ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση z, z μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν z z = z z Έχουμε: z z = z z ( z z ) ( z z ) = z z z z = z z z z z z = z z z z. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Άσκηση Να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. (όπως στο σχολικό βιβλίο σελ.9) Έστω η εξίσωση α z +β z+γ= με α, β, γ και α. Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο και τη μετασχηματίζουμε με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: β z + = α 4α,όπου = β 4αγ, η διακρίνουσα της εξίσωσης. Έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις: >. Τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις τις z, β ± = 4 β αγ α. β =. Τότε η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική λύση: z =. α <. Τότε επειδή i i = = =, η εξίσωση γράφεται α α α α 4 4 4 β i β ± i z + =, οπότε οι λύσεις της είναι: α α z, = α, οι οποίες είναι δύο συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.

Άσκηση 3 α) Αν z,z μιγαδικοί αριθμοί, να δείξετε ότι: z+ z = z+ z. β) Τι ονομάζουμε μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z ; α) Έστω z =α+β i και z =γ+δ i, με α, β, γ, δ. Τότε: z + z = α+β i + γ+δ i = α+γ + β+δ i= α+γ β+δ i= ( α β i) + ( γ δ i) = z+ z. β) Έστω M(, y ) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z = + yi στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z την απόσταση του M από την αρχή O, δηλαδή: z = OM = + y 3

Άσκηση 4 α) Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+β i, με α, β ισχύουν: z+ z = α z z = β i β) Τι παριστάνουν στο μιγαδικό επίπεδο οι εξισώσεις: i. z z =ρ, z,z με ρ>. ii. z z = z z,z,z,z. α) Έστω z =α+βi, α, β τότε ισχύουν: z+ z =α+β i+α β i= α και z z =α+βi α+β i= β i β) Η εξίσωση z zo μιγαδικό επίπεδο και ακτίνα ρ. =ρ παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα K z του μιγαδικού z στο Η εξίσωση z z = z z παριστάνει τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όπου Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών z και z στο μιγαδικό επίπεδο. 4

Άσκηση 5 Αν ν N και i η φανταστική μονάδα, να υπολογίσετε το i ν για τις διάφορες τιμές του ν. Έστω ν= 4 ρ+υ όπου ρ και υ το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του ν με το 4. Τότε επειδή υ=,,,3 έχουμε: i ν = = 4ρ 4 ρ i i 4ρ+ 4 ρ i i i i = = 4ρ+υ = i = 4ρ+ 4 ρ = = i i i 4ρ+ 3 4 ρ 3 3 i = i i = i = i 5

Άσκηση 6 α) Να φέρετε το πηλίκο α+βi γ+δi με α, β, γ, δ και γ+δi στη μορφή κ+λ i με κ, λ. β) Με τι ισούται γεωμετρικά το μέτρο της διαφοράς z z δυο μιγαδικών αριθμών z,z. α+βi α) Για να εκφράσουμε το πηλίκο στη μορφή κ+λ i πολλαπλασιάζουμε τους όρους του γ+δi κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε: ( α+βi)( γ δi) α + βi αγ + βδ + βγ i αδi αγ + βδ βγ αδ = = = + i. γ+δi γ+δi γ δi γ +δ γ +δ γ +δ β) Το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών ισούται με την απόσταση των εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο. 6

Άσκηση 7 Να δείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών τους ακτινών. Αν M( αβ, ) και M(, γδ ) είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z =α+β i και z =γ+δ i z z = α γ + β δ i παριστάνεται με α γ β δ για το οποίο ισχύει ON = OM OM, άρα αποδείχτηκε. αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η διαφορά το σημείο N (, ) 7

Άσκηση 8 Να δείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δυο μιγαδικών αριθμών ισούται με το άθροισμα των διανυσματικών τους ακτινών. Αν M( αβ, ) και M(, γδ ) είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z =α+β i και i =γ+δ αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα + = ( α+γ ) + ( β+δ ) παριστάνεται με το σημείο N ( α+γ, β+δ ), για το οποίο ισχύει: z z z i ON = OM + OM, άρα αποδείχτηκε. 8

Άσκηση 9 Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: i. z + 3i =. ii. z+ + i = z i. i. Έστω M(, y ) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό επίπεδο και K (, 3) εικόνα του 3i. Τότε έχουμε: z + 3i = z ( 3i) = ( KM) =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων M(,y) των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο το K (, 3) και ακτίνα ρ=. η ii. Έστω Λ η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο και A, B οι εικόνες των μιγαδικών i και i z+ + i = z i z i = z + i Λ A = Λ B. + αντίστοιχα. Τότε έχουμε: Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α(-,-) και Β(,). 9

ΘΕΜΑ Β Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z + i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re(z) = Im(z) να υπολογίσετε τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς. iii. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z του παραπάνω ερωτήματος να αποδείξετε ότι z I. i. Η δοσμένη σχέση μας δίνει: z 4 = z z 4 z 4 = 4 z z z z 4z 4z + 6 = 4z z 4z 4z + 4 3z z = z = 4 z =. ii. Έστω z =α+βi, α, β. Επειδή Re(z) = Im(z), δηλαδή α=β και από το προηγούμενο ερώτημα έπεται ότι: z = α +β = α +β = 4 α = 4 α=±. Άρα, z= + i ή z= i. iii. Έστω z= + i τότε: z i i i 4i I = + = + + =. Ομοίως και για την άλλη ρίζα: z= i.

Άσκηση Για το μιγαδικό z = + yi με, y να δείξετε ότι: i. Re(z) Re(z) z. ii. Im(z) Im(z) z. iii. Re(z) Im(z) z. iv. Re(z) + Im(z) z. i. Έχουμε: Re(z) Re(z) z + y, η πρώτη ανισότητα ισχύει, για κάθε,από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών και η δεύτερη γίνεται: + y + y + y y, η οποία ισχύει, για κάθε y, άρα ισχύει και η αρχική. ii. Έχουμε: Im(z) Im(z) z y y + y, η πρώτη ανισότητα y y ισχύει, για κάθε y, από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών και η δεύτερη ανισότητα γίνεται: y + y y + y y + y, η οποία ισχύει, για κάθε. iii. Έχουμε: Re(z) Im(z) z y + y + y y ( y), το οποίο ισχύει, για κάθε, y, άρα αποδείχτηκε. iv. Έχουμε: Re(z) + Im(z) z + y + y ( + y) ( ) + y + y + y + y y, το οποίο ισχύει, για κάθε, y, άρα αποδείχτηκε.

Άσκηση 3 α) Να υπολογίσετε το γινόμενο: 3 64 P = i i i i. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: 3 4 S= i i + i i + i ν, για τις διάφορες τιμές του ν N. α) Χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής ν προόδου, δηλαδή τον τύπο S ν = ( α +α ν), παίρνουμε: 64 ( + 64 3 64 + + 3+ + 64 ) 8 4 5+ P = i i i i = i = i = i = i = i = β) Εδώ έχουμε το άθροισμα των ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α = i και λόγο λ= i. Οπότε, χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος των ν πρώτων όρων μιας ν λ γεωμετρικής προόδου, δηλαδή τον τύπο: S ν = α, παίρνουμε: λ ν 3 4 ν i S= i i + i i + i = i = i = i i ν i =, i ( i ) i = i = i = + i, i + i αν ν: άρτιος αν ν: περιττός

Άσκηση 4 7 Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει: 3 i. Να δείξετε ότι: z. ii. Να υπολογίσετε το z. z = 6 z : 7 i. Πολλαπλασιάζουμε και τα δυο μέλη της σχέσης 3 7 3 3 3 3 6 z = 6 z με 3 z και παίρνουμε: z z = 6 z z z = 6 z z z = 6 z και επειδή z Rέπεται ότι και z. ii. Παίρνουμε τα μέτρα στην αρχική σχέση και έχουμε: 7 3 7 3 7 3 z 6 z z 6 z z 6 z = = = και επειδή z = z, έχουμε ισοδύναμα 3 4 z z 6 = 4 ( z = ή z = 6) ( z = ή z = ). 3

