ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.

Σχετικά έγγραφα
y 1 και με οριακές συνθήκες w

w 1, z = 2 και r = 1

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Παράδειγμα #10 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΜΔΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης

f στον κόμβο i ενός πλέγματος ( i = 1, 2,,N

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

Η πλήρως ανεπτυγµένη ροή λόγω διαφοράς πίεσης σε κυλινδρικό αγωγό περιγράφεται από την συνήθη διαφορική εξίσωση

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

(συνθήκη συμμετρίας) (4) Το παραπάνω πρόβλημα μπορεί να περιγράψει τη μεταβατική πλήρως ανεπτυγμένη ροή σε κυλινδρικό αγωγό.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4 ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ.

Παράδειγμα #9 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΕΣ ΣΔΕ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης

Λύσεις ασκήσεων Άσκηση 1: Cengel and Ghajar, Κεφάλαιο 13: Προβλήματα και

πεπερασμένη ή Η αναλυτική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται με τη βοήθεια του Mathematica: DSolve u'' r 1 u' r 1, u 1 0, u' 0 0,u r,r

Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Υπολογιστικές Μέθοδοι

Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Κεφ. 6: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές προβλήματα οριακών τιμών

την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης και για τη παράγωγο f την ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης xxx

Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών: ( )

Επιλύστε αριθμητικά το με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών:

Παράδειγμα #8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης. την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών 2 ης τάξης και β) για τη παράγωγο f

Παρουσίαση 3ης Άσκησης

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια)

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

Παράδειγμα #5 EΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ NEWTON ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης. ( k ) ( k)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.

Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος. Η μόνιμη θερμοκρασιακή κατανομή σε δύο διαστάσεις περιγράφεται από την εξίσωση: και

x από το κεντρικό σημείο i: Ξεκινάμε από το ανάπτυγμα Taylor στην x κατεύθυνση για απόσταση i j. Υπολογίζουμε το άθροισμα:

Επιµέλεια: Γιάννης Λυχναρόπουλος Οµάδα Α: Άσκηση 2 Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση: 2

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

Παράδειγμα #4 EΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν. Βασιλειάδης

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Ενότητα 6. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος

0.5, Μεταφορά θερμότητας ανάμεσα σε κυλίνδρους μεγάλου μήκους (χωρίς ασπίδα):

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Πεπερασμένες Διαφορές.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 2: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων

Άσκηση 1 Έχουµε να επιλύσουµε την εξίσωση κύµατος 1 ης τάξης (υπερβολική εξίσωση) (1)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής:

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Υπολογιστικές Μέθοδοι = 0.4 και R

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Εφαρµόζοντας τη µέθοδο αριθµητικής ολοκλήρωσης Euler και Runge-Kutta 2 ης, συστηµατική σύγκριση των πέντε µεθόδων. Η επιλογή των σταθερών

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΤΟΥΣ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΔΙΑΤΟΜΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 4: Εξίσωση διάχυσης

Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Πίνακας Περιεχομένων 7

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΙΝΑΚΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Ι. Γραμμικά τετραγωνικά στοιχεία Q4 Έστω πλέγμα ΝxΜ Έστω πλέγμα με ΝxM στοιχεία:

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

Κεφάλαιο 7. Επίλυση υπερβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Υ ΡΑΥΛΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΡΥΠΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΕXCEL

ΤΟΠΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Το μαθηματικό μοντέλο της FDTD (1)

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος

Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 9: Συναγωγή και διάχυση (συνέχεια)

Φύλλο Εργασίας για την y=αx 2

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Εαρινό Εξάμηνο 2015/2016. ΦΥΣ145 Υπολογιστικές Μέθοδοι στην Φυσική

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΣΤΗ ΝΑΥΠΗΓΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

Περιοχή εργασίας. Τμ. Γραφιστικής (Γραφιστική με Η/Υ - In Design) 2

Αριθμητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστημάτων

ΕΘΝΙΚΟ!ΜΕΤΣΟΒΙΟ!ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ! ΣΧΟΛΗ!ΧΗΜΙΚΩΝ!ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ!!

