ΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΤΣΚΕΥΕΣ - Λύεις ακήεων την ενότητα 1. Στις πι κάτω εικόνες φαίνεται μια φωλιά πυλιύ (αριτερά) και τ εθνικό τάδι τυ Πεκίνυ (δεξιά), τ πί φιλξένηε τυς Ολυμπιακύς αγώνες τυ 008 και είναι γνωτό ως η φωλιά τυ πυλιύ. α. Λαμβάνντας υπόψη τα δύ αυτά παραδείγματα να κατατάξετε τις κατακευές τις δύ μεγάλες τυς κατηγρίες. β. Να αναφέρετε τα (δυ) κύρια είδη κατακευατικών τιχείων με τα πία μπρεί να φτιαχτεί μια κατακευή; Πια τιχεία περιλαμβάνει τ κάθε είδς; α. Φυικές και τεχνητές κατακευές. β. ραμμικά κατακευατικά τιχεία. Περιλαμβάνυν τις κλώνες, τις ράβδυς και τις δκύς. Επιφανειακά κατακευατικά τιχεία. Περιλαμβάνυν τις πλάκες και τα κελύφη.. Στ πι κάτω χέδι φαίννται πέντε είδη καταπόνηης τα πία πρκαλύνται από την εφαρμγή δυνάμεων ε διάφρα κατακευατικά τιχεία. α. Να αναφέρετε τ είδς της καταπόνηης για την κάθε μια από τις πι κάτω περιπτώεις. 1
β. Να αναφέρετε ένα πρακτικό παράδειγμα για την κάθε μια από πι πάνω καταπνήεις. α. : Εφελκυμός : Θλίψη : Στρέψη : ιάτμηη Ε: Κάμψη β. : Εφελκυμός. Τα υρματόκινα ε ένα γερανό εφελκύνται από τ βάρς των φρτίων πυ ανυψώνυν. : Θλίψη. Οι κλώνες μιας ικδμής θλίβνται από τ βάρς της ρφής πυ υγκρατύν. : Στρέψη. Ο τεχνίτης όταν βιδώνει μια βίδα τ ξύλ ακεί δυνάμεις πυ τείνυν να τρέψυν τό τ καταβίδι ό και την βίδα. : ιάτμηη Τ ψαλίδι ακεί δυνάμεις διάτμηης πάνω τα κλαδιά πυ κόβει. Ε: Κάμψη. Ο αθλητής ακεί με τα χέρια τυ δυνάμεις πυ πρκαλύν κάμψεις τις ριζόντιες ράβδυς τυ δίζυγυ. 3. α. Να αναφέρετε και να εξηγήετε δύ ζεύγη κατηγριών φρτίων τις κατακευές. β. Να χαρακτηρίετε τ είδς τυ φρτίυ πυ δρα πάνω την κατακευή πυ φαίνεται την εικόνα: (i) όταν τ παιδί απλώς κάθεται πάνω την κύνια. (ii) όταν τ παιδί κυνιέται. α. Στατικά δυναμικά Στατικά νμάζνται τα φόρτια πυ εφαρμόζνται ε μια κατακευή τό ιγά ώτε να θεωρείται ότι η κατακευή παραμένει ε ηρεμία κατά τη διάρκεια της εφαρμγής τυς. Τα δυναμικά φρτία κινύνται και μεταβάλλνται υνέχεια και τείνυν να δημιυργύν μεγαλύτερες δυνάμεις από τα τατικά. Η κατακευές δε θεωρύνται ότι παραμείνυν ε ηρεμία κατά τη διάρκεια της εφαρμγής τυς. Μόνιμα κινητά Μόνιμα νμάζνται τα φρτία πυ τ μέγεθς ή η θέη την πία βρίκνται δεν αλλάζυν κατά τη διάρκεια ζωής της κατακευής. ντίθετα κινητά νμάζνται τα φρτία πυ τ μέγεθς και η θέη τυς δεν παραμένει ταθερή. Σημειακά ή υγκεντρωμένα κατανεμημένα Σημειακά ή υγκεντρωμένα νμάζνται τα φρτία τα πία εφαρμόζνται πάνω την κατακευή ε ένα υγκεκριμέν ημεί. Κατανεμημένα νμάζνται τα φρτία τα πία εφαρμόζνται πάνω ε λόκληρη την κατακευή ή ε μέρς της. β. (i) Στατικό φρτί (ii) υναμικό φρτί
4. Να υπλγίετε αναλυτικά: α. Τις υνιτώες της δύναμης τυ χήματς (α) και β. Τη υνιτάμενη των δυνάμεων 1 και τυ χήματς (β). = 15 kn 1 = 15 kn 40 (α) = 5 kn (β) α. = υν40 = 15 0,766 = 11,49 kn = 15 kn = ημ40 = 15 0,643 = 9,65 kn 40 β. 15 5 5 65 9,15 kn 1 1 = 15 kn θ τξεφ 1 15 ( ) τξεφ ( ) 30,96 5 θ = 5 kn 5. Χρηιμπιώντας τη γραφική και την αναλυτική μέθδ να υπλγίετε τη υνιταμένη δύναμη των πι κάτω δυνάμεων πυ έχυν κινό ημεί εφαρμγής. (Κλίμακα 1 cm=100 N) 3 = 500 N = 00 N 60 45 1 = 400 N 4 = 400 N 5 = 300 N 3