Άσκηση 5 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z, z i. 3 α) Να βρείτε το συζυγή του μιγαδικού αριθμού : 5i z + 3 + z w =,z i. 3 i z 3 β) Αν ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο μοναδιαίος κύκλος, να βρείτε την καμπύλη στην οποία κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού u = + 5i z i. α) Χρησιμοποιώντας ιδιότητες των συζυγών μιγαδικών αριθμών, έχουμε: 5i z + 3 + z 5i z + 3 + z w = = = 3 i z 3 i z 5i z + 3 + z 5 i z + 3 + z 5i z + 3 + z = =. 3 i z 3 i z + 3 i z β) Ισχύει z = και u = ( + 5i) z i u + i = ( + 5i) z επομένως u + i = ( + 5i) z = + 5 z άρα u + i = 3 επομένως οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού u κινούνται σε κύκλο με κέντρο το σημείο K(, ) και ακτίνα 3, δηλαδή στον κύκλο C : + y + = 3 4

Άσκηση 6 Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: i. z z = i. ii. z = z. iii. Im ( z) = Re( z ). iv. ( z + z ) = 4. Έστω z = + yi με, y τότε: i. z z = i yi = i y = άρα η εξίσωση περιγράφει γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς που οι εικόνες τους είναι πάνω στην οριζόντια ευθεία y=. ii. z = z z+ z = = = άρα η εξίσωση περιγράφει γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς που οι εικόνες τους είναι πάνω στην κατακόρυφη ευθεία =. Im z = Re z y = άρα η εξίσωση περιγράφει γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς iii. που οι εικόνες τους είναι πάνω στην πρώτη διχοτόμο των αξόνων. iv. z + z = 4 4 = 4 = =± άρα η εξίσωση περιγράφει γεωμετρικά τους μιγαδικούς αριθμούς που οι εικόνες τους είναι πάνω στις κατακόρυφες ευθείες = και =. 5

Άσκηση 7 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις: i. z + 3i <. ii. z+ + i z i i. Έστω M(, y) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό επίπεδο και K (, 3) εικόνα του 3i. Τότε έχουμε: z + 3i < z ( 3i) < ( KM) <. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων M(,y) των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο το K (, 3) και ακτίνα ρ=, που έχει εξίσωση: ( ) + ( y + 3) <, δηλαδή τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο το K (, 3) ακτίνα ρ=. (Σχήμα ) η και ii. Έστω Λ η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο και A, B οι εικόνες των μιγαδικών i και + i αντίστοιχα. Τότε έχουμε: z+ + i z i 6

z ( i) z ( + i) ( A) ( B) Λ Λ. Η τελευταία ανισότητα επαληθεύεται από τα σημεία του ημιεπιπέδου (,A), δηλαδή του ημιεπιπέδου που περιέχει το σημείο A και έχει ακμή τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος A B. Πράγματι (βλ. Σχήμα ) έστω ότι το σημείο Λ ανήκει στο ημιεπίπεδο (,A). Αν δεν ανήκει στην ευθεία και επίσης δεν ανήκει στην ημιευθεία ΜΑ, τότε από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΚΛ έχουμε ( Λ A) < ( Λ K) + ( KA) = ( Λ K) + ( KB) = ( Λ B). Αν Λ A = Λ B. Επίσης αν ανήκει στην ημιευθεία ΜΑ, το σημείο Λ ανήκει στην ευθεία τότε τότε πάλι προφανώς ( ΛA) ( Λ B. ) Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το ημιεπίπεδο με εξίσωση: 6+ 4y+ 3. 7

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση z z + +λ = () με Έστω η εξίσωση * λ i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μιγαδικές ρίζες. ii. Αν z,z οι ρίζες της εξίσωσης () να υπολογίσετε τα z+ z και z z. iii. Αν Μ και Ν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z και z αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο και ( OMN) = 3, όπου Ο η αρχή των αξόνων, να υπολογίσετε το λ και τις ρίζες z και z. i. Υπολογίζουμε τη Διακρίνουσα: = 4 4+λ = 4λ < άρα η εξίσωση () έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες. ii. Γνωρίζουμε ότι: z β γ + z = και z z =, α, άρα, α α z+ z = και z z = +λ. iii. Οι ρίζες z,z της εξίσωσης είναι συζυγείς μιγαδικές, οπότε έστω z = + yi και z = yi με,y και y >. Τότε από το προηγούμενο ερώτημα θα ισχύει z+ z = = = και z z = + y = +λ + y = +λ y = λ. 8

Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ είναι: (MN) (OK) y OMN = = = y = 3, άρα λ = 3 λ=± 3 και οι ρίζες της εξίσωσης είναι: z = + 3i και z = 3i. 9

Άσκηση i. Αν z,zμιγαδικοί αριθμοί, να δείξετε ότι: z + z = z + z + Re(z z ). ii. Για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z, να αποδείξετε τις ισοδυναμίες: z + z = z + z z z I OM ON, όπου OM και ON οι διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών z και z αντίστοιχα. iii. Να δειχθεί ότι για κάθε z,z ισχύει η ταυτότητα: + + = + z z z z z z. iv. Αν z = 3, w = 5 και z+ w = 6 να υπολογίσετε το z w,z, w i. Εφαρμόζοντας ιδιότητες του μέτρου μιγαδικών αριθμών, έχουμε: z + z = z + z z + z = z + z z + z = zz + zz + zz + zz = z + z + zz + zz = z + z + zz + zz = z + z + Re(z z). ii. Έστω z + z = z + z, τότε βάσει του πρώτου ερωτήματος έπεται ότι: Re(z z ) = Re(z z ) = z z I (). Αντίστροφα, για z z I και λόγω της ισοδυναμίας () και του (i) ερωτήματος θα έχουμε ότι: z + z = z + z. Για z = + yi και z = + yi, με,y,,y, έχουμε: z z = + y i y i = + y y + y y i. ()

Έστω z z y y I, τότε από τη σχέση (), παίρνουμε: OM ON =, y, y = + y y = + = (3) όμως, άρα OM ON. Αντίστροφα, για OM ON συνεπάγεται ισχύει η σχέση (3) και λόγω της σχέσης (), έχουμε z z I. iii. Ισχύει: z + z + z z = z + z z + z + z z z z = ( zz zz zz zz ) ( zz zz zz zz ) + + + + + = ( ) z + z, άρα αποδείχτηκε. iv. Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε: z+ w + z w = z + w, για κάθε z, w και αντικαθιστώντας τις τιμές, από τα δεδομένα του ερωτήματος, παίρνουμε: 6 + z w = 3 + 5 z w = 3 z w = 3.

Άσκηση 3 Δίνεται η εξίσωση z 4z 4, (), z, ηµθ + = θ. i. Να λύσετε την εξίσωση (). ii. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της (), στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω σε κύκλο. iii. Αν z,z οι ρίζες της (), να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z z. z 4z ηµθ + 4 = (), θ i. = 6 ηµ θ 6 = 6( ηµ θ ) = 6 συν θ οπότε 4 ηµθ ± 4i συνθ z, = = ηµθ ± i συνθ = ηµθ ± i συνθ ii. Έστω = ηµθ και y = ± συνθ, τότε: + y = 4 ηµ θ + 4 συν θ = 4. Οπότε οι ρίζες της εξίσωσης κινούνται πάνω στον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα. iii. Αν Μ και Λ οι εικόνες των ριζών z,z στο μιγαδικό επίπεδο, τότε επειδή αυτές είναι συζυγείς, τα σημεία Μ και Λ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα. Οπότε η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το z z είναι το (ΑΒ)=4, για θ= k π, k Z, (σχήμα ).