Transcript:

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 011-01, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #3: ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 5-1-011 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Επιλέξτε μία εκ των Ασκήσεων 1 και : ΑΣΚΗΣΗ 1 Να λυθεί το πρόβλημα οριακών τιμών u 1 u 1 u u 0, r r r r z R 1 / R r 1, 0, 0 z L / R με οριακές συνθήκες 0 1 u r,, f r, u r,,l/ R g r, u,,z h,z du 0 dr r R 1/R Περιγράψτε ένα φυσικό φαινόμενο που μοντελοποιείται με το παραπάνω πρόβλημα οριακών τιμών. Λύση (Επιμέλεια: Γιάννης Λυχναρόπουλος) Το υπολογιστικό πλέγμα του προβλήματος εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα: k i j i=1,j=1,k=1 i=i+1,j=1,k=k+1 i=i+1,j=1,k=1 i=i+1,j=j, k=1 I κόμβους στην r κατεύθυνση, J 1 κόμβους στην κατεύθυνση, ταυτίζεται με τον κόμβο j 1 και K 1 κόμβους στην z κατεύθυνση. Το πλέγμα αποτελείται από 1 όπου ο κόμβος j J 1

Διακριτοποιούμε τη διαφορική εξίσωση u 1 u 1 u u 0, (1) r r r r z χρησιμοποιώντας κεντρώες πεπερασμένες διαφορές, και παίρνουμε διαδοχικά: u u u 1 u u 1 u u u u u u 0 i1, jk, i, jk, i1, jk, i1, jk, i1, jk, i, j1, k i, jk, i, j1, k i, jk, 1 i, jk, i, jk, 1 r r z i1, jk, i, jk, i1, jk, i1, jk, i1, jk, z u u u r z u u 1 1 r i, j1, k i, jk, i, j1, k i, jk, 1 i, jk, i, jk, 1 0 r z u u u r u u u i 1 z r z r ui, j, k z ui1, j, kui1, j, k 1 1 r z u u r z u u r u u i1, jk, i1, jk, i, j1, k i, j1, k i, jk, 1 i, jk, 1 1 1 i, j, k u z r z r 1 1 z u u r z u u r z u u r u u () με ( i1) r du Για τη διακριτοποίηση της οριακής συνθήκη dr r R 1/R 0 επιλέγεται μία απλή πρόδρομη εξίσωση πεπερασμένων διαφορών, η οποία δίνει τελικά: u1, jk, u, jk, (3) i1, jk, i1, jk, i1, jk, i1, jk, i, j1, k i, j1, k i, jk, 1 i, jk, 1 Για την επίλυση του συστήματος που προκύπτει χρησιμοποιείται η επαναληπτική μέθοδο Gauss- Seidel. Έστω R1 1.5cm, R 4cm και L 15cm που επιλύει το πρόβλημα είναι ο ακόλουθος: program annular implicit none integer,parameter::nr=1,nth=1,nz=1 real,parameter::r1=1.5,r=4.,l=15. real::r(nr),th(nth),z(nz) real::u(nr,nth,nz),uold(nr,nth,nz) real::pi,dz,dr,dth,a,b,c,d,e,err integer::i,j,k,iter pi=4.*atan(1.). Επίσης f 100, g 0 και h 0 dr=(1.-r1/r)/(nr-1) dth=*pi/nth!o nth kombos bsketai sth thesh pi-dth dz=(l/r)/(nz-1) do i=1,nr r(i)=(r1/r)+(i-1)*dr. Ο κώδικας