Σ = 1 Χ + 3 + 4 = 1 υν60 + 3 υν45 + 4 υν30 = = 400 00 0,5 + 500 0,707 + 400 0,866 = 199,9 Ν Σ = + 3 4 5 = ημ60 + 3 ημ45 4 ημ30 5= = 00 0,866 + 500 0,707 400 0,5 300 =6,7 Ν Σ Σ Χ Υ 199,9 6,7 39960,01 71,89 01,67 kn θ τξεφ ΣΥ 6.7 ( ) τξεφ( ) 7,60 Σ 199.9 Χ ραφική μέθδς: 4 3 4 Σ 1 Ο 6. Να αναφέρετε ε πια από τις δυ περιπτώεις α και β των διπλανών χημάτων νμίζετε ότι είναι πι πιθανόν να πάει τ χινί, δικαιλγώντας την απάντηή ας. ν αναλύυμε γραφικά τις δυ περιπτώεις βλέπυμε ότι η Τ είναι μικρότερη από την Τ. Άρα τ χινί είναι πι πιθανόν να πάει από τ. (α) Τ Υ = Τ Υ = 1 κν (β) 1 kn 1 kn Τ Τ Υ Τ Τ Υ (α) Τ Χ (β) Τ Χ 1 kn 1 kn 4
= 50 N 7. Να υπλγίετε τ μέγεθς και τη φρά της δύναμης Τ πυ ακείται τ υρματόχιν της κατακευής τυ διπλανύ χήματς. T 0,75 m O πμνώνυμε τη ράβδ από τ υρματόχιν, πότε τ ημεί έχυμε την δύναμη Τ πυ ακεί τ χινί πάνω τη ράβδ με την κατεύθυνη πυ φαίνεται τ χέδι. Παίρνυμε τη υνθήκη ιρρπίας ρπών ως πρς τ ημεί Ο: = 50 N T 0,75 m (ΣΜ)Ο = 0 Τ Χ 1,5m m 0 T Υ T Χ T T υν60 1,5m 50Nm 0 500 Nm T 800 N 0,51,5 m O Στ υρματόκιν ακείται (από την ράβδ) δύναμη Τ ίη και αντίθετη με την Τ πυ έχυμε υπλγίει. 8. Να υπλγίετε τ μέγεθς και τη φρά της άγνωτης δύναμης τη διπλανή κατακευή. (Ο φρέας είναι μνλιθικός) 00 N Εφαρμόζυμε τη υνθήκη ιρρπίας ρπών ως πρς τ ημεί Ο και έχυμε: (Η δύναμη έχει φρά πρς τα κάτω έτι ώτε η δεξιότρφη και αριτερότρφή ρπή να εξυδετερώννται) (ΣΜ)o = 0 0,8 m O 0,5 m 00 N 0,5 m 0,8 m 0 100 Nm 15 N 0,8 m 9. Σε μια μεταλλική ράβδ μήκυς 3 m και με εμβαδό διατμής 50 mm, εφαρμόζεται εφελκυτική δύναμη 40 kν και επιμηκύνεται κατά 6 mm. Να υπλγιτεί η εφελκυτική τάη και η ανηγμένη μήκυνη της ράβδυ. 5
40 kn 50 mm 0,8 kn/mm 800 MN/m ε l l 3 6 mm 610 m 10 3 m 3 m 10. Πάνω ε μία μεταλλική ράβδ, μήκυς m, με εμβαδό διατμής 00 mm και μέτρ ελατικότητας Ε=00 10 6 kν/m, κρέμεται ένα φρτί πυ έχει βάρς ί με 30 kν. Να υπλγίετε την τάη εφελκυμύ και την ανηγμένη μήκυνη της ράβδυ. 3 = 00 mm 30 kn 00 mm 30 kn 6 0010 m 150 MN/m 30 kn εε ε Ε 150 MN/m 6 0010 kn/m 15010 0010 3 6 kn/m kn/m 7,510 4 11. Ένας πρβλέας κρέμεται από την ρφή με μια κυλινδρική ράβδ, πυ απτελείται από δύ επιμέρυς ράβδυς και. Να υπλγίετε την λική επιμήκυνη της ράβδυ πυ δημιυργείται από τη δύναμη = 70 N πυ ακεί τ βάρς τυ πρβλέα πάνω τη ράβδ (να αγνηθεί τ βάρς της ράβδυ). Οι διατμές των τμημάτων και είναι 300 mm και 00 mm αντίτιχα. Τ μέτρ ελατικότητας τυ υλικύ και των δυ τμημάτων της ράβδυ είναι Ε= 70 10 6 kν/m., lλ= l +l l λ l E l E l ( E 70 N 1 m 6 3 6 7010 10 N/m 10 m 1m 1,5 ( ) 1,410 3 10 300 00 l ( 300 5 m 70N ) 6 7010 kn/m 1,5 ) 00 m ( 30010 6 m 1,5m ) 6 0010 m 6
