Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α A Λ υ κ ε ι ο υ

Κ Κ ι ι τ τ ο ο Λ Λ υ υ σ σ ρ ρ ι ι............ Α Α λ λ λ λ ι ι ω ς ς!!!!!! Α λ γ ε ρ Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε ρ A Λ υ κ ε ι ο υ

Ε π ι μ ε λ ε ι Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς w w w. d r m a t h s 5 8. b l o g s p o t. c o m w w w. m a t h s 5 8. w o r d p r e s s. c o m e m a i l : d r m a t h s 5 8. g m a i l. c o m

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς Α σ κ η σ η. 0 Εν κουτι εχει τρεις μπλες, μι σπρη, μι μυρη κι μι κοκκινη. Κνουμε το εξης πειρμ : πιρνουμε πο το κουτι μι μπλ, κτγρφουμε το χρωμ της κι την ξνζουμε στο κουτι. Στη συνεχει πιρνουμε μι δευτερη μπλ κι κτγρφουμε επισης το χρωμ της ( οπως λεμε πιρνουμε διδοχικ δυο μπλες με επντοποθετηση ). Ποιος εινι ο δειγμτικος χωρος του πειρμτος ; i Ποιο εινι το ενδεχομενο η πρωτη μπλ εινι κοκκινη ; ii Ποιο εινι το ενδεχομενο ν εξχθει κι τις δυο φορες μπλ με το ιδιο χρωμ ; Οπου Α εινι το ενδεχομενο η μπλ εινι σπρη Μ εινι το ενδεχομενο Κ η μπλ εινι μυρη κι Κ εινι το ενδεχομενο η μπλ εινι κοκκινη Απο το δεντροδιγρμμ ρισκουμε οτι ο δειγμτικος Α ρ χ η Α χωρος Ω εινι Ω {ΑΑ,ΑΜ,ΑΚ,ΜΑ,ΜΜ,ΜΚ,ΚΑ,ΚΜ,ΚΚ}. i Το ενδεχομενο η πρωτη μπλ εινι κοκκινη εινι το { ΚΑ, ΚΜ, ΚΚ}. Μ ii Το ενδεχομενο μπλ του ιδιου χρωμτος κι στις δυο εξγωγες εινι το { ΑΑ, ΜΜ, ΚΚ }. Η γρφικη λυση του συστημτος εινι το σημειο τομης Μ των ευθειων, ε ε Κ Α Μ Κ Α Μ Κ Α Μ ΚΚ ΚΑ ΚΜ ΑΚ ΑΑ ΑΜ ΜΚ ΜΑ ΜΜ Ω Α σ κ η σ η. 0 Εν κουτι εχει τρεις μπλες, μι σπρη, μι μυρη κι μι κοκκινη. Κνουμε το εξης πειρμ : πιρνουμε πο το κουτι μι μπλ, κτγρφουμε το χρωμ της κι δεν την ξνζουμε στο κουτι. Στη συνεχει πιρνουμε μι δευτερη μπλ κι κτγρφουμε επισης το χρωμ της ( οπως λεμε πιρνουμε διδοχικ δυο μπλες χωρις επντοποθετηση ). Ποιος εινι ο δειγμτικος χωρος του πειρμτος ; i Ποιο εινι το ενδεχομενο η πρωτη μπλ εινι κοκκινη ; ii Ποιο εινι το ενδεχομενο ν εξχθει κι τις δυο φορες μπλ με το ιδιο χρωμ ; Απ το δενδροδιγρμμ ο δειγμτικος χωρος εινι Ω {ΑΜ, ΑΚ, ΜΑ, ΜΚ, ΚΑ, ΚΜ}. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς i Το ενδεχομενο η πρωτη μπλ εινι κοκκινη εινι {ΚΜ, ΚΑ} ii Το ενδεχομενο μπλ με το ιδιο χρωμ κι στις δυο εξγωγες εινι το. Μ ΚM Κ Α ΚΑ Α ρ χ η Α Κ Μ AK ΑM Ω Κ MK Μ Α MA Α σ κ η σ η. 0 Μι οικογενει πο την Αθην ποφσιζει ν κνει τις επομενες δικοπες της στην Κυπρο (Κ) η στη Μκεδονι (Μ). Στην Κυπρο μπορει ν πει με εροπλνο (Α) η με πλοιο (Π). Στη Μκεδονι μπορει ν πει με το υτοκινητο της (Αυ), με τρενο (Τ) η με εροπλνο (Α). Αν ως ποτελεσμ του πειρμτος θεωρησουμε τον τοπο δικοπων κι το τξιδιωτικο μεσο, τοτε : Ν γρψετε το δειγμτικο χωρο Ω του πειρμτος. i Ν ρειτε το ενδεχομενο Α: η οικογενει θ πει με εροπλνο στον τοπο των δικοπων της. Π ΚΠ Κ Α ΚΑ Α ρ χ η Α ΜΑ Ω Μ Τ ΜΤ Α υ MΑυ Απ το δενδροδιγρμμ ο δειγμτικος χωρος εινι Ω {ΚΑ, ΚΠ, ΜΑυ, ΜΤ, ΜΑ} i Α { ΚΑ, ΜΑ}. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς Α σ κ η σ η. 0 Εν ξενοδοχειο προσφερει γευμ που ποτελειτι πο τρι πιτ. Το κυριο πιτο, το συνοδευτικο κι το γλυκο. Οι δυντες επιλογες δινοντι στον πρκτω πινκ Γευμ Επιλογες Κυριο πιτο Κοτοπουλο η φιλετο Συνοδευτικο Μκρονι η ρυζι η χορτ Γλυκο Πγωτο η τουρτ η ζελε Εν τομο προκειτι ν διλεξει εν ειδος πο κθε πιτο. Ν ρειτε το δειγμτικο χωρο του πειρμτος. i Ν ρειτε το ενδεχομενο Α : το τομο επιλεγει πγωτο. ii Ν ρειτε το ενδεχομενο Β : το τομο επιλεγει κοτοπουλο. iv) Ν ρειτε το ενδεχομενο Α Β. v) Αν Γ εινι το ενδεχομενο : το τομο επιλεγει ρυζι, ν ρειτε το ενδεχομενο (Α Β) Γ. Κ Φ Μ Ρ Χ Μ Ρ Χ Π Τ Ζ Π Τ Ζ Π Τ Ζ Π Τ Ζ Π Τ Ζ Π Τ Ζ ΚΜΠ ΚΜΤ ΚΜΖ ΚΡΠ ΚΡΤ ΚΡΖ ΚΧΠ ΚΧΤ ΚΧΖ ΦΜΠ ΦΜΤ ΦΜΖ ΦΡΠ ΦΡΤ ΦΡΖ ΦΧΠ ΦΧΤ ΦΧΖ Ω { ΚΜΠ,ΚΜΤ,ΚΜΖ, ΚΡΠ, ΚΡΤ,ΚΡΖ,ΚΧΠ, ΚΧΤ, ΚΧΖ, ΦΜΠ, ΦΜΤ, ΦΜΖ, ΦΡΠ, ΦΡΤ, ΦΡΖ, ΦΧΠ, ΦΧΤ, ΦΧΖ } i Το ζητουμενο ενδεχομενο θ εχει σν στοιχει ολ τ ποτελεσμτ που περιεχουν το Π (πγωτο), Α { ΚΜΠ, ΚΡΠ, ΚΧΠ, ΦΜΠ, ΦΡΠ, ΦΧΠ } ii Ομοι Β {ΚΜΠ, ΚΜΤ, ΚΜΖ, ΚΡΠ, ΚΡΤ, ΚΡΖ, ΚΧΠ, ΚΧΤ, ΚΧΖ } iv) Α Β{ΚΜΠ,ΚΡΠ,ΚΧΠ } v) Γ {ΚΡΠ, ΚΡΤ, ΚΡΖ, ΦΡΠ, ΦΡΤ, ΦΡΖ}, ρ (Α Β) Γ { ΚΡΠ} Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς Α σ κ η σ η. 0 5 Η διευθυνση ενος νοσοκομειου κωδικοποιει τους σθενεις συμφων με το ν εινι σφλισμενοι η οχι κι συμφων με την κτστση της υγεις τους, η οποι χρκτηριζετι ως κλη, μετρι, σορη κι κρισιμη. Η διευθυνση κτγρφει με 0 τον νσφλιστο κι με τον σφλισμενο, κι στην συνεχει διπλ γρφει εν πο τ γρμμτ,, γ, δ νλογ ν η κτστση του εινι κλη, μετρι, σορη η κρισιμη. Θεωρουμε το πειρμ της κωδικοποιησης ενος νεου σθενους. Ν ρειτε : Το δειγμτικο χωρο του πειρμτος i Το ενδεχομενο Α : η κτστση του σθενους εινι σορη η κρισιμη κι εινι - νσφλιστος. ii Το ενδεχομενο Β : η κτστση του σθενους εινι κλη η μετρι. iv) Το ενδεχομενο Γ: ο σθενης εινι σφλισμενος. 0 γ δ γ δ γ δ 0 0 0 γ 0 δ Απο το διπλνο δεντροδιγρμμ ρισκουμε οτι ο δειγμτικος χωρος Ω εινι ο Ω { 0, 0, 0γ, 0δ, Ι, Ι, Ιγ, Ιδ} i Α { 0γ, 0δ} ii Β {0, 0, Ι, Ι } iv) Γ {Ι, Ι, Ιγ, Ιδ} Α σ κ η σ η. 0 6 Σε κθεμι πο τις πρκτω περιπτωσεις ν εξετσετε ν τ ενδεχομεν Α κι Β εινι συμιστ : Ριχνουμε εν ζρι. Α εινι το ενδεχομενο ν φερουμε κι Β εινι το ενδεχομενο ν φερουμε ρτιο ριθμο. i Επιλεγουμε εν τομο. Α εινι το ενδεχομενο ν εχει γεννηθει στην Ελλδ κι Β το ενδεχομενο ν εινι κθολικος. ii Επιλεγουμε μι γυνικ. Α εινι το ενδεχομενο ν εχει ηλικι νω των 0 κι Β το ενδεχομενο ν εινι πντρεμενη πνω πο 0 χρονι. iv) Επιλεγουμε κποιον με εν υτοκινητο. Α εινι το ενδεχομενο το υτοκινητο του ν εινι ευρωπϊκο κι Β το ενδεχομενο ν εινι σιτικο. Τ ενδεχομεν εινι συμιστ διοτι Α {} κι Β {,, 6}, οποτε Α Β Ø. i Τ ενδεχομεν δεν εινι συμιστ, διοτι οπως ολοι ξερουμε υπρχουν Ελληνες κθολικοι οποτε ΑΒØ Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς 5 ii Τ ενδεχομεν δεν εινι συμιστ διοτι υπρχουν γυνικες με ηλικι μεγλυτερη των 0 ετων που εινι πντρεμενες περισσοτερο πο 0 χρονι οποτε Α Β iv) Τ ενδεχομεν εινι συμιστ φου, εν υτοκινητο που εινι ευρωπiκο δεν μπορει ν εινι κι σιτικο δηλδη Α Β Ø. Ø. Α σ κ η σ η. 0 7 Μετξυ των οικογενειων με τρι πιδι επιλεγουμε τυχι μι οικογενει κι εξετζουμε τ πιδι ως προς το φυλο κι ως προς τη σειρ γεννησης τους. Ν γρψετε το δειγμτικο χωρο του πειρμτος. Α Α Κ Α Κ Α Κ ΑΑΑ ΑΑΚ ΑΚΑ ΑΚΚ Α Α Κ ΚΑΑ ΚΑΚ Κ Κ Α Κ ΚΚΑ ΚΚΚ O δειγμτικος χωρος του πειρμτος εινι : Ω { ΑΑΑ, ΑΑΚ, ΑΚΑ, ΑΚΚ, ΚΑΑ, ΚΑΚ, ΚΚΑ, ΚΚΚ } Α σ κ η σ η. 0 Β Δυο πικτες θ πιξουν σκκι κι συμφωνουν νικητης ν εινι υτος που θ κερδισει πρωτος δυο πιχνιδι. Αν εινι το ποτελεσμ ν κερδισει ο πρωτος πικτης εν πιχνιδι κι εινι το ποτελεσμ ν κερδισει ο δευτερος πικτης εν πιχνιδι, ν ρειτε τον δειγμτικο χωρο του πειρμτος. O δειγμτικος χωρος του πειρμτος εινι : Ω {,,,,, } Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