do i=1,nth th(i)=(i-1)*dth do i=1,nz z(i)=(i-1)*dz u=0 iter=0 do uold=u!oakes synthikes call u_at_z_0() call u_at_z_nz() call u_at_top() do i=,nr-1 do j=1,nth do k=,nz-1 a=dth***dz** b=(dr*a)/(.*r(i)) c=(dr***dz**)/r(i)** d=dr***dth** e=(*(a+c+d))**(-1) if (j==1) then!logw symmetas ws pros th, u(i,- 1,k)=u(i,nth,k) u(i,j,k)=e*(a*(u(i+1,j,k)+u(i-1,j,k))+b*(u(i+1,j,k)-u(i- 1,j,k))+c*(u(i,j+1,k)+u(i,nth,k))+d*(u(i,j,k+1)+u(i,j,k-1))) elseif (j==nth) then!logw symmetas ws pros th, u(i,nth+1,k)=u(i,1,k) u(i,j,k)=e*(a*(u(i+1,j,k)+u(i-1,j,k))+b*(u(i+1,j,k)-u(i- 1,j,k))+c*(u(i,1,k)+u(i,j-1,k))+d*(u(i,j,k+1)+u(i,j,k-1))) else u(i,j,k)=e*(a*(u(i+1,j,k)+u(i-1,j,k))+b*(u(i+1,j,k)-u(i- 1,j,k))+c*(u(i,j+1,k)+u(i,j-1,k))+d*(u(i,j,k+1)+u(i,j,k-1))) end if!synthikh monwshs u(1,:,:)=u(,:,:)!sfalma Gauss-Seidel err=maxval(abs(u-uold)) iter=iter+1 pnt '(i5,es15.4)',iter,err if (err<1.e-5) exit! Eksagwgh apotelesmatwn gia grafima me to Tecplot 360 open(14,file='annular_data.dat') wte(14,100) "RESULTS" wte(14,'(a)')'variables ="X","Y","Z","F"' wte(14,00)'zone I=',nth+1,',J=',nr,',K=',nz,',F=POINT'!For Tecplot IJK Ordered Data!H seira twn Do einai symantikh gia to Tecplot:!If you wte a program to pnt IJK-ordered data, the I-index is the inner loop,! the K-index is the outer loop, and the J-index is the loop in between. do k=1,nz do j=1,nr

do i=1,nth+1!o kombos nth+1 einai taytizetai me ton 1 gia na kleisei o kylindros!gia ektypwsh sto Tecplot metatrepoyme tis kylindkes!se kartesianes syntetagmenes if (i==nth+1) then!gia na kleisei o kylindros ws pros th kata th sxediash sto tecplot wte(14,300) r(j)*cos(th(1)),r(j)*sin(th(1)),z(k), u(j,1,k) else wte(14,300) r(j)*cos(th(i)),r(j)*sin(th(i)),z(k), u(j,i,k) end if enddo enddo enddo 100 format('title = "',A,'"') 00 format(3(a,i3),a) 300 format(3f8.,f15.4) contains!oakes synthikes subroutine u_at_z_0()!f(r,th) u(:,:,1)=100 end subroutine subroutine u_at_z_nz()!g(r,th) u(:,:,nz)=0 end subroutine subroutine u_at_top()!h(th,z) u(nr,:,:)=0 end subroutine end program Τα αποτελέσματα αποθηκεύονται σε ένα αρχείο κατά τέτοιον τρόπο ώστε να μπορούμε να το εμφανίσουμε γραφικά χρησιμοποιώντας το πακέτο «TecPlot 360». Για να είναι δυνατό αυτό θα πρέπει οι συντεταγμένες των κόμβων του πλέγματος να εκφραστούν στο Καρτεσιανό Σύστημα και τα Do που εμφανίζουν τα αποτελέσματα να μπουν σε μία συγκεκριμένη σειρά, όπως φαίνεται και στα αντίστοιχα σχόλια μέσα στον κώδικα. H διαδικασία εμφάνισης του αποτελέσματος με το Tecplot είναι η ακόλουθη: Ανοίγουμε το Tecplot και από το μενού File load data files Tecplot data loader επιλέγουμε το αρχείο των αποτελεσμάτων. Στη συνέχεια δίνουμε Ιnitial plot style ->3D Cartesian Έπειτα ενεργοποιούμε από την παλέτα στα αριστερά την επιλογή: Contour Από την επάνω παλέτα εργαλείων επιλέγουμε "RollerBall Rotation" αν επιθυμούμε να περιστρέψουμε το γράφημα. Στη συνέχεια το περιστρέφουμε με το ποντίκι. Για να δημιουργήσουμε τομές επιλέγουμε από την αριστερή παλέτα Slices menu Τέλος για αντιγραφή του γραφήματος στο Word επιλέγουμε από το μενού Εdit Copy plot to clipboard Image(BMP) Επιλέγοντας ένα υπολογιστικό πλέγμα i jk 1 1 κόμβων (στην j κατεύθυνση ο ος ταυτίζεται με τον 1 ο ), με την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να πάρουμε για παράδειγμα το ακόλουθο γράφημα, στο οποίο εμφανίζονται διαμήκης τομές των δύο ομοαξονικών κυλίνδρων. (Έχουμε αφαιρέσει το εξωτερικό περίγραμμα του άνω μισού των κυλίνδρων για περισσότερη ευκρίνεια στις τομές):