1. ια τη τήριξη τυ κινύμενυ μέρυς της κύνιας πυ φαίνεται τ πι κάτω χήμα κατακευατής μπρεί να χρηιμπιήει μια από τις δυ διευθετήεις και.. α. Να κατνμάετε τ είδς της καταπόνηης πυ υφίταται τ μπυλόνι τήριξης. β. ν τ εμβαδό της διατμής τυ μπυλνιύ είναι =80 mm (και τις δυ διευθετήεις) και τ βάρς τυ παιδιύ πυ κάθεται την κύνια είναι 400 Ν, να υπλγίετε την τάη τ μπυλόνι τό την διευθέτηη ό και την διευθέτηη. γ. Να υπλγίετε την ανηγμένη μήκυνη τη ράβδ όταν την κύνια κάθεται τ ίδι παιδί. Η ράβδς πυ έχει μήκς m και εμβαδό διατμής 10 mm, έχει κατακευατεί με υλικό με μέτρ ελατικότητας ί με 00 10 6 kn/m. α. ιάτμηη β. ια τη διευθέτηη : τ 400N/,5 N/mm (τ κάθε μπυλόνι καταπνείται από τ μιό βάρς τυ παιδιύ) 80mm τ 400N/ 1,5 N/mm 80mm ια τη διευθέτηη : (διπλή τήριξη άρα διπλάια επιφάνεια διάτμηης ) γ. εε ε 3 40010 kn/ -6 6 Ε E 1010 m 0010 kn/m 8,3310 6 7
13. Χρηιμπιώντας τη υκευή δκιμής αντχής υλικών τυ εργατηρίυ, υπβάλαμε δύ διαφρετικά υλικά (α) και (β) ε εφελκυμό και πήραμε τα διπλανά διαγράμματα τάης / ανηγμένης μήκυνης. (kn/m ) α β α. Να κατνμάετε πι από τα δύ υλικά είναι τ πι ελατικό δικαιλγώντας την απάντηή ας. β. Πι από τα δύ υλικά έχει τ μεγαλύτερ μέτρ ελατικότητας Ε; Να δικαιλγήετε την απάντηή ας. ε α. Εφαρμόζυμε τα δυ υλικά «α» και «β» ίδια τάη 1. Στ υλικό «α» παρατηρείται ανηγμένη μήκυνη εα και τ υλικό «β» εβ. πό τ διάγραμμα φαίνεται ότι εβ > εα. Άρα τ υλικό «β» είναι πι ελατικό από τ «α». (kn/m ) α β (κάθε μνάδα μήκυς τυ υλικύ «β» επιμηκύνεται περιότερ από ότι επιμηκύνεται η μνάδα μήκυς τυ υλικύ «α» όταν δέχνται την ίδια τάη). 1 β. Εφαρμόζυμε τα δυ υλικά «α» και ε α ε β ε «β» ίδια τάη 1. Άρα 1 = α = β Εε Ε α ε α Ε β ε β Ε Ε α β ε ε β α πό τ πι πάνω διάγραμμα φαίνεται ότι εβ > εα. ρα από την πι πάνω χέη: Εα >Εβ Τ υλικό «α» έχει μεγαλύτερ μέτρ ελατικότητας από τ υλικό «β». 8
14. Η πι κάτω γραφική παράταη δείχνει την τυπική καμπύλη - ε, για δκίμι μαλακύ χάλυβα πυ υφίταται εφελκυμό. α. Να αναφέρετε τι αντιπρωπεύυν τα ημεία Ε, Υ και U πυ φαίννται πάνω την καμπύλη. β. Να υπλγίετε τ μέτρ ελατικότητας (Ε) τυ μαλακύ χάλυβα από την πι κάτω γραφική παράταη. γ. Στ ίδι χεδιάγραμμα να χεδιάετε τ διάγραμμα εφελκυμύ τυ χαλκύ, όταν δίδεται ότι τ μέτρ ελατικότητας τυ χαλκύ είναι Ε=108 10 6 kn/m και δύ τιμές τάεις την ελατική περιχή είναι 50 10 3 kn/m και 100 10 3 kn/m. α. Ε: Όρι ελατικότητας Υ: Όρι διαρρής U: Μέγιτη τάη εφελκυμύ β. εε Ε 100 ΜN/m ε 0,0005 0010 3 MN/m 0010 6 kn/m γ. για = 50 10 3 kn/m 3 50 10 6 Ε 108 10 kn/m kn/m ε 0,00046 για = 100 10 3 kn/m 3 100 10 6 Ε 108 10 kn/m kn/m ε 0,0009 9
15. α. Να εξηγήετε πότε ένας κατακευατικός φρέας νμάζεται «τατικά ριμένς» και πότε «τατικά αόριτς». β. Να χεδιάετε τις αντιδράεις τις τηρίξεις των τριών κατακευατικών φρέων τυ πι κάτω χήματς. Να αναφέρετε πιι από τυς πι κάτω φρείς είναι τατικά ριμένι και πιι είναι τατικά αόριτι. (α) (β) (γ) α. Ένας κατακευατικός φρέας νμάζεται τατικά ριμένς όταν αριθμός των αγνώτων αντιδράεων τις τηρίξεις τυ είναι ίς με τν αριθμό των υνθηκών ιρρπίας. (τ επίπεδ τρεις υνθήκες ιρρπίας τρεις άγνωτες αντιδράεις). Ονμάζεται τατικά αόριτς όταν αριθμός των άγνωτων αντιδράεων τις τηρίξεις τυ είναι μεγαλύτερς από τν αριθμό των υνθηκών ιρρπίας. β. (α) (β) (γ) ρ. ντιδράεων: 4 ρ. ντιδράεων: 3 ρ. ντιδράεων: 5 Ο φρέας (β) είναι τατικά ριμένς αφύ αριθμός των αντιδράεων τις τηρίξεις τυ είναι 3 ός και αριθμός των υνθηκών ιρρπίας (τ επίπεδ). Οι φρείς (α) και (γ) είναι τατικά αόριτι αφύ αριθμός των αντιδράεων τις τηρίξεις και των δυ φρέων είναι μεγαλύτερς από 3 πυ είναι αριθμός των υνθηκών ιρρπίας τ επίπεδ. 