6 Π ι θ ν ο τ η τ ε ς Α σ κ η σ η. 0 B Ριχνουμε εν ζρι δυο φορες. Ν ρειτε τ ενδεχομεν : Α : Το ποτελεσμ της ης ριψης εινι μεγλυτερο πο το ποτελεσμ της ης Β : Το θροισμ των ενδειξεων στις δυο ριψεις εινι ρτιος ριθμος Γ : Το γινομενο των ενδειξεων στις δυο ριψεις εινι μικροτερο του 5 Στη συνεχει ν ρειτε τ ενδεχομεν. Α Β, Α Γ, Β Γ, (Α Β) Γ Γι ν ρουμε τον δειγμτικο χωρο, κτσκευζουμε πινκ διπλης εισοδου. η ριψη η ριψη 5 6 (,) (,) (,) (,) (, 5) (,6) (,) (,) (,) (,) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,) (,5) (,6) (,) (,) (,) (,) (,5) (,6) 5 (5,) (5,) (5,) (5,) (5,5) (5,6) 6 (6,) (6,) (6,) (6,) (6,5) (6,6) Ο δειγμτικος χωρος περιεχει σν στοιχει ολ τ ποτελεσμτ του πρπνω πινκ διπλης εισοδου. Α {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (5,), (5,), (5, ), (5,), (6,), (6,), (6,), (6,), (6,5)} Β {(,), (,), (,5), (,), (,), (,6), (,), (,), (,5), (,), (,), (,6), (5,), ( 5, ), ( 5,5), (6,), (6,), (6,6)} Γ {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)} Α Β {(,), (,), (5,), (5,), (6,), (6,)} Α Γ {(,), (,), (,)} Β Γ {(,), (,), (,), (,)} (Α Β) Γ {(,)} Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς 7 Α σ κ η σ η. 0 Απο μι τρπουλ με 5 φυλλ πιρνουμε εν στην τυχη. Ν ρειτε τις πιθνοτητες των ενδεχομενων : Το φυλλο εινι 5 i Το φυλλο δεν εινι 5 Δεχομστε οτι προκειτι γι ισοπιθν στοιχειωδη ενδεχομεν. Εστω Α το ενδεχομενο : το φυλλο εινι πεντε. Επειδη στην τρπουλ των 5 υπρχουν πεντρι, οι ευνοικες περιπτωσεις του ενδεχομενου Α, εινι Ν(Α), ενω οι δυντες περιπτωσεις εινι Ν (Ω) 5. Ν(Α) Αρ Ρ(Α) Ν(Ω) 5 i Το ενδεχομενο : το φυλλο δεν εινι πεντε, εινι το Α ντιθετο του Α. Οποτε Ρ(Α ) Ρ(Α) - Α σ κ η σ η. 0 Ν ρειτε την πιθνοτητ στην ριψη δυο νομισμτων (διδοχικ) ν εμφνιστουν δυο γρμμτ. Ο δειγμτικος χωρος του πειρμτος εινι ο Ω { ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ }, οπου Κ κεφλι κι Γ γρμμτ. Ετσι Ν(Ω). Αν Α εινι το ενδεχομενο : δυο γρμμτ, τοτε Α { ΓΓ} κι Ν(Α). Οποτε Ν(Α) Ρ(Α) Ν(Ω) Α σ κ η σ η. 0 Εν κουτι περιεχει μπλες : 0 σπρες (Α), 5 μυρες (Μ), 5 κοκκινες (Κ) κι 0 πρσινες (Π). Πιρνουμε τυχιως μι μπλ. Ν ρειτε τις πιθνοτητες των ενδεχομενων η μπλ ν εινι : μυρη i μυρη η σπρη ii ουτε κοκκινη ουτε πρσινη Αφου μεσ στο κουτι υπρχουν:0 + 5 + 5 + 0 0 μπλες, θ εινι Ν(Ω) 0. Εστω Μ το ενδεχομενο : η μπλ ν εινι μυρη. Τοτε Ν(Μ) 5 5 Αρ Ρ(Μ) 0 8 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

8 Π ι θ ν ο τ η τ ε ς i 0 Εστω Α εινι το ενδεχομενο: η μπλ εινι σπρη. Τοτε Ν(Α) 0 κι Ρ(Α) 0. Το ενδεχομενο: η μπλ ν εινι μυρη η σπρη, εινι το Μ Α με Α, Μ συμιστ. 5 Οποτε Ρ(Μ Α) Ρ(Μ) + Ρ(Α) +. 8 8 ii Το ενδεχομενο : η μπλ δεν εινι ουτε πρσινη ουτε κοκκινη, σημινει οτι η μπλ 5 εινι : μυρη η σπρη, που οπως ειδμε εχει πιθνοτητ Ρ(Μ Α). 8 Α σ κ η σ η. 0 Σε μι τξη με 0 μθητες, ρωτηθηκν οι μθητες ποσ δελφι εχουν. Οι πντησεις τους φινοντι στον πινκ Αριθμος μθητων 9 Αριθμος δελφων 0 5 Αν επιλεξουμε τυχι εν μθητη, ν ρειτε την πιθνοτητ η οικογενει του ν εχει τρι πιδι. Το πληθος ολων των μθητων της τξης εινι 0, οποτε Ν(Ω) 0. Γι ν εχει η οικογενει του μθητη πιδι θ πρεπει ο μθητης που επιλεχτηκε ν εχει δελφι. Εστω Α το ενδεχομενο : ο μθητης εχει δυο δελφι. Απο τον πινκ λεπουμε οτι Ν(Α) 9 Οποτε η ζητουμενη πιθνοτητ εινι: Ρ(Α) Ν(Α) 9 Ν(Ω) 0 Α σ κ η σ η. 0 5 Εστω τ συνολ Ω {ω / 0 ω 0}, Α {ω Ω / ω πολλπλσιο του } κι Β {ω Ω / ω πολλπλσιο του }. Αν επιλεξουμε τυχι εν στοιχειο του Ω, ν ρειτε τις πιθνοτητες : Ν νηκει στο Α i Ν μην νηκει στο Β Απο την υποθεση πρτηρουμε οτι το Ω περιεχει σν στοιχει τους φυσικους που ικνοποιουν την σχεση 0 ω 0. Αρ Ω { 0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } με Ν(Ω). Το ενδεχομενο Α περιεχει ολ τ στοιχει του Ω που εινι πολλπλσι του. Αρ Α {, 5,8 } με Ν(Α) Το ενδεχομενο Β περιεχει τ στοιχει του Ω που εινι πολλπλσι του. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς 9 Αρ Β {, 6, 0 } με Ν(Β) Οποτε Ν(Α) Ρ(Α) Ν(Ω) i Δεν νηκει στο Β, σημινει νηκει στο Β. Γνωριζουμε οτι Ρ(Β ) Ρ(Β). Ν(Β) Αλλ, Ρ(Β) ετσι Ρ(Β ) Ν(Ω) 8 Α σ κ η σ η. 0 6 Σε ενν γων η πιθνοτητ ν κερδισει ο Λευτερης εινι 0%, η πιθνοτητ ν κερδισει ο Πυλος εινι 0% κι η πιθνοτητ ν κερδισει ο Νικος εινι 0%. Ν ρειτε την πιθνοτητ : Ν κερδισει ο Λευτερης η ο Πυλος. i Ν μην κερδισει ο Λευτερης η ο Νικος. Αν Λ το ενδεχομενο κερδιζει ο Λευτερης, Π κερδιζει ο Πυλος κι Ν κερδιζει ο Νικος, τοτε Ρ(Λ) 0 0, Ρ(Π) κι Ρ(Ν) 0 00 00 00 Το ζητουμενο ενδεχομενο εινι το Λ Π, με Λ, Π συμιστ. Απο τον πλο προσθετικο νομο εχουμε οτι 0 0 50 Ρ(Λ Π) Ρ(Λ) + Ρ(Π) + 00 00 00 i Δεν κερδιζει ο Λευτερης η ο Νικος εινι το ενδεχομενο (Λ Ν) (Λ, Ν συμιστ) 0 0 0 Ρ(Λ Ν) - Ρ(Λ Ν) - Ρ(Λ) - Ρ(Ν) - - 00 00 00 Α σ κ η σ η. 0 7 Γι τ ενδεχομεν Α κι Β ενος δειγμ. χωρου Ω ισχυουν Ν ρειτε την Ρ(Α Β) Εινι 7 Ρ(Β) κι Ρ(Α Β). 5 Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 7 + 7 7 7 - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) + - 0 5 0 5 Ρ(Α Β) 0 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