Στον επόμενο πίνακα παρουσιάζονται ενδεικτικά ορισμένα αποτελέσματα στη κάθετη τομή k 10 που αντιστοιχεί στη θέση z 1.6875 i j r θ u 1 1 0.375000 0.00000 0.8953 1 6 0.375000 1.49600 0.8953 1 11 0.375000.99199 0.8953 1 16 0.375000 4.48799 0.8953 1 1 0.375000 5.98399 0.8953 6 1 0.53150 0.00000 0.819 6 6 0.53150 1.49600 0.819 6 11 0.53150.99199 0.819 6 16 0.53150 4.48799 0.819 6 1 0.53150 5.98399 0.819 11 1 0.687500 0.00000 0.6050 11 6 0.687500 1.49600 0.6050 11 11 0.687500.99199 0.6050 11 16 0.687500 4.48799 0.6050 11 1 0.687500 5.98399 0.6050 16 1 0.843750 0.00000 0.3095 16 6 0.843750 1.49600 0.3095 16 11 0.843750.99199 0.3095 16 16 0.843750 4.48799 0.3095 16 1 0.843750 5.98399 0.3095 1 1 1.00000 0.00000 0.00000 1 6 1.00000 1.49600 0.00000 1 11 1.00000.99199 0.00000 1 16 1.00000 4.48799 0.00000 1 1 1.00000 5.98399 0.00000

ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί το πρόβλημα οριακών τιμών u 1 u 1 u u 0, r r r r z 0 r 1, 0, 0 z L / R με οριακές συνθήκες 0 1 u r,, f r, u r,,l/ R g r, u,,z h,z du d 0 du 0 d Περιγράψτε ένα φυσικό φαινόμενο που μοντελοποιείται με το παραπάνω πρόβλημα οριακών τιμών. Βοήθημα: Επιλύστε αρχικά το αντίστοιχο πρόβλημα σε διαστάσεις. Λύση (Επιμέλεια: Γιάννης Λυχναρόπουλος) Το υπολογιστικό πλέγμα του προβλήματος εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα: k i j i=ι+1,j=1,k=κ+1 i=i+1,j=j+1,k=1 i=1,j=1,k=1 i=ι+1,j=1,k=1 Το πλέγμα αποτελείται από I 1 κόμβους στην r κατεύθυνση, J 1 κόμβους στην κατεύθυνση, και K 1 κόμβους στην z κατεύθυνση. Επειδή η διαφορική εξίσωση είναι ίδια με αυτή του προηγούμενου προβλήματος, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, καταλήγουμε ξανά στη ΕΠΔ:

1 1 ui, j, k z r z r 1 1 z u u r z u u r z u u r u u () με r ( i1) r i i1, jk, i1, jk, i1, jk, i1, jk, i, j1, k i, j1, k i, jk, 1 i, jk, 1 Στις θέσεις 0 και εφαρμόζουμε στις εξισώσεις du d 0 du d πρόδρομες και ανάδρομες πεπερασμένες διαφορές αντίστοιχα, οι οποίες δίνουν u u i,1, k i,, k και u u ij, 1, k ijk,, Ειδικά για τη θέση (1,j,k) υπολογίζουμε την ποσότητα u 1, jk, σαν τον μέσο όρο των ποσοτήτων u,, Έστω L/ R, f 100, g 0, h 0. Ο ο κώδικας που επιλύει το πρόβλημα είναι ο ακόλουθος: program half_cylinder implicit none integer,parameter::nr=1,nth=1,nz=1 real::r(nr),th(nth),z(nz) real::u(nr,nth,nz),uold(nr,nth,nz) real::pi,dz,dr,dth,a,b,c,d,e,err integer::i,j,k,iter pi=4.*atan(1.) dr=1./(nr-1) dth=pi/(nth-1) dz=./(nz-1) do i=1,nr r(i)=(i-1)*dr do i=1,nth th(i)=(i-1)*dth do i=1,nz z(i)=(i-1)*dz u=0 iter=0 do uold=u call u_at_z_0() call u_at_z_nz() call u_at_top() 0 jk

do i=,nr-1 do j=,nth-1 do k=,nz-1 a=dth***dz** b=(dr*a)/(.*r(i)) c=(dr***dz**)/r(i)** d=dr***dth** e=(*(a+c+d))**(-1) u(i,j,k)=e*(a*(u(i+1,j,k)+u(i-1,j,k))+b*(u(i+1,j,k)-u(i- 1,j,k))+c*(u(i,j+1,k)+u(i,j-1,k))+d*(u(i,j,k+1)+u(i,j,k-1))) u(:,1,:)=u(:,,:) u(:,nth,:)=u(:,nth-1,:) do k=1,nz u(1,:,k)=sum(u(,:,k))/nth err=maxval(abs(u-uold)) iter=iter+1 pnt '(i5,es15.4)',iter,err if (err<1.e-5) exit open(14,file='half_cylinder_data.txt') wte(14,59) "RESULTS" wte(14,58)'variables ="X","Y","Z","F"' wte(14,*)'zone I=',nth,',J=',nr,',K=',nz,',F=POINT' do k=1,nz do j=1,nr do i=1,nth wte(14,1444) r(j)*cos(th(i)),r(j)*sin(th(i)),z(k), u(j,i,k) enddo enddo enddo 58 format(a300) 59 format(' TITLE = "',A80,'"') 1444 format(3f8.,f15.4) contains subroutine u_at_z_0() u(:,:,1)=100 end subroutine subroutine u_at_z_nz() u(:,:,nz)=0 end subroutine subroutine u_at_top() u(nr,:,:)=0 end subroutine end program

Τα αποτελέσματα για ένα υπολογιστικό πλέγμα i jk 11 1 κόμβων παρουσιάζονται στο επόμενο γράφημα, όπου εμφανίζονται διάφορες οριζόντιες και κάθετες διαμήκης τομές του υπολογιστικού πεδίου: Στον επόμενο πίνακα παρουσιάζονται ενδεικτικά ορισμένα αποτελέσματα στη κάθετη τομή k 10 που αντιστοιχεί στη θέση z 0.9 : i j r θ u 1 1 0.0000 0.0000 19.7095 1 6 0.0000 0.7854 19.7095 1 11 0.0000 1.5708 19.7095 1 16 0.0000.356 19.7095 1 1 0.0000 3.1416 19.7095 6 1 0.500 0.0000 18.3137 6 6 0.500 0.7854 18.3137 6 11 0.500 1.5708 18.3138 6 16 0.500.356 18.3138 6 1 0.500 3.1416 18.3138 11 1 0.5000 0.0000 13.948 11 6 0.5000 0.7854 13.948 11 11 0.5000 1.5708 13.948 11 16 0.5000.356 13.948 11 1 0.5000 3.1416 13.948 16 1 0.7500 0.0000 7.3118 16 6 0.7500 0.7854 7.3118 16 11 0.7500 1.5708 7.3118 16 16 0.7500.356 7.3118 16 1 0.7500 3.1416 7.3118 1 1 1.0000 0.0000 0.0000 1 6 1.0000 0.7854 0.0000 1 11 1.0000 1.5708 0.0000 1 16 1.0000.356 0.0000 1 1 1.0000 3.1416 0.0000