16. Στν τίχ Ε τυ χήματς δίπλα είναι τερεωμένη η δκός από την πία κρέμνται ι δύ πινακίδες και βάρυς 50 Ν η καθεμιά. α. Να χεδιάετε χρηιμπιώντας τα κατάλληλα ύμβλα, τις αντιδράεις τη τήριξη και τις δυνάμεις πυ ακύνται τη υγκεκριμένη κατακευή. E Ο 0,5 m 1 m 10
β. Να υπλγίετε τις άγνωτες αντιδράεις τ ημεί Ο της δκύ. α. H O E Ο M O O β. Σ=0 HO=0 50 N 50 N 0,5 m 1 m Σ=0 O -50-50 = 0 O = 100 N (ΣM)O=0 M 50 0,5 501,5 0 M O O 100 Nm 11
17. Να υπλγίτε τις αντιδράεις τις πι κάτω κατακευές. (α) 10 kn 0 kn (β) 60 kn 40 kn 60 m 1 m 1 m m 1,5 m 1, m (γ) 0 kn Ε 3 m 30 kn 10 kn 3 m 3 m 3 m 3 m 30 kn/m (ε) 1 kn 10 kn/m (δ) kn/m 1 m m 3 m 4 m 8 m 3 m 30 kn/m 0 kn/m 3 m 50 kn Ε 100 kn 0 kn m 3 m (τ) m (ζ) 10 m 8 m 1
H (α) 10 kn 0 kn m 1 m 1 m Σημεί : Άρθρωη εξακύνται δυ δυνάμεις η και η H.. Σημεί : Κύλιη - εξακείται μια δύναμη η. Η κατακευή ιρρπεί άρα ιχύυν ι υνθήκες ιρρπίας: Σ=0, Σ=0 και ΣM=0 Σχεδιάζυμε τα ημεία τήριξης και τις αντιδράεις. ( ΣΜ) 0 10 03 Σ Σ Χ 0 H 0 0 kn 0kN 30 kn 10 kn 0 30 kn 4 0 10 0 0 80 4 H (β) 60 60 kn 40 kn m 1,5 m 1, m Σχεδιάζυμε τα ημεία τήριξης και τις αντιδράεις. Σημεί : Άρθρωη εξακύνται δυ δυνάμεις η και η H.. Σημεί : Κύλιη εξακείται μια δύναμη η. Η κατακευή ιρρπεί άρα ιχύυν ι υνθήκες ιρρπίας: Σ=0, Σ=0 και ΣM=0 (ΣΜ) 0 60ημ60 Σ H H H φαίνεται τ χήμα Σ Χ 0 H -600,5 H 0 έχει φρά αντίθετηαπ'αυτήπυ 91,96 kn 83,40kN 91,96 kn 8,56 kn 404,7 91,9 3,5 60υν60 83,4 kn 30kN 60ημ60 3,5 0 0 40 0 13
(γ) 0 kn Ε H 3 m 30 kn 10 kn ( ΣΜ) 0 303 109 03 40 1 0 kn 1 0 3 m 3 m 3 m 3 m Σχεδιάζυμε τα ημεία τήριξης και τις αντιδράεις. Σημεί : Άρθρωη εξακύνται δυ δυνάμεις η και η H.. Σημεί : Κύλιη - εξακείται μια δύναμη η. Η κατακευή ιρρπεί άρα ιχύυν ι υνθήκες ιρρπίας: Σ=0, Σ=0 και ΣM=0 Σ H H H φαίνεται τ χήμα Σ 0 H 0 kn 0 έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ 0kN 40 kn 0 kn 40 kn 0 kn 0 30 10 0 (δ) 1 kn 6 kn H 1 m m 3 m kn/m ( ΣΜ) 0-11 63,5 9 5 1,8 kn 5 0 Σ 0 H 0 Τ κατανεμημέν φρτί kn/m μετατρέπεται ε υγκεντρωμέν: kn/m 3 m=6 kn. Στ μέ της απόταης τπθετύμε τη δύναμη 6 kν. Σ 0 18 kn 1,8kN 18 kn 16, kn 1 6 0 Η κατακευή ιρρπεί άρα ιχύυν ι υνθήκες ιρρπίας: Σ=0, Σ=0 και ΣM=0 14
10 kn/m (ε) H 4 m 1 8 m 30 kn/m 7,5 m 5 m,5 m 3 m Ζ Ε ντικαθιτύμε τ κατανεμημέν φρτί με δυ υγκεντρωμένα φρτία ως ακλύθως: Χωρίζυμε τ κατανεμημέν φρτί ε δυ μέρη, ένα ρθγώνι (Ε) και ένα τρίγων (ΕΖ). ια τ ρθγώνι η δύναμη 1 ακείται τη μέη και ιύται με: 1 = 10 kn/m 15 m = 150 kn ια τ τριγωνικό η δύναμη ακείται τ 1/3 τυ () από τ ημεί ιύται με: = 0/ kn/m 15 m = 150 kn Η κατακευή ιρρπεί άρα ιχύυν ι υνθήκες ιρρπίας: Σ=0, Σ=0 και ΣM=0 (ΣΜ) -150 5-1507,5 0 1875 11 11 0 170,45 kn Σ 0 H 0 Σ 0 300 kn 170,45 kn 300 kn 19,55 kn 150 150 0 15
