1 ενικές ασκήσεις 7 ου Κεφαλαίου σελίδας 164 1. ίνονται δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) που εφάπτονται εξωτερικά στο. φέρουμε το κοινό εφαπτόμενο τμήμα τους και την κάθετη στη. Να αποδείξετε ότι = R R. Φέρουμε τη Λ που τέμνει την στο Η. ίναι ΚP PΛ σαν κάθετες στη Η Κ Λ Στο τρίγωνο ΛΚ με Η PΚ έχουμε R ρ = = R R R Η = R (1) Στο τρίγωνο Λ με ΗPΛ έχουμε B E = = R (από Θαλή) R Άρα B = R R Η = R R () (1) + () = R R.. Μία μεταβλητή ευθεία ε διέρχεται από το βαρύκεντρο Θ ενός τριγώνου και τέμνει τις πλευρές, στα, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι + = 1. Φέρουμε Κ, Λ παράλληλες στη διάμεσο Μ. Τα τρίγωνα Κ, Θ έχουν πλευρές Θ Λ ε Κ ανάλογες = (1) Ομοίως για τα τρίγωνα Λ, Θ Μ = () (1) + () + = (3) ΜΘ διάμεσος του τραπεζίου ΚΛ Κ + Λ = ΘΜ (3) + = = = 1
3. Θεώρημα Μενελάου. ίνεται τρίγωνο και ευθεία ε που τέμνει τις ευθείες,, στα,, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = 1 i Θεώρημα Ceva. ίνεται τρίγωνο και τα σημεία,, των ευθειών,, αντίστοιχα. ν οι ευθείες, και συντρέχουν, τότε ισχύει = 1. Κ Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: ε = πό το φέρουμε παράλληλη στην που τέμνει την ε σε σημείο Κ. ΚP = ΚP = = = 1. ντίστροφο: Mε υπόθεση = 1 (1) να αποδείξουμε ότι τα,, είναι συνευθειακά. (Με την εις άτοπο). Έστω ότι τα,, δεν είναι συνευθειακά. Φέρουμε την ευθεία που τέμνει την σε σημείο Τότε = 1 () πό τις (1), () = Άρα τα,, είναι συνευθειακά. τα σημεία, συμπίπτουν. i Κ Φέρουμε και PΚ ΚP = KB K ΚP = ΚP =
3 Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη: = KB K = KB K (1) λλά P = (1) KB K = 1 = 1 ντίστροφο: Mε υπόθεση = 1 () να αποδείξουμε ότι οι,, συντρέχουν. (Με την εις άτοπο). Ονομάζουμε Κ το σημείο τομής των,. Φέρουμε την ευθεία Κ που τέμνει τη σε σημείο. Τότε = 1 (3) πό τις (), (3) = τα, συμπίπτουν. 4. ίνεται παραλληλόγραμμο. ν η διχοτόμος της γωνίας στο και τη στο, να αποδείξετε ότι - = 1. P = = ˆ τέμνει τη = = + = 1 + (1) Θ. διχοτόμων στο τρίγωνο = (1) = 1 + = 1.
4 5. ίνεται κύκλος διαμέτρου και χορδή κάθετη στην. ν Μ είναι σημείο της χορδής και οι ευθείες Μ και Μ τέμνουν τον κύκλο στα και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι. =.. 1 Μ 1 ρκεί να δειχθεί ότι =» =» και» =» ˆ = ˆ και ˆ = ˆ 1 1 Μ διχοτόμος του τριγώνου και Μ διχοτόμος του τριγώνου = και = άρα = 6. ν τα σημεία, και, αποτελούν αρμονική τετράδα και το είναι μεταξύ των, να αποδείξετε ότι:., όπου Ο το μέσο του 1 1 i =. =. ( Ο + Ο ). ( Ο Ο ) = ( Ο Ο ). ( Ο + Ο ) ( Ο + Ο ). ( Ο Ο ) = ( Ο Ο ). ( Ο + Ο ) Ο.Ο + Ο. Ο Ο.Ο = + Ο.Ο Ο.Ο Ο. Ο Ο. Ο = Ο. Ο = O i = =.. =.... =. +. (διαιρούμε με..) 1 1
5 7. Nα κατασκευαστεί εσωτερική ημιευθεία x της γωνίας ˆ τριγώνου τέτοια, ώστε αν, είναι οι προβολές των, στην x αντίστοιχα, να είναι =, όπου μ, ν γνωστά τμήματα. νάλυση x Έστω ότι κατασκευάστηκε η ζητούμενη ημιευθεία x με =, όπου, είναι οι προβολές των, στην x αντίστοιχα. Προεκτείνουμε τη μέχρι να τμήσει την σε σημείο. P = =, άρα το σημείο είναι κατασκευάσιμο. Σύνθεση Σχεδιάζουμε το δοσμένο τρίγωνο. Πάνω στην κατασκευάζουμε σημείο, ώστε = Φέρουμε τη και ημιευθεία x. Η x είναι η ζητούμενη. πόδειξη Ονομάζουμε το σημείο τομής των, x και φέρουμε x. P = =.