Άσκηση 4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύει: ( z ) w = 4 και 6 z w = 4. i. Να υπολογίσετε τα z και w. ii. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w. iii. Να δείξετε ότι: 3 z+ w 5. Πότε ισχύουν οι ισότητες; i. Αν πάρουμε μέτρα και στις δυο σχέσεις έχουμε: z = w4 z w = 4 z w = 4 (). 6 6 z w4 z w 4 = = (). Διαιρώντας τις σχέσεις ():(), * z, w από δεδομένα, παίρνουμε: 4 z = z = και αντικαθιστώντας στην (): w = 4. ii. z w = 4 z w = 4 z w = 4 z w = 4 z w = 4, οπότε η σχέση 6 z w = 4 γίνεται: 6 4 4 4 z w 4 z z w 4 z 4 4 z = = = = z z + = z =±, z =± i. Αν z= ± τότε w = 4, και αν z= ± i, τότε : 6 iw= 4 w= 4. iii. ισχύει: z = και w = 4, οπότε: z w z+ w z + w 3 z+ w 5. Η z w = z+ w ισχύει όταν z= και w = 4, ενώ η z+ w = z + w ισχύει όταν z= και w = 4. 3

Άσκηση 5 α) Για τον μιγαδικό αριθμό z = + yi,, y να αποδείξετε τις ισοδυναμίες: z = z z z = z z I β) Αν z,z με z = z =ρρ>, και z z ρ, να δείξετε ότι: z+ z i. Ο μιγαδικός αριθμός w =. ρ + z z z z ii. Ο μιγαδικός αριθμός w = I. ρ + z z α) z = z yi = + yi yi = y = z. Ομοίως, z = z yi = yi = = z I. β) z = z =ρ z = z =ρ z z z z = = ρ οπότε: z ρ = και z z ρ =. z i. Χρησιμοποιώντας το ερώτημα (α) αρκεί να δείξουμε ότι w = w. Είναι: w z + z z + z = = = ρ + z z ρ + z z ( z z ) ρ + ρ ρ + z + z z z z z = = = w. άρα αποδείχτηκε. ρ + ρ +ρ z z ρ ρ z z ρ + z z z z ii. Χρησιμοποιώντας το ερώτημα (α) αρκεί να δείξουμε ότι w = w. Είναι: 4

w z z z z = = = ρ + z z ρ + z z ( z z ) ρ ρ ρ z z z z z z = = = w. άρα αποδείχτηκε. ρ + ρ +ρ z z ρ ρ z z ρ + z z z z 5

Άσκηση 6 Για τους μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς z, w, να λυθεί το σύστημα: + = 8 6 z w = 6 z w = z w Έχουμε το σύστημα: 8 6 z w = () 6 z w = (), z + w = (3) υψώνουμε την πρώτη στον κύβο: 4 8 z w = (4) και διαιρούμε την () με την (4): z w = z = και αντικαθιστούμε στην (3), οπότε: w 4 w w w w + = + + = w w w i + = = =±. Αντικαθιστώντας στην (3) βρίσκουμε: z = ± i. Έτσι οι λύσεις του συστήματος είναι: ( z = i, w = i) ή ( z = i, w = i) ή ( z = i, w = i) ή ( z i, w i) = =. 6

Άσκηση 7 i. Να λύσετε στο την εξίσωση: z iz = ii. Αν z,z οι ρίζες της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι: z = z. 3 3 i. Έστω z = + yi,, y, τότε η εξίσωση y + yi i + y = + = ( y ) = y y z iz = γίνεται: + = = y y + = ή y = y y 3 = ± y = z άρα, 3 =± + i, (για = η εξίσωση y + y = είναι αδύνατη). ii. και 3 3 3 3 3 3 3 3 z = + i 3 i 3 i i i = + + + = 8 4 8 3 3 3 3 3 3 3 3 z = + i = + 3 i 3 i + i = i, 8 4 8 επομένως: z = z 3 3 7

Άσκηση 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = 3ηµθ + 4i συνθ, θ. i. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z κινούνται πάνω σε μια έλλειψη. ii. Αν z,z δυο μιγαδικοί αριθμοί της παραπάνω μορφής, να δείξετε ότι z z 8. i. Έστω z = + yi με, y, τότε = ηµθ 3 = 3ηµθ z = 3ηµθ + 4iσυνθ y= 4συνθ y = συνθ 4 υψώνουμε στο τετράγωνο και τις δυο σχέσεις και αθροίζουμε, οπότε λαμβάνουμε:, y y + = + = 3 4 9 6 και η οποία παριστάνει έλλειψη με μήκος μεγάλου άξονα 8 και μήκος μικρού άξονα 6. ii.το z z παριστάνει την απόσταση των εικόνων των δυο μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο και επειδή οι τελευταίες είναι σημεία της προηγούμενης έλλειψης έπεται έχουν τη μεγαλύτερη απόσταση όταν είναι τα άκρα του μεγάλου άξονα, άρα η μέγιστη τιμή που λαμβάνει το z z είναι 8. 8

Άσκηση 9 4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, και w = z. Να δείξετε ότι αν οι εικόνες των μιγαδικών z αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται σε κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=, τότε οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w κινούνται σε ευθύγραμμο τμήμα. Για τον z =α+ bi με α,b ισχύει: z = α + b = α + b = 4 b = 4 α απ όπου α α και ομοίως συνάγεται b. Επίσης ( α ) 4 4 4 bi w = z =α+ bi =α+ bi =α+ bi α+ bi = + bi z α+ bi α + b οπότε αν w = + yi έπεται ότι = και y b [ 4, 4] =. Άρα η εικόνα του w κινείται πάνω στον άξονα των φανταστικών στο ευθύγραμμο τμήμα με άκρα A (, 4) και B(, 4 ). 9

ΘΕΜΑ Δ Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z με + i t z = 5 + 3, t. i t Να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού z ανήκουν σε κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. Έστω z = + yi με, y. Έχουμε: ( + i t) + i t + yi = 5 + 3 + yi = 5 + 3 i t + t t ti + yi = 5 + 3 + 3. + t + t Άρα, t 5 = 3 + t και y t = 3 t +. Υψώνουμε στο τετράγωνο και αθροίζουμε, οπότε: t + t + 4t 5 + y = 3 = 3 4 ( + t ) Άρα οι εικόνες του μιγαδικού z ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ(5,) και ακτίνα ρ=3. 3

Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = + i και z = 3 + 4i i. Για τον μιγαδικό αριθμό z = + yi,, y να αποδείξετε την ισοδυναμία: z = z z. ii. iii. iv. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό z z επίπεδο, για τους οποίους ισχύει:, όπου z,z με z z. z z Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z να βρείτε ποιος έχει το ελάχιστο μέτρο. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό w = t z + t z όταν το t διατρέχει το. επίπεδο, για τους οποίους ισχύει: i. z = z yi = + yi yi = y = z. ii. Έστω z yi, = + με, y και, y 3, 4, τότε: z z z z z z z z z z R = = z z z z z z z z z z zz zz zz + zz = zz zz zz + zz και αντικαθιστώντας τους μιγαδικούς παίρνουμε: y= +. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ( ) :y= +, χωρίς το σημείο Κ(3,4). iii. Για να βρούμε ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z έχει το ελάχιστο μέτρο, θα φέρουμε την κάθετη ευθεία από την αρχή των αξόνων στην ( ) : y = +. Η ευθεία (ε) έχει λ =, άρα η κάθετη ευθεία συντελεστή διεύθυνσης η της (ε), θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = και επειδή διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση: y= + ( η ) :y=. Λύνουμε το σύστημα: y= και βρίσκουμε = και y =, άρα ο μιγαδικός αριθμός z με το μικρότερο μέτρο είναι ο z= + i. 3

iv. Έστω w yi = + με, y, τότε + = ( + ) + ( ) ( + ) = ( ) + ( + ) yi t i t 3 4i 3 t t 4 i, συνεπώς, = 3 t, () και y = t + 4, () και απαλείφοντας το t μεταξύ των σχέσεων () και (), παίρνουμε: y= +. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία ( ) :y= +. 3