3 m (τ) 50 kn 100 kn 300 kn 30 kn/m Ε Τ κατανεμημέν φρτί 30 kn/m μετατρέπεται ε υγκεντρωμέν: 30 kn/m 10 m = 300 kn. Στ μέ της απόταης E τπθετύμε τη δύναμη 300 kν. 3 m H Η κατακευή ιρρπεί άρα ιχύυν ι υνθήκες ιρρπίας: Σ=0, Σ=0 και ΣM=0 10 m (ΣΜ) 0 100 3 50 6 300 5 10 0 100 10 kn 10 Σ H H 0 H 100 50 0 H έχει φρά αντίθετη απ'αυτή 150 kn πυφαίνεται τ χήμα Σ 0 300 0 10 300 0 90 kn (η) 160 kn 0 kn/m m m 0 kn Τ κατανεμημέν φρτί 0 kn/m μετατρέπεται ε υγκεντρωμέν: 0 kn/m 8 m=160 kn. Στ μέ της απόταης τπθετύμε τη δύναμη 160 kν. H Η κατακευή ιρρπεί άρα ιχύυν ι υνθήκες ιρρπίας: Σ=0, Σ=0 και ΣM=0 8 m (ΣΜ) 0 0 160 4 8 0 680 85 kn 8 Σ 0 H H H 0 0 H 0 kn έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φαίνεται τ χήμα Σ 0 160 0 85 160 0 16 75 kn
18. Η διπλανή κατακευή χρηιμπιείται για να υγκρατεί τη θέη «1» τη διαφημιτική πινακίδα βάρυς 10 kn. α. Να υπλγίετε τ μέγεθς της δύναμης πυ ακείται τ υρματόχιν, τ είδς και τ μέγεθς της δύναμης πυ ακείται τη ράβδ. β. ν τ υλικό από τ πί είναι κατακευαμέν τ υρματόχιν έχει διάμετρ 10 mm και αντέχει ε τάεις (εφελκυτικές) όχι μεγαλύτερες των 500 MN/m, να υπλγίετε τ υντελετή αφάλειας της κατακευής. 1 γ. Είναι ικανπιητικός υντελετής αφάλειας πυ βρήκατε την ερώτηη β πι πάνω; Να δικαιλγήετε την απάντηή ας. α. πμνώνυμε τη ράβδ και τπθετύμε τις H 1 δυνάμεις πυ δρυν ε αυτή. υτές είναι η δύναμη από τ υρματόχιν, τ βάρς της ταμπέλας και ι αντιδράεις και H της άρθρωης τ ημεί. Η μπρεί να αναλυθεί τις δύ υνιτώες της και. Επειδή η ράβδς ιρρπεί ιχύυν ι υνθήκες: ΣΜ=0, Σx=0, Σy=0 (ΣΜ) 1 0 Σ 0 ημ30 υν30 l 0 0 ημ30 0 10 kn 10 0,5 0 0,866 17,3 kn 0 kn l τ μήκς της ράβδυ Σ 0 H 0 H 17,3 kn Η δύναμη πυ δρα πάνω τ υρματόχιν είναι ίη με αλλά με φρά αντίθετη (θεώρημα: δράη-αντίδραη). ρα τ υρματόχιν δέχεται εφελκυτική καταπόνηη και ίη με 0 kν, ενώ η δύναμη πυ δρα πάνω τη ράβδ είναι θλιπτική και ίη με 17,3 kν. 17
β. Η τάη τ υρματόχιν ιύται με = όπυ η δύναμη εφελκυμύ πυ ιύται =0 kn και τ εμβαδό της επιφάνειας τυ υρματόχινυ πυ είναι = πd 4 = 3,14 0,01 4 =0,0000785 m Άρα = 0 kn = 0,0000785 m =54,77 ΜΝ/m Ο υντελετής αφάλειας της κατακευής ιύται: Σ υντ. φαλείας Μέγιτ φρτί αντχής Φρτί αφαλύς υργίας 500 54,77 1,96 γ. Ο υντελετής αφάλειας της πι πάνω κατακευής είναι χεδόν πυ είναι μικρός και δεν παρέχει ικανπιητική αφάλεια. Πρέπει να αυξηθεί η διατμή τυ υρματόχινυ ώτε αυτός να είναι τυλάχιτν ίς με 4. 19. Τ δκάρι πυ φαίνεται τ πι κάτω χήμα, τηρίζεται από δύ παράλληλα υρματόχινα Τ, τ καθένα από τα πία έχει εμβαδό διατμής 400 mm. Τ μέτρ ελατικότητας τυ υλικύ είναι 00 10 9 Ν/m. T 3 m 3 m 10 kn Να υπλγίετε: α. Τη δύναμη ε κάθε υρματόχιν. β. Την επιμήκυνη τυ υρματόχινυ λόγω της δύναμης αυτής. 18
α. Επειδή η ράβδς ιρρπεί ιχύυν ι υνθήκες: ΣΜ=0, Σx=0, Σy=0. H Σημειώνυμε τ ημεί (άρθρωη) τις αντιδράεις και H και τη διεύθυνη της τάης των χινιών τ ημεί. T T T 3 m 3 m =10 kn (ΣΜ) T 0 Τ T ημ30 Υ 3 6 0 T Τ 0 0,5 40 kν 10 6 3 0 kn Σε κάθε υρματόκιν ακείται δύναμη T ' T 40 0 kn 3 3 β. Υπλγιμός μήκυς υρματόχινυ l 3,46 m υν30 0,866 ε Ε ' Τ 0 kν 6 40010 mm 5010 6 N/mm 6 5010 N/mm ε 0,0005 9 Ε 0010 N/mm l ε l εl 0,00053,46 m 0,000865 m l 0. ια τ δικτύωμα τυ διπλανύ χήματς να νμάετε τα είδη των τηρίξεων τα ημεία και και να υπλγίετε τις αντιδράεις τα ημεία αυτά. 10 kn m β. Να υπλγίετε και να χαρακτηρίετε τις δυνάμεις πυ ακύνται τις ράβδυς τυ διπλανύ δικτυώματς. 45 45 0 kn m m 19