0 Π ι θ ν ο τ η τ ε ς Α σ κ η σ η. 0 8 Γι τ ενδεχομεν Α κι Β του ιδιου δειγμτικου χωρου Ω εχουμε 5 Ρ(Α), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β) 6. Ν ρειτε την Ρ(Β). Εινι Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 5 +Ρ(Β) - 6 5 Ρ(Β) - + 6 Ρ(Β) 6 Α σ κ η σ η. 0 9 Γι τ ενδεχομεν Α κι Β του ιδιου δειγμτικου χωρου Ω ισχυει : Ρ(Α) Ρ(Β), P(A B) 0,6 κι Ρ(Α Β) 0,. Ν ρειτε την Ρ(Α). Εινι Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 0,6 P(A) + P(A) 0, 0,8 P(A) P(A) 0, Α σ κ η σ η. 0 Γι τ ενδεχομεν Α κι Β του ιδιου δειγμτικου χωρου Ω εχουμε οτι : Ρ(Α), Ρ(Β ) κι Ρ(Α Β). Ν ρειτε την Ρ(Α Β). Εινι Ρ(Β ) Ρ(Β) Ρ(Β) Ακομ Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) + - 6 + - 9 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς Α σ κ η σ η. Γι δυο ενδεχομεν Α κι Β του ιδιου δειγμτικου χωρου Ω ν δειξετε οτι Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Εινι Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) κι P(A B) 0 (το προσθετουμε στο ο μελος ) Οποτε Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) + Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) (την P(A B), ρ υτο μεγλωνει) Α σ κ η σ η. Εν ορισμενο κτστημ δεχετι πιστωτικες κρτες D η V. Το 5% των πελτων εχει κρτ D, το 55% εχει κρτ V κι το 5% εχει κι τις δυο κρτες. Ποι εινι η πιθνοτητ, ενς πελτης που επιλεγετι τυχι ν εχει μι τουλχιστον κρτ ; D: το ενδεχομενο, ο πελτης ν εχει κρτ D. Τοτε Ρ(D) 5 00 V: το ενδεχομενο, ο πελτης ν εχει κρτ V. Τοτε Ρ(V) 55 00 5 (D V): το ενδεχομενο, ο πελτης εχει κι τις δυο κρτες. Τοτε Ρ(D V) 00 (D V): το ενδεχομενο, ο πελτης εχει μι τουλχιστον κρτ. Οποτε πο τον προσθετικο νομο εχουμε 5 55 5 Ρ(D V) Ρ(D) + Ρ(V) - Ρ(D V) Ρ(D V) + - P(D V ) 00 00 00 65 00 Α σ κ η σ η. Το 0% των τομων ενος πληθυσμου εχουν υπερτση, το 6% στεφνιι κρδικη σθενει κι το % εχουν κι τ δυο. Γι εν τομο που επιλεγετι τυχι ποι εινι η πιθνοτητ ν εχει ) τουλχιστον μι σθενει ) μονο μι σθενει Υ: το ενδεχομενο, το τομο εχει υπερτση. Τοτε Ρ(Υ) 0 00 Σ: το ενδεχομενο, το τομο εχει στεφνιι. Τοτε Ρ(Σ) 6 00 ( Υ Σ): το ενδεχομενο, το τομο εχει κι τις δυο σθενειες. Τοτε Ρ(Υ Σ) 00 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς ) ( Υ Σ ): το ενδεχομενο, το τομο εχει μι τουλχιστον σθενει. 0 6 ΤοτεΡ(Υ Σ) Ρ(Υ) + Ρ(Σ) - Ρ(Υ Σ) + - 00 00 00 00 ) (Υ Σ) (Σ Υ): το ενδεχομενο, το τομο εχει μι μονο σθενει κι επειδη τ ενδεχομεν (Υ Σ), (Σ Υ) εινι συμιστ, π τον πλο προσθετικο νομο εινι : P[(Υ -Σ) (Σ- Υ)] Ρ(Υ -Σ) + Ρ(Σ- Υ) () Ομως P(Υ Σ) Ρ(Υ) Ρ(Υ Σ) Ρ(Σ Υ) Ρ(Σ) Ρ(Υ Σ) 0 00 6 00 Ετσι η () : P[(Υ -Σ) (Σ- Υ)] 00 00 8 00 00 8 00 + 00 00 Α σ κ η σ η. Απο τους μθητες ενος σχολειου το 80% μθινει γγλικ, το 0% γλλικ κι το 0% κι τις δυο γλωσσες. Επιλεγουμε τυχι εν μθητη. Ν ρειτε την πιθνοτητ, ν μη μθινει κμι πο τις δυο γλωσσες. Α: το ενδεχομενο, μθινει γγλικ. Τοτε Ρ(Α) Γ: το ενδεχομενο, μθινει γλλικ. Τοτε Ρ(Σ) 80 00 6 00 (Α Γ): το ενδεχομενο, μθινει κι τις δυο γλωσσες. Τοτε 0 Ρ(Α Γ) 00 (Α Γ) : το ενδεχομενο, δεν μθινει κμι γλωσσ. Τοτε Ρ(Α Γ) - Ρ(Α Γ) [Ρ(Α) + Ρ(Γ) - Ρ(Α Γ) ] -Ρ(Α) - Ρ(Γ) + Ρ(Α Γ) 80 0 0 0 - - + 00 00 00 00 Α σ κ η σ η. 0 Β Αν γι τ ενδεχομεν Α κι Β ενος δειγμτικου χωρου Ω εχουμε Ρ(Α) κ, Ρ(Β) λ κι Ρ(Α Β) μ, ν ρειτε τις πιθνοτητες ν πργμτοποιηθει εν τουλχιστον πο τ Α κι Β i ν μην πργμτοποιηθει κνεν πο τ Α κι Β ii ν πργμτοποιηθει εν μονο πο τ Α κι Β (Α Β): το ενδεχομενο, Πργμτοποιειτι εν τουλχιστον πο τ Α κι Β, οποτε Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς πο τον προσθετικο νομο εχουμε οτι: Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) κ + λ μ i ) : το ενδεχομενο, Κνεν πο τ Α κι Β δεν πργμτοποιειτι, οποτε εχουρ(α Β)' - Ρ(Α Β) (κ + λ μ) κ λ + μ (ΑΒ ii (Α-Β) (Β -Α) : το ενδεχομενο, Εν μονο πο τ Α κι Β πργμτοποιειτι, κι - φου, τ ενδεχομεν Α Β, Β Α εινι συμιστ, τοτε Ρ[(Α-Β) (Β -Α)] Ρ(Α-Β) + Ρ(Β -Α) Ρ(Α) - Ρ(Α Β) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) κ μ + λ μ κ + λ μ Α σ κ η σ η. 0 Β Σε μι κωμοπολη το 5% των νοικοκυριων δεν εχουν τηλεορση, το 0% δεν εχουν ιντεο κι το 0% δεν εχουν ουτε τηλεορση ουτε ιντεο. Επιλεγουμε τυχι εν νοικοκυριο. Ν ρειτε την πιθνοτητ ν εχει τηλεορση κι ιντεο. Τ: το ενδεχομενο, το νοικοκυριο δεν εχει τηλεορση. Τοτε Ρ(Τ) Β: το ενδεχομενο, το νοικοκυριο δεν εχει ιντεο. Τοτε Ρ(Β) 0 00 5 00 (Τ Β): το ενδεχομενο, το νοικοκυριο δεν εχει ουτε τηλεορση ουτε ιντεο. 0 Τοτε Ρ(Τ Β) 00 (Τ Β) : το ενδεχομενο, το νοικοκυριο εχει τηλεορση κι ιντεο. Τοτε Ρ(Τ Β)' - Ρ(Τ Β) [Ρ(Τ) + Ρ(Β) - Ρ(Τ Β)] Ρ(Τ) Ρ(Β) + Ρ(Τ Β) 5 0 0 55 - + 00 00 00 00 Α σ κ η σ η. 0 Β Αν Ρ(Α) Ρ(Α ), ν ρειτε τις πιθνοτητες Ρ(Α) κι Ρ(Α ). Εινι Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α ) Ρ(Α) [ - Ρ(Α)] Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α ) 7Ρ(Α) Ρ(Α) 7 Ρ(Α ) - Ρ(Α) - 7 7 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ι θ ν ο τ η τ ε ς Α σ κ η σ η. 0 Β Αν 0 < Ρ(Α) <, ν ποδειξετε οτι: + Ρ(Α) Ρ(Α ) Εινι 0<Ρ(Α) < τοτε 0 < - Ρ(Α') < - Ρ(Α') < - - Ρ(Α') < 0 Ρ (Α') > 0 + Ρ( Α) Ρ(Α') Ρ(Α) Ρ(Α ') Ρ(Α) + Ρ(Α) Ρ(Α') Ρ(Α') [Ρ(Α)] - Ρ(Α) + 0 [Ρ(Α) - ] 0 που ληθευει Ρ(Α)Ρ(Α') Ρ(Α') + Ρ(Α) Ρ(Α)Ρ(Α') Ρ(Α)[ - Ρ(Α)] Ρ(Α) - [Ρ(Α)]. Α σ κ η σ η. 0 5 Β Αν Α κι Β εινι ενδεχομεν του ιδιου δειγμτικου χωρου Ω με Ρ(Α) 0,6 κι Ρ(Β) 0,7, ν δειξετε οτι 0, Ρ(Α Β) 0,6. Εστω οτι τ ενδεχομεν Α κι Β εινι συμιστ. Τοτε : Ρ(ΑUΒ) Ρ(Α) + Ρ(Β) 0,6 + 0,7, >, που εινι τοπο. Αρ τ ενδεχομεν Α κι Β δεν εινι συμιστ. Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) 0, 6 Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) Ρ(Α Β) 0, 7 0 Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 0 0,6 + 0,7 - Ρ(Α Β) Ρ(Α Ρ(Α Β) 0,6 Β) 0, 0, Ρ(Α Β) 0,6 Α σ κ η σ η. 0 6 Β Γι δυο ενδεχομεν Α κι Β του ιδιου δειγμτικου χωρου Ω, ν ποδειξετε οτι Ρ(Β) - Ρ(Α ) Ρ(Α Β). Εινι 0 Ρ(Α Β) - Ρ(Α Β) - Ρ(Α) + Ρ(Β) > 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Β) ( - Ρ(Α)) Ρ(Α Β) Ρ(Β) Ρ(Α ) Ρ(Α') - Ρ(Α) Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 5 Α σ κ η σ η. 0 Δινετι η πρστση Α [( y ) Ν δειξετε οτι Α 9 y - 9 (y ) ] : - y i Ν ρειτε την τιμη της πρστσης γι 00 κι y - 00 Α [ i ( y ) 9 - y 9 Α ( y) 9 (y ) ] : y - 00 00 9 - [ - 9-6 y y ] : y - 9 y 6 : y 9 y 6 9 y Α σ κ η σ η. 0 Ν ρειτε την τιμη της πρστσης A γι 0, κι y,5. - 7 - [(y ) : ( y ) ], A - 7 - [(y ) : ( y ) ] - 7 [(y ) ( y )] 0 0 0 ( y) [0, (0,5)] (-)] - 7 ( y y ) 5 5 ( y ) Α σ κ η σ η. 0 Ν υπολογισετε τις πρστσεις : 00 999 i 99 0 ii (7,) - (,),6 00 999 (00 999)(00 + 999). 000 000 i 99. 0 (00 )(00 + ) 00 0000 9999 ii (7,) - (,),6 (7, -,)(7, +,),6,6, 6 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