Άσκηση 3 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός w για τον οποίο ισχύει: i. w. + w+ w =. Να δείξετε ότι: ii. iii. iv. 3 w =. 3ρ 3ρ+ 3ρ+ w w w + + =. 9 8 w w w + + =. v. ( + w) 5 = w. 3 + 3w + 5w = 496. vi. i. Προφανώς w, διότι για w = από τη σχέση + w+ w = προκύπτει 3= άτοπο. ii.πολλαπλασιάζουμε τη δοσμένη σχέση με το ( w ) οπότε έχουμε: 3 3 w w w w w w w + + = + + = = =. 3 Β τρόπος: Λύνουμε την εξίσωση + w+ w = w, = ± i, κατόπιν υψώνουμε στην 3η και βρίσκουμε το ζητούμενο. 3 3 3 3 ρ 3 ρ 3 ρ w w w w w w w w + + = + + = ρ ρ+ ρ+ iii. + w+ w = που ισχύει, άρα αποδείχτηκε. iv. 9 8 9 8 w + w + w = w + w + = w + w + = w 3 3+ 3 3+ 3 3 3 3 w + w + = w w + w w + = w + w + =, που ισχύει άρα αποδείχτηκε. 5 5 3 3 v. + w = w = w = w w = w. vi. 4 3 w = 496( w ) 8 = 496. + + = + + + = + + + = 3 3w 5w 3 3w 3w w 3 w w w 33

Άσκηση 4 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = ( λ+ ) + ( 3λ+ ) i, λ και w 4 i =. i. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z. ii. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. iii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του z w. i. Στον μιγαδικό αριθμό z = ( λ+ ) + ( 3λ+ ) i, λ, θέτουμε = ( λ+ ) και y ( 3 ) = λ+ και απαλείφοντας το λ παίρνουμε y = 3. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία (ε) με εξίσωση y = 3. ii. Ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το K ( 4, ) και ακτίνα ρ=. iii. Όπως φαίνεται στο Σχέδιο, η ελάχιστη απόσταση του κύκλου από τη ευθεία είναι το μήκος του τμήματος ΑΒ. y = 3 3 y = οπότε: 3 4 AK = = = 3 + άρα ( AB) =, επομένως η ελάχιστη τιμή του z w είναι. 34

Άσκηση 5 π π συν α z συνα z + + ηµ α = () με α,. Έστω η εξίσωση i. Να λύσετε την εξίσωση (). Για ποια τιμή του α η () έχει πραγματικές ρίζες; ii. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της () κινούνται πάνω σε μια υπερβολή. π π iii. Να βρεθεί η τιμή του α, το ελάχιστο μέτρο. έτσι, ώστε να έχουμε τη λύση της εξίσωσης με i. Η διακρίνουσα της εξίσωσης ισούται: = 4συν α 4+ ηµ α συν α = 4 συν α ηµ α. Όταν α= τότε = και η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική ρίζα συνα z= = = =. συν α συνα συν π π Όταν α,, τότε < και η εξίσωση έχει δυο συζυγείς μιγαδικές ρίζες z i = συνα ± συνα ηµα = ± i ηµα συν α συνα συνα., ii. Έστω ότι ηµα = και y = ± και από τη γνωστή ταυτότητα συνα συνα έπεται φ α+ = συν α y + = y = με >, αφού συνα >. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι ο ένας κλάδος μιας (ισοσκελούς) υπερβολής. 35

iii. Η λύση με το ελάχιστο μέτρο αντιστοιχεί στο σημείο της υπερβολής που απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων, δηλαδή στην κορυφή Α(,), το οποίο είναι η εικόνα της πραγματικής λύσης της εξίσωσης που βρήκαμε στο πρώτο ερώτημα, για α=. 36

Άσκηση 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,z με z. Αν Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z+ i z, z i z και z+ 3 z αντίστοιχα, τότε: i. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. ii. Αν z =,να βρείτε το εμβαδό του ΑΒΓ. i. Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των z+ i z, z i z και z+ 3 z αντίστοιχα. Για να δείξουμε ότι σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, αρκεί να δείξουμε ότι AB = AΓ = BΓ. Όμως: ( AB) ( z i z ) ( z i z ) = + = i z = z. ( A ) ( z i z) ( z 3 z) Γ = + + = ( 3+ i ) z = 3+ i z = z και ( B ) ( z i z) ( z 3 z) Γ = + = ( 3 i ) z = 3 i z = z. Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και οι πλευρές του έχουν μήκος z. ii. Γνωρίζουμε ότι το εμβαδό ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α δίνεται από τον τύπο α 3 E =, επομένως το παραπάνω ισόπλευρο τρίγωνο έχει εμβαδό 4 z 3 ABΓ = = 4 3 τ.μ. 4 37

Άσκηση 7 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: 4 Re z 7Re z. z i. = 4 Im z Im z. z ii. = Θέτουμε z = + yi με, y και έχουμε: ( + ) 4 4 4 yi z = + yi = + yi = z yi + y ( + ) ( + ) y 4 y y 4 + i + y + y με + y. Οπότε: ( + ) 4 y 4 i. Re z = 7Re( z) = 7 = ή + y = άρα ο γεωμετρικός z + y τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο άξονας yy με εξαίρεση το σημείο O(, ) και ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ( + ) ρ=. 4 y y 4 4 ii. Im z = Im ( z) = y y = ή + y = άρα ο γεωμετρικός z + y 3 τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο άξονας με εξαίρεση το σημείο O(, ) και ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 3 ρ=. 3 38

Άσκηση 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z+ i = και w 4 3i =. i. Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των εικόνων των z και w στο μιγαδικό επίπεδο. ii. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των z και w. iii. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z w. i. Ισχύει: z+ i = z ( + i) = άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(-,) και ακτίνα C : + + y =. Επίσης, ρ =, δηλαδή ο w 4 3i = w ( 4 + 3i) =, άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το σημείο Λ(4,3) και ακτίνα C : 4 + y 3 = ρ =, δηλαδή ο ii. Στο σχήμα φαίνονται οι δυο γεωμετρικοί τόποι. Από την ευκλείδεια γεωμετρία γνωρίζουμε ότι για τον κύκλο με κέντρο Κ η ελάχιστη απόσταση των σημείων του από την αρχή των αξόνων είναι το OB = d O, K ρ και η μέγιστη το ( OA) d ( O, K) = +ρ. Όμως d(o, K) = OK = + = οπότε ( OB) = και ( OA) = +. Επομένως η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του z είναι και + αντίστοιχα. 39

Για τον κύκλο με κέντρο Λ έχουμε d(o, Λ ) = (O Λ ) = 4 + 3 = 5, οπότε η ελάχιστη απόσταση των σημείων του από την αρχή των αξόνων είναι το ( OΓ ) = d ( O, Λ) ρ = 5 = 4 και η μέγιστη το ( O ) = d ( O, Λ ) +ρ = 5 + = 6. Επομένως η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του w είναι 4 και 6 αντίστοιχα. iii. KΛ = 4 + + 3 = 9 και ρ +ρ = + = 3, οπότε ( KΛ ) >ρ +ρ, άρα ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου. Σ αυτήν την περίπτωση γνωρίζουμε από την ευκλείδεια γεωμετρία ότι η ελάχιστη απόσταση των σημείων των δυο κύκλων είναι το τμήμα (NE) και η μέγιστη το τμήμα (MZ). Ισχύει Άρα ( NE) = ( KΛ) ρ ρ = 9 3 και ( NE) = ( KΛ ) +ρ +ρ = 9 + 3, οι οποίες τιμές αντιστοιχούν στην ελάχιστη και στη μέγιστη τιμή του z w. 4