α. Σημεί : Άρθρωη Σημεί : Κύλιη 10 kn m Στ δικτύωμα: b o αριθμός των ράβδων b=5 r o αριθμός των αντιδράεων r=3 j o αριθμός των κόμβων j=4 Άρα 5+3= 4 Τ δικτύωμα είναι τατικά ριμέν αφύ ιχύει η χέη b+r=j H 45 45 0 kn m m Σημειώνυμε τις αντιδράεις Η και τ ημεί και τ ημεί. Υπλγιμός αντιδράεων: (ΣΜ) 0 0 10 4 0 60 15 kn 4 Σ 0 0 0 15 0 0 5 kn Σ 0 H 10 0 H 10 kn H H έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φαίνεται τ χήμα β. Υπλγιμός δυνάμεων πυ ακύνται τις ράβδυς τυ δικτυώματς Κόμβς Σ 0 15 0,707 Υ 0 ημ45 1,kN θλιπτική 45 Σ 0 Χ 1,0,707 0 υν45 15 kn εφελκυτική =15 kν Κόμβς Σ 0 Σ 0 0 0 0 0kN εφελκυτική 15kN εφελκυτική 0 =15 kn 0 kn
Κόμβς Σ 0 ημ45 Υ 0 0 7,07 kn θλιπτική 5 0,707 H =10 kn =5 kn 45 =15 kn 1. α. Να απδείξετε αν τ δικτύωμα τυ διπλανύ χήματς είναι τατικά ριμέν. 3 m β. Να υπλγίετε τις αντιδράεις τα ημεία και και τις δυνάμεις πυ ακύνται τις ράβδυς τυ δικτυώματς. Να χαρακτηρίετε τ είδς της καταπόνηης πυ δέχεται η κάθε ράβδς τυ δικτυώματς. = 50 kn 1 = 0 kn γ. ν τ υλικό κατακευής τυ δικτυώματς αντέχει ε τάη μεγ = 400 Ν/mm και υντελετής αφάλειας πρέπει να είναι 5, πό πρέπει να είναι τ ελάχιτ εμβαδόν διατμής της ράβδυ ; α. b=5, r=3, j=4 και b+r =8 και j=8 Τ δικτύωμα είναι τατικά ριμέν αφύ ιχύει η χέη b+r=j H 3 m 1 = 0 kn β. Υπλγιμός αντιδράεων τα ημεία και. εφ30 =()/() ()= () εφ30 ()=1,5 0,577=0,866 m = 50 kn 1
(ΣΜ) 0 501,5 00,866 3 0 57,68 19,3 kn 3 Σ 0 50 0 19,3 50 0 30,77 kn Σ 0 H 0 0 H 0 kn H H έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φ αίνεται τ χήμα Υπλγιμός δυνάμεων τις ράβδυς τυ δικτυώματς. Κόμβς Σ 0 Σ 0 Χ Υ 19,3 0,5 0 38,460,866 38,46kN εφελκυτική 0 ημ30 υν30 33,31 kn θλιπτική =19,3 kn Κόμβς Σ 0 0 =33,31 kn Σ 0 0 33,31 kn θλιπτική Κόμβς Σ 0 H υν30 Χ 0 0 33,31 61,56 kn εφελκυτική 53,31 0,866 H =0 kn =33,31 kn =30,77 kn γ. Υπλγιμός εμβαδύ διατμής ράβδυ μεγ = 400 Ν/mm Συντελετής αφάλειας (Σ)=5 =61,56 kn
Σ μεγ μεγ Σ = 400Ν/mm 5 3 61,5610 Ν 769,5 mm 80 Ν/mm 80 Ν/mm m. Τ δικτύωμα τυ διπλανύ χήματς χεδιάτηκε για να χρηιμπιείται τα υνεργεία αυτκινήτων, ώτε να υγκρατεί τ ημεί μηχανές αυτκινήτων βάρυς μέχρι και 5 kν. m α. Να υπλγίετε τις δυνάμεις πυ ακύνται τις ράβδυς τυ δικτυώματς και να χαρακτηρίετε τ είδς της καταπόνηης πυ δέχεται η κάθε ράβδς. = 5 kn β. ν τ υλικό κατακευής τυ δικτυώματς αντέχει ε τάη μεγ = 400 Ν/mm και υντελετής αφάλειας πρέπει να είναι 4, πό πρέπει να είναι τ ελάχιτ εμβαδόν διατμής της ράβδυ ; α. b=5, r=3, j=4 b+r =5+3=8 και j= 4=8 Ιχύει b+r= j Τ δικτύωμα είναι τατικά ριμέν. H m ( ΣΜ) 0 5 H H 10 H 5 kn 0 m = 5 kn Σ H πυ φ αίνεται τ χήμα. Σ 0 H 5 kn H H 0 H 0 H έχει φρά αντίθετη απ'αυτή 5 0 H 5 kn H 3