6 8. ίνεται γωνία xoy ˆ και σταθερό σημείο στο εσωτερικό της. Να κατασκευασθεί ευθεία, που να διέρχεται από το και να τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία και, ώστε: τo A να είναι μέσο του. i να είναι = 3 και ii να είναι AB A =, όπου μ, ν γνωστά τμήματα. νάλυση O K y x Έστω η ζητούμενη. Τότε μέσο του. Φέρουμε ΚPΟx. Τότε Κ μέσο του Ο, με το Κ κατασκευάσιμο. Σύνθεση ράφουμε τη δοσμένη γωνία xoy ˆ και το δοσμένο σημείο. πό το φέρουμε παράλληλη στην Οx, που τέμνει την Οy σε σημείο Κ. Πάνω στην Οy θεωρούμε σημείο, ώστε Κ = ΟΚ. Η ευθεία είναι η ζητούμενη. πόδειξη Ονομάζουμε το σημείο τομής της ευθείας με την Οx. Κ μέσο της Ο και Κ PΟx μέσο της. i = 3 A = 1 3 3 1 Στο είχαμε =. Έτσι, λύνουμε με τον ίδιο τρόπο, παίρνοντας πάνω στην Οy σημείο, ώστε Κ = 1 ΟΚ. ii AB A = = Λύνουμε με τον ίδιο τρόπο, παίρνοντας πάνω στην Οy σημείο, ώστε Κ = ΟΚ.
7 9. ύο κύκλοι ( Κ, R) και ( Λ, ρ) τέμνονται στα σημεία και. Να κατασκευασθεί ευθεία που να διέρχεται από το και να τέμνει τους κύκλους στα σημεία και, ώστε να είναι: AB = A, i νάλυση Κ Μ A Λ Η = 3 4 Σύνθεση ράφουμε τους δοσμένους κύκλους. Έστω ότι κατασκευάστηκε η ζητούμενη ευθεία με = AB = 1. (1) A Φέρουμε Κ, ΛΗ και Μ κάθετες στη. A (1) A = 1 A A = 1 () ΚPΜPΛΗ με Θ. Θαλή = A A () = 1, άρα το σημείο Μ κατασκευάσιμο. Θεωρούμε σημείο Μ του τμήματος ΚΛ τέτοιο, ώστε = 1 ( εδώ το μέσο). Φέρουμε το Μ και από το κάθετη στο Μ, που τέμνει τους κύκλους στα,. Η ευθεία είναι η ζητούμενη. πόδειξη Φέρουμε Κ, ΛΗ κάθετες στη. A ΚPΜPΛΗ με Θ. Θαλή A = A A = 1 1 A A = 1 1 A A = 1 =. i Με τον ίδιο τρόπο, αντί για την αναλογία A A = 1 έχουμε την αναλογία = 3 4.
8 10. ν,, είναι οι διχοτόμοι ενός τριγώνου και Ι είναι το έκκεντρο του τριγώνου, να αποδείξετε ότι + + 6. Άρα Ι + + = Ι διχοτόμος του τριγώνου = = Ομοίως, κυκλικά θα έχουμε + + = και = B = E = + + = λλά το άθροισμα των αντίστροφων αριθμών είναι. πόδειξη: 0 0. Άρα + + + + = 6.