6 Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. 0 Ν δειξετε οτι ( + ) ( ) i Ν υπολογισετε την τιμη της πρστσης : 999 000 + 000 999 999 000-000 999 ( + ) ( ) i Εφρμοζουμε το ( 999 000 + 000 999 + + ( 999 000-000 999 + 999 000 ) 000 999 + + + Α σ κ η σ η. 0 5 Ν ποδειξετε οτι ( )( + ) i Ν υπολογισετε την τιμη της πρστσης : (,65 i ( )( + ) ( ) Απο το (, γι,65 πιρνουμε + ) 0,65.,65 (,65) (,65 )(,65 + ) (,65) 0,65,65 Α σ κ η σ η. 0 6 Ν δειξετε οτι η διφορ των τετργωνων δυο διδοχικων φυσικων ριθμων (του μικροτερου πο το μεγλυτερο) ισουτι με το θροισμ τους. Εστω ν, ν + δυο διδοχικοι φυσικοι ριθμοι. Εινι (ν + ) ν ν + ν + ν ν + ν + (ν + ) Α σ κ η σ η. 0 7 Αν ν φυσικος ριθμος, ν δειξετε οτι ο ριθμος ν + ν+ + ν+ εινι πολλπλσιο του Εινι ν + ν+ + ν+ ν + ν. + ν. ν ( + + ) ν 7 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 7 Α σ κ η σ η. 0 Β Ν πλοποιησετε τις πρστσεις - + - i ( - ) + - - - + - ( - + ) ( -) ( - ) ( - ) + i ( - ) + - - ( -) + ( -) ( -)( +) ( -)( + ) ( -)( +) + + Α σ κ η σ η. 0 Β Ν πλοποιησετε τις πρστσεις - + ( + ) i + + + - - - i + + + + ( + ) - - - ( -) ( +) + + + ( + ) ( + ) ( + ) [( -)( + )] ( -)( + ) ( -)( + + ) ( - ) ( + ) ( + ) Α σ κ η σ η. 0 Β Ν πλοποιησετε τις πρστσεις ( + y ) - - - ( + y ) i + y - - - y - y - - - y ( + y ) - - -.( + y ) ( + y ) + y y ( + y) ( + y) - ( + y ) y y + y - ( + y) y + y Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

8 Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι i + y - y - y - - - y - - + y - y + y - y - y - y y + y + y - y + y - y y y y + y - y - y y - y + y - y y - y (y - )(y + ) y Α σ κ η σ η. 0 Β Ν δειξετε οτι + y - y : -y - y + y - y : -y - y ( + y)( - y + y ) ( - y)( + y) - y + y - y : - y - y + y - y + y - y Α σ κ η σ η. 0 5 Β Εστω, κι γ τ μηκη των πλευρων ενος τριγωνου ΑΒΓ. Ν δειξετε οτι το τριγωνο εινι ισοπλευρο σε κθεμι πο τις πρκτω περιπτωσεις : Αν i γ γ Αν γ γ γ γ + + γ + γ + κι γ κι γ γ i - γ γ γ γ γ κι κι κι γ γ - γ γ - ( γ) γ γ - + γ) γ γ γ γ κι κι κι γ γ γ γ Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 9 Α σ κ η σ η. 0 6 Β Ν δειξετε οτι, ν εν ορθογωνιο εχει περιμετρο L κι εμδον Ε το ορθογωνιο υτο εινι τετργωνο με πλευρ ιση με. Εστω, y οι διστσεις του ορθογωνιου. Τοτε L a + y a + y a a - y a - y E y y ( a - y)y ay - y a - y a - y a - y a - a a y a y - ay + 0 (y - a) 0 y - a 0 y a y a, τοτε Α σ κ η σ η. 0 7 Β Ν δειξετε οτι : Αν ρητος κι ρρητος, τοτε + ρρητος. i Αν ρητος με 0 κι ρρητος, τοτε ρρητος. Εστω οτι ο ριθμος + εινι ρητος. Τοτε κι ο ( + ) (διφορ ρητων) θ εινι ρητος, που εινι τοπο φου ρρητος. Αρ + εινι ρρητος. i Εστω οτι ο ριθμος εινι ρητος. Τοτε κι ο Αρ εινι ρρητος. (πηλικο ρητων) θ εινι ρητος, που εινι τοπο φου ρρητος. Α σ κ η σ η. 0 Ν aποδειξετε οτι : i Εινι + 9 6 ( + ) ( + ) - 6 + 9 0 - + 0 ( - ) 0 που ισχυει i + + + + - - - 0 + - 0 ( -) 0 που ληθευει. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

0 Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. 0 Ν ποδειξετε οτι Ποτε ισχυει η ισοτητ; + + 0. (a-) 0 a + - + (a - + ) + (a -) + 0 + 0 0 0 (a -) 0 a - 0 a 0 0 0 a + - + 0 (a -) + 0 κι κι κι Α σ κ η σ η. 0 Ν ρειτε τους πργμτικους ριθμους κι y σε κθεμι πο τις πρκτω περιπτωσεις : Αν ( i Αν + y ) + (y + ( - ) + (y + ) 0 ) 0 + y + 5 0 ( - ) 0-0 (y + ) 0 y + 0 y - + y - + y + 5 0 ( - + ) + (y + y + ) 0 ( - ) + (y + ) 0 ( - ) 0-0 (y + ) 0 y + 0 y - Α σ κ η σ η. 0 Ν ρειτε τους πργμτικους ριθμους κι y σε κθεμι πο τις πρκτω περιπτωσεις : Αν ( ) + (y + ) 0 i Αν + y + y + 5 0 Εινι:,5 < <,6 (), 5, < y < 5, (), - 5, < - y < - 5, (), Απο () + () :,5 + 5, < + y <,6 + 5, η 9,8 < + y < 0 i Απο () + () :,5-5, < - y <,6-5, η - 0,9 < - y < - 0,7 ii Απο () () :,5,6 5 6,5 < <,6 η < < η < < 5, y 5, 5, y 5, 5 y 5 < < 5, y 5, () Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι iv) Aπο () :,5 < <,6 η,5 < <,6 η 0,5 < <,6 (5) Aπο () : 5, < y < 5, η 5, < y < 5, η 8,09 < y < 9,6 (6) Απο (5) + (6) : 0,5 + 8,09 < + y <,6 + 9,6 η 8, < + y < 50, Α σ κ η σ η. 0 5 Το πλτος κι το μηκος y ενος ορθογωνιου ικνοποιουν τις νισοτητες < < κι < y < 5. Αν υξησουμε το πλτος κτ 0, κι ελττωσουμε το μηκος κτ 0,, ν ρειτε τις δυντες τιμες : της περιμετρου i του εμδου του νεου ορθογωνιου Οι νεες διστσεις του ορθογωνιου, εινι : + 0, κι y y 0,. < < + 0, < + 0, < + 0,, < <, () < y < 5 0, < y 0, < 5 0,,9 < y <,9 () [() + ()] : (, +,9) < ( + y ) < (, +,9) 0, < Περιμετρος < 6, i () () :,,9 < y <,,9 6,8 < Eμδον < 5,68 Α σ κ η σ η. 0 6 Αν 0 <, ν δειξετε οτι + < +. Εινι: 0 + > 0 κι 0 + > 0 Ετσι + < + ( + ) < ( + ) + < + < που ληθευει. Α σ κ η σ η. 0 7 Ν ρειτε το λθος στους πρκτω συλλογισμους : Εστω > 5. Τοτε > 5 η 5 > 5 η 5 > 5 η (5 ) > (5 + )(5 ) η > 5 + η 0 > 5. Το λθος εινι : (5 ) > (5 + )(5 ) η > 5 +, γιτι > 5 5 < 0 <0. Ετσι 5 - (5 ) > (5 + )(5 ) (5 ) 5 - < (5 + )(5 ) 5 - < 5 + Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. 0 Β Δινοντι εν κλσμ Αν i Αν <, >, τοτε με θετικους ορους κι ενς θετικος ριθμος γ. Ν δειξετε οτι : τοτε + γ +γ > + γ +γ < + γ + γ > i + γ + γ > < a,, γ θετικοι που ισχυει. a,, γ θετικοι ( + γ) > ( + γ) ( + γ) < ( + γ) + γ > + γ + γ < + γ γ > γ γ < γ γ θετικος γ θετικος > < θετικος θετικος < που ισχυει. Α σ κ η σ η. 0 Β Αν > >, ν ποδειξετε οτι + > +. Eινι > - > 0 > > ( -)( -) > 0 - - + > 0 + - - > 0 > - > 0 Α σ κ η σ η. 0 Β Αν, θετικοι ριθμοι, ν δειξετε οτι: ( + ) ( + ). Εινι + ( + ) + ( + ) ( + ) + + > 0, > 0 > 0 + + - 0 - + 0 ( -) 0 που ληθευει. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. 0 Β Ν ποδειξετε οτι : i + + 0 - + 0 + + 0 + + 0 ( + ) + + 0 που ληθευει. i - + 0 - + 0 ( -) + + 0 που ληθευει. ( + + ) + + 0 ( - + ) + + 0 Α σ κ η σ η. 0 Ν γρψετε τις πρκτω πρστσεις χωρις πολυτες τιμες. π - i π - ii - π + - π iv) - - π - π, φου π > π > 0 i π - (π ) π, φου π < π < 0 ii - π + π - ( π) + π + π + π, φου < π iv) π < 0 - - ( ) ( ) + + 0, φου < - < 0 κι > - > 0 Α σ κ η σ η. 0 Αν < <, ν γρψετε χωρις την πολυτη τιμη την πρστση - + -. Eινι < > 0 - < < 0 - ( ) + Ετσι Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι - + - + Α σ κ η σ η. 0 N γρψετε χωρις την πολυτη τιμη την πρστση - -, οτν < i > Εινι < < 0 - ( ) + < < > 0 - Ετσι - - + ( ) + + i > < 0 - ( ) + > > > 0 - Ετσι - - ( + ) + Α σ κ η σ η. 0 Αν, ν ρειτε την τιμη της πρστσης -. - Εινι - - - - - - - Α σ κ η σ η. 0 5 Αν 0 κι y 0, ρειτε τις τιμες που μπορει ν πρει η πρστση Α + y y. Αν, y θετικοι : Α + y y + Αν, y ρνητικοι : Α - + - y y Αν θετικος, y ρνητικος : Α + - y y 0 Αν ρνητικος, y θετικος : Α - + y y + 0 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 5 Α σ κ η σ η. 0 6 Η διμετρος ενος δισκου μετρηθηκε κι ρεθηκε,7dm. Το λθος της μετρησης εινι το πολυ 0,005dm. Αν D εινι η πργμτικη διμετρος του κυκλου, τοτε : Ν εκφρσετε την πρπνω πρδοχη με τη οηθει της εννοις της ποστσης. i Ν ρειτε μετξυ ποιων οριων ρισκετι η τιμη D. d( D,,7 ) 0,005 i d( D,,7 ) 0,005 D -,7 0,005 0,005 D,7 0,005 0,005 +,7 D +,7 0,005 +,7,65 D,75 Α σ κ η σ η. 0 7 Ν συμπληρωσετε τον πρκτω πινκ, οπως δειχνει η πρωτη γρμμη του. Απολυτη τιμη Αποστση Διστημ η ενωση διστημτων - d(, ) [, 6] + < d(, ) < ( 7, ) - > d(, ) > (, ) (6, + ) + d(, ) (, 7] [, + ) - 5 < d(, 5) < (, 6) + > d(, ) > (, ) (, + ) - 5 d(, 5) (, ] [6, + ) + d(, ) [, ] < d(, 0) < (, ) + d(, ) [ 5, ] d(, 0) (, ] [, + ) + > d(, ) > (, 5) (, + ) Α σ κ η σ η. 0 Β Ν ποδειξετε οτι - a - γ + γ -. Eινι - - + γ - γ ( - γ) + (γ -) - γ + γ - τ ρ ι γ ω ν ι κ η ν ι σ ο τ η τ Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