Κόμβς Σ 0-5 5 0,5 Υ 0 5 10kN θλιπτική ημ30 = 5 kn Σ 0 Χ 100,866 0 υν30 8,66 kn εφελκυτική Κόμβς Σ Σ Υ 0 5 0,5 0 Χ Η 10 0,866 0 10kN θλιπτική Υ 0 ημ30 Η υν30 8,66 kn εφελκυτική Η = 5 kn Κόμβς Σ 0 Υ ημ45 8,66 5 0,707 Υ 0 5,18 kn θλιπτική H =5 kν =8,66 kν =5 kν =8,66 kν 45 γ. Υπλγιμός εμβαδύ διατμής ράβδυ μεγ = 400 Ν/mm Συντελετής αφάλειας (Σ)=4 =8,66 kn Σ μεγ μεγ Σ = 400Ν/mm 4 3 8,6610 Ν 100 Ν/mm 100 Ν/mm 86,6 mm 4
3. Σε ένα πταμό τπθετήθηκε γερανός πυ φαίνεται πι κάτω για να μεταφέρει φρτία από ένα πλιάρι ε άλλ. H μεταφρά τυ φρτίυ από τ ένα πλιάρι τ άλλ, γίνεται με τ ανεβκατέβαμα τυ γάντζυ τη θέη. (Ο γάντζς δεν μετακινείται ριζόντια παρά μόν κατακόρυφα και τα πλιάρια λαμβάνυν θέη κάτω από αυτόν). 3 m 5, m 45 = 40 kn α. ν τ μέγιτ βάρς πυ μπρεί να ανεβάει γερανός είναι 40 kn, να υπλγίετε τις δυνάμεις των ράβδων τυ δικτυώματς και να χαρακτηρίετε τ είδς της καταπόνηης τυς, εξαιτίας τυ πι πάνω φρτίυ. β. ια την κατακευή τυ δικτυώματς λήφθηκε υπόψη υντελετής αφάλειας για κάθε ράβδ ίς με 4. Να υπλγίετε τ εμβαδό διατμής της ράβδυ πυ δέχεται τη μεγαλύτερη καταπόνηη ε εφελκυμό, λαμβάνντας υπόψη ότι χρηιμπιήθηκε μεταλλικό υλικό με μέγιτη τάη αντχής μεγ= 750 MN/m. 3 m 5, m α. b=5, r=3, j=4 b+r =5+3=8 και j= 4=8 Ιχύει b+r= j Τ δικτύωμα είναι τατικά ριμέν. (ΣΜ) 0 403 8, 0 10 8, 14,63 kn H 45 = 40 kn 5
Σ Σ 0 14,63 40 0 0 H 0 40 0 5,37 kn Κμβς Σ Σ 0 0 5,37 0,707 35,880,707 0 35,88kN θλιπτική 0 ημ45 υν45 5,37 kn εφελκυτική 45 =5,37 kn Κόμβς Σ 0 Σ 0 40 kn εφελκυτική 40 0 0 5,37 kn εφελκυτική =5,37 kn =40 kn Κόμβς Σ 0 Υ ημ30 Υ 14,63 0,5 0 9,6 kn θλιπτική =5,37 kn =14,63 kn β. μεγ=750 MΝ/m Συντελετής αφάλειας (Σ)=4 Μεγαλύτερη εφελκυτική δύναμη ακείται την ράβδ : =40 kn 6
Σ μεγ μεγ = 750 MN/m Σ 4 3 40 10 Ν 6 187,510 Ν/m 187,5 MN/m 13,33 10-6 m 4. Τ δικτύωμα πυ φαίνεται τ διπλανό χήμα χρηιμπιείται για να ανεβάζει φρτία ε μια βιμηχανία. ια τ κπό αυτό χρηιμπιύνται τα δύ υρματόχινα τις θέεις και. Τ υρματόχιν τη θέη μπρεί να ανεβάει φρτί με μέγιτ βάρς 5 kn, ενώ αυτό τη θέη φρτί με μέγιτ βάρς 8 kn. 4,33 m,5 m 5 m 1 = 8 kn = 5 kn α. Να υπλγίετε τις δυνάμεις πυ ακύνται τις ράβδυς τυ δικτυώματς της κατακευής και να χαρακτηρίετε τ είδς της καταπόνηης πυ δέχεται η κάθε ράβδς. β. Να κατνμάετε τη ράβδ πυ δέχεται τη μεγαλύτερη καταπόνηη ι) ε εφελκυμό και ιι) ε θλίψη. γ. ν τ εμβαδό της διατμής της κάθε ράβδυ είναι =160 mm και υντελετής αφάλειας πυ έχει επιλέξει βιμηχανικός χεδιατής είναι 4, να υπλγίετε τη μέγιτη τάη αντχής μεγ της ράβδυ με τη μεγαλύτερη καταπόνηη ε εφελκυμό. H α. b=5, r=3, j=4 b+r =5+3=8 και j= 4=8 Ιχύει b+r= j Τ δικτύωμα είναι τατικά ριμέν. 4,33 m H,5 m 5 m 7 1 = 8 kn = 5 kn
(ΣΜ) 0 8,5 57,5 H 4,33 0 57,5 H H 13,8 kn 4,33 H H έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φ αίνεται τ χήμα Σ 0 13 kn 5-8 0 13 0 Σ H 0 H -H 0 H H 0 13,8kN Κόμβς Σ 0 0 Σ 0 H 0 13,8kN θλιπτική Η =13,8 kn Κόμβς Σ 0 5 0,5 Υ 5 0 5 ημ30 10kN εφελκυτική Σ 0 Χ 10 0,866 0 υν30 8,66 kn θλιπτική = 5 kn Κόμβς Σ 0 8 0,866 Υ 8 0 8 ημ60 9,4kN εφελκυτική =13,8 kn 60 =8,66 kn 1 = 8 kn 8
