea pendulului sfeic în mediu neeisen Foțele aplicae pendulului sun geuaea şi ensiunea din fi (fig.3.9). Ambele foțe sun coplanae cu aa O şi momenele lo față de aceasa sun nule. Dep umae, momenul cineic al pendulului față de aceasă aă se conseă: K M K cons. (3.3) Se eamineşe că, pin definiție, momenul cineic epeină momenul ecoului impuls față de un punc sau față de o aă. Impulsul masei m a fi: H m m m H H (3.4) omponena H m ese coplanaă cu aa O şi nu a da momen față de aceasa. În consecință: K m n m( ) m cons. (3.5) u noația specifică aplicației se poae ecunoaşe pin analogie în epesia: cons. (3.6) consana aiilo definiă în cap.3..5. Se poae deduce că poiecția în planul oional O a pendulul sfeic se oeşe cu ieă aeolaă consană. Valoaea consanei aiilo se poae deduce din condițiile ințiale, especi din momenul lansăii pendulului sfeic: n G n T

7 ( ) ( n) l sin (3.7) Din elația (3.6) se po pune în eidență deiaele în apo cu impul ale unghiului cae o depinde aâ de consana câ şi de unghiul : cos (3.8) (3.9) 3 l sin l sin S-a obținu asfel pima ecuație difeențială a mişcăii pendulului sfeic. Penu a obține a doua ecuație ese mai simplu să se apeleae în caul de față la meoda enegiei, baaă pe eoema enegiei cineice sub foma: de dl de dl (3.) d d În aceasă elație enegia cineică în-o poiție oaecae ese: E m m( n ) m[( l ) ( l sin ) ] (3.) Se înlocuieşe cu (3.8) şi se deieaă epesia obținuă în apo cu impul: de ml cos d 4 3 (3.) l sin Dine cele două foțe aplicae pendulului, numai geuaea dă lucu mecanic deoaece deplasaea după diecția ensiunii ese nulă dacă fiul ese înins. Lucul mecanic elemena al geuății, ținând con şi de sensul aei O, ese: dl mg d mg d( l cos ) mgl sin d (3.3) Se obține penu deiaa în apo cu impul a lucului mecanic epesia: dl mgl sin (3.4) d Se fac înlocuiile în (3.) şi se obține cea de a doua ecuație difeențială a mişcăii pendulului sfeic: cos g sin 4 3 l sin l (3.5) Inegaea sisemului foma din ecuațiile difeențiale de odinul II (3.9) şi (3.5) în edeea găsiii soluțiilo () şi () ese posibilă numai pe cale numeică. Se poae obsea că în ambele ecuații difeențiale nu ineine masa m a pendulului şi deci nu influențeaă mişcaea acesuia. Se poae pune în eidență fapul că ecuația (3.5) se poae inega numai pațial pe cale analiică; asfel, dacă se înmulțeşe aceasă ecuație cu, se obține pin inegae: g cos 4 (3.6) l sin l onsana de inegae se deemină punând condițiile inițiale:

73 ( ), ( ) ( ) l (3.7) Ținând con şi de epesia (3.7) a consanei se obține: în cae ) n ) ( ( g g cos cos (3.8) l l l l l ese iea inițială a pendulului. Înlocuind în (3.6) se deemină: g ( cos cos ) (3.9) 4 l l sin l Aceasă ecuație difeențială de odinul I nu se poae inega în coninuae pe cale analiică. Apaen, mişcaea pendulului sfeic s-a puea sudia pin inegaea numeică a sisemului de ecuații difeențiale de odinul I foma din ecuațiile (3.8) şi (3.9). Dificulaea se daoeaă în special fomei paaice a ieei, fomă cae aleeaă condițiile inițiale. Relația (3.9) ese ouşi uilă la deeminaea ensiunii în fiul pendulului sfeic. Tensiunea din fiul pendulului se poae calcula poiecând elația specifică meodei impulsului pe diecția fiului (fig.3.3, a): ma T mg cos (3.3) Se înlocuieşe a cu epesia din (3.) şi eulă penu ensiune elația: T ml ( sin ) mg cos (3.3) Dacă în aceasă elație se înlocuiesc în coninuae şi cu epesiile obținue mai înaine se obține: m T mg ( 3cos cos ) (3.3) l Tebuie făcuă obseația că aunci când fiul pendulului ese înins, ensiunea ese poiiă. Dacă în impul mişcăii ea deine negaiă, se deduce că fiul nu mai ese înins ia ecuațiile difeențiale ale mişcăii, sabilie mai sus, nu mai sun alabile; pendulul îşi coninuă mişcaea ca un punc maeial libe acționa numai de geuae ia paameii cinemaici din momenul în cae ensiunea a deeni nulă o sei dep condiții inițiale penu noua lege de mişcae. Față de aaea analiică clasică peenaă mai sus, ecuațiile difeențiale ale mişcăii pendulului sfeic po fi obținue cu mai mulă uşuință pin uiliaea meodei impulsului. Se poieceaă pe aele,, n elația ecoială specifică: ma GT (.33) Ținând con de elațiile (3.), se obține: ma ma ma n T G cos G sin (3.34)

74 m( l l sin ) T mg cos m( l l sin cos ) mg sin (3.35) m( l sin l cos ) Din acese elații se eplicieaă ecuațiile difeențiale ale mişcăii: g ( cos ) sin l (3.36) cg (3.37) şi elația penu calculul ensiunii în fiul pendulului: T ml ( sin ) mg cos (3.38) b) Mişcaea pendulului sfeic în mediu eisen Reisența mediului se conceieaă pin-o foță cae ese popoțională cu iea de deplasae, ae diecția ei şi O ese îndepaă în sens ines aceseia. În elația de definiție : R m (3.39) (m) consana [ n P popoționaliae. La pendulul sfeic iea ese conținuă în planul angen deemina de diecțiile şi n, asfel că poiecțiile ei pe aele locale,, n (fig.3.3) o fi: Fig.3.3 s ] ese un faco de R R m ml (3.4) R m ml sin n n Penu sabiliea ecuațiilo de mişcae se uilieaă meoda impulsului. Relația ecoială: ma GT R (3.4) se poieceaă pe aele,, n şi, ținând con de elațiile (3.), se obține: ( m l l sin ) T mg cos ( m l l sin cos ) ml mg sin (3.4) m( l sin l cos ) ml sin Din acese elații se eplicieaă ecuațiile difeențiale ale mişcăii: g ( cos ) sin (3.43) l cg (3.44) şi elația penu calculul ensiunii în fiul pendulului:

75 T ml ( sin ) mg cos (3.45) Se obseă că foma elația penu calculul ensiunii în fi ese aceeaşi ca şi în caul mişcăii în mediu neeisen. Inegaea celo două ecuații difeențiale ale mişcăii ese posibilă numai pe cale numeică. 3.3.4 Pendulul maemaic O Pendulul maemaic poae fi aa dep un ca paicula al pendulului sfeic, în cae mişcaea ae loc în-un plan eical fi. Dacă în l demonsația din capiolul peceden se inoduce cons., aunci, n, a n, (m) şi elațiile (3.5), (3.9) dein: M P g sin (3.46) s l g (cos cos ) (3.47) l l Fig.3.33 S-a noa pin iea unghiulaă a mişcăii ciculae a pendulului. Relația (3.3) penu calculul ensiunii deine: T ml mg cos (3.48) Relația (3.3) îşi păseaă foma: m T mg ( 3cos cos ) (3.49) l cu obseația că din calculul ieei inițiale lipseşe componena. Pendulul maemaic poae fi sudia în-un mod elegan şi pin aplicaea meodei impulsului în-un sisem de coodonae Fene (fig.3.33). În caul în cae mişcaea acesuia ae loc în-un mediu cae nu opune eisență la deplasae, se obțin cu uşuință elațiile de mai sus. oodonaa ininsecă ese lungimea acului de cec față de poiția de echilibu a pendulului: s ac P P l s l s l (3.5) enul de cubuă al aiecoiei ese puncul de suspendae O ia aa de cubuă ese lungimea fiului pendulului, especi l. Dacă mişcaea pendulului ae loc în-un mediu eisen, pe lângă foțele şi T mai ineine şi o foță de eisență popoțională şi coliniaă cu iea pendulului, în sens ines aceseia: R m s l Rm l (3.5) în cae ese o consană de popoționaliae. Se aplică meoda impulsului pe diecțiile şi : G n