6 Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. 0 Β Αν >, ν δειξετε οτι : + + - i + - - Εινι, > > 0 - + + - + + - i + - - + - ( -) + - + Α σ κ η σ η. 0 Β Τι σημινει γι τους ριθμους κι y : Η ισοτητ + y 0 i Η νισοτητ + y > 0 Η ισοτητ + y 0, ισχυει μονο οτν 0 κι y 0. Aν 0 η y 0, τοτε > 0 η y > 0, oποτε + y > 0, τοπο. i Η νισοτητ + y > 0, ισχυει μονο οτν 0 η y 0. Αν 0 κι y 0, τοτε + y 0, τοπο. Α σ κ η σ η. 0 Β Εστω 0 < <. Ν διτξετε πο τον μικροτερο στο μεγλυτερο τους ριθμους,,. i Ν δειξετε οτι στον πργμτικο ξον ο ριθμος ρισκετι πλησιεστερ στο, πο οτι ο ριθμος. 0 < < < κι <. Ετσι < < Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 7 i Εινι < < 0 - - κι Αρκει d >, + < d > 0, > 0 - - ( - ) < - - < > 0, που ισχυει (a < ). 0 < < < Α σ κ η σ η. 0 5 Β Αν - < 0, κι πρκτω σχημτων : y - < 0,, ν εκτιμησετε την τιμη της περιμετρου των y y y Eινι < 0, 0, < < 0, 0, < + - < + 0,,9 < <, () y - < 0. 0, < y < 0, 0, < + y < + 0,,8 < y <, () Περιμετρος + y Aπο () + () :,9 +,8 < + y <, +, 9,5 < + y < 0,5 Περιμετρος + y Aπο () + () :,9 +,8 < + y <, +, 5, < + y < 6,8 Περιμετρος π Απο π () : π,9 < π < π,,8π < π <,π Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

8 Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. 0 Ν υπολογισετε τις ριζες : 00 i, ii, 0,0 00 000 0000, 000 8,, 0,00 0 0 5 00000 i 8 6 ii 5 5 0,0 0 0,,, 0 5 5 0 0000 6,, 0 0 00 0, 5 0,000 0 0,00 000 0 0, 0 0,000 0000 0 5 0,0000 5 00000 5 5 0 5 00000, 5 0,0000 0, 0 0, 0 0, Α σ κ η σ η. 0 Ν γρψετε τις πρκτω πρστσεις χωρις ριζικ i ii (π - ) i (- 0) ii (π - ) π - π (- 0) - 0 0 ( -) - ( - ) iv) Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 9 iv) Α σ κ η σ η. 0 Ν ποδειξετε οτι ( - 5 ) + ( - 5 ). Εινι ( - 5) + ( - 5) - 5 + - 5 5 + 5 Α σ κ η σ η. 0 Ν ποδειξετε οτι ( - 5 + )( - 5 + + ) 8 Πρεπει 5 0 ( 5 5 ) κι + 0 ( + + ) Eτσι ( - 5 + )( - 5 + + ) ( - 5 ) ( + 5 - + 5 ( + ) 5-8 ) Α σ κ η σ η. 0 5 Ν ποδειξετε οτι : ( 8 8 )( 50 + 7 ) i ( 8 + 7 + )( 6 - ) ( 8-8)( 50 + 7 - ) ( - )( 5 + 6 - ) ( - )(5 + 6 - ) i - 7-7 ( ) - 7 - ( 8 + 7 + )( 6 - ) ( 7 + 7 + )( 7 - ) ( 7 + 7 + )( 7 - ) ( 7 + )( 7 - ) ( 7) - ( ) 9 7 - Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

0 Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. 0 6 Ν ποδειξετε οτι : i. -. +. + 5. - 5 i - + 5 + - 5 ( - )( + ) ( - ( ) ) ( - ) ( + 5)( - 5) ( - ( 5) ) (9-5) 8 Α σ κ η σ η. 0 7 Ν ποδειξετε οτι : i 5 i. 5 5 5 6 5 6 6 0 0 Α σ κ η σ η. 0 8 Ν ποδειξετε οτι : i 9 8 6 5 8 ii 5 5 6 5 5 5 i 9 8 6 5 9 8 6 5 ii 9 8 8 9 5 5 6 5 9 6 5 5 6 5 8 5 + 9 6. 5 + 8 6 5 8. 6 + 8 8 8 8 8 8 5 6 5 9 5 5 6 5 5 8 8 8 5 5 5 5 8 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 5 5 6 5 5 5 5 5 5 5 9 9 5 5 + + 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 + 5 5 5 5 5 Α σ κ η σ η. 0 9 Ν ποδειξετε οτι : 5 75 0 i 6 75 50 8 5 75 i 5 5 5 5 5 0 6 75 50 6 6 5 6 5 6 5 5 5 5 6 ( ) 6 8 Α σ κ η σ η. 0 Ν μεττρεψετε τις πρκτω πρστσεις σε ισοδυνμες με ρητους πρνομστες : 5-8 i 7-5 ii 7 + 6 7-6 5 - (5 + ) (5 - ) (5 + ) (5 + ) 5 - ( ) i 8 7-5 8( 7 + 5) ( 7-5) ( 7 + 5) 8( 7 + 5) ( 7) - ( 5) ii 7 + 6 7-6 ( 7 + 6) (5 + ) 5-7 + 7 6 + 6 ( 7-6)( 7 + 6) ( 7) - ( 6) (5 + ) (5 + ) 8( 7 + 5) 8( 7 + 5) ( 7 + 5 ) 7-5 + 7-6 + Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. Ν ποδειξετε οτι : 0 6 + 98 9 + 6 i, 6 50-9 + 7 φου νλυσετε τ υπορριζ σε γινομεν πρωτων πργοντων. i 6 + 98 50 - + 7 5 - + 7 5-6 6 9 + 0 ( ) + 0 6 9 + 7 ( ) + ( ) 6 + 0 + 8 0 ( + ) 8 ( + ) Α σ κ η σ η. 0 Β - Ν ποδειξετε οτι - i Αν, > 0 ν ποδειξετε οτι 5 + 6 - - ( + ) + - - ( - ) ( + ) ( - )( + ) i - - + 6-6 - - 5 + 6 ( - )( + ) ( - ) ( + ) + - - - - + - - ( - )( + ) + ( - ) - ( - )[( + ) + ] - ( + ) + Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. 0 B Ν ρειτε τ νπτυγμτ των ( + 7 ), ( - 7 ). i Ν ποδειξετε οτι 7 + 7 + 7-7 6 ( + 7) 9 + 7 + 7 7 + 7 ( - 7) 9 - i 7 + 7 7 - ( 7 + 7-7 - 7 ( + 7) - ( - 7) 7 + 7 - - 7 ( + 7 > 0 κι - 7 < 0) + 7 - (- + 7) + 7 + - 7 6 Α σ κ η σ η. 0 Β Ν ποδειξετε οτι ο ριθμος i + Αν θετικος ρητος, ν ποδειξετε οτι ο + + + + 6 6 + εινι ρητος. + εινι ρητος. 6 + i 5 6 + ( ) + που εινι ρητος + ( > 0) + + που εινι ρητος, σν θροισμ ρητων Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Π ρ γ μ τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Α σ κ η σ η. 0 Β Ν ποδειξετε οτι 5 - + 5 5 + i ( - ) ( + ) 8 i 5 - + 5 5 + - ( - ) ( + ) 8 ( 5 + ) + 5 ( 5 - ) ( 5 - ) ( 5 + ) 5 + + 5-5 5 - ( + ) - ( - ) ( - ) ( + ) ( + + ) - ( - + ) [( - )( + )] + + - + - ( - ) 8 Α σ κ η σ η. 0 5 Β Σε εν ορθογωνιο τριγωνο οι κθετες πλευρες του εινι ΑΒ κι ΑΓ Ν υπολογισετε την υποτεινουσ ΒΓ του τριγωνου. i Με τη οηθει της τριγωνικης νισοτητς, ν ποδειξετε οτι + < + ii Γι μη ρνητικους ριθμους κι, ν ποδειξετε οτι + +... Απο Πυθγορειο :ΒΓ ΑΒ + ΑΓ ( ) + ( ) + ΒΓ + i Ισχυει: ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ + < +. ii + + ( + ) ( + ) + + + 0 που ισχυει (, μη ρνητικοι). Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 5 Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις ( ) 7 i ii - + - 5 - + 5 0 9 - - - 5 60 iv),( + ) -,5 +,5 8,6 ( ) 7 6 + 7 9 5 5 i - + - 5 - + 5 0 ( - ) -5( +) - + 5 5-6 - 5-5 - + 5-6 - 5 - - + 5 - + 5 - - ii 9 - - - 5 60 7-9 iv) - 7,( +) -,5 +,5 8,6 0-0 5 - - 9 0-0 -5 + - 9, +, -,5 +,5 8,6 (, +,5) 8,6-, +,5,7 9,9 Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις ( ) ( ) i 5-5 + 7 ( ) ( ) 6 6 + 0 i δυντη 5-5 + 7 6 5 + 5 + 7 0 0 6 (5 ) 5 + 7 τυτοτητ η οριστη η ληθευει γι κθε Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