β. Η ράβδς πυ δέχεται την μεγαλύτερη καταπόνηη ε εφελκυμό είναι η (=10 kn). Η ράβδς πυ δέχεται την μεγαλύτερη καταπόνηη ε θλίψη είναι η (=13,8 kn). γ. =10 kn = 160 mm Σ=4 Σ μεγ μεγ 10 kn Σ Σ 160 mm 4 μεγ 50 Ν/mm 5. Στ πι κάτω χήμα φαίνεται ένα δικτύωμα τ πί απτελείται από πέντε ράβδυς και τηρίζεται τα ημεία και. Στν κόμβ εφαρμόζεται κατακόρυφ φρτί 5 kn και τν κόμβ ριζόντι φρτί 10 kn. 1 m 5 kn 45 45 45 10 kn 1 m 1 m 1 m α. Να απδείξετε ότι τ δικτύωμα είναι τατικά ριμέν. β. Να κατνμάετε τα είδη των τηρίξεων και να υπλγίετε τις αντιδράεις τα ημεία τήριξης και. γ. Να υπλγίετε τις εωτερικές δυνάμεις τις ράβδυς τυ δικτυώματς και να χαρακτηρίετε τ είδς της καταπόνηης πυ δέχεται η καθεμιά από αυτές. δ. ν τ υλικό πυ χρηιμπιήθηκε για την κατακευή τυ δικτυώματς έχει μεγ= 500 Ν/mm να υπλγίετε τ εμβαδό διατμής της ράβδυ έτι ώτε να επιτευχθεί υντελετής αφάλειας 4. 9
5 kn α. b=5, r=3, j=4 b+r =5+3=8 και j= 4=8 Ιχύει b+r= j Τ δικτύωμα είναι τατικά ριμέν. β. Σημεί : Κύλιη Σημεί : Άρθρωη 1 m 45 45 45 10 kn H Υπλγιμός αντιδράεων: 1 m 1 m 1 m (ΣΜ) 0 5 101 3 0 60 3 0 kn Σ 0 5 0 0 0 5 kn Σ 0 H H H 10 0 H 10 kn έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φ αίνεται τ χήμα. γ. Υπλγιμός και χαρακτηριμός δυνάμεων τις ράβδυς. Κόμβς Σ 0 0 0,707 Υ 0 0 ημ45 8,9kN θλιπτική 45 Σ 0 Χ 8,9 0,707 0 υν45 0 kn εφελκυτική =0 kn Κόμβς Σ 0 Σ 0 5 0,707 Υ Χ υν45 Η Η 15 kn θλιπτική 0 5 7,07kN εφελκυτική 0 ημ45 7,07 0,707 10 45 Η =10 kn =5 kn 30
Κόμβς Σ 0 ημ45 Υ - Υ ημ45 7,07kN θλιπτική 0 45 =7,07 kn 45 δ. μεγ = 500 Ν/mm Συντελετής αφάλειας (Σ)=4 =0 kn =0 kn 10 kn Σ μεγ μεγ Σ 500Ν/mm 4 3 0 10 Ν 15 Ν/mm 15 Ν/mm 160 mm 6. Στ διπλανό χήμα φαίνεται ένας υπαίθρις καλυμμένς χώρς ταθμύ τρένυ. Πι κάτω παρυιάζεται τ διάγραμμα τυ δικτυώματς τ πί τηρίζεται τα ημεία και και αυτό με τη ειρά τυ τηρίζει την ρφή και την θόνη πρβλής αναχωρήεων. α. φύ απδείξετε ότι τ δικτύωμα είναι τατικά ριμέν να υπλγίετε τις εωτερικές δυνάμεις τις ράβδυς (), (), (Ε) και (Ε) τυ δικτυώματς και να χαρακτηρίετε τ είδς της 8 kn καταπόνηης πυ δέχεται η καθεμιά από αυτές. β. ν τ εμβαδό διατμής της ράβδυ (Ε) είναι 370 mm και τ υλικό πυ χρηιμπιήθηκε για την κατακευή τυ δικτυώματς έχει μεγ= 400 Ν/mm να υπλγίετε τ υντελετή αφάλειας πυ λήφθηκε υπόψη για την επιλγή της πι πάνω ράβδυ.,31 m 60 16 kn Ε m m 8 kn 1 kn 31
8 kn. b=7, r=3, j=5 b+r =7+3=10 και j= 5=10 Ιχύει b+r= j Τ δικτύωμα είναι τατικά ριμέν. Υπλγιμός ντιδράεων H,31 m 60 16 kn Ε 8 kn (ΣΜ) 0 16 84 14 H 68 Η Η 9,44 kn,31 H H έχει φρά αντίθετη απ'αυτή πυ φ αίνεται τ,31 0 χήμα H 1 kn m m Σ 0 H H 9,44 kn Η 0 Σ 0 8 16 8 1 0 33 kn Υπλγιμός εωτερικών δυνάμεων τις ράβδυς Κόμβς Σ 0 Η Ε Ε Χ ημ60 ΕΧ 9,44 0 Ε 34kN εφελκυτική 9,44 0,866 H =9,44 kn 8 kn Σ 0 Ε υν60 5 kn θλιπτική ΕΥ 8 0 8 34 0,5 8 60 E Κόμβς =5 kn Σ E Ε 0 ημ30 33 E 16 kn θλιπτική 0 E 33-5 0,5 H =9,44 kn Ε 3 =33 kn
Σ Χ 0 Η ΕΧ 15,58 kn θλιπτική 0 Η Ε υν30 9,44-16 0.866. Υπλγιμός τυ υντελετή αφάλειας Ε= 370 mm Ε=34 kn μεγ= 400 N/mm Συντελετής αφάλειας (Σ); Σ μεγ μεγ 400 N/mm 400 N/mm 3 E 34 10 N 91,89 N/mm 370 mm E Σ 4,35 33