Άσκηση 9 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z που επαληθεύουν την: Im(z) = z + i. β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των z, w που επαληθεύουν τις: z = z i και w = w 4i βρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες, και να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του z w. α) Έστω z = + yi με, y. Τότε: Im(z) z i y yi i y y = + = + + = + + y = + y+ y y+ = + y+ = 4y, άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συμμετρίας τον yy, παράμετρο p=, Εστία το E (, ) και διευθετούσα την ευθεία y=. β) Έστω z = + yi με, y. Τότε: z = z i + yi = + yi i ( ) y ( y ) + = + + = 4y + 4 + 4y 3 =, A άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ = =. B Ομοίως έστω w =α+ bi, με α,b, τότε: w = w 4i α+ bi = α+ bi 4i b α ( b 4) α + = + 4α+ 4 = 8b + 6 α+ b 3 =. Άρα συντεταγμένες του w επαληθεύουν την εξίσωση + y 3 =, επομένως και ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ = και επειδή λ =λ οι δυο ευθείες είναι παράλληλες. 4

Η ελάχιστη τιμή του z w είναι η απόσταση των παραλλήλων. Θεωρούμε ένα σημείο της μιας ευθείας π.χ. το A ( 3, ) που ανήκει στην + y 3 = και από τον τύπο της απόστασης σημείου από ευθεία βρίσκουμε την απόσταση του Α από την ευθεία + 4y 3 =, που είναι ( 3) + 4 3 3 3 5 d = = = + 4 Άρα η ελάχιστη τιμή του z w είναι 3 5. 4

Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση: z 4 3i = 3 (). α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων τους είναι κύκλος που εφάπτεται στον άξονα. β) Αν z μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την (), τότε να δείξετε ότι: z + 3i + z 7 + 3i = 36 () και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη σχέση () γ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z ( 8 + 3i), όπου z μιγαδικός που ικανοποιεί την (). α) Έχουμε: z 4 3i = 3 z ( 4 + 3i) = 3, άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος, με κέντρο το σημείο K ( 4,3 ) και ακτίνα 3. Επειδή η απόσταση του κέντρου του κύκλου από τον άξονα είναι 3, δηλαδή ισούται με την ακτίνα του κύκλου, έπεται ότι ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα των πραγματικών αριθμών. β) Έστω z =α+ bi, με,b α. Τότε α + b 3i + α 7+ b 3i = 36 α + b 3 + α 7 + b 3 = 3 6 6 5 b 3 36 α α α α+ + = z + 3i + z 7 + 3i = 36 8α+ + 5 b 3 = α 8 8α+ + 69+ b 3 = 9+ 9 8α+ + 6 b 3 = 9 α 4 + b 3 = 3 z 4+ 3i = 3, το οποίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση. Γεωμετρική ερμηνεία: Έστω τα σημεία A (, 3) και B( 7,3 ). Επειδή ο συντελεστής διεύθυνσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι μηδέν έχουμε ότι η ΑΒ είναι παράλληλη του άξονα. Θεωρούμε τον κύκλο με διάμετρο την ΑΒ και κέντρο το σημείο Κ(4,3). Λόγω του (Β) ερωτήματος αν M η εικόνα του zστο μιγαδικό επίπεδο, το z ( + 3i) παριστάνει την απόσταση ( MA ) και το z 7 3i MB οπότε ( + ) την απόσταση 43

z + 3i + z 7 + 3i = 36 MA + MB = AB το οποίο ισχύει αφού είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα για το ορθογώνιο τρίγωνο ΜΑΒ. γ) Αν Λ (8,3) η εικόνα του μιγαδικού 8 + 3i, η οποία βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα σημεία Α και Β, τότε από την ευκλείδεια γεωμετρία (βλέπε Σχήμα ) γνωρίζουμε ότι η ελάχιστη τιμή του z ( 8 + 3i) είναι το μήκος του ΛΒ που είναι και η μέγιστη τιμή το μήκος του ΛΑ που είναι 7, δηλαδή ( Λ B) = z ( 8 + 3i) min = και ma Λ A = z 8 + 3i = 7 44

Άσκηση Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z i. Re(w) = α β 3 και Im(w) =α β. =α+β i, α, β R και w = z + iz 3. Να δείξετε ότι: ii. Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στην ευθεία y = +, τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z. iii. Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται πάνω στην ευθεία y= +, τότε οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w κινούνται πάνω στην ευθεία y= 6. i. w = z + iz 3 w = ( α β i) + i( α+βi) 3= ( α β 3) + ( α β) i Re(w) = α β 3 και Im(w) =α β. 5 ii.η εικόνα του w κινείται πάνω στην ευθεία y = +, άρα α β= 4α β 6+ α= 3 5 επομένως ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι η κατακόρυφη ευθεία =. 3 iii. Έστω και β παίρνουμε: γ= Re(w) και δ= Im(z), τότε έχουμε: α= β= γ δ+ 6 3 γ δ+ 3 3 άρα η εικόνα του w κινείται πάνω στην ευθεία y= 6. γ = α β 3, οπότε λύνοντας ως προς α δ=α β και αντικαθιστώντας στην y= + βρίσκουμε: δ = γ 6 45

Άσκηση α) i. Να δείξετε την ταυτότητα: z w z w ( z )( w ) + + =. ii. Αν z < και w > να δείξετε ότι: + z w < z + w. β) Αν z, w να δείξετε ότι: i. z w + z w z + w. z w + z w z w. ii. α) i. z w z w ( z w)( z w) ( z w)( z w) + + = + + + + = + z w + z w z + w z + w = + z w z w = ( z )( w ) άρα αποδείχτηκε. ii. αν z < και w > τότε ( )( ) z w < + z w z + w < + z w < z + w. β) i. z w + z w z + w z z + w w z w z w ( z w)( z w) z w z w z w το οποίο ισχύει, άρα αποδείχτηκε. ii. Ισχύει z + w = z + z w + z w + w z w z w z w z w z w + z w z w + = + οπότε η ανισότητα γίνεται: 46

z+ w z w z w z+ w z + w z+ w z + w η τελευταία ισχύει από τη γνωστή τριγωνική ανισότητα, άρα ισχύει και η ισοδύναμη της αρχική. Ημερομηνία τροποποίησης: // 47

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ] και f( α) f( β ), να δείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f( α ) και f( β ) υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός αβ (, ) τέτοιος ώστε f( ) = η. β) Έστω A ένα υποσύνολο του. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A ; α) Έστω ότι f( α ) < f( β ) και f( α ) < n< f( β ). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g() f() n αβ, παρατηρούμε ότι: =, [ ] Η g είναι συνεχής στο [ αβ, ] και g( α)g( β ) <, αφού g( α ) = f( α) η< και g( β ) = f( β) η>. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ( αβ, ) τέτοιο, ώστε g( ) = f( ) η= οπότε f( ) = η. β) Έστω A ένα υποσύνολο του. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. To y ονομάζεται τιμή της f στο και συμβολίζεται με f().