6 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις γι τις διφορες τιμες του λ (λ ) λ i (λ ) λ ii λ(λ ) λ iv) λ(λ ) λ + λ. Eινι, (λ - ) λ - (Ι) Γι λ - 0, δηλδη γι λ η (Ι) εχει τη μονδικη λυση : λ - λ - Γι λ - 0, δηλδη γι λ η (Ι) γινετι : i ( - ) - 0 0, ληθευει γι κθε. Eινι, (λ - ) λ (ΙI) Γι λ - 0, δηλδη γι λ η (IΙ) εχει τη μονδικη λυση : λ λ - Γι λ - 0, δηλδη γι λ η (IΙ) γινετι: ( - ) 0, aδυντη. ii Eινι, λ(λ - ) λ - (ΙΙΙ) Γι λ(λ - ) 0, δηλδη γι λ 0 κ ι λ η (ΙΙΙ) εχει τη μονδικη λυση : λ - λ(λ - ) λ Aν λ(λ - ) 0, δηλδη ν λ 0 η λ : iv) Γι λ 0 η (ΙII) γινετι : 0 (0 - ) 0-0 -, δυντη. Γι λ η (ΙII) γινετι : ( - ) - 0 0, ληθευει γι κθε. Eινι, λ(λ - ) λ + λ λ(λ - ) λ(λ + ) (ΙV) Γι λ(λ - ) 0, δηλδη γι λ 0 κ ι λ η (ΙV) εχει τη μονδικη λυση : λ(λ + ) λ + λ(λ - ) λ - Aν λ(λ - ) 0, δηλδη ν λ 0 η λ : Γι λ 0 η (ΙV) γινετι : 0 (0 - ) 0 (0 + ) 0 0, ληθευει γι κθε. Γι λ η (ΙV) γινετι : ( - ) ( + ) 0, δυντη. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 7 Α σ κ η σ η. 0 8 Δ m Στο διπλνο ορθογωνιο τρπεζιο ν ρεθει η θεση του σημειου Μ στην ΑΔ, ωστε γι Ε τ εμδ Ε (ΜΔΓ), Ε (ΜΑΒ) κι 5m Γ Ε (ΜΒΓ) ν ισχυει : Μ Ε Ε + Ε Ε E i Ε Ε Eινι 5 + 8 (ABΓΔ) 5 5 0 m (ABΓΔ) E + E + E E + E + E 0 m () A 5m B () Ε + Ε + Ε + Ε + Ε + Ε Ε Ε + Ε Ε (Ε + Ε ) 0 Ε + Ε 0 m (5 - ) 5 + 0 5 - + 5 0 5 i E E (5 - ) 5 Ε Ε 5-5 8 5 E E 5 m 5 m 8 Α σ κ η σ η. 0 5 Απο κεφλιο 000 εν μερος του κττεθηκε προς 5 % κι το υπολοιπο σε μι λλη τρπεζ προς %. Υστερ πο χρονο εισπρχθηκν συνολικ 75 τοκοι. Ποιο ποσο τοκιστηκε προς 5% κι ποιο προς %; Εστω το κεφλιο που κττεθηκε με επιτοκιο 5%, οποτε 000 - εινι το κεφλιο που κττεθηκε με επιτοκιο %. Toκος κεφλιου : 5, ενω τοκος κεφλιου 000 - : 00 (000 - ) 00 Ετσι 5 + (000 - ) 75 00 00 5 000 - + 75 00 00 5 +000-7500 7500-000 5500 750 5500 Επομενως 750 τοκιστηκν προς 5 % κι 50 τοκιστηκν προς %. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

8 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. 0 6 Ν επιλυθουν οι πρκτω τυποι ως προς την νφερομενη μετλητη : v v 0 + t, 0 (ως προς t) i R R + R (ως προς R ) v v 0 + t t v v 0 t v - v 0 i Γι R 0 κι R 0 κι R 0 εινι R R + R R R - R R R - R R R R R R R - R R R R R + 0, δηλδη R R R R γιτι ν R + R R R, τοτε R 0, τοπο. Α σ κ η σ η. 0 7 Ν λυσετε τις εξισωσεις i ( ( ) + ( ) + ( ) 0 ) ( )( + ) 0 ( ) + ( ) + ( ) 0 ( )( + ) 0 ( )( + + ) 0-0 - 0 η η η ( + ) 0 + 0 - i ( ) ( )( + ) 0 ( ) + ( )( + ) 0 ( )( + + ) 0 ( ) ( + ) 0-0 - 0-0 η η η η + 0 ( + ) 0 + 0 - Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 9 Α σ κ η σ η. 0 8 Ν λυσετε τις εξισωσεις ( ) i ( + ) + ( ) + 0 ( )( + + 0 0 0 ( )( + ) ( ) 0 ( ) [( + ) ] ) 0-0 ( ) 0 η η 0 0 i ( + ) + 0 ( + ) 0 ( + ) + ( + ) ( ) 0 + 0 - ( + ) 0 η η 0 0 ( + ) ( + + ) 0 Α σ κ η σ η. 0 9 Ν λυσετε τις εξισωσεις ( i ( ( ) )( ) ( ) + + ( ) ( ) 0 )( ) ( ) ( ) ( - 0-0 η η η ( - ) 0-0 ) ( ) 0 i ( )( ) ( )( ) ( )( + )( ) ( )( + )( ) 0 ( )( )[ + ( + )] 0 ( )( )( + ) 0-0 ( )( ) 0 η η - 0 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

0 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις + 0 i ( )( ) 0 + 0 ( ) ( ) 0 ( )( - 0 η η ( )( )( + ) 0-0 η η + 0 - i ( )( ) 0 ( )[ ( )] 0 ( )( - 0-0 η η η ( -) 0-0 ( ) ( )( ) 0 ) 0 + ) 0 ( )( ) 0 Α σ κ η σ η. Ν λυσετε τις εξισωσεις - - + i - + - + 0 Πρεπει : - - 0 κι ( ( )( )( + ) 0 i Πρεπει : + - + + 0 κι κι 0, δηλδη κι 0. ) ( ) ( ) 0 ( )( ( ) ( + ) 0 ) 0 + 0 + 0 - η η η ( -) 0-0 + 0 δηλδη ( )( + ) 0 κι ( ) 0 - + 0 + ( -) ( + ) + ( - ) - 0 + 0 0 - + ( - ) δυντη λογω των περιορισμων. 0 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. Ν λυσετε τις εξισωσεις ii - + + + - - i iv) + - - + - + Ε.Κ.Π ( )( + ). Πρεπει :( )( + ) 0 - + + (περιορισμος) i ( -)( + ) Ε.Κ.Π ( + ). Πρεπει : ( + ) 0 + κι - + + δυντη 0 κι - - ( + ) ( + ) 0 0, ληθευει γι κθε - {-,0} ii E.K.Π ( )( + ). Πρεπει : ( )( + ) 0 + iv) ( - )( + ) 0 δυντη Ε.Κ.Π ( )( + ). Πρεπει:( )( + ) 0 ( -) ( -)( + ) + + κι - κι -, ληθευει γι κθε - {-,} + Α σ κ η σ η. Ν ρειτε τρεις διδοχικους κεριους τετοιους ωστε το θροισμ τους ν ισουτι με το γινομενο τους. Εστω,, + οι ζητουμενοι. Eτσι ( ) ( + ) + + + ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( + ) 0 0 η 0 η + 0 0 η η Γι 0, οι ζητουμενοι ριθμοι εινι, 0, Γι, οι ζητουμενοι ριθμοι εινι,, Γι, οι ζητουμενοι ριθμοι εινι,, Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. Ν λυσετε τις εξισωσεις - 5 i - - ii - iv) - - 5 8-5 η η η - - 5 - - i - - - - - - η η η η - - + + + 5 5 ii Πρεπει : 0 φου - 0. Ετσι - - - - aπορριπτετι ( ) - - - - + iv) Πρεπει : 0 φου - 0. Ετσι - - - - aπορριπτετι ( ) - - - - + aπορριπτετι ( ) Η εξισωση εινι δυντη. Α σ κ η σ η. 5 Ν λυσετε τις εξισωσεις + + 5 i + - + + - 5 5 + 0 0 i + - + + δυντη - Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. 6 Ν λυσετε τις εξισωσεις - + i - - - Πρεπει : + 0 - - ( + ) - + - - - + η η + + - - ( + ) - - - - 9-5 9 5 η η - 5-5 i - - - - - - - 0 - ( - - ) 0-0 - 0-0 η η η η η - - 0 - - η η - - Α σ κ η σ η. 0 B Ν ποδειξετε οτι οι εξισωσεις ( + ) ( ) ( + ) i - - εχουν πντ λυση, οποιοιδηποτε κι ν εινι οι πργμτικοι ριθμοι,. ( + ) ( ) ( + ) + + ( + + ( + ) + + + ( + ) ( + ) () + Aν + 0, η () εχει λυση : + + Aν + 0, η () γινετι 0 0 κι εχει πειρες λυσεις Αρ η εξισωση εχει πντ λυση. ) + Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς i Πρεπει : 0, 0 - - ( ) ( ) ( + ) () Αν 0, η () εχει λυση : + Αν + 0, η () γινετι 0 0 κι εχει πειρες λυσεις Αρ η εξισωση εχει πντ λυση. Α σ κ η σ η. 0 B Ποιοι περιορισμοι πρεπει ν ισχυουν γι τ, ;, ωστε ν εχει λυση η εξισωση Πρεπει : 0, 0 Αν ( ) () 0, δηλδη ν, η () εχει λυση : - Αν 0, δηλδη ν, η () γινετι : 0 Αρ η εξισωση εινι δυντη. 0, ( 0) Α σ κ η σ η. 0 B Ποσο κθρο οινοπνευμ πρεπει ν προσθεσει ενς φρμκοποιος σε 00ml διλυμ οινοπνευμτος περιεκτικοτητς 5%, γι ν πρει διλυμ οινοπνευμτος περιεκτικοτητς %; Τ 00 ml οινοπνευμ περιεκτικοτητς 5% περιεχουν Εστω οτι πρεπει ν προσθεσει ml κθρο οινοπνευμ. 5 00 0 ml οινοπνευμ. 00 Το μιγμ που προκυπτει εινι + 00 ml κι περιεχει + 0 ml κθρο οινοπνευμ. Αλλ τ +00 ml μιγμ θ εινι % περιεκτικοτητς σε οινοπνευμ, ρ το μιγμ θ περιεχει ( + 00) ml κθρο οινοπνευμ. Ετσι 00 + 0 ( + 00) 00 00( +0) ( +00) 00 + 000 + 600 00-600 -000 68 00 00 50 68 ml Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 5 Α σ κ η σ η. 0 B Εν υτοκινητο Α κινειτι με τχυτητ 00 km/h. Εν δευτερο υτοκινητο Β που κινειτι με 0 km/h προσπερνει το Α. Σε ποσ λεπτ τ δυο υτοκινητ θ πεχουν km ; Εστω οτι σε t ωρες, μετ την προσπερση τ δυο υτοκινητ θ πεχουν km. Το υτοκινητο Α θ εχει δινυσει διστημ : S 00t (km). Το υτοκινητο Β θ εχει δινυσει διστημ : Οποτε S B S A 0t 00t 0t t A S B 0t (km). 0 h 0 60 min min Α σ κ η σ η. 0 5 B Ν λυσετε την εξισωση + - - γι ολες τις τιμες του. Ε.Κ.Π. ( )( + ). Πρεπει : ( )( + ) 0 κι + - - + + + - ( - )( + ) Αν 0, η () εχει τη λυση : + + 0 κι + ( + ) Αν 0, η () γινετι : 0 0 κι ληθευει γι κθε - { - a, a}. () 0 Α σ κ η σ η. 0 6 B Ν λυσετε την εξισωση - 8 - + Πρεπει : 0 Εινι - - + ( - )( + + ) - + + 0 0 + + Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