76 ma ms F s ma m F (3.5) şi eulă ecuațiile difeențiale ale mişcăii: g ml mg sin ml sin ( ) l ml T mg cos T ml mg cos ( ) (3.53) Legea de mişcae se poae deemina numai pe cale numeică ponind de la ecuația difeențială a mişcăii (). Spe deosebie de celelale siuații analiae, în caul de față nu se poae eplicia asfel că ensiunea din fi se a puea deemina pe cale numeică cu ecuația () odaă cu inegaea ecuației de mişcae. Obseațiile făcue la pendulul sfeic efeio la ensiunea în fi îşi păseaă alabiliaea şi în caul pendulului maemaic. () 3.3.5 Micile oscilații ale pendulului maemaic Un ca special ese cel al micilo oscilații ale pendulului maemaic în juul poiției de echilibu în cae aloaea maimă a unghiului ese ma 5.. 6. Penu acese aloi se poae face apoimația sin (în adiani) şi ecuația difeențială a mişcăii a lua foma: g sin p (3.54) l în cae s-a inodus noația: p g l (3.55) Soluția acesei ecuații difeențiale omogene de odinul II ese: A sin( p) (3.56) Ap cos( p) (3.57) Se ecunoaşe o oscilație amonică sinusoidală în cae A ese ampliudinea, ese faa inițială ia p ese pulsația *). Penu condițiile inițiale: ( ), ( ) (3.58) l se deemină din elațiile de mai sus consanele de inegae: A (3.59) pl gl pl acg acg gl (3.6) *) Pulsația s-a noa pin p penu a se eia confuia cu iea unghiulaă a mişcăii ciculae a pendulului; penu mişcaea oscilaoie a se edea capiolul umăo.

77 Din analia elației (3.59) se deduce că lansând pendulul din poiția făă ieă inițială, ampliudinea a fi. Punând condiția A ma se găseşe că penu a aea mici oscilații ese necesa ca: A gl( ma ) (3.6) cu condiția eidenă ca ma. Poblema 3.5 Să se alcăuiască un pogam geneal MATLAB penu sudiul mişcăii pendulului în condițiile analiei eoeice din capiolele pecedene. Dae numeice: m g, l m,, 6, ( ) m s, n / ( ) m/ s ;. 8 s Reolae: Valoile inițiale ale deiaelo unghiuilo φ şi se sabilesc ponind de la elațiile (3.): ( n ) ( ( ) (3.6) ) ( ) l sin l (3.63) Se obseă că ecuațiile difeențiale: g ( cos ) sin (3.64) l cg (3.65) sabilie penu pendulul sfeic, po fi uiliae şi penu pendulul maemaic dacă se impune condiția inițială ( n ), asfel ca mişcaea să aibă loc numai în-un plan eical. Aceleaşi ecuații po fi uiliae şi penu mişcaea în mediu neeisen punând condiția. Penu ensiunea în fiul pendulului se uilieaă în oae siuațiile elația: T ml ( sin ) mg cos (3.66) Pe baa ecuațiilo de mai sus se alcăuiesc ecoul soluțiilo şi cel al deiaelo de: (3.67) de (3.68) 3 ( cos g / l) 4 cg Ținând con de elațiile (3.6) şi (3.63), ecoul condițiilo inițiale a fi: ( ) ( ) l ( ) ( n ) ( l sin ) (3.69)