Άσκηση i. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; ii. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; iii. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα A και συνεχής στο ; A. Πότε λέμε ότι η f είναι i. Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού A και για κάθε A ισχύει f() = g(). ii. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f( ) < f( ). iii. Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού A. Λέμε ότι η f είναι συνεχής στο A, όταν lim f() = f

Άσκηση 3 α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; β) Τι ονομάζουμε σύνθεση gof δύο συναρτήσεων f,g με πεδία ορισμού A,B αντίστοιχα; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της gof; γ) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής. α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f( ) > f( ). β) Αν f,g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof, τη συνάρτηση με τύπο gof : A, όπου το πεδίο ορισμού A της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f() ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλαδή είναι το σύνολο A { A f() B} δηλαδή αν f(a) B. =. Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν A, γ) Έστω οι συναρτήσεις f,g,h. Αν h() f() g() κοντά στο και τότε lim f () =. lim h() = lim g() = 3

Άσκηση 4 i. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο A το f( ) ; ii. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano iii. Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνάρτηση -; i. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A θα λέμε ότι: παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο, το f( ), όταν f() f( ) για κάθε A. ii. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ] και επιπλέον, ισχύει f( α) f( β ) < τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον αβ (, ), τέτοιο ώστε f( ) =. Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() = στο ανοικτό διάστημα ( αβ, ). iii. Μια συνάρτηση f :A λέγεται συνάρτηση "-", όταν για οποιαδήποτε, Aισχύει η συνεπαγωγή: αν τότε f( ) f( ). 4

Άσκηση 5 i. Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής. ii. Πότε μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; i. Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ αβ, ], τότε η f παίρνει στο [ αβ, ] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m. ii. Μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν α) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή β) Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της f( ), στο σημείο. 5

Άσκηση 6 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β). Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον lim f() = f( α ) και limf() = f( β ). + α β 6

Άσκηση 7 i. Τι ονομάζεται ακολουθία; ii. Πότε μπορούμε να αναζητήσουμε τα όρια lim f () + και lim f () ; i. Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση * α:n ii. Για να έχει νόημα το όριο lim f () + μορφής ( α, + ). Για να έχει νόημα το όριο διάστημα της μορφής (, β ). πρέπει η f να είναι ορισμένη σε ένα διάστημα της lim f () πρέπει η f να είναι ορισμένη σε ένα 7

Άσκηση 8 i. Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano. Ποια είναι η γεωμετρική του ερμηνεία; ii. Να συγκρίνετε τους αριθμούς ηµ και. Πότε ισχύει η ισότητα; i. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ] και επιπλέον, ισχύει f( α) f( β ) <, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( αβ, ), τέτοιο ώστε f( ) =. Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f() = στο ανοικτό διάστημα ( αβ, ). Η γεωμετρική ερμηνεία του Θ.Bolzano είναι ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον σε ένα τουλάχιστον σημείο. ii. Για κάθε ηµ. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν =. 8

Άσκηση 9 Δίνεται το πολυώνυμο lim P() = P. ν P() =α +α + +α +α και. Να αποδείξετε ότι: ν ν ν Έστω το πολυώνυμο ν P() =α +α + +α +α και. ν ν ν Έχουμε: ν ν ( ν ν ) lim P() = lim α +α + +α ν ν ( ν ) ( ν ) = lim α + lim α + + lim α = α lim +α lim + + lim α ν ν ν ν =α +α + +α = P ν ν ν ν Επομένως lim P() = P 9

Άσκηση Δίνεται η ρητή συνάρτηση Q( ). P() f() =, όπου P(), Q() πολυώνυμα του και με Q() Να αποδείξετε ότι: P() P =. lim Q() Q( ) P() lim P() P( ) Είναι: lim f () = lim = =. Q() lim Q() Q Επομένως, P() P =, εφόσον Q( ). lim Q() Q( )

ΘΕΜΑ Β Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: + f () 3e 5 3 = +. α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f. β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς μια λύση στο. α) Η συνάρτηση έχει D f =. Για κάθε, με < έχουμε: < < + < + e < e 3e > 3e + + + + και < 5 > 5 5+ 3 > 5 + 3 + + άρα 3e 5 + 3 > 3e 5 + 3 f > f. Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. β) Η f έχει πεδίο ορισμού το, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το: f( ) = lim f(), lim f(). Είναι: + ( + lim f () lim 3e 5 3) + = + = + + = + = 3 lim e 5 lim 3 3 + + (αφού + lim e e lim (e ) e + + = = + = + ).

+ lim f () = lim ( 3e 5 + 3) = + = + + =+ + 3 lim e 5 lim 3 3 (αφού + lim e e lim (e ) e = = = ). Επομένως είναι f( ) = (, + ). γ) Αφού το σύνολο τιμών της f είναι το που περιέχει το, θα υπάρχει τέτοιος ώστε f( ) =. Επειδή επιπλέον η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, η είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης f() =.

Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f () = + 5 7,. i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο. ii. Να λύσετε την εξίσωση f() =. iii. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f. i. Η συνάρτηση f έχει D f =. Για κάθε, με <. Έχουμε: < < < και < 5 < 5 5 7 < 5 7 άρα + 5 7 < + 5 7 f < f. Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ii. Η f είναι συνεχής στο και γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. Εξάλλου f () = + 5 7 = και επομένως: f() = = iii. Είναι: f () = και η f είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε: Για κάθε <, έχουμε: f() < f() f() < Για κάθε >, έχουμε: f() > f() f() > 3

Άσκηση 3 Δίνεται η συνάρτηση f με f() = 4 e + 3. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να ορίσετε την f. i. Πρέπει: e e ln Άρα D = ln, + ). f ii. Για κάθε, [ln, + ) με < έχουμε: e e e e e e < < < < 4 e 4 e 4 e 3 4 e 3 < + < + f( ) < f( ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ln, + ). Οπότε αφού η f είναι και συνεχής (πράξεις συνεχών) το σύνολο τιμών της είναι: ( + )) = ) f ln, f ln, lim f () + Έχουμε: ln f(ln) = 4 e + 3= 4 + 3= 3 lim f () lim (4 e 3) + + = + = + Άρα f ([ ln, + )) = [ 3, + ) iii. Η f είναι - ως γνήσια αύξουσα (ii) και επομένως αντιστρέφεται. Για κάθε ln, + ) έχουμε: f() = y 4

y 3 e = + = 4 y 3 4 4 e 3 y y 3 (y 3) e = = ln + 4 4. y 3 y 3 Άρα ( 3) f () = ln + 4 με D [ 3, ) f = +. 5

Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f με f () = ln( + ) + 3 i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι -. iii. Να ορίσετε την f. iv. Να λύσετε την εξίσωση f + =. i. Πρέπει: και + > άρα D f =, + ) ii. Έστω, [, ) + με f( ) = f( ). Έχουμε: f ( ) = f ( ) ln( + ) + 3 = ln( + ) + 3 ln = ln ln = ln = = Άρα η f είναι -. iii. Έχουμε: y 3 f() = y y = ln( + ) + 3 = ln( + ) y 3 y 3 e = + e =, πρέπει y 3 e, επομένως y 3 = (e ) +, y 3. Άρα 3 f () = (e ) +, [3, + ) 6

iv. + 3 f ( + ) = (e ) + = (e ) = (e = ή e = ) (e = ή e = αδύνατον ) = ln = ln +. 7

Άσκηση 5 Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 3 +. i. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την τιμή. iii. Να λύσετε την ανίσωση: 3 + < i. Η συνάρτηση έχει D f =. Για κάθε, με < έχουμε: < > και < 3 > 3 3+ > 3 + άρα 3+ > 3 + f ( ) > f ( ). Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο. ii. Έχουμε: lim f () = lim 3 + = lim 3 lim + = + ( ) = +, αφού < < οπότε lim = +. lim f () = lim 3 + = + + + lim 3 lim + = + =, αφού + < < οπότε 8

+ lim = Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, έχει σύνολο τιμών το: f( ) = lim f(), lim f() =, + + Επειδή f ( ) και η f είναι γνησίως φθίνουσα, υπάρχει μοναδικός για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την τιμή. iii. Η ανίσωση γίνεται: 3 3 3 + < + < > 3 + > 3 f() > 3 f() > f() < (αφού f () = 3 ) και f γνησίως φθίνουσα στο. 9

Άσκηση 6 Δίνεται η συνάρτηση f με f () = 3 + 5,. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς μία ρίζα τη =. iii. Να βρείτε το πρόσημο της f. i. Η συνάρτηση έχει D f =. Για κάθε, με < έχουμε: < < 3 < 3 και < < 5 < 5. Άρα 3 + 5 < 3 + 5 f < f. Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο. ii. Έχουμε: f () = άρα = ρίζα της f() = και επειδή η f γνησίως αύξουσα στο η ρίζα αυτή είναι μοναδική. iii. Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική και = η μοναδική της ρίζα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα (,) και (, + ). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο άρα για κάθε < ισχύει f() < f() =, ενώ για κάθε > ισχύει f() > f() =.

Άσκηση 7 Να βρείτε το lim f (), όταν: i. ii. lim = + f() f() lim = 4 + 3 iii. lim[ f ()(3 4) ] + = + i. Θέτουμε g() f() = και επειδή lim g() = + είναι g() για τιμές κοντά στο. Επίσης: Οπότε: = g() f() = f() g() lim f () = lim = lim g() = g() ii. Θέτουμε: f() h() 4 + 3 =, οπότε f() = (4 + 3)h() Επίσης limh() = Άρα limf() lim [(4 3)h() ] 7 = + = = iii. Θέτουμε: f ()(3 + 4) =κ (), οπότε lim κ () = + Επίσης 3 + 4 για τιμές κοντά στο, οπότε k() f() = 3 + 4 Άρα limf() = lim k() = + = + 3 4. + 7

Άσκηση 8 Δίνεται η συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση f : [, 5 ] της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία A(, 8) και B(5,). i. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει την τιμή 9 3 iii. Υπάρχει μοναδικό (, 5) τέτοιο ώστε: f () + 3f (3) + 4f (4) f( ) = 9 i. Είναι: f () = 8 και f (5) = και αφού γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως αύξουσα (< 5 και f() < f(5) ). ii. Η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [, 5 ] άρα έχει σύνολο τιμών το: f ([, 5] ) = f ( ), f ( 5) = [ 8,] 9 f, 5 3 ([ ]) iii. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε, Df με < θα είναι f( ) < f( ). Έτσι έχουμε: < < 5 f () < f () < f (5) 8 < f () < 6 < f () < 4 < 3< 5 f() < f(3) < f(5) 8< f(3) < 4< 3f(3) < 36 < 4 < 5 f () < f (4) < f (5) 8 < f (4) < 3 < 4f (4) < 48 οπότε: 7 < f () + 3f (3) + 4f (4) < 8 f () + 3f (3) + 4f (4) 8 < < 9 Άρα σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει (, 5) τέτοιο ώστε: f () + 3f (3) + 4f (4) f( ) = και αφού f γνησίως αύξουσα θα είναι μοναδικό. 9

Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση f με f () = ln(3e + ). i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. iii. Να ορίσετε την f. iv. Να λύσετε την ανίσωση f () f (ln 5 ) <. i. Για να ορίζεται η f, πρέπει: ορισμού της είναι: D = f 3e + > που αληθεύει για κάθε R. Άρα, το πεδίο ii. Για κάθε, με < έχουμε: e e 3e 3e 3e 3e < < < + < + n(3e + ) < n(3e + ) n(3e + ) < n(3e + ) f( ) < f( ). Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα οπότε αντιστρέφεται. iii. Έχουμε: y+ f () = y y + = n(3e + ) e = 3e + y+ y+ e e y+ e =, > οπότε = n (e ), y >. 3 3 3 3 Άρα + f () = ln (e ), (, + ) iv. Έχουμε: ln 5 f () < f (ln 5 ) ln ( 3e + ) < ln ( e ) 3 4 4 ( + ) < + < 3 3 + < e < < ln < ln 9 9 9 ln 3e ln 3e 9e 3 4 3

Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f με 3 f () = 3 i. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. iii. Να λυθεί η εξίσωση f () = iv. Να λυθεί η ανίσωση f () i. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το. Για κάθε, με < έχουμε: < < > 3 3 3 3 και < 3 > 3 3 > 3 άρα 3 > 3 f > f. 3 3 Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. ii. Η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα και οπότε αντιστρέφεται. f () = f f = f () = 3 iii. iv. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει: f () f f () f + + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + + 6 (Σχήμα Horner) + + 4 + 6 (αφού + 4 + 6 > διότι = 6 48 = 3 < ) 4

Άσκηση Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f(f()) + f() = 3+ για κάθε και f () = 3 i. Να βρείτε το f (). ii. Να βρείτε το f (3) iii. Να λυθεί η εξίσωση f () = 3 iv. Να βρεθεί το 3συν + ηµ + lim f f + f() ( ) i. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο άρα και, οπότε αντιστρέφεται. Θέτουμε όπου το f () στη δοθείσα σχέση και έχουμε: ( ( )) f f f f f 3f + = + f () + = 3f () + 4 = 3f () f () = 3 ii. Για = η δοθείσα σχέση γίνεται: ( ) f f + f() = 3 + f(3) + 3= 5 f(3) = iii. Είναι: = = = (από ii) f () 3 f (3) iv. Είναι: lim 3συν + ηµ + 3συν + ηµ + = lim = f f() + f() 3 συν ηµ lim + + = 3 3 3 5

αφού είναι: συν συν = συν και lim = lim = Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής θα είναι και συν ηµ lim =. Όμοια και για το lim. 6

Άσκηση f() + ηµ ( ) Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: lim = i. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f περνάει από το σημείο M(,) 3f () ii. Να βρείτε το lim f() + ηµ ( ) i. Θέτουμε: g() = f() = ( )g() + ηµ ( ). Έτσι έχουμε: limf() = lim g()( ) + ηµ ( ) = Επειδή η f είναι συνεχής στο θα ισχύει: f() = limf() = Άρα η γραφική της παράσταση περνάει από το σημείο M(,) lim 3f () = >, οπότε 3f () >, κοντά στο ii. Είναι [ ] Άρα 3f () 3f () 3 3 g() + 3 3 ηµ ( ) 3 lim = lim = lim = 3 ηµ ( ) = lim[ 3g() ] + lim 3lim = ( )( + ) ( )( + ) ( ) 3 3 ηµ u = 6 + lim lim = ( )( + ) u u 3 3 = 6 + = 4 4 7

Άσκηση 3 Δίνεται η συνάρτηση f με + f () = ln + 3. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. iii. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια. iv. Να βρείτε τα όρια: lim f () και lim f () i. Για να ορίζεται η f, πρέπει: + > > < < < < < Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το: D = (,) f ii. Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f και f με + f () = ln + 3 και f () =, αφού για κάθε (,), ισχύει: + fof () = f f () = lnf () + 3 = ln + 3 iii. Για κάθε, (,) με f( ) = f( ) έχουμε: + + + + f f ln 3 ln 3 = + = + = + = + =. Άρα η f αντιστρέφεται. Είναι: y 3 + + f () = y y = ln + 3 = e 8

y 3 y 3 y 3 y 3 y 3 y 3 + = e e (+ e ) = e e = e + Επειδή: y 3 y 3 e e < < < < < y 3 y 3 e + e + και y 3 e y 3 > e + ή < και y 3 e > που αληθεύουν για κάθε y, παίρνουμε: 3 e f (), 3 = e + Η f είναι συνεχής ως πηλίκο των συνεχών συναρτήσεων 3 f () = e +. Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών 3 g () = Πράγματι για κάθε, ισχύει: 3 = = = ( ) g og () g g e f () Η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών Πράγματι για κάθε R, ισχύει: 3 = = + = h oh () h h () e f () h () e 3 f () = e και g () e = και 3 = + και h () =. iv. Είναι: + lim f () = lim( ln + 3) Αν θέσουμε + u = και αφού για u +, θα έχουμε: 9

lim f () = lim (ln u + 3) = + u + + lim f () = lim f () = lim ln + 3 + + Αν θέσουμε + + u = και αφού για u, έχουμε u lim f () = lim ln u + 3 = 3

Άσκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση * f: και η συνάρτηση g με τύπο i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της fog. ii. Να βρείτε συνάρτηση h για την οποία να ισχύει: ( hog )() iii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι περιττή. + g() = ln =. + > i. Για να ορίζεται η g, πρέπει: (, ) g D =,.. Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι το: Επίσης έχουμε: * D f = οπότε το πεδίο ορισμού της fog είναι: + + Dfog = (, ) / n = (, ) / = { (, ) / } = (,) (, ). + (hog)() = h g() = h ln = ii. Ισχύει () + Θέτουμε u = ln, οπότε έχουμε: u u u u e u ln e e e u e u. αφού u e +, για κάθε Άρα η () γίνεται: h(u) = u e u e + ή e e + h() =. iii. Για κάθε και. Για κάθε έχουμε: Άρα η h περιττή. e e e e h( ) h(). e e e e 3

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση Δίνονται οι συνεχείς στο συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν: f() για κάθε. Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο A(, ). ρ = και ρ = 5 είναι δύο διαδοχικές ρίζες της g() =. Να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο. β) g() < για κάθε (, 5). γ) 4 f (3) lim g() 3 5 + + = + α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και f() για κάθε. Έστω, με f( ) f <. Τότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε f( ) = που είναι άτοπο. Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο. β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (, 5) και g() στο (, 5) αφού και 5 είναι διαδοχικές ρίζες της g() =. Άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, 5). Επίσης g() = <. Οπότε g() < για κάθε (, 5). γ) Είναι: f () = <. Άρα από α) είναι f() < για κάθε. Οπότε f (3) <. Επίσης από β) g() <. Άρα + + lim = lim =. + 4 f (3) f (3) 3 g() 5 g() 3

Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση f : (, + ) με τύπο: 4 f () = + 3ln +. i. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. iii. Να αποδείξετε ότι για κάθε α, η εξίσωση f() = α έχει μοναδική ρίζα. iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός λ> για τον οποίο ισχύει: 4 3 λ + = ln λ i. Η συνάρτηση f έχει D f = (, + ). Για κάθε, (, + ) με < έχουμε: < < < και 4 4 4 4 < ln < ln 3ln < 3ln 3ln + < 3ln + άρα + 3ln + < + 3ln + f < f. 4 4 Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). ii. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, + ) άρα έχει σύνολο τιμών το: f ((, + )) = ( lim f (), lim f ()). Είναι: + + 4 lim f () = lim ( + 3ln + ) = + = + + 4 lim f () = lim ( + 3ln + ) = ( + ) + ( + ) + = + + + Επομένως είναι: f ((, + )) = (, + ). iii. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το, άρα η εξίσωση f() = α, όπου α, έχει μοναδική ρίζα. 33

iv. Έχουμε: 3 λ 4 4 λ + = ln λ + = 3(ln ln λ) 4 4 λ + = 3ln λ λ + 3ln λ+ = f ( λ ) = Αρκεί να δείξουμε λοιπόν ότι υπάρχει μοναδικό λ> τέτοιο ώστε f( λ ) =. Αυτό ισχύει αφού f ((, + )) και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). 34

Άσκηση 3 Δίνεται η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει η σχέση: κάθε. i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο. 3 f () 3 = 3f(), για ii. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το, να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f. iii. Να λύσετε την εξίσωση f() =. iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f. i. 3 3 f () 3 = 3f() f () + 3f() = + 3 για κάθε. Για = είναι 3 f ( ) 3f( ) 3 + = +. Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε: [ ] + = 3 3 f () f ( ) 3 f() f( ) ( ) [ ] [ ] f() f( ) f () + f()f( ) + f ( ) + 3 f() f( ) = ( ) ( ) f() f( ) = f () + f()f( ) + f ( ) + 3 Αφού f () + f()f( ) + f ( ) + 3, διότι είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο ως προς f() με διακρίνουσα: = 4f 4 (f + 3) = 4f 6f 4 = f ( ) 4 = f ( o) + < Άρα: f() f = f () + f()f( ) + f ( ) + 3. Οπότε f() f Αλλά ισχύει: lim = lim = οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, θα 35

lim[f() f] = lim f() = f. ii. Έστω, R με f( ) = f( ) τότε f = f f = f. 3 3 3 3 Επίσης f( ) = f( ) 3f( ) = 3f( ) και προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε: f + 3f = f + 3f + 3 = + 3 =. 3 3 Άρα η f είναι - και επομένως αντιστρέφεται. Η f που είναι το. f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της Είναι: f () = y = f (y) Οπότε: + = + + = + 3 3 f () 3f() 3 y 3y f (y) 3 Άρα 3 3 3 + f () =, iii. 3 + 3 3 3 f () = = f () = = f iv. Η y=. είναι γνησίως αύξουσα στο άρα και η f, οπότε τα κοινά τους σημεία είναι στην 3 3 3 + f () = f() f () = = 3 3 + 3 3 = + 3 = = Παρατήρηση: Τις προτάσεις Α) Αν η f είναι γνησίως μονότονη τότε και η μονοτονίας. f είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος Β) Aν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε τα κοινά σημεία των C f και C f, (αν υπάρχουν), βρίσκονται στην ευθεία y=. Πρέπει να τις αποδεικνύουμε για να τις χρησιμοποιήσουμε σε μία άσκηση. 36

Άσκηση 4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, ] και ο μιγαδικός αριθμός: f ( ) + f ()i z = i για τον οποίο ισχύει ότι 3 Im(z) = και 5 Re(z). i. Να γράψετε τον z στη μορφή κ+λi, κ, λ. ii. Να αποδείξετε ότι: f ( ) + f () = 3. iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον α (, ) τέτοιο ώστε f( α ) + f( α) + = α α+ i. Είναι: [ + ] + [ ] + [ + ] f f ()i ( i) f f () f f () i z = = = ( i)(+ i) f ( ) f () f ( ) + f () + i ii. 3 f ( ) + f () 3 Im(z) = = f ( ) + f () = 3 iii. Για α και α η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: f( α ) + f( α) + = ( α+ )[ f( α ) + ] + ( α ) [ f( α )] = α α+ αf( α ) +α+ f( α ) + + α αf( α) 4+ f( α ) = 3f( α ) + 3α 3=. = +. Η g είναι συνεχής στο [, ] Έστω g() 3f() 3 3 συναρτήσεων. Επίσης: g( ) = 3f ( ) + 3( ) 3 = 3[ f ( ) ] g() = 3f () + 3 3 = 3f () + 3 = 3[ 3 f ( ) ] + 3 = ως άθροισμα συνεχών 37

6f ( ) = 6[ f ( ) ] Παρατηρούμε ότι: Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: g( ) g( ) = 8[f ( ) ]. Αν g( ) g() = ( g( ) = ή g() = ), τότε f ( ) = οπότε και f () = (απο 5 3 το (ii)). Τότε όμως θα είναι z= + i ΑΤΟΠΟΝ από την υπόθεση. Άρα θα είναι g( ) g() < τότε από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον α (, ) τέτοιο, ώστε g( α ) = 3f( α ) + 3α 3= ( α+ ) [ f( α ) + ] + ( α ) [ f( α )] = f( α ) + f( α) + = α α+ Δηλαδή το α (, ) είναι ρίζα και της αρχικής εξίσωσης. 38