6 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. 0 7 B Ν λυσετε την εξισωση. - - η η η η - - - - δυντη - Α σ κ η σ η. 0 8 B Ν λυσετε την εξισωση - + - 5. Πρεπει + 0 ( ) 0, που ισχυει γι κθε - - 5 - - - - + 5 6 ( - ) - 5 - - 5 η η η. Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις 5 0 i 5 0 ii 7 0 i ii 5 5 0 0 7 0 7 5 7 5 5 5 5 5 Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις + 5 0 i 5 + 0 ii 7 + 0 + 5 0 i ii 5 + 0 7 + 0-5 5 7 - - 7 5 (- 5) - 5 7 (- ) 5 (- ) - Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 7 Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις 6 0 i 8 0 ii 6 6 0 i ii 6 6 0 8 0 6 0 6 6 8 6 6 8 6 8 η 8 η η Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις 5 8 0 i + 0 ii 5 + 6 0 5 8 0 0 η i 0 η ii 5 + 0 ( ( + 6 0 ) ( ( 8) 0 + ) 0 0 η 0 η + 6) 0 0 η 0 η 8 0 + 0 0 η 0 η + 6 0 0 Α σ κ η σ η. 0 5 Εν ορθογωνιο πρλληλεπιπεδο εχει ογκο 8 Ν ρειτε τις διστσεις του πρλληλεπιπεδου. m κι διστσεις, κι. V 8 8 8 Επομενως οι διστσεις εινι,, 9. 7 > 0 7 Α σ κ η σ η. 06 Ν λυσετε τις εξισωσεις ( + ) 6 i + 5 0 ii ( ) 7( ) 0 ( + ) 6 ( + ) + Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

8 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς i + 5 ii 0 5 ( ) - 7( ) 0 (5 ) ( ) ( ) [( ) - 7] 0 5 5 ( ) [( ) - - 0 η η η η ( - ) - 0 ( - ) - ] 0 Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις 5 + 0 i 6 + 9 0 ii + + 0 Δ (- 5) - 5, i Δ (- 6) - 9 6 6 0, ii Δ - 6 8 < 0, 5 + 6 5 ± 5 - - - 6 (διπλη ριζ) η εξισωση εινι δυντη. Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις εξισωσεις,69 0 i 0,5 0 ii + 7 0,69 0,69 (, ), η, i 0,5 0 (0,5 ) 0 ii Η εξισωση γρφετι + 0 + 7 0 Δ 0 0 0 η η η 0,5-0 0,5 0 7 < 0, η εξισωση εινι δυντη Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 9 Α σ κ η σ η. 0 Ν ποδειξετε οτι οι εξισωσεις λ + (λ ) 0, λ 0 i εχoυν πργμτικες ριζες. + ( + ) + 0, 0 Δ + λ(λ ) + λ - 8λ ( λ λ +) (λ ) 0. Αρ, η εξισωση εχει μι διπλη ριζ (ν Δ 0) η δυο πργμτικες (ν Δ > 0). i Δ ( + ) + + + ( ) 0. Αρ, η εξισωση εχει μι διπλη ριζ (ν Δ 0) η δυο πργμτικες (ν Δ > 0). Α σ κ η σ η. 0 Ν ρειτε τις τιμες του μ εχει διπλη ριζ., γι τις οποιες η εξισωση μ + + μ 0, μ 0 Πρεπει ν εινι μ 0, ωστε η εξισωση ν εινι ου θμου κι ετσι ν υπρχει η δυντοτητ ν εχει διπλη ριζ. Οποτε Δ 0 μ μ 0 0 μ η μ. μ μ Α σ κ η σ η. 0 5 Αν, ν δειξετε οτι η εξισωση (. Ν εξετσετε την περιπτωση που εινι. Αν + θμου, οποτε Δ ( + ) 8 ( + 0 η ν ενς τουλχιστον πο τους, + 8 + + ) ( 8 8 ( - ) < 0, φου. Αρ η εξισωση εινι δυντη Αν + ) + + ( + ) + 0 εινι δυντη στο + ) 8 + 8 0, η εξισωση εινι ου 8 ( 0 η ν 0 κι 0, τοτε η εξισωση γινετι + 0 + (0 + 0) + 0 η 0 που εινι δυντη. Αν 0, οπως πιο πνω, η εξισωση γινετι 0 που εινι δυντη. Αν 0, τοτε η εξισωση γινετι ( + ) + ( + ) + 0 ου θμου φου 0. Δ 0, ρ η εξισωση μι διπλη ριζ. + + 0 ) + + 0, Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

50 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. 0 6 Ν ρειτε την εξισωση ο υ θμου που εχει ριζες τους ριθμους κι i κι ii 5 6 κι 5 + 6 S + 5, P 6 κι η εξισωση εινι : i S + ii S 5 6, P + 5 + H εξισωση εινι : 6 κι η εξισωση εινι: 0, P (5 0 + 0 6 5 + 6 0 )(5 + 6 + 0 ) 5 + 0 Α σ κ η σ η. 0 7 Ν ρειτε δυο ριθμους, εφοσον υπρχουν, που ν εχουν θροισμ κι γινομενο 5 i θροισμ 9 κι γινομενο 0 Οι ζητουμενοι ριθμοι εινι οι ριζες της εξισωσης S κι P 5 δηλδη Δ + 60 6, i 5 0 ± 8 ( ± ) + 5 ± - - Οι ζητουμενοι ριθμοι εινι οι ριζες της εξισωσης S 9 κι P 0 δηλδη Δ 8 0, 9 ± 9 + 0 0 9 + 9 +, S + P 0, οπου S + P 0, οπου Α σ κ η σ η. 0 8 Ν λυσετε τις εξισωσεις ( 5 + ) + 5 0 i + ( ) 0 S 5 + κι P 5 5. Αρ οι ριζες της εξισωσης εινι 5,. i Δ ( ) + + + ( + ) Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 5 - + + + - ( -) ± ( + ) - + - - - - Α σ κ η σ η. 0 9 Ν λυσετε την εξισωση +, γι τις διφορες τιμες των,. + Δ ( - ) + + - ± (- ± ) + - ± - - - 0 + Α σ κ η σ η. 0 Ν ρειτε τις δυο πλευρες ενος ορθογωνιου με περιμετρο 68 cm κι διγωνιο 6 cm. Εστω, y οι πλευρες του ορθογωνιου. Εινι H περιμετρος εινι : + y 68 Aπο Πυθγορειο θεωρημ εινι : Ετσι + y 6 + y 68 + y y - + y 6 + y 676 + ( - ) 676 y - y - + - + - 676 0 + 56-68 - 676 0 y - y - - 68 + 80 0 - + 0 0 y - Δ (-) - 0 56-960 96 + y 0 ± 96 ± 0-0 y Αρ οι πλευρες του ορθογωνιου εινι cm κι 0 cm. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

5 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. Ν λυσετε τις εξισωσεις 7 + 0 i + 5 0 ii 8 + 0 7 + 0 7 + 0 Θετουμε y κι η εξισωση γινετι: y Δ (-7) - 9 8 7 + 7 ± y 7 - Γι y τοτε η - Γι y τοτε η - i + - 5 0 + - 5 0 Θετουμε y κι η εξισωση γινετι: y Δ - (- 5) + 0 - + - ± 5 y - - - 7 Γι y 5 τοτε 5 5 η - 5 Γι y - 7 τοτε - 7 aδυντη ii 8 + 0 8 + 0 Θετουμε y κι η εξισωση γινετι: y Δ (-8) - 6 8 6 8 + 8 ± 6 y 8 - Γι y 6 τοτε 6 6 η - 6 Γι y τοτε η - 7y + 0 + y - 5 0 8y + 0 Α σ κ η σ η. Ν λυσετε την εξισωση ( ) + - 5 0 ( ) + - 5 0 Θετουμε y - κι η εξισωση γινετι: Δ - (- 5) 6 + 0 6 6 - + - 5 0 y + y - 5 0 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 5 - + 6 - ± 6 y - - 6-5 Γι y τοτε - - η - - η 0 Γι y - 5 τοτε - - 5 δυντη Α σ κ η σ η. Ν λυσετε την εξισωση + 5 + + 6 0 Περιορισμος : 0 Θετουμε + y (), οποτε η εξισωση γινετι y 5y + 6 0 Δ (- 5) - 6 5, 5 + ± y 5 - Γι y τοτε + + + 0 Δ 9 5, ± 5 Γι y τοτε + + + 0 Δ 0, - Α σ κ η σ η. Ν λυσετε τις εξισωσεις + + + 6 i + - - + - - 0 Πρεπει : 0 κι + + + 6 + 6( 6 6 + 6( + ) ( + ) + + ) + 6 + 6 + + 6 0 + 6 0 + 6 0 Δ + 5, - ± 5 - Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

5 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς E.K.Π. ( ). Πρεπει ( ) + - - + - - 0 0 0 κι ( ) + ( ) + 0 + + 0 0 + ± πορριπτετι Δ + 8 9, - - - Α σ κ η σ η. 5 Ν λυσετε τις εξισωσεις + 6 0 0 i + 0 ii + 7 + 0 + 6 Θετουμε y 0 0 Δ 6 + 60 96, y ( ) + 6 κι η εξισωση γινετι 0 0 y + 6y 0 0-6 ± 96-6 ± (- ± 7) - + 7 - ± 7 - - 7-0 Γι y τοτε Γι y - 0 τοτε i + 0 η - - 0 aδυντη ( ) + 0 Δ + 8 69, - + - ± 69 - ± 8 8 8 - - - < 0 aπορριπτετι - 8 ii + 7 + 0 ( ) + 7 + 0 Δ 9 5, - 7 + 5-7 ± 5 - aδυντη φου - 7-5 - 0 Α σ κ η σ η. 0 B Δινετι η εξισωση - + a - 0, με 0. Ν ποδειξετε οτι η δικρινουσ της εξισωσης εινι Δ. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 55 i Ν δειξετε οτι οι ριζες της εξισωσης εινι οι + κι -. Δ (- i ) ( ) 6 6 + ± ± ( ± ) ± + - Α σ κ η σ η. 0 B Δινετι η εξισωση (5 ) + 6 0. Ν ποδειξετε οτι η δικρινουσ της εξισωσης εινι Δ ( + ). i Ν δειξετε οτι οι ριζες της εξισωσης εινι οι κι. Δ (5 i + ) (6 + 5 - ± ( + ) ( + ) 5 0 ) + + + 5 - + + 6 ( - ) 5 - - - - - + + Α σ κ η σ η. 0 B Ν ρειτε τις τιμες του εχει διπλη ριζ. γι τις οποιες η εξισωση + (a 9) + + a + 0 Αφου η εξισωση εχει διπλη ριζ, τοτε Δ 0 ( 9 ) 8( + + ) 0 8 + 8 8 0 7 + 6 7 0 + 9 0 Δ 6 + 8 6, - 6 ± 8 (- ± ) - + - ± - - - 7 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