ΑΣΚΗΣΗ 3 Έστω το ελλειπτικό πρόβλημα οριακών τιμών: u x u y 0 στο (βλέπε Σχήμα 1) Οριακές συνθήκες: Στα ευθύγραμμα τμήματα της περιμέτρου της περιμέτρου, u 0 (βλέπε Σχήμα 1)., u 1, ενώ στο καμπύλο τμήμα Εφαρμόζοντας τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών υπολογίστε την εξαρτημένη μεταβλητή στους κόμβους του πλέγματος του Σχήματος 1 ( x y 1/3). Περιγράψτε ένα φυσικό φαινόμενο που μοντελοποιείται με το παραπάνω πρόβλημα οριακών τιμών. Λύση (Επιμέλεια: Γιώργος Τάτσιος) Φυσικό πρόβλημα: Ένα φυσικό πρόβλημα που μπορεί να λυθεί έτσι είναι η μεταφορά θερμότητας σε μία πλάκα που έχει το σχήμα του χωρίου Ω και τις συνοριακές συνθήκες που φαίνονται στο σχήμα, και βρίσκεται σε μόνιμη κατάσταση. Απλό πλέγμα σχήματος με τρεις εσωτερικούς κόμβους:

Υπολογισμός των,b Από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: δίνει α=- 3. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε b=- 3 1 ( ) ( ) ( h) που μας 3 3 3 Κόμβος (3,): u3.1 u3. u3.3 u4. u3. u. 0 4u u u u u h h 3. 3.3. 3.1 4. Κόμβος (,): Για τον κόμβο 5 παίρνουμε το ανάπτυγμα Taylor γύρω από τον κόμβο (,) ahuxx 3 u5 u, ahux O( h ) (1) Για τον κόμβο (,1) παίρνουμε το ανάπτυγμα Taylor γύρω από τον κόμβο (,) huxx 3 u,1 u, hux O( h ) () Πολλαπλασιάζοντας την () με a και προσθέτοντας κατά μέλη στην (1) παίρνουμε: ( ah) uxx h uxx 4 u5 u,1 u, u, O( h ) u5 u,1u,( 1) uxx ( h ) ( ah) ah u5 u,1u,( 1) u3. u. u1. uxx uyy 0 0 ( ah) ah h 1 u5 u.1 u,(1 ) u3. u1. a a a a1 Κόμβος (3,3): Για τον κόμβο 6 παίρνουμε το ανάπτυγμα Taylor γύρω από τον κόμβο (3,3) ( bh) uyy 3 u6 u3,3 ( bh) uy O( h ) (3) Για τον κόμβο (4,3) παίρνουμε το ανάπτυγμα Taylor γύρω από τον κόμβο (3,3) huyy 3 u4,3 u3,3 huy O( h ) (4) Πολλαπλασιάζοντας την (4) με b και προσθέτοντας κατά μέλη στην (3) παίρνουμε: ( bh) uyy h uyy 4 u6 bu4,3u3,3( b1) u6 bu4,3 u3,3 bu3,3 b O( h ) uyy ( h ) ( bh) bh u3. u3.3 u u 1.4 6 bu4,3 u3,3( b1) uxx uyy 0 0 h ( bh) bh 1 u6 u4.3 u3,3(1 ) u3. u3.4 b b b b1

Αντικαθιστώντας τις συνοριακές συνθήκες καταλήγουμε στο ακόλουθο σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους: 4u3. u3.3 u. 1 u,(1 ) u3. 0.5 3 3 3 1 u3,3(1 ) u3. 0.5 3 3 3 Λύση συστήματος: u3. 0.64376 u3.3 0.875 u. 0.875 Σημείωση: Στους κόμβους (1,) και (3,4) όπου υπάρχει η ασυνέχεια, επιλέγουμε ως τιμή τους τον μέσο όρο των δύο οριακών συνθηκών δηλαδή 0.5.