56 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. 0 B Αν ο ριθμος ρ εινι η ριζ της εξισωσης οτι ο ριθμος ρ εινι η ριζ της εξισωσης γ + + γ 0, με γ + + 0. 0, ν δειξετε Αφου ρ εινι ριζ της εξισωσης + + γ 0 τοτε Γι ν εινι ο ριθμος Πργμτι γ ρ ρ γ ρ ρ + ρ + 0 γ + ρ ρ + ριζ της γ ρ ρ 0 ρ + ρ + γ 0 (). + + 0 πρεπει ν την επληθευει. + ρ + 0 ρ + ρ + γ 0 που ληθευει λογω της (). Α σ κ η σ η. 0 5 B Ν λυσετε τις εξισωσεις + a +, 0 i + +,, 0 Περιορισμος : 0 + + ( Δ ( + ) ) + - ± ( + ) i Περιορισμος : 0 + Δ ( + ( + ) + 0 + + + + + - + + - - - - - + ) + ( + ± ( - ) ( + ) + ) ( + ( ) + ( + ) + + - + - + 0 ( + ) ) + 0 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 57 Α σ κ η σ η. 0 6 B Δινετι η εξισωση + λ 8 0. Ν δειξετε οτι η εξισωση εχει πργμτικες ριζες γι κθε λ i Αν η μι ριζ της εξισωσης ισουτι με το τετργωνο της λλης, τοτε ν ρεθουν οι ριζες κι η τιμη του λ. Δ λ + > 0 γι κθε λ, ρ η εξισωση εχει πργμτικες ριζες γι κθε λ i Εστω, Αλλ + Απο () κι () : οι ριζες της εξισωσης με λ () κι 8 8 Απο () : ( ) Απο () : + λ λ λ (). 8 () (Vieta). Α σ κ η σ η. 0 7 B Ν εξετσετε ν υπρχουν διδοχικοι κεριοι που ν εινι μηκη πλευρων ορθογωνιου τριγωνου. Εστω,, + διδοχικοι κεριοι, μηκη πλευρων ορθογωνιου τριγωνου. Απο Πυθγορειο θεωρημ : ( + ) + ( 0 ) + + + + + 0 ( ) 0 0 Επομενως υπρχουν διδοχικοι κεριοι, μηκη πλευρων ορθογωνιου τριγωνου, κι εινι οι,, +, δηλδη οι,, 5. Α σ κ η σ η. 0 8 B Η σημι του διπλνου σχημτος εχει διστσεις m κι m aντιστοιχως. Ν ρειτε το πλτος d του στυρου, ν γνωριζουμε οτι το εμδον του εινι ισο με το εμδον του υπολοιπου με- ρους της σημις. Περιορισμος : 0 < d < Εμδον του στυρου (ΠΕΚΛ) + (ΞΗΘΝ) (ΟΖΙΜ) d + d Εμδον του στυρου Εμδον υπολοιπου 6 () Απο (), () : 7d d 6 d 7d + 6 0 Δ Ξ Ν Γ d Π Λ d Ο Μ Ζ Ι Ε Κ Α Η Θ Β d 7d d () Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

58 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Δ 9 5, 7 + 5 7 ± 5 6 > d 7-5 πορριπτετι d Α σ κ η σ η. 0 9 Β Μι κτσκευστικη ετιρει διθετει δυο μηχνημτ Α κι Β. Tο μηχνημ Β χρειζετι ωρες περισσοτερο πο οτι χρειζετι το μηχνημ Α γι ν τελειωσει εν συγκεκριμενο εργο. Ο χρονος που πιτειτι γι ν τελειωσει το εργο, ν χρησιμοποιηθουν κι τ δυο μηχνημτ μζι εινι 8 ωρες. Ν ρειτε το χρονο που θ χρειζοτν το κθε μηχνημ γι ν τελειωσει το εργο υτο ν εργζοτν μονο του. Αν t εινι o χρονος που χρειζετι το μηχνημ Α γι ν τελειωσει τo συγκεκριμενο εργο, ο ντιστοιχος χρονος γι το Β εινι t +. Σε ωρ: το Α θ εκτελεσει το t του εργου, ενω το Β θ εκτελεσει το Σε 8 ωρες ( που τ δυο μζι τελειωνουν το εργο ) : το Α θ εκτελεσει το Ετσι 8 t t + 8 t + t 96 0 Δ 6 + 96 6 + 8 00 t Ετσι 8 t του εργου, ενω το Β θ εκτελεσει το 8(t + ) + 8t t(t + ) 8t + 96 + 8t ± 00 ± 0 ( ± 0) Α : ωρες κι Β : ωρες t + 8 t + t του εργου. + t του εργου. + 0 ± 0-0 - 8 πορριπτετι t 0 Α σ κ η σ η. 0 Β Εινι γνωστο οτι μι ριζ της εξισωσης Ν ρειτε το κι ν λυσετε την εξισωση. Η ριζ επληθευει την εξισωση. Αρ 0 + 0 0 + 0 9 Η εξισωση γινετι ( ) 0 + 9 0 0 + 0 εινι ο ριθμος. Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 59 Δ 00 6 6, 9 η - η - 0 ± 8 (5 ± ) 5 + 9 5 ± 5 - Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

60 Α ν ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. 0 Ν λυσετε τις νισωσεις - + + < 6 i - + + > ii - + - 5 < 0 5 - + + < 6 6( ) + ( + ) < 6 6 + 6 + 9 < 0 < < - 0 i - + 0 > ii - + + - 5 0 < > 0 > < 0 ( ) + + > + + > δυντη 5 0 < ληθευει γι κθε 5( ) + ( ) < 5 0 + <. Α σ κ η σ η. 0 Ν ρειτε τις τιμες του γι τις οποιες συνληθευουν οι νισωσεις < + 5 κι +. < + 5 + < 6 < + - Συνληθευση < Α σ κ η σ η. 0 Ν εξετσετε ν συνληθευουν οι νισωσεις : > + κι > + > + > Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Α ν ι σ ω σ ε ι ς 6 - Οι νισωσεις δε συνληθευουν Α σ κ η σ η. 0 Ν ρειτε τ γι τ οποι συνληθευουν οι νισωσεις : - 8 + 8 > κι + + + > < 0 < 0 6 + > 8 8 + + < 0 7 > < 7 > < - 7 7 Συνληθευση - 7 7-7 < 7, οποτε οι κεριοι εινι : 0,,. Α σ κ η σ η. 0 5 Ν λυσετε τις νισωσεις : < i - ii + < 5 < < < i - + ii + < 5 5 < + < 5 5 < < 5-6 < < 5 < < Α σ κ η σ η. 0 6 Ν λυσετε τις νισωσεις : i - > ii + 5 > < η > i > < η > < η > 5 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

6 Α ν ι σ ω σ ε ι ς ii + 5 η + 5 η + 5 6 η Α σ κ η σ η. 0 7 Ν λυσετε τις νισωσεις : - 6 6 i - - 6 6 6 0 6 i - - ( ) 0 Α σ κ η σ η. 0 8 Ν λυσετε τις νισωσεις : - - + 5 < - i + > - - - + 5 < - - + 0 < - i + > - ( - ) + 0 < - + > - < < < ( + ) > ( ) > ληθευει γι κθε < <. Α σ κ η σ η. 0 9 Ν λυσετε την νισωση - 6 + 9 5-6 + 9 5 ( -) 5-5 5 5 8 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

Α ν ι σ ω σ ε ι ς 6 Α σ κ η σ η. 0 Ν ρειτε την νισωση της μορφης - < ρ, που εχει ως λυσεις τους ριθμους 0 του διστημτος ( 7, ). ( 7, ) - < ρ 0 7 < < () 0 ρ < < Απο τις (), () θ πρεπει 0 + ρ () - ρ - 7 0 (+) : - - 0 0 + ρ (-) : ρ 0 ρ 5 0 Ετσι η - < ρ γινετι : - (- ) < 5 η + < 5 0 Α σ κ η σ η. Η σχεση που συνδεει τους θμους Κελσιου εινι η F 9 5 o ( C) με τους θμους Φρενϊτ o ( F) C +. Στη διρκει μις νυχτς η θερμοκρσι σε μι πολη κυμνθηκε πο ο F μεχρι 50 ο F. Ν ρειτε το διστημ μετολης της θερμοκρσις σε ο C. Απο την υποθεση : F < 50 9 9 5 C 9 5 8 5 C + 50 C 0 9 5 C 50 Α σ κ η σ η. 0 Β Ν ρειτε τις τιμες γι τις οποιες ισχυει : 6 i 6 + 6 + 7 7 i - 6 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com

6 Α ν ι σ ω σ ε ι ς Α σ κ η σ η. 0 B Ν ρειτε τις τιμες γι τις οποιες ισχυει : i - 5 η () () - - Συνληθευση των (), () : η i 5 5 5 η 5 η 7 () 5 5 9 () 7 9 Συνληθευση των (), () : η 7 9 Α σ κ η σ η. 0 B Εστω Α κι Β τ σημει που πριστνουν σε ενν ξον τους ριθμους - κι 5 κι Μ το μεσο του τμημτος ΑΒ. Ποιος ριθμος ντιστοιχει στο σημειο Μ; i Ν διτυπωσετε γεωμετρικ το ζητουμενο της νισωσης - 5 + κι ν ρειτε τις λυσεις της. ii Ν επιειωσετε λγερικ τ συμπερσμτ σς. Στο μεσο Μ ντιστοιχει ο ριθμος i - + 5 Εστω Κ() το σημειο στο οποιο ντιστοιχει η τυχι λυση της νισωσης - 5 - d(, 5) d(, ) (KA) (KB) το Κ ρισκετι δεξι του μεσου Μ κι ii - 5 + 0 + 5 Α(-) Μ Κ() B(5) - 5 + ( 5) ( + ) + 6 + 9 6 6 Τκης Τσκλκος www.drmaths58.blogspot.com www.maths58.